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2021年河南省中考数学线上公益大模考诊断试卷（word版 含答案）
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这是一份2021年河南省中考数学线上公益大模考诊断试卷（word版 含答案），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．﹣的绝对值是（ ）
A．﹣B．C．﹣5D．5
2．2020年，我国国内生产总值达到101.6万亿元，数据“101.6万亿”用科学记数法表示为（ ）
A．10.16×1013B．0.1016×1015C．1.016×1012D．1.016×1014
3．将一块直角三角尺ABC按如图所示的方式放置，其中点A、C分别落在直线a、b上，若a∥b，∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．75°B．65°C．35°D．25°
4．下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．（﹣2a）3＝﹣6a3C．a3•a5＝a8D．（a﹣2）2＝a2﹣4
5．如图是由7个相同的小正方体搭成的几何体，在标号为①的小正方体上方添加一个小正方体后，所得几何体的三视图与原几何体的三视图相比没有发生变化的是（ ）
A．主视图和俯视图
B．主视图和左视图
C．左视图和俯视图
D．主视图、左视图和俯视图
6．若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1﹣y2的值为（ ）
A．负数B．0C．正数D．无法确定
7．下列说法正确的是（ ）
A．了解河南省初中生身高情况适宜全面调查
B．甲，乙两名射击运动员5次射击成绩的方差分别为s甲2＝1.2，s乙2＝2，说明甲的射击成绩比乙的射击成绩稳定
C．同旁内角互补是必然事件
D．已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次
8．关于x的一元二次方程x（x+1）﹣3＝mx的根的情况是（ ）
A．无实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．无法判断
9．如图，在▱ABCD中，AB＝2，点E为AD的中点，按以下步骤作图：①以点E为圆心，EA长为半径作弧，交AB于点F；②再分别以点A和点F为圆心，大于AF的长为半径作弧，两弧相交于点M；③作直线EM交AB于点N，连接CE．若∠ADC＝135°，DE＝2，则CE的长为（ ）
A．2B．4C．2D．
10．如图，在正方形ABCD中，顶点A，B，C，D在坐标轴上，且B（4，0），以AB为边构造菱形ABEF，将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，则第164次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A．（﹣4，4）B．（﹣4，﹣4）
C．（4，﹣4）D．（﹣4，﹣4）
二、填空题
11．若都是无理数，且，则的值分别是____________（填一组满足条件的值）.
12．关于的不等式组的解集在数轴上如图表示，则的值为______．
13．某社团中有三名男生和一名女生，该社团将随机选派两名同学作为代表参加市级比赛，恰好选中一男一女的概率是_____．
14．如图，在扇形BCD中，∠BCD＝150°，以点B为圆心，BC长为半径画弧交于点A，连接AC，若BC＝4，则图中阴影部分的面积为_____．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E、F分别为AB、CD边上的点，且EF∥BC，G为EF上一点，且GF＝2，M、N分别为GD、EC的中点，则MN＝_____．
三、解答题
16．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中a＝+2．
17．某校为了解七、八年级学生对“文明知识礼仪”的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了25名学生进行相关测试，并对成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
c．八年级D组测试成绩数据为：90，90，91，92，93，94，94；
d．七、八年级被抽取学生测试成绩的平均数、中位数如下表所示：
根据所给信息，解答下列问题：
（1）根据统计图，对比两个年级成绩在90分以上（含90分）的百分比，七年级比八年级 ；（填“大”或“小”）
（2）表中a的值为 ；
（3）小华的测试成绩为89分，他的成绩在本年级参加测试的学生中处于中上游，请判断小华是 年级的学生，并说明理由；
（4）学校决定对本次测试成绩优异的学生进行奖励，老师从七、八年级各抽取了4名同学的成绩记录如下表：
其中有两名同学的成绩被墨汁污染了，但老师说七年级和八年级被抽取的这4名同学中各有2名同学可以获得奖励，于是小明说G和H两名同学中只有一名同学可以获得奖励．请问小明的说法是否正确？并说明理由．
18．蔡明园公园位于河南省驻马店市上蔡县蔡都镇西南部，其公园南山门被誉为“亚洲第一门”，学完了三角函数知识后，某数学“综合与实践”小组的同学把“测量南山门最高点的高度”作为一项课题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．为了减小测量误差，小组在测量仰角以及两点间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如表：
（1）请帮助该小组的同学根据上表中的测量数据，求南山门最高点的高度AB．（结果精确到0.1m，参考数据：sin36°≈0.59，cs36°≈0.81，tan36°≈0.73，≈1.41）
（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表中的项目外，你认为还需要补充哪些项目？（写出一个即可）（如需作图或作辅助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答．）
19．为提升校园体育运动多样性，助力师生“阳光运动”，某校决定采购一批排球和足球，小明在某体育用品商店咨询了排球和足球的售价具体信息：购买2个排球和3个足球共需460元，购买12个排球所需费用与购买5个足球所需费用相同．
（1）求排球和足球的售价分别是多少元？
（2）若该校计划购进排球和足球共100个，其中排球的数量不超过足球的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
20．如图，抛物线y＝ax2﹣4x+c经过点A（2，﹣2），且当x＝1时，函数y有最小值．（如需作图或作辅助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答．）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点B的坐标为（﹣3，﹣4），点B关于原点的对称点为B'，点C是抛物线对称轴上一动点，若抛物线在直线BB'下方的部分与直线BC有公共点，求点C纵坐标yc的取值范围．
21．若一直线与圆相交，过交点作圆的切线，则此切线与直线的交角中的任意一个称为直线和圆的交角，其中所夹弧为劣弧的角为劣交角，所夹弧为优弧的角为优交角．直线和圆的交角有以下性质：直线和圆的交角等于所夹弧所对的圆周角．（如需作图或作辅助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答．）
（1）为了说明直线和圆的交角性质的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程（只证明劣交角即可）．
已知：如图①，直线l与⊙O相交于点A、B，过点B作 ．
求证：∠ABD＝ ．
（2）如图②，直线l与⊙O相交于点A、B，AD为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，交DA的延长线于点C，若AD＝BC，AC＝2，求⊙O的半径．
22．如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝6cm，E是线段AB上一动点，D是BC的中点，过点C作射线CG，使CG∥AB，连接ED并延长交CG于点F，连接AF．设A、E两点间的距离为xcm，E、F两点间的距离为ycm．小亮根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x变化而变化的规律进行了探究．（如需作图或作辅助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答．）下面是小亮的探究过程，请补充完整：
（1）列表：如表的已知数据是根据A、E两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：
请你通过计算补全表格；
（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出剩余的点（x，y），并画出函数y关于x的图象；
（3）根据函数图象，当E、F两点间的距离y最小时，A、E两点间的距离约为 cm；
（4）解决问题：当EF﹣AE＝2时，BE的长度大约是 cm．（结果保留1位小数）
23．如图①，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D在AB边上，过点D作DE⊥AC于点E，取BC边的中点F，连接DF并延长到点G，使FG＝DF，连接CG．（如需作图或作辅助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答．）
问题发现：
（1）填空：CE与CG的数量关系是 ，直线CE与CG所夹的锐角的度数为 ．
探究证明：
（2）将△ADE绕点A逆时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请仅就图②所示情况给出证明，若不成立，请说明理由；
问题解决：
（3）若AB＝4，AD＝3，将△ADE由图①位置绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°），当△ACE是直角三角形时，请直接写出CG的值．
平均数
中位数
七年级
87.36
87
八年级
91.36
a
七年级
八年级
学生代码
A
B
C
D
E
F
G
H
成绩
98
93
90
95
87
96
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y/cm
9.49
7.62
5.83
3.16
3.16
4.24
参考答案
1．B
【分析】
根据绝对值的定义“数a的绝对值是指数轴上表示数a的点到原点的距离”进行求解即可.
【详解】
数轴上表示数﹣的点到原点的距离是，
所以﹣的绝对值是，
故选B.
【点睛】
本题考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键．
错因分析 容易题.失分原因是绝对值和相反数的概念混淆.
2．D
【分析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【详解】
解：101.6万亿＝101600000000000＝1.016×1014．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．D
【分析】
根据平行线的性质得出∠3＝∠1，进而利用互余解答即可．
【详解】
解：如图，
∵a∥b，
∴∠3=∠1=65°，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠2=90°-∠3=90°-65°=25°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
4．C
【分析】
直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则、完全平方公式分别计算得出答案．
【详解】
解：A、a2+a3，不是同类项，无法计算，故此选项错误；
B、（﹣2a）3＝﹣8a3，故此选项错误；
C、a3•a5＝a8，故此选项正确；
D、（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查合并同类项、积的乘方运算、同底数幂的乘法运算法则、完全平方公式．熟记相关公式是解题关键．
5．A
【分析】
主视图是从正面观察得到的图形，左视图是从左面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，结合图形即可作出判断．
【详解】
解：若在正方体①的正上方放上一个同样的正方体，
则主视图与原来相同，都是3层，底层3个正方形，中间是2个正方形，上层左边是1个正方形，左齐；
俯视图与原来相同，都是两层，上层3个正方形，下层1个正方形，左齐；
左视图发生变化，原来是左视图的右边1列只有1个正方形，后来变为2个正方形．
所以主视图不变，俯视图不变．
故选：A．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从左面观察得到的图形，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
6．C
【分析】
先根据反比例函数的解析式判断出函数的图象所在的象限，再根据反比例函数的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵反比例函数y＝中，k＝m2+1＞0，
∴此函数图象的两个分支分别为与一三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵﹣2＜﹣1，
∴y1＞y2，
∴y1﹣y2＞0．
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，理解反比例函数的性质是解题关键，利用反比例函数性质比较函数值大小时要注意两个点是否在反比例函数的同一支上．
7．B
【分析】
根据全面调查的意义、方差的意义、事件的分类及概率的意义逐一进行判断即可．
【详解】
A.河南省初中学生身高情况调查采用全面调查，费时费力且不易完成，适合抽样调查，不符合题意，
B.在一定条件下，方差越小说明数据稳定，符合题意，
C.两直线平行的条件下，同旁内角互补，而缺少条件则同旁内角不一定互补，不符合题意，
D.概率是反映事件发生机会的大小，不一定是确定数据，不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查统计与调查及概率，在一定条件下，方差越小数据越稳定是解题关键．熟练掌握全面调查的意义、方差的意义、事件的分类及概率的意义是解题关键．
8．C
【分析】
将原方程变形成一般式，由根的判别式可得出△＝（1﹣m）2+12，由偶次方的非负性可得出（1﹣m）2≥0，进而可得出（1﹣m）2+12＞0，即△＞0，由此可得出原方程有两个不相等的实数根．
【详解】
解：原方程可变形为x2+（1﹣m）x﹣3＝0．
△＝（1﹣m）2﹣4×1×（﹣3）＝（1﹣m）2+12．
∵（1﹣m）2≥0，
∴（1﹣m）2+12＞0，即△＞0，
∴关于x的一元二次方程x（x+1）﹣3＝mx有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的情况，熟记一元二次方程根的判别式公式是本题的解题关键，计算时注意符号以及二次项系数不为0.
9．A
【分析】
由题意得，MN⊥AB，根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD＝2，延长CD交MN于G，根据等腰直角三角形的性质得到DG＝EG＝DE＝，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：延长CD交MN于G，
由题意得，MN⊥AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝2，
∴MN⊥CG，
∴∠CGN＝90°，
∵∠CDA＝135°，
∴∠EDG＝45°，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴DG＝EG，
由勾股定理得DG2＋EG2＝DE2，
∴DG＝EG＝DE＝，
∴CG＝CD+DG＝3，
∴CE＝．
故选：A．
【点睛】
本题考查了作图−基本作图、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，正确的识别图形是解题的关键．
10．D
【详解】
∵点B（4，0），
∴OB＝4，
∴OA＝4，
∴ABOA＝4，
∵四边形ABEF是菱形，
∴AF＝AB＝4，
∴点F（4，4），
由题意可得每8次旋转一个循环，
∴164÷8＝20…4，
∴点的坐标与点F坐标关于原点对称，
∴点的坐标（﹣4，﹣4），
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，正方形的性质，旋转的性质，循环节的规律，灵活运用特殊四边形的性质，准确找到循环节的规律是解题的关键．
11．,（答案不唯一）
【解析】
,b=.
12．3
【分析】
先解不等式组的解集，再结合数轴得出解集得出关于a的等式，进而得出答案．
【详解】
解：，
解不等式①得，
解②得，
由数轴可知，
所以，
解得a=3．
故答案为：3．
【点睛】
此题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确得出关于a的等式是解题关键．
13．
【分析】
画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出一男一女两名同学的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：根据题意画图如下：
共有12种等可能的结果数，其中是一男一女两名同学的结果数为6，
所以恰好选中一男一女两名同学的概率＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查用列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表和树状图的画法是本题解题关键.
14．4π+4
【分析】
连接AB．首先证明△ABC是等边三角形，推出S阴＝S△ABC+S扇形CAD即可解决问题．
【详解】
解：如图，过A作AE⊥BC于E，连接AB．
∵AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴AE=AC，
∴S扇形CAB＝S扇形BCA，∠ACD＝150°﹣60°＝90°，
∴S阴＝S△ABC+S扇形CAD＝×+＝4+4π，
故答案为：4π+4．
【点睛】
本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键．
15．3
【分析】
取DF的中点H，CF的中点Q，连接MH，NQ，过点M作MK⊥NQ于K，由三角形中位线定理可得NQ＝EF＝4，MH＝GF＝1，MH∥EF，NQ∥EF，HQ＝CD＝3，由勾股定理可求解．
【详解】
解：如图，取DF的中点H，CF的中点Q，连接MH，NQ，过点M作MK⊥NQ于K，
∵EF∥BC，AB∥CD，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵∠BCD＝90°，
∴四边形BCFE是矩形，
∴EF＝BC＝AD＝8，
∵M、N分别为GD、EC的中点，H是DF的中点，Q是CF的中点，
∴NQ＝EF＝4，MH＝GF＝1，MH∥EF，NQ∥EF，HQ＝CD＝3，
∴MH∥NQ，
∵KM⊥NQ，∠NQD＝90°，
∴MK∥HQ，
∴四边形MHQK是平行四边形，
∴MK＝3，KQ＝MH＝1，
∴NK＝3，
∴MN＝MK＝3，
故答案为3．
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
16．﹣，﹣
【分析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
解：（﹣1）÷
＝
＝
＝﹣，
当a＝+2时，原式＝﹣＝﹣．
【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算法则是解题的关键．
17．（1）小；（2）91；（3）七，理由见解析；（4）正确，理由见解析
【分析】
（1）计算出七年级90分及以上所占得百分比即可；
（2）计算出八年级各个组的人数，再根据中位数的意义结合c组提供的信息即可求出a的值；
（3）根据中位数的意义进行判断即可；
（4）根据中位数，获奖人数进行判断即可．
【详解】
解：（1）由题意得，七年级90分及以上所占得百分比为：（6+3）÷25×100%＝36%，
八年级90分及以上所占得百分比为28%+32%＝60%，
所以两个年级成绩在90分以上（含90分）的百分比，七年级比八年级小，
故答案为：小；
（2）八年级A组人数：25×4%＝1（人），B组人数：25×8%＝2（人），C组人数：25×28%＝7（人），D组人数：25×28%＝7（人），E组人数：25×32%＝8（人），
将这25人的成绩从小到大排列后，结合c信息可知，处在中间位置即第13个数为为91，
因此中位数是91，即a＝91，
故答案为：91；
（3）小华是七年级学生，
理由：七年级的中位数是87，八年级的中位数是91，而小华成绩为89且处在中上游，所以小华是七年级学生；
故答案为：七；
（4）小明的说法正确，理由：七年级中有2人能够获得奖励，将七年级的学生成绩从小到大排列为98，95，93，90，
则获奖的学生成绩为98，95，由题意可知八年级F同学的成绩为96，且96＞95，则F同学一定可以获奖，
因为八年级只有2人获奖，
所以G、H两位同学中只有一位可以获奖．
【点睛】
本题为统计调查综合题，考查了直方图与扇形图，中位数等知识，综合性较强，理解题意，并结合实际问题得到关于相关信息是解题关键．
18．（1）南山门最高点的高度AB约为35.1m；（2）还需要补充项目有：计算过程，人员分工，指导老师，活动感受等
【分析】
（1）设DE交AB于G．分别求出AG，BG的长可得结论．
（2）还需要补充项目有：计算过程，人员分工，指导老师，活动感受等．
【详解】
解：（1）设DE交AB于G．
由题意，CD＝BG＝1.5m，CF＝DE＝79.6m，
在Rt△ADG中，∠AGD＝90°，
∵tan∠ADG＝，
∴tan36°＝，
∴≈0.73，
在Rt△AEG中，tan∠AEG＝，
tan45°＝，
∴＝1，
∴AG＝EG，
∵DG＝DE﹣EG＝DE﹣AG，
∵tan∠ADG＝，
∴tan36°＝，
∴≈0.73，
∴AG≈33.59（m），
∴AB＝AG+BG＝33.59+1.5≈35.1（m）．
答：南山门最高点的高度AB约为35.1m．
（2）还需要补充项目有：计算过程，人员分工，指导老师，活动感受等．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用中测量物高，熟练掌握解直角三角形的基本步骤是解题的关键．
19．（1）排球的售价是50元，足球的售价是120元；（2）购买足球25个，购买排球75个时最省钱
【分析】
（1）直接利用购买2个排球和3个足球共需460元，购买12个排球所需费用与购买5个足球所需费用相同，进而列出方程组得出答案；
（2）利用排球的数量不超过足球的3倍，得出不等关系，进而得出答案．
【详解】
解：（1）设排球的售价是a元，足球的售价是b元，依据题意可得：
,
解得：．
答：排球的售价是50元，足球的售价是120元；
（2）设购买足球x个，则购买排球（100﹣x）个，依据题意可得：
100﹣x ≤ 3x，
解得：x ≥ 25，
设购买排球和足球的总共费用为w元，依据题意可得：
w＝50（100﹣x）+120x＝70x+5000，
∵w随x的增大而增大，且x为正整数，
∴当x＝25时，w取得最小值，此时100﹣25＝75（元）．
故购买足球25个，购买排球75个时最省钱．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组及不等式的应用，一次函数的性质等知识点．
20．（1）y＝2x2﹣4x﹣2；（2）﹣4≤yC＜．
【分析】
（1）根据对称轴求得a的值，然后将A的坐标代入抛物线解析式求出c的值，确定出抛物线解析式；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征确定出B′坐标，根据二次函数的最小值，确定出C纵坐标的最小值，利用待定系数法求出直线BB′解析式，令x＝1求出y的值，即可确定出yc的取值范围．
【详解】
（1）∵当x＝1时，函数y有最小值，
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
解得：a＝2，
∵抛物线y＝ax2﹣4x+c经过点A（2，﹣2），
∴-2＝2×4﹣4×2+c，
解得：c＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣4x﹣2．
（2）∵点B的坐标为（﹣3，﹣4），点B关于原点的对称点为B'，
∴B′（3，4）
∵点C在抛物线的对称轴上，当x＝1时，y＝2x2﹣4x﹣2＝﹣4，
∴当点C的纵坐标为﹣4时，直线BC∥x轴，如图，直线BC与直线BB′下方抛物线有一个公共点D；
当点C的纵坐标小于﹣4时，直线BC与直线BB′下方抛物线无公共点，
∵直线BB′经过原点，设直线BB′的解析式为y＝kx，
∵B（﹣3，﹣4）在直线BB′上，
∴﹣3k＝﹣4，
解得：k＝，
∴直线BB′的解析式为y＝x，
当x＝1时，y＝，
∵抛物线在直线BB'下方的部分与直线BC有公共点，
∴符合要求的点C的纵坐标的最大值应小于，
综上所述，﹣4≤yC＜．
【点睛】
本题考查关于原点对称的点的坐标特征及二次函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质是解题关键．
21．（1）DE切⊙O于B，∠C；（2）
【分析】
（1）如图①，连接BO并延长交⊙O于F，连接AF，根据圆周角定理得到∠BAF＝90°，余角的性质得到∠ABD＝∠F，于是得到结论；
（2）如图②，连接BD，易证△ABC∽△BDC，根据相似三角形的性质得到BC2＝CD•AC，设⊙O的半径为r，列方程即可得到结论．
【详解】
（1）已知：如图①，直线l与⊙O相交于点A、B，过点B作DE切⊙O于B，
求证：∠ABD＝∠C．
证明：如图①，连接BO并延长交⊙O于F，连接AF，
∵BF是⊙O的直径，
∴∠BAF＝90°，
∴∠ABF+∠F＝90°，
∴∠ABD+∠ABF＝90°，
∴∠ABD＝∠F，
∵∠C＝∠F，
∴∠ABD＝∠C；
故答案为：DE切⊙O于B，∠C；
（2）如图②，连接BD，
∵直线l与⊙O相交于点A、B，BC切⊙O于点B，
由（1）知，∠ABC＝∠D，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴，
∴BC2＝CD•AC，
设⊙O的半径为r，
则BC＝AD＝2r，CD＝AD+AC＝2r+2，
∴（2r）2＝2×（2r+2），
解得r1＝，r2＝（不合题意，舍去），
∴⊙O的半径为．
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了圆周角定理、切线的性质定理及相似三角形的判定与性质，解决第（2）题的关键是证明△ABC∽△BDC．
22．（1）4.24；（2）见解析；（3）4.5；（4）3.3（答案不唯一）
【分析】
（1）证明△CE′F′为等腰直角三角形，则y＝E′F′＝CE′，即可求解；
（2）根据表格数据，描点连线绘制函数图象即可；
（3）观察函数图象即可求解；
（4）在（2）的图象的基础上，画出函数y＝x+2，观察函数图象即可求解．
【详解】
解：（1）当x＝3时，点E、F的位置为E′和F′，
此时AE′＝AB，故CE′⊥AB，
则∠E′CB＝90°﹣45°＝45°，即Rt△BCE′为等腰直角三角形，
∵点D是BC的中点，则DE′⊥BC，
则∠DE′B＝45°，故∠CE′D＝45°，
∵AB∥DG，故∠GCE′＝90°，
∴△CE′F′为等腰直角三角形，
则y＝E′F′＝CE′＝AC＝6×sin45°＝3≈4.24，
故答案为：4.24；
（2）根据表格数据，描点连线绘制函数图象如下：
（3）从图象看，当E、F两点间的距离y最小时，A、E两点间的距离约为x＝4.5（cm），
故答案为：4.5；
（4）在（2）的图象的基础上，画出函数y＝x+2，
从图象看，两个函数的交点的横坐标为x≈2.7（cm），
则BE＝AB﹣x＝6﹣2.7＝3.3（cm）（答案不唯一），
故答案为：3.3（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，函数图象的实际应用；解题的关键是读懂题意，熟练运用好数形结合的思想．
23．（1）EC＝CG，30°；（2）成立．理由见解析；（3）CG的值为或5
【分析】
（1）如图①中，过点D作DT⊥BC于T．证明EC＝CT＝BD，CG＝BD，CG∥BD，可得结论．
（2）成立．理由如下：连接CD，BG，延长BD交CE的延长线于H，设BH交AC于点O．利用相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质即可解决问题．
（3）分两种情形：如图③﹣1中，当∠AEC＝90°时，如图③﹣2中，当∠EAC＝90°时，分别求解即可．
【详解】
解：（1）如图①中，过点D作DT⊥BC于T．
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝∠ECT＝∠DTC＝90°，
∴四边形ECTD是矩形，
∴DT＝EC，DT∥AC，
∴∠TDB＝∠A＝30°，
∴DT＝BD，
∵FC＝FB，∠CFG＝∠BFD，FG＝FD，
∴△CFG≌△BFD（SAS），
∴CG＝BD，∠FCG＝∠B＝60°，
∴EC＝CG，
∴∠ACG＝90°+60°＝150°，
∴直线CE与CG所夹的锐角的度数为30°，
故答案为：EC＝CG，30°．
（2）成立．理由如下：
如图②，连接CD，BG，延长BD交CE的延长线于H，设BH交AC于点O．
在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝30°，
∴cs∠BAC＝＝，cs∠EAD＝＝，∠EAC＝∠DAB，
∴＝，
∴△ACE∽△ABD，
∴＝＝，∠ACE＝∠ABD，
∵∠HOC＝∠AOB，
∴∠H＝∠OAB＝30°，
∵CF＝FB，DF＝FG，
∴四边形DCGB是平行四边形，
∴CG＝BD，CG∥BH，
∴∠1＝∠H＝30°，
∴EC＝CG，直线CE与CG所夹的锐角的度数为30°．
（3）如图③﹣1中，当∠AEC＝90°时，由题意AC＝AB＝2，AE＝AD＝，
∴EC＝，
∴CG＝EC＝，
如图③﹣2中，当∠EAC＝90°时，可得EC＝＝，
∴CG＝EC＝5．
综上所述，CG的值为或5．
【点睛】
本题考查了利用三角函数解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，综合性较强，熟练掌握各知识点，并根据题意添加适当辅助线，画出图形是解题关键．
一、单选题
1．﹣的绝对值是（ ）
A．﹣B．C．﹣5D．5
2．2020年，我国国内生产总值达到101.6万亿元，数据“101.6万亿”用科学记数法表示为（ ）
A．10.16×1013B．0.1016×1015C．1.016×1012D．1.016×1014
3．将一块直角三角尺ABC按如图所示的方式放置，其中点A、C分别落在直线a、b上，若a∥b，∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．75°B．65°C．35°D．25°
4．下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．（﹣2a）3＝﹣6a3C．a3•a5＝a8D．（a﹣2）2＝a2﹣4
5．如图是由7个相同的小正方体搭成的几何体，在标号为①的小正方体上方添加一个小正方体后，所得几何体的三视图与原几何体的三视图相比没有发生变化的是（ ）
A．主视图和俯视图
B．主视图和左视图
C．左视图和俯视图
D．主视图、左视图和俯视图
6．若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1﹣y2的值为（ ）
A．负数B．0C．正数D．无法确定
7．下列说法正确的是（ ）
A．了解河南省初中生身高情况适宜全面调查
B．甲，乙两名射击运动员5次射击成绩的方差分别为s甲2＝1.2，s乙2＝2，说明甲的射击成绩比乙的射击成绩稳定
C．同旁内角互补是必然事件
D．已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次
8．关于x的一元二次方程x（x+1）﹣3＝mx的根的情况是（ ）
A．无实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．无法判断
9．如图，在▱ABCD中，AB＝2，点E为AD的中点，按以下步骤作图：①以点E为圆心，EA长为半径作弧，交AB于点F；②再分别以点A和点F为圆心，大于AF的长为半径作弧，两弧相交于点M；③作直线EM交AB于点N，连接CE．若∠ADC＝135°，DE＝2，则CE的长为（ ）
A．2B．4C．2D．
10．如图，在正方形ABCD中，顶点A，B，C，D在坐标轴上，且B（4，0），以AB为边构造菱形ABEF，将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，则第164次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A．（﹣4，4）B．（﹣4，﹣4）
C．（4，﹣4）D．（﹣4，﹣4）
二、填空题
11．若都是无理数，且，则的值分别是____________（填一组满足条件的值）.
12．关于的不等式组的解集在数轴上如图表示，则的值为______．
13．某社团中有三名男生和一名女生，该社团将随机选派两名同学作为代表参加市级比赛，恰好选中一男一女的概率是_____．
14．如图，在扇形BCD中，∠BCD＝150°，以点B为圆心，BC长为半径画弧交于点A，连接AC，若BC＝4，则图中阴影部分的面积为_____．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E、F分别为AB、CD边上的点，且EF∥BC，G为EF上一点，且GF＝2，M、N分别为GD、EC的中点，则MN＝_____．
三、解答题
16．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中a＝+2．
17．某校为了解七、八年级学生对“文明知识礼仪”的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了25名学生进行相关测试，并对成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
c．八年级D组测试成绩数据为：90，90，91，92，93，94，94；
d．七、八年级被抽取学生测试成绩的平均数、中位数如下表所示：
根据所给信息，解答下列问题：
（1）根据统计图，对比两个年级成绩在90分以上（含90分）的百分比，七年级比八年级 ；（填“大”或“小”）
（2）表中a的值为 ；
（3）小华的测试成绩为89分，他的成绩在本年级参加测试的学生中处于中上游，请判断小华是 年级的学生，并说明理由；
（4）学校决定对本次测试成绩优异的学生进行奖励，老师从七、八年级各抽取了4名同学的成绩记录如下表：
其中有两名同学的成绩被墨汁污染了，但老师说七年级和八年级被抽取的这4名同学中各有2名同学可以获得奖励，于是小明说G和H两名同学中只有一名同学可以获得奖励．请问小明的说法是否正确？并说明理由．
18．蔡明园公园位于河南省驻马店市上蔡县蔡都镇西南部，其公园南山门被誉为“亚洲第一门”，学完了三角函数知识后，某数学“综合与实践”小组的同学把“测量南山门最高点的高度”作为一项课题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．为了减小测量误差，小组在测量仰角以及两点间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如表：
（1）请帮助该小组的同学根据上表中的测量数据，求南山门最高点的高度AB．（结果精确到0.1m，参考数据：sin36°≈0.59，cs36°≈0.81，tan36°≈0.73，≈1.41）
（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表中的项目外，你认为还需要补充哪些项目？（写出一个即可）（如需作图或作辅助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答．）
19．为提升校园体育运动多样性，助力师生“阳光运动”，某校决定采购一批排球和足球，小明在某体育用品商店咨询了排球和足球的售价具体信息：购买2个排球和3个足球共需460元，购买12个排球所需费用与购买5个足球所需费用相同．
（1）求排球和足球的售价分别是多少元？
（2）若该校计划购进排球和足球共100个，其中排球的数量不超过足球的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
20．如图，抛物线y＝ax2﹣4x+c经过点A（2，﹣2），且当x＝1时，函数y有最小值．（如需作图或作辅助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答．）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点B的坐标为（﹣3，﹣4），点B关于原点的对称点为B'，点C是抛物线对称轴上一动点，若抛物线在直线BB'下方的部分与直线BC有公共点，求点C纵坐标yc的取值范围．
21．若一直线与圆相交，过交点作圆的切线，则此切线与直线的交角中的任意一个称为直线和圆的交角，其中所夹弧为劣弧的角为劣交角，所夹弧为优弧的角为优交角．直线和圆的交角有以下性质：直线和圆的交角等于所夹弧所对的圆周角．（如需作图或作辅助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答．）
（1）为了说明直线和圆的交角性质的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程（只证明劣交角即可）．
已知：如图①，直线l与⊙O相交于点A、B，过点B作 ．
求证：∠ABD＝ ．
（2）如图②，直线l与⊙O相交于点A、B，AD为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，交DA的延长线于点C，若AD＝BC，AC＝2，求⊙O的半径．
22．如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝6cm，E是线段AB上一动点，D是BC的中点，过点C作射线CG，使CG∥AB，连接ED并延长交CG于点F，连接AF．设A、E两点间的距离为xcm，E、F两点间的距离为ycm．小亮根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x变化而变化的规律进行了探究．（如需作图或作辅助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答．）下面是小亮的探究过程，请补充完整：
（1）列表：如表的已知数据是根据A、E两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：
请你通过计算补全表格；
（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出剩余的点（x，y），并画出函数y关于x的图象；
（3）根据函数图象，当E、F两点间的距离y最小时，A、E两点间的距离约为 cm；
（4）解决问题：当EF﹣AE＝2时，BE的长度大约是 cm．（结果保留1位小数）
23．如图①，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D在AB边上，过点D作DE⊥AC于点E，取BC边的中点F，连接DF并延长到点G，使FG＝DF，连接CG．（如需作图或作辅助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答．）
问题发现：
（1）填空：CE与CG的数量关系是 ，直线CE与CG所夹的锐角的度数为 ．
探究证明：
（2）将△ADE绕点A逆时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请仅就图②所示情况给出证明，若不成立，请说明理由；
问题解决：
（3）若AB＝4，AD＝3，将△ADE由图①位置绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°），当△ACE是直角三角形时，请直接写出CG的值．
平均数
中位数
七年级
87.36
87
八年级
91.36
a
七年级
八年级
学生代码
A
B
C
D
E
F
G
H
成绩
98
93
90
95
87
96
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y/cm
9.49
7.62
5.83
3.16
3.16
4.24
参考答案
1．B
【分析】
根据绝对值的定义“数a的绝对值是指数轴上表示数a的点到原点的距离”进行求解即可.
【详解】
数轴上表示数﹣的点到原点的距离是，
所以﹣的绝对值是，
故选B.
【点睛】
本题考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键．
错因分析 容易题.失分原因是绝对值和相反数的概念混淆.
2．D
【分析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【详解】
解：101.6万亿＝101600000000000＝1.016×1014．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．D
【分析】
根据平行线的性质得出∠3＝∠1，进而利用互余解答即可．
【详解】
解：如图，
∵a∥b，
∴∠3=∠1=65°，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠2=90°-∠3=90°-65°=25°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
4．C
【分析】
直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则、完全平方公式分别计算得出答案．
【详解】
解：A、a2+a3，不是同类项，无法计算，故此选项错误；
B、（﹣2a）3＝﹣8a3，故此选项错误；
C、a3•a5＝a8，故此选项正确；
D、（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查合并同类项、积的乘方运算、同底数幂的乘法运算法则、完全平方公式．熟记相关公式是解题关键．
5．A
【分析】
主视图是从正面观察得到的图形，左视图是从左面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，结合图形即可作出判断．
【详解】
解：若在正方体①的正上方放上一个同样的正方体，
则主视图与原来相同，都是3层，底层3个正方形，中间是2个正方形，上层左边是1个正方形，左齐；
俯视图与原来相同，都是两层，上层3个正方形，下层1个正方形，左齐；
左视图发生变化，原来是左视图的右边1列只有1个正方形，后来变为2个正方形．
所以主视图不变，俯视图不变．
故选：A．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从左面观察得到的图形，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
6．C
【分析】
先根据反比例函数的解析式判断出函数的图象所在的象限，再根据反比例函数的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵反比例函数y＝中，k＝m2+1＞0，
∴此函数图象的两个分支分别为与一三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵﹣2＜﹣1，
∴y1＞y2，
∴y1﹣y2＞0．
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，理解反比例函数的性质是解题关键，利用反比例函数性质比较函数值大小时要注意两个点是否在反比例函数的同一支上．
7．B
【分析】
根据全面调查的意义、方差的意义、事件的分类及概率的意义逐一进行判断即可．
【详解】
A.河南省初中学生身高情况调查采用全面调查，费时费力且不易完成，适合抽样调查，不符合题意，
B.在一定条件下，方差越小说明数据稳定，符合题意，
C.两直线平行的条件下，同旁内角互补，而缺少条件则同旁内角不一定互补，不符合题意，
D.概率是反映事件发生机会的大小，不一定是确定数据，不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查统计与调查及概率，在一定条件下，方差越小数据越稳定是解题关键．熟练掌握全面调查的意义、方差的意义、事件的分类及概率的意义是解题关键．
8．C
【分析】
将原方程变形成一般式，由根的判别式可得出△＝（1﹣m）2+12，由偶次方的非负性可得出（1﹣m）2≥0，进而可得出（1﹣m）2+12＞0，即△＞0，由此可得出原方程有两个不相等的实数根．
【详解】
解：原方程可变形为x2+（1﹣m）x﹣3＝0．
△＝（1﹣m）2﹣4×1×（﹣3）＝（1﹣m）2+12．
∵（1﹣m）2≥0，
∴（1﹣m）2+12＞0，即△＞0，
∴关于x的一元二次方程x（x+1）﹣3＝mx有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的情况，熟记一元二次方程根的判别式公式是本题的解题关键，计算时注意符号以及二次项系数不为0.
9．A
【分析】
由题意得，MN⊥AB，根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD＝2，延长CD交MN于G，根据等腰直角三角形的性质得到DG＝EG＝DE＝，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：延长CD交MN于G，
由题意得，MN⊥AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝2，
∴MN⊥CG，
∴∠CGN＝90°，
∵∠CDA＝135°，
∴∠EDG＝45°，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴DG＝EG，
由勾股定理得DG2＋EG2＝DE2，
∴DG＝EG＝DE＝，
∴CG＝CD+DG＝3，
∴CE＝．
故选：A．
【点睛】
本题考查了作图−基本作图、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，正确的识别图形是解题的关键．
10．D
【详解】
∵点B（4，0），
∴OB＝4，
∴OA＝4，
∴ABOA＝4，
∵四边形ABEF是菱形，
∴AF＝AB＝4，
∴点F（4，4），
由题意可得每8次旋转一个循环，
∴164÷8＝20…4，
∴点的坐标与点F坐标关于原点对称，
∴点的坐标（﹣4，﹣4），
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，正方形的性质，旋转的性质，循环节的规律，灵活运用特殊四边形的性质，准确找到循环节的规律是解题的关键．
11．,（答案不唯一）
【解析】
,b=.
12．3
【分析】
先解不等式组的解集，再结合数轴得出解集得出关于a的等式，进而得出答案．
【详解】
解：，
解不等式①得，
解②得，
由数轴可知，
所以，
解得a=3．
故答案为：3．
【点睛】
此题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确得出关于a的等式是解题关键．
13．
【分析】
画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出一男一女两名同学的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：根据题意画图如下：
共有12种等可能的结果数，其中是一男一女两名同学的结果数为6，
所以恰好选中一男一女两名同学的概率＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查用列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表和树状图的画法是本题解题关键.
14．4π+4
【分析】
连接AB．首先证明△ABC是等边三角形，推出S阴＝S△ABC+S扇形CAD即可解决问题．
【详解】
解：如图，过A作AE⊥BC于E，连接AB．
∵AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴AE=AC，
∴S扇形CAB＝S扇形BCA，∠ACD＝150°﹣60°＝90°，
∴S阴＝S△ABC+S扇形CAD＝×+＝4+4π，
故答案为：4π+4．
【点睛】
本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键．
15．3
【分析】
取DF的中点H，CF的中点Q，连接MH，NQ，过点M作MK⊥NQ于K，由三角形中位线定理可得NQ＝EF＝4，MH＝GF＝1，MH∥EF，NQ∥EF，HQ＝CD＝3，由勾股定理可求解．
【详解】
解：如图，取DF的中点H，CF的中点Q，连接MH，NQ，过点M作MK⊥NQ于K，
∵EF∥BC，AB∥CD，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵∠BCD＝90°，
∴四边形BCFE是矩形，
∴EF＝BC＝AD＝8，
∵M、N分别为GD、EC的中点，H是DF的中点，Q是CF的中点，
∴NQ＝EF＝4，MH＝GF＝1，MH∥EF，NQ∥EF，HQ＝CD＝3，
∴MH∥NQ，
∵KM⊥NQ，∠NQD＝90°，
∴MK∥HQ，
∴四边形MHQK是平行四边形，
∴MK＝3，KQ＝MH＝1，
∴NK＝3，
∴MN＝MK＝3，
故答案为3．
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
16．﹣，﹣
【分析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
解：（﹣1）÷
＝
＝
＝﹣，
当a＝+2时，原式＝﹣＝﹣．
【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算法则是解题的关键．
17．（1）小；（2）91；（3）七，理由见解析；（4）正确，理由见解析
【分析】
（1）计算出七年级90分及以上所占得百分比即可；
（2）计算出八年级各个组的人数，再根据中位数的意义结合c组提供的信息即可求出a的值；
（3）根据中位数的意义进行判断即可；
（4）根据中位数，获奖人数进行判断即可．
【详解】
解：（1）由题意得，七年级90分及以上所占得百分比为：（6+3）÷25×100%＝36%，
八年级90分及以上所占得百分比为28%+32%＝60%，
所以两个年级成绩在90分以上（含90分）的百分比，七年级比八年级小，
故答案为：小；
（2）八年级A组人数：25×4%＝1（人），B组人数：25×8%＝2（人），C组人数：25×28%＝7（人），D组人数：25×28%＝7（人），E组人数：25×32%＝8（人），
将这25人的成绩从小到大排列后，结合c信息可知，处在中间位置即第13个数为为91，
因此中位数是91，即a＝91，
故答案为：91；
（3）小华是七年级学生，
理由：七年级的中位数是87，八年级的中位数是91，而小华成绩为89且处在中上游，所以小华是七年级学生；
故答案为：七；
（4）小明的说法正确，理由：七年级中有2人能够获得奖励，将七年级的学生成绩从小到大排列为98，95，93，90，
则获奖的学生成绩为98，95，由题意可知八年级F同学的成绩为96，且96＞95，则F同学一定可以获奖，
因为八年级只有2人获奖，
所以G、H两位同学中只有一位可以获奖．
【点睛】
本题为统计调查综合题，考查了直方图与扇形图，中位数等知识，综合性较强，理解题意，并结合实际问题得到关于相关信息是解题关键．
18．（1）南山门最高点的高度AB约为35.1m；（2）还需要补充项目有：计算过程，人员分工，指导老师，活动感受等
【分析】
（1）设DE交AB于G．分别求出AG，BG的长可得结论．
（2）还需要补充项目有：计算过程，人员分工，指导老师，活动感受等．
【详解】
解：（1）设DE交AB于G．
由题意，CD＝BG＝1.5m，CF＝DE＝79.6m，
在Rt△ADG中，∠AGD＝90°，
∵tan∠ADG＝，
∴tan36°＝，
∴≈0.73，
在Rt△AEG中，tan∠AEG＝，
tan45°＝，
∴＝1，
∴AG＝EG，
∵DG＝DE﹣EG＝DE﹣AG，
∵tan∠ADG＝，
∴tan36°＝，
∴≈0.73，
∴AG≈33.59（m），
∴AB＝AG+BG＝33.59+1.5≈35.1（m）．
答：南山门最高点的高度AB约为35.1m．
（2）还需要补充项目有：计算过程，人员分工，指导老师，活动感受等．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用中测量物高，熟练掌握解直角三角形的基本步骤是解题的关键．
19．（1）排球的售价是50元，足球的售价是120元；（2）购买足球25个，购买排球75个时最省钱
【分析】
（1）直接利用购买2个排球和3个足球共需460元，购买12个排球所需费用与购买5个足球所需费用相同，进而列出方程组得出答案；
（2）利用排球的数量不超过足球的3倍，得出不等关系，进而得出答案．
【详解】
解：（1）设排球的售价是a元，足球的售价是b元，依据题意可得：
,
解得：．
答：排球的售价是50元，足球的售价是120元；
（2）设购买足球x个，则购买排球（100﹣x）个，依据题意可得：
100﹣x ≤ 3x，
解得：x ≥ 25，
设购买排球和足球的总共费用为w元，依据题意可得：
w＝50（100﹣x）+120x＝70x+5000，
∵w随x的增大而增大，且x为正整数，
∴当x＝25时，w取得最小值，此时100﹣25＝75（元）．
故购买足球25个，购买排球75个时最省钱．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组及不等式的应用，一次函数的性质等知识点．
20．（1）y＝2x2﹣4x﹣2；（2）﹣4≤yC＜．
【分析】
（1）根据对称轴求得a的值，然后将A的坐标代入抛物线解析式求出c的值，确定出抛物线解析式；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征确定出B′坐标，根据二次函数的最小值，确定出C纵坐标的最小值，利用待定系数法求出直线BB′解析式，令x＝1求出y的值，即可确定出yc的取值范围．
【详解】
（1）∵当x＝1时，函数y有最小值，
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
解得：a＝2，
∵抛物线y＝ax2﹣4x+c经过点A（2，﹣2），
∴-2＝2×4﹣4×2+c，
解得：c＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣4x﹣2．
（2）∵点B的坐标为（﹣3，﹣4），点B关于原点的对称点为B'，
∴B′（3，4）
∵点C在抛物线的对称轴上，当x＝1时，y＝2x2﹣4x﹣2＝﹣4，
∴当点C的纵坐标为﹣4时，直线BC∥x轴，如图，直线BC与直线BB′下方抛物线有一个公共点D；
当点C的纵坐标小于﹣4时，直线BC与直线BB′下方抛物线无公共点，
∵直线BB′经过原点，设直线BB′的解析式为y＝kx，
∵B（﹣3，﹣4）在直线BB′上，
∴﹣3k＝﹣4，
解得：k＝，
∴直线BB′的解析式为y＝x，
当x＝1时，y＝，
∵抛物线在直线BB'下方的部分与直线BC有公共点，
∴符合要求的点C的纵坐标的最大值应小于，
综上所述，﹣4≤yC＜．
【点睛】
本题考查关于原点对称的点的坐标特征及二次函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质是解题关键．
21．（1）DE切⊙O于B，∠C；（2）
【分析】
（1）如图①，连接BO并延长交⊙O于F，连接AF，根据圆周角定理得到∠BAF＝90°，余角的性质得到∠ABD＝∠F，于是得到结论；
（2）如图②，连接BD，易证△ABC∽△BDC，根据相似三角形的性质得到BC2＝CD•AC，设⊙O的半径为r，列方程即可得到结论．
【详解】
（1）已知：如图①，直线l与⊙O相交于点A、B，过点B作DE切⊙O于B，
求证：∠ABD＝∠C．
证明：如图①，连接BO并延长交⊙O于F，连接AF，
∵BF是⊙O的直径，
∴∠BAF＝90°，
∴∠ABF+∠F＝90°，
∴∠ABD+∠ABF＝90°，
∴∠ABD＝∠F，
∵∠C＝∠F，
∴∠ABD＝∠C；
故答案为：DE切⊙O于B，∠C；
（2）如图②，连接BD，
∵直线l与⊙O相交于点A、B，BC切⊙O于点B，
由（1）知，∠ABC＝∠D，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴，
∴BC2＝CD•AC，
设⊙O的半径为r，
则BC＝AD＝2r，CD＝AD+AC＝2r+2，
∴（2r）2＝2×（2r+2），
解得r1＝，r2＝（不合题意，舍去），
∴⊙O的半径为．
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了圆周角定理、切线的性质定理及相似三角形的判定与性质，解决第（2）题的关键是证明△ABC∽△BDC．
22．（1）4.24；（2）见解析；（3）4.5；（4）3.3（答案不唯一）
【分析】
（1）证明△CE′F′为等腰直角三角形，则y＝E′F′＝CE′，即可求解；
（2）根据表格数据，描点连线绘制函数图象即可；
（3）观察函数图象即可求解；
（4）在（2）的图象的基础上，画出函数y＝x+2，观察函数图象即可求解．
【详解】
解：（1）当x＝3时，点E、F的位置为E′和F′，
此时AE′＝AB，故CE′⊥AB，
则∠E′CB＝90°﹣45°＝45°，即Rt△BCE′为等腰直角三角形，
∵点D是BC的中点，则DE′⊥BC，
则∠DE′B＝45°，故∠CE′D＝45°，
∵AB∥DG，故∠GCE′＝90°，
∴△CE′F′为等腰直角三角形，
则y＝E′F′＝CE′＝AC＝6×sin45°＝3≈4.24，
故答案为：4.24；
（2）根据表格数据，描点连线绘制函数图象如下：
（3）从图象看，当E、F两点间的距离y最小时，A、E两点间的距离约为x＝4.5（cm），
故答案为：4.5；
（4）在（2）的图象的基础上，画出函数y＝x+2，
从图象看，两个函数的交点的横坐标为x≈2.7（cm），
则BE＝AB﹣x＝6﹣2.7＝3.3（cm）（答案不唯一），
故答案为：3.3（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，函数图象的实际应用；解题的关键是读懂题意，熟练运用好数形结合的思想．
23．（1）EC＝CG，30°；（2）成立．理由见解析；（3）CG的值为或5
【分析】
（1）如图①中，过点D作DT⊥BC于T．证明EC＝CT＝BD，CG＝BD，CG∥BD，可得结论．
（2）成立．理由如下：连接CD，BG，延长BD交CE的延长线于H，设BH交AC于点O．利用相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质即可解决问题．
（3）分两种情形：如图③﹣1中，当∠AEC＝90°时，如图③﹣2中，当∠EAC＝90°时，分别求解即可．
【详解】
解：（1）如图①中，过点D作DT⊥BC于T．
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝∠ECT＝∠DTC＝90°，
∴四边形ECTD是矩形，
∴DT＝EC，DT∥AC，
∴∠TDB＝∠A＝30°，
∴DT＝BD，
∵FC＝FB，∠CFG＝∠BFD，FG＝FD，
∴△CFG≌△BFD（SAS），
∴CG＝BD，∠FCG＝∠B＝60°，
∴EC＝CG，
∴∠ACG＝90°+60°＝150°，
∴直线CE与CG所夹的锐角的度数为30°，
故答案为：EC＝CG，30°．
（2）成立．理由如下：
如图②，连接CD，BG，延长BD交CE的延长线于H，设BH交AC于点O．
在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝30°，
∴cs∠BAC＝＝，cs∠EAD＝＝，∠EAC＝∠DAB，
∴＝，
∴△ACE∽△ABD，
∴＝＝，∠ACE＝∠ABD，
∵∠HOC＝∠AOB，
∴∠H＝∠OAB＝30°，
∵CF＝FB，DF＝FG，
∴四边形DCGB是平行四边形，
∴CG＝BD，CG∥BH，
∴∠1＝∠H＝30°，
∴EC＝CG，直线CE与CG所夹的锐角的度数为30°．
（3）如图③﹣1中，当∠AEC＝90°时，由题意AC＝AB＝2，AE＝AD＝，
∴EC＝，
∴CG＝EC＝，
如图③﹣2中，当∠EAC＝90°时，可得EC＝＝，
∴CG＝EC＝5．
综上所述，CG的值为或5．
【点睛】
本题考查了利用三角函数解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，综合性较强，熟练掌握各知识点，并根据题意添加适当辅助线，画出图形是解题关键．
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