2021年天津市部分学校数学中考模拟测试卷 含解析
展开1.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=1,AB=4,则sinB的值是( )
A.B.C.D.
2.计算+,正确的结果是( )
A.1B.C.aD.
3.民国106年8月15日,大潭发电厂因跳电导致供电短少约430万瓩,造成全台湾多处地方停电.已知1瓩等于1千瓦,求430万瓩等于多少瓦?( )
A.4.3×107B.4.3×108C.4.3×109D.4.3×1010
4.观察下列图案,既是轴对称图形又是中心对称图形的共有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.在水平的桌面上放置着如图所示的实物,则它的左视图是( )
A.B.C.D.
6.下列整数中,与10﹣最接近的是( )
A.4B.5C.6D.7
7.已知方程组,则2x+6y的值是( )
A.﹣2B.2C.﹣4D.4
8.如图,已知AB是圆O的直径,弦CD与AB垂直,垂足为M,E是CD延长线上一点,且AB=10,CD=8,3DE=4OM,过F做作圆O的切线EF,BF交CD于G.则以下说法其中正确的是( )
A.MB=3B.EF=4C.FD∥ABD.EF=EG
9.已知x是正实数,则|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+|4x﹣1|+|5x﹣1|的最小值是( )
A.2B.C.D.0
10.已知函数y=+1,当x≥﹣4,且x≠0时,则函数y的取值范围是( )
A.y≤﹣1B.y>1C.y≤﹣1或y>1D.y<﹣1
11.四个形状大小相同的等腰三角形按如图所示方式摆放,已知∠AOB=∠AOC=90°,EF=2cm,若点F落在BG的延长线上,则图中阴影部分的面积为( )
A.B.C.D.
12.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(﹣2,0),对称轴为直线x=1.有以下结论:
①abc>0;
②8a+c>0;
③若A(x1,m),B(x2,m)是抛物线上的两点,当x=x1+x2时,y=c;
④点M,N是抛物线与x轴的两个交点,若在x轴下方的抛物线上存在一点P,使得PM⊥PN,则a的取值范围为a≥1;
⑤若方程a(x+2)(4﹣x)=﹣2的两根为x1,x2,且x1<x2,则﹣2≤x1<x2<4.
其中结论正确的有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分)
13.把 a中根号外面的因式移到根号内的结果是 .
14.定义一种新运算:x*y=,如2*1==2.则(3*5)*(﹣1)= .
15.在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球,从盒子里随机摸出一个乒乓球,摸到白色乒乓球的概率为,那么盒子内白色乒乓球的个数为 .
16.函数y=x+1的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,点C在x轴上.若△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C共有 个.
17.如图,△ABC中,∠ABC=45°,AH⊥BC于点H,点D在AH上,且DH=CH,连接BD.将△BHD绕点H旋转,得到△EHF(点B,D分别与点E,F对应),连接AE.当点F落在AC上时(F不与C重合),若BC=4,tanC=3,则AE的长 .
18.如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,取格点A、B、C并连接AB,BC.取格点D、E并连接,交AB于点F.
(Ⅰ)AB的长等于 ;
(Ⅱ)若点G在线段BC上,且满足AF+CG=FG,请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,确定点G的位置,并简要说明点G的位置是如何找到的.
三.解答题(本大题共7小题,共66分,解答中写出文字说明、演算步骤或推理过程)(共7小题,满分66分)
19.(8分)
(1)计算:(﹣1)2014+(sin30°)﹣1+()0﹣|3﹣|+83×(﹣0.125)3
(2)解不等式组:把解集在数轴上表示出来,并将解集中的整数解写出来.
20.(8分)某校开展读书活动,随机抽查了若干名同学,了解他们半年内阅读名著的情况,调查结果制作了如下部分图:
(1)请求出样本容量,并将条形统计图补充完整;
(2)根据以上统计图中的信息,求这些同学半年内阅读名著数量的众数、中位数、平均数(保留小数);
(3)你能估计全校2000名同学,在这个读书活动中阅读名著的总数量吗?请指出,并说明理由.
21.(10分)如图1,四边形ABCD内接于⊙O,AC是⊙O的直径,过点A的切线与CD的延长线相交于点P.且∠APC=∠BCP
(1)求证:∠BAC=2∠ACD;
(2)过图1中的点D作DE⊥AC,垂足为E(如图2),当BC=6,AE=2时,求⊙O的半径.
22.(10分)小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量.如图,他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60°,沿山坡向上走25m到达D处,测得古塔顶端M的仰角为30°.已知山坡坡度i=3:4,即tanθ=,请你帮助小明计算古塔的高度ME.(结果精确到0.1m,参考数据:≈1.732)
23.(10分)小王是“新星厂”的一名工人,请你阅读下列信息:
信息一:工人工作时间:每天上午8:00﹣12:00,下午14:00﹣18:00,每月工作25天;
信息二:小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表:
信息三:按件计酬,每生产一件甲种产品得1.50元,每生产一件乙种产品得2.80元.
信息四:该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成,小王每月的底薪为1900元,请根据以上信息,解答下列问题:
(1)小王每生产一件甲种产品,每生产一件乙种产品分别需要多少分钟;
(2)2018年1月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于60件,则小王该月收入最多是多少元?此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件?
24.(10分)在△ABC中,CA=CB,∠ACB=α.点P是平面内不与点A,C重合的任意一点,连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP,连接AD,BD,CP.
(1)动手操作
如图1,当α=60°时,我们通过用刻度尺和量角器度量发现:的值是1:直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°;请证明以上结论正确
(2)类比探究
如图2,当α=90°时,请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数,并就图2的情形说明理由.
25.(10分)如图1,抛物线M1:y=﹣x2+4x交x正半轴于点A,将抛物线M1先向右平移3个单位,再向上平移3个单位得到抛物线M2,M1与M2交于点B,直线OB交M2于点C.
(1)求抛物线M2的解析式;
(2)点P是抛物线M1上AB间的一点,作PQ⊥x轴交抛物线M2于点Q,连接CP,CQ.设点P的横坐标为m,当m为何值时,使△CPQ的面积最大,并求出最大值;
(3)如图2,将直线OB向下平移,交抛物线M1于点E,F,交抛物线M2于点G,H,则的值是否为定值,证明你的结论.
参考答案与解析
一.选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)(共12小题,满分36分,每小题3分)
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=1,AB=4,则sinB的值是( )
A.B.C.D.
【分析】根据勾股定理求出AC,根据余弦的定义计算即可.
【解答】解:由勾股定理得,AC===
则sinB==,
故选:C.
2.计算+,正确的结果是( )
A.1B.C.aD.
【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案.
【解答】解:原式==1.
故选:A.
3.民国106年8月15日,大潭发电厂因跳电导致供电短少约430万瓩,造成全台湾多处地方停电.已知1瓩等于1千瓦,求430万瓩等于多少瓦?( )
A.4.3×107B.4.3×108C.4.3×109D.4.3×1010
【分析】根据题意将430万瓩化为4.3×109瓦即可解题;
【解答】解:430万瓩=4300000瓩,
∵1瓩等于1千瓦,
∴4300000瓩=4300000千瓦=4.3×106千瓦=4.3×109瓦;
故选:C.
4.观察下列图案,既是轴对称图形又是中心对称图形的共有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
【解答】解:第1个是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项符合题意;
第2个不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项不合题意;
第3个不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项不合题意;
第4个是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项符合题意.
故选:B.
5.在水平的桌面上放置着如图所示的实物,则它的左视图是( )
A.B.C.D.
【分析】找到从左边向右边看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在视图中.
【解答】解:从左边看可得左视图为:
故选:C.
6.下列整数中,与10﹣最接近的是( )
A.4B.5C.6D.7
【分析】解法一:由于9<13<16,可判断与4最接近,从而可判断与10﹣最接近的整数为6.
解法二:计算3.5的平方与13作比较,再得10﹣<6.5,可作判断.
【解答】解:解法一:∵9<13<16,
∴3<<4,
∵3.62=12.96,3.72=13.69,
∴3.6<<3.7,
∴﹣3.7<﹣<﹣3.6,
∴10﹣3.7<10﹣<10﹣3.6,
∴6.3<10﹣<6.4,
∴与10﹣最接近的是6.
解法二:∵3<<4,
∴6<10﹣<7,
∵3.52=12.25,且12.25<13,
∴>3.5,
∴10﹣<6.5,
∴与10﹣最接近的是6.
故选:C.
7.已知方程组,则2x+6y的值是( )
A.﹣2B.2C.﹣4D.4
【分析】两式相减,得x+3y=﹣2,所以2(x+3y)=﹣4,即2x+6y=﹣4.
【解答】解:两式相减,得x+3y=﹣2,
∴2(x+3y)=﹣4,
即2x+6y=﹣4,
故选:C.
8.如图,已知AB是圆O的直径,弦CD与AB垂直,垂足为M,E是CD延长线上一点,且AB=10,CD=8,3DE=4OM,过F做作圆O的切线EF,BF交CD于G.则以下说法其中正确的是( )
A.MB=3B.EF=4C.FD∥ABD.EF=EG
【分析】连接OC,根据圆周角定理和垂径定理得到∠OMC=90°,CM=DM,求得OM=3,得到BM=2,故A选项错误;连接AF,OF,求得∠AFB=90°,根据切线的性质得到∠OFE=90°,求得∠AFO=∠EFG,推出∠EFG=∠EGF,得到EF=EG,故D选项正确;根据射影定理得到EF=4,故B选项错误;连接AD,则∠BAD=∠BFD,根据三角函数值推出∠BAD≠∠MBG,∠MBF≠∠BFD,于是得到FD与AB不平行,故C 选项错误.
【解答】解:连接OC,
∵AB是圆O的直径,弦CD与AB垂直,
∴∠OMC=90°,CM=DM,
∵AB=10,CD=8,
∴OC=5,CM=4,
∴OM=3,
∴BM=2,故A选项错误;
连接AF,OF,
∴∠AFB=90°,
∵过F作圆O的切线EF,
∴∠OFE=90°,
∴∠AFO=∠EFG,
∵∠A+∠B=∠B+∠BGM=90°,
∴∠BGM=∠A,
∵∠A=∠AFO,∠BGM=∠DGF,
∴∠EFG=∠EGF,
∴EF=EG,故D选项正确;
∵3DE=4OM,
∴DE=4,CE=12,
∴EF2=DE•CE=48,
∴EF=4,故B选项错误;
连接AD,则∠BAD=∠BFD,
∵GM=EM﹣EG=8﹣4,
∴tan∠MBG==4﹣2,tan∠BAD===≠tan∠MBG,
∴∠BAD≠∠MBG,∠MBF≠∠BFD,
∴FD与AB不平行,故C 选项错误,
故选:D.
9.已知x是正实数,则|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+|4x﹣1|+|5x﹣1|的最小值是( )
A.2B.C.D.0
【分析】将使得下列式子分别成立的x值按大小顺序排列,取处在中间的x值,则所求的式子有最小值 原式=|x﹣1|+2|x﹣|+3|x﹣|+4|x﹣|+5|x﹣|,据此可解得答案.
【解答】解:|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+|4x﹣1|+|5x﹣1|
=|x﹣1|+2|x﹣|+3|x﹣|+4|x﹣|+5|x﹣|
当x﹣=0,即x=时取最小值,
最小值为:|﹣1|+2|﹣|+3|﹣|+4|﹣|+5|﹣|
=+++0+
=.
故选:B.
10.已知函数y=+1,当x≥﹣4,且x≠0时,则函数y的取值范围是( )
A.y≤﹣1B.y>1C.y≤﹣1或y>1D.y<﹣1
【分析】函数y=+1的图象是由函数y=图象向上平移1个单位得到,在坐标系画出函数的图象,根据图象即可求得.
【解答】解:如图,函数y=+1的图象是由函数y=图象向上平移1个单位得到,
∵函数y=的图象在一、三象限,且在每个象限内y随x的增大而减小,
∵当x=﹣4时,y=﹣1,
∴﹣4≤x<0时,y≤﹣1;x>0时y>1,
故选:C.
11.四个形状大小相同的等腰三角形按如图所示方式摆放,已知∠AOB=∠AOC=90°,EF=2cm,若点F落在BG的延长线上,则图中阴影部分的面积为( )
A.B.C.D.
【分析】连接FG交EO于K,连接EF.首先证明△GOF是等腰直角三角形,再证明OK⊥FG,设OK=FK=HK=x,则OE=OF=x,在Rt△EFK中,利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题.
【解答】解:连接FG交EO于K,连接EF.
∵∠BOG=∠AOF,
∴∠GOF=∠AOB=90°,
∵OG=OF,
∴△GOF是等腰直角三角形,
∴∠FGO=45°,
∵B,G,F共线,
∴∠BGO=135°,
∵GB=GO,
∴∠GOB=∠GBO=22.5°,
∴∠EOF=2×22.5°=45°,
∴∠FOK=∠GOK,
∵OF=OG,
∴OK⊥FG,GK=FK,设FK=OK=GK=xcm,则OF=OE=xcm,
在Rt△EFK中,∵EF2=EK2+FK2,
∴4=x2+(x﹣x)2,
∴x2=2+,
∴菱形AEOF的面积=OE•FK=x2=(2+2)cm2,
∴阴影部分的面积=2×(2+2)=(4+4)cm2
故选:A.
12.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(﹣2,0),对称轴为直线x=1.有以下结论:
①abc>0;
②8a+c>0;
③若A(x1,m),B(x2,m)是抛物线上的两点,当x=x1+x2时,y=c;
④点M,N是抛物线与x轴的两个交点,若在x轴下方的抛物线上存在一点P,使得PM⊥PN,则a的取值范围为a≥1;
⑤若方程a(x+2)(4﹣x)=﹣2的两根为x1,x2,且x1<x2,则﹣2≤x1<x2<4.
其中结论正确的有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案.
【解答】解:①由图象可知:a>0,c<0,
>0,
∴abc>0,故①正确;
②∵抛物线的对称轴为直线x=1,抛物线的对称轴为直线x=1,
∴=1,
∴b=﹣2a,
当x=﹣2时,y=4a﹣2b+c=0,
∴4a+4a+c=0,
∴8a+c=0,故②错误;
③∵A(x1,m),B(x2,m)是抛物线上的两点,
由抛物线的对称性可知:x1+x2=1×2=2,
∴当x=2时,y=4a+2b+c=4a﹣4a+c=c,故③正确;
④由题意可知:M,N到对称轴的距离为3,
当抛物线的顶点到x轴的距离不小于3时,
在x轴下方的抛物线上存在点P,使得PM⊥PN,
即≤﹣3,
∵8a+c=0,
∴c=﹣8a,
∵b=﹣2a,
∴,
解得:a,故④错误;
⑤易知抛物线与x轴的另外一个交点坐标为(4,0),
∴y=ax2+bx+c=a(x+2)(x﹣4)
若方程a(x+2)(4﹣x)=﹣2,
即方程a(x+2)(x﹣4)=2的两根为x1,x2,
则x1、x2为抛物线与直线y=2的两个交点的横坐标,
∵x1<x2,
∴x1<﹣2<4<x2,故⑤错误;
故选:A.
二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分)
13.把 a中根号外面的因式移到根号内的结果是 ﹣ .
【分析】判断得到a为负数,利用二次根式性质化简即可.
【解答】解:原式=﹣=﹣,
故答案为:﹣
14.定义一种新运算:x*y=,如2*1==2.则(3*5)*(﹣1)= .
【分析】根据x*y=,可以求得所求式子的值.
【解答】解:∵x*y=,
∴(3*5)*(﹣1)
=*(﹣1)
=*(﹣1)
=*(﹣1)
=
=
=×
=,
故答案为:.
15.在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球,从盒子里随机摸出一个乒乓球,摸到白色乒乓球的概率为,那么盒子内白色乒乓球的个数为 4 .
【分析】设盒子内白色乒乓球的个数为x,根据摸到白色乒乓球的概率为列出关于x的方程,解之可得.
【解答】解:设盒子内白色乒乓球的个数为x,
根据题意,得:=,
解得:x=4,
经检验:x=4是原分式方程的解,
∴盒子内白色乒乓球的个数为4,
故答案为:4.
16.函数y=x+1的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,点C在x轴上.若△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C共有 4 个.
【分析】三角形ABC的找法如下:①以点A为圆心,AB为半径作圆,与x轴交点即为C;②以点B为圆心,AB为半径作圆,与x轴交点即为C;③作AB的中垂线与x轴的交点即为C;
【解答】解以点A为圆心,AB为半径作圆,与x轴交点即为C;
以点B为圆心,AB为半径作圆,与x轴交点即为C;
作AB的中垂线与x轴的交点即为C;
故答案为4;
17.如图,△ABC中,∠ABC=45°,AH⊥BC于点H,点D在AH上,且DH=CH,连接BD.将△BHD绕点H旋转,得到△EHF(点B,D分别与点E,F对应),连接AE.当点F落在AC上时(F不与C重合),若BC=4,tanC=3,则AE的长 .
【分析】先根据tanC=3,求出AH=3,CH=1,然后根据△EHA∽△FHC,得到,HP=3AP,AE=2AP,根据勾股定理即可得到结论.
【解答】解:如图,
在Rt△AHC中,
∵tanC=3,
∴=3,
设CH=x,
∴BH=AH=3x,
∵BC=4,
∴3x+x=4,
∴x=1,
∴AH=3,CH=1,
由旋转知,∠EHF=∠BHD=∠AHC=90°,EH=AH=3,CH=DH=FH,
∴∠EHF+∠AHF=∠AHC+∠AHF,
∴∠EHA=∠FHC,==1,
∴△EHA∽△FHC,
∴∠EAH=∠C,
∴tan∠EAH=tanC=3,
过点H作HP⊥AE,
∴HP=3AP,AE=2AP,
在Rt△AHP中,AP2+HP2=AH2,
∴AP2+(3AP)2=9,
∴AP=,
∴AE=,
故答案为:.
18.如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,取格点A、B、C并连接AB,BC.取格点D、E并连接,交AB于点F.
(Ⅰ)AB的长等于 ;
(Ⅱ)若点G在线段BC上,且满足AF+CG=FG,请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,确定点G的位置,并简要说明点G的位置是如何找到的.
【分析】(Ⅰ)利用勾股定理计算即可.
(Ⅱ)取格点M,连接AM,CM,得到正方形AMCB,取格点N,连接NM,EN,可得等腰直角三角形△EMN,∠EMN=45°,直线MN交BC于点G,点G即为所求.
【解答】解:(Ⅰ)AB==.
故答案为.
(Ⅱ)如图,取格点M,连接AM,CM,得到正方形AMCB,取格点N,连接NM,EN,可得等腰直角三角形△EMN,∠EMN=45°,直线MN交BC于点G,点G即为所求.
三.解答题(本大题共7小题,共66分,解答中写出文字说明、演算步骤或推理过程)(共7小题,满分66分)
19.(8分)(1)计算:(﹣1)2014+(sin30°)﹣1+()0﹣|3﹣|+83×(﹣0.125)3
(2)解不等式组:把解集在数轴上表示出来,并将解集中的整数解写出来.
【分析】(1)原式第一项利用乘方的意义化简,第二项利用负指数幂法则计算,第三项利用零指数幂法则计算,第四项利用绝对值的代数意义化简,最后一项利用积的乘方逆运算法则变形,计算即可得到可结果;
(2)分别求出不等式组中两不等式的解集,找出解集的公共部分即可.
【解答】解:(1)原式=1+2+1﹣3+3﹣1=6﹣3;
(2),
由①得:x<1,
由②得:x≥﹣,
∴不等式组的解集为:﹣≤x<1,
,
则不等式组的整数解为:﹣1,0.
20.(8分)某校开展读书活动,随机抽查了若干名同学,了解他们半年内阅读名著的情况,调查结果制作了如下部分图:
(1)请求出样本容量,并将条形统计图补充完整;
(2)根据以上统计图中的信息,求这些同学半年内阅读名著数量的众数、中位数、平均数(保留小数);
(3)你能估计全校2000名同学,在这个读书活动中阅读名著的总数量吗?请指出,并说明理由.
【分析】(1)读2册书的有16人,占的比例为32%,故样本容量=16÷32%=50,则读3本书的人数=总数﹣读其它本数的人数;
(2)根据众数、中位数、平均数的概念计算;
(3)用50人读的书的总数去估计全校学生的读书数.
【解答】解:(1)∵读2册书的有16人,占的比例为32%,
∴样本容量=16÷32%=50,
读3本书的人数=50﹣8﹣16﹣10﹣1=15(人),
如图:
(2)由于读2册书的人数最多,故所求的众数是2,
样本人数为50人,则中位数应为第25,26人的平均数,而读1册和2册的人共有24人,读3册书的人有15人,所以中位数是3,
平均数是(册);
(3)读书活动中阅读名著的总数量=(8+2×16+3×15+4×10+30)×(2000÷50)=6200(册).
21.(10分)如图1,四边形ABCD内接于⊙O,AC是⊙O的直径,过点A的切线与CD的延长线相交于点P.且∠APC=∠BCP
(1)求证:∠BAC=2∠ACD;
(2)过图1中的点D作DE⊥AC,垂足为E(如图2),当BC=6,AE=2时,求⊙O的半径.
【分析】(1)作DF⊥BC于F,连接DB,根据切线的性质得到∠PAC=90°,根据圆周角定理得到∠ADC=90°,得到∠DBC=∠DCB,得到DB=DC,根据线段垂直平分线的性质、圆周角定理证明即可;
(2)根据垂径定理求出FC,证明△DEC≌△CFD,根据全等三角形的性质得到DE=FC=3,根据射影定理计算即可.
【解答】(1)证明:作DF⊥BC于F,连接DB,
∵AP是⊙O的切线,
∴∠PAC=90°,即∠P+∠ACP=90°,
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ADC=90°,即∠PCA+∠DAC=90°,
∴∠P=∠DAC=∠DBC,
∵∠APC=∠BCP,
∴∠DBC=∠DCB,
∴DB=DC,
∵DF⊥BC,
∴DF是BC的垂直平分线,
∴DF经过点O,
∵OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD,
∵∠BDC=2∠ODC,
∴∠BAC=∠BDC=2∠ODC=2∠OCD;
(2)解:∵DF经过点O,DF⊥BC,
∴FC=BC=3,
在△DEC和△CFD中,
,
∴△DEC≌△CFD(AAS)
∴DE=FC=3,
∵∠ADC=90°,DE⊥AC,
∴DE2=AE•EC,
则EC==,
∴AC=2+=,
∴⊙O的半径为.
22.(10分)小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量.如图,他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60°,沿山坡向上走25m到达D处,测得古塔顶端M的仰角为30°.已知山坡坡度i=3:4,即tanθ=,请你帮助小明计算古塔的高度ME.(结果精确到0.1m,参考数据:≈1.732)
【分析】作DC⊥EP交EP的延长线于C,作DF⊥ME于F,作PH⊥DF于H,根据坡度的定义分别求出DC、CP,设MF=ym,根据正切的定义用y分别表示出DF、PE,根据题意列方程,解方程得到答案.
【解答】解:作DC⊥EP交EP的延长线于C,作DF⊥ME于F,作PH⊥DF于H,
则DC=PH=FE,DH=CP,HF=PE,
设DC=3x,
∵tanθ=,
∴CP=4x,
由勾股定理得,PD2=DC2+CP2,即252=(3x)2+(4x)2,
解得,x=5,
则DC=3x=15,CP=4x=20,
∴DH=CP=20,PH=FE=DC=15,
设MF=ym,
则ME=(y+15)m,
在Rt△MDF中,tan∠MDF=,
则DF==y,
在Rt△MPE中,tan∠MPE=,
则PE==(y+15),
∵DH=DF﹣HF,
∴y﹣(y+15)=20,
解得,y=7.5+10,
∴ME=MF+FE=7.5+10+15≈39.8,
答:古塔的高度ME约为39.8m.
23.(10分)小王是“新星厂”的一名工人,请你阅读下列信息:
信息一:工人工作时间:每天上午8:00﹣12:00,下午14:00﹣18:00,每月工作25天;
信息二:小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表:
信息三:按件计酬,每生产一件甲种产品得1.50元,每生产一件乙种产品得2.80元.
信息四:该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成,小王每月的底薪为1900元,请根据以上信息,解答下列问题:
(1)小王每生产一件甲种产品,每生产一件乙种产品分别需要多少分钟;
(2)2018年1月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于60件,则小王该月收入最多是多少元?此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件?
【分析】(1)设生产一件甲种产品需x分,生产一件乙种产品需y分,利用待定系数法求出x,y的值.
(2)设生产甲种产品用x分,则生产乙种产品用(25×8×60﹣x)分,分别求出甲乙两种生产多少件产品.
【解答】解:(1)设生产一件甲种产品需x分,生产一件乙种产品需y分.
由题意得:,
解这个方程组得:,
答:生产一件甲产品需要15分,生产一件乙产品需要20分.
(2)设生产甲种产品共用x分,则生产乙种产品用(25×8×60﹣x)分.
则生产甲种产品件,生产乙种产品件.
∴w总额=1.5×+2.8×
=0.1x+×2.8
=0.1x+1680﹣0.14x
=﹣0.04x+1680,
又≥60,得x≥900,
由一次函数的增减性,当x=900时w取得最大值,此时w=﹣0.04×900+1680=1644(元),
则小王该月收入最多是1644+1900=3544(元),
此时甲有=60(件),
乙有:=555(件),
答:小王该月最多能得3544元,此时生产甲、乙两种产品分别60,555件.
24.(10分)在△ABC中,CA=CB,∠ACB=α.点P是平面内不与点A,C重合的任意一点,连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP,连接AD,BD,CP.
(1)动手操作
如图1,当α=60°时,我们通过用刻度尺和量角器度量发现:的值是1:直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°;请证明以上结论正确
(2)类比探究
如图2,当α=90°时,请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数,并就图2的情形说明理由.
【分析】(1)如图1中,假设直线PC与直线BD交于点O,直线PC交AB于E.证明△CAP≌△BAD(SAS),利用全等三角形的性质即可解决问题.
(2)结论:=,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°.如图2中,设直线BD交CP于M,AC交BD于N.利用全等三角形的性质解决问题即可.
【解答】解:(1)∵CA=CB,∠ACB=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴CA=AB,∠CAB=60°,
由旋转的性质可知:PA=PD,∠APD=60°,
∴△APD是等边三角形,
∴AP=AD,∠PAD=∠CAB=60°,
∴∠CAP=∠BAD,
∴△CAP≌△BAD(SAS),
∴CP=BD,
∴=1.
如图1中,假设直线PC与直线BD交于点O,直线PC交AB于E.
∵△CAP≌△BAD,
∴∠ACE=∠OBE,
∵∠AEC=∠OEB,
∴∠CAE=∠EOB=60°,
∴直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°.
(2)结论:=,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°.
理由:如图2中,设直线BD交CP于M,AC交BD于N.
由题意:△PAD是等腰直角三角形,
∴∠DAP=45°,=,
∵CA=CB,∠ACB=α=90°,
∴△ACB是等腰直角三角形,
∴∠CAB=45°,=,
∴∠CAB=∠PAD,
∴∠DAB=∠PAC,
∵==,
∴△APC∽△ADB,
∴==,∠PCA=∠ABD,
∵∠ANB=∠DNC,
∴∠CMN=∠CAB=45°,即直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°.
综上所述,=,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°.
25.(10分)如图1,抛物线M1:y=﹣x2+4x交x正半轴于点A,将抛物线M1先向右平移3个单位,再向上平移3个单位得到抛物线M2,M1与M2交于点B,直线OB交M2于点C.
(1)求抛物线M2的解析式;
(2)点P是抛物线M1上AB间的一点,作PQ⊥x轴交抛物线M2于点Q,连接CP,CQ.设点P的横坐标为m,当m为何值时,使△CPQ的面积最大,并求出最大值;
(3)如图2,将直线OB向下平移,交抛物线M1于点E,F,交抛物线M2于点G,H,则的值是否为定值,证明你的结论.
【分析】(1)先将抛物线M1:y=﹣x2+4x化为顶点式,由平移规律“上加下减,左加右减”可直接写出抛物线M2的解析式;
(2)分别求出点A,点B,点C的坐标,求出m的取值范围,再用含m的代数式表示出△CPQ的面积,可用函数的思想求出其最大值;
(3)设将直线OB向下平移k个单位长度得到直线EH,分别求出点E,F,G,H的横坐标,分别过G,H作y轴的平行线,过E,F作x轴的平行线,构造相似三角形△GEM与△HFN,可通过相似三角形的性质求出的值为1.
【解答】解:(1)∵y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,
∴将其先向右平移3个单位,再向上平移3个单位的解析式为:y=﹣(x﹣5)2+7=﹣x2+10x﹣18;
(2)∵抛物线M1与M2交于点B,
∴﹣x2+4x=﹣x2+10x﹣18,
解得,x=3,
∴B(3,3),
将点B(3,3)代入y=kx,
得,k=1,
∴yOB=x,
∵抛物线M2与直线OB交于点C,
∴x=﹣x2+10x﹣18,
解得,x1=3,x2=6,
∴C(6,6),
∵点P的横坐标为m,
∴点P(m,﹣m2+4m),
则Q(m,﹣m2+10m﹣18),
∴QP=﹣m2+10m﹣18﹣(﹣m2+4m)=6m﹣18,
∴S△PQC=(6m﹣18)(6﹣m)
=﹣3m2+27m﹣54,
=﹣3(m﹣)2+,
在y=﹣m2+4m中,当y=0时,
x1=0,x2=4,
∴A(4,0),
∵B(3,3),
∴3≤m≤4,
∴在S=﹣3(m﹣)2+中,
根据二次函数的图象及性质可知,当m=4时,△PCQ有最大值,最大值为6;
(3)的值是定值1,理由如下:
设将直线OB向下平移k个单位长度得到直线EH,
则yEH=x﹣k,
∴令x﹣k=﹣x2+4x,
解得,x1=,x2=,
∴xF=,xE=,
令x﹣k=﹣x2+10x﹣18,
解得,x1=,x2=,
∴xH=,xG=,
∴ME=xG﹣xE=﹣=3,
FN=xH﹣xF=﹣=3,
分别过G,H作y轴的平行线,过E,F作x轴的平行线,交点分别为M,N,Q,
则∠HFN=∠GEM,∠HNF=∠GME=90°,
∴△GEM∽△HFN,
∴=,
∴===1,
∴的值是定值1.
生产甲产品数(件)
生产乙产品数(件)
所用时间(分钟)
10
10
350
30
20
850
生产甲产品数(件)
生产乙产品数(件)
所用时间(分钟)
10
10
350
30
20
850
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