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2021年河南省中考数学模拟试卷（4）（word版 含答案）
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这是一份2021年河南省中考数学模拟试卷（4）（word版 含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年河南省中考数学模拟试卷（4）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．计算3﹣4，结果是（ ）
A．﹣1 B．﹣7 C．1 D．7
2．下列运算中，正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a B．a6÷a3＝a2
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．
3．下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（ ）
A．正方体 B．圆柱
C．圆锥 D．球
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，直线a∥b，顶点C在直线b上，交AC与点E，若∠1＝145°（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
5．在纳木错开展的第二次青藏高原综合科学考查研究中，我国自主研发的系留浮空器于5月23日凌晨达到海拔7003米的高度．这一高度也是已知的同类型同量级浮空器驻空高度的世界纪录．数据7003用科学记数法表示为（ ）
A．0.7×104 B．70.03×102 C．7.003×103 D．7.003×104
6．下列说法正确的是（ ）
A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定
C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5
D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
7．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
8．根据规定，郑州市将垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类，现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个（用不透明垃圾袋分类打包）随机投进两个不同的垃圾桶，则投放正确的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形
①分别以点O和点B为圆心，以大于OB的长为半径画弧；②作直线MN交BC于点E，交OA于点F．若点A的坐标为（4，0）（2，），则点C的坐标为（ ）
A．（1，） B．（，） C．（，） D．（，1）
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．设点P运动的路程为x，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．写出一个比大比2小的有理数 ．
12．不等式组的最小整数解是 ．
13．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8．随机摸取一个小球后不放回，则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是 ．
14．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°上，且的长为π，点D在OA上，CD，若点C，则图中阴影部分的面积为 ．
15．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，垂足为D．当△ACF是直角三角形时，BD的长为 ．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）先化简，然后从﹣2，2，5中选取一个的合适的数作为x的值代入求值．
17．（9分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，分别交DC，AB的延长线于点F，交CD于点P．
（1）求证：EF＝FP；
（2）连接AD，若AD∥FG
①CD＝8，cosF＝，则EG＝ ．
②当∠F＝ °时，四边形ACOD是菱形．
18．（9分）《国家学生体质健康标准》规定：体质测试成绩达到90.0分及以上的为优秀；达到80.0分至89.9分的为良好；达到60.0分至79.9分的为及格，从该校九年级学生中随机抽取了10%的学生进行体质测试，测试结果如下面的统计表和扇形统计图所示．
各等级学生平均分统计表
等级
优秀
良好
及格
不及格
平均分
92.1
85.0
69.2
41.3
（1）扇形统计图中“不及格”所占的百分比是 ；
（2）计算所抽取的学生的测试成绩的平均分；
（3）若所抽取的学生中所有不及格等级学生的总分恰好等于某一个良好等级学生的分数，请估计该九年级学生中约有多少人达到优秀等级．
19．（9分）2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，仰角为30°．3秒后，火箭直线上升到达点B处，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1米/秒，参考数据：≈1.732，≈1.414）．
20．（9分）某商店销售A、B两种商品，A种商品的销售单价比B种商品的销售单价少40元，2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元．
（1）求A种商品和B种商品的销售单价分别为多少元？
（2）该商店计划购进A，B两种商品共60件，且A，应如何进货才能使这两种商品全部售出后总获利最多？
21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+2mx+4﹣m2与图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）若点B的坐标为（3，0），
①求此时二次函数的解析式；
②当2≤x≤n时，函数值y的取值范围是﹣n﹣1≤y≤3，求n的值；
（2）将该二次函数图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象，这个新函数的函数值y随x的增大而增大，结合函数图象
22．（10分）以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1～3．
（1）在Rt△ABC中，，在探究三边关系时，通过画图，收集到，组数据如表：（单位：厘米）
AC
2.8
2.7
2.6
2.3
2
1.5
0.4
BC
0.4
0.8
1.2
1.6
2
2.4
2.8
AC+BC
3.2
3.5
3.8
3.9
4
3.9
3.2
（2）根据学习函数的经验，选取上表中BC和AC+BC的数据进行分析；
①设BC＝x，AC+BC＝y，以（x，y）为坐标；
②连线；
观察思考
（3）结合表中的数据以及所面的图象，猜想．当x＝ 时，y最大；
（4）进一步猜想：若Rt△ABC中中，∠C＝90°，斜边AB＝2a（a为常数，a＞0） 时，AC+BC最大．
推理证明
（5）对（4）中的猜想进行证明．
问题1．在图①中完善（2）的描点过程，并依次连线；
问题2．补全观察思考中的两个猜想：（3） ；（4） ．
问题3．证明上述（5）中的猜想：
23．（11分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC（不与点A，B重合）连接CD，在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，连接EH．
【问题发现】
（1）如图（1），当点D是AB的中点时，线段EH与AD的数量关系是 ．EH与AD的位置关系是 ．
【猜想论证】
（2）如图（2），当点D在边AB上且不是AB的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立（2）中的情况给出证明；若不成立
【拓展应用】
（3）若AC＝BC＝2，其他条件不变，连接AE、BE．当△BCE是等边三角形时
2021年河南省中考数学模拟试卷（4）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．计算3﹣4，结果是（ ）
A．﹣1 B．﹣7 C．1 D．7
【分析】有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．依此即可求解．
【解答】解：3﹣4＝﹣4．
故选：A．
2．下列运算中，正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a B．a6÷a3＝a2
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．
【分析】分别计算各选项即可．
【解答】解：A选项根据合并同类项的法则，系数相加，故该选项正确；
B选项根据同底数幂的除法，a6÷a3＝a6，故该选项错误，不符合题意；
C选项根据完全平方公式，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故该选项错误，不符合题意；
D选项与不是同类二次根式，故该选项错误．
故选：A．
3．下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（ ）
A．正方体 B．圆柱
C．圆锥 D．球
【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．
【解答】解：A．俯视图与主视图都是正方形；
B．俯视图与主视图都是长方形；
C．俯视图是圆，故选项C符合题意；
D．俯视图与主视图都是圆；
故选：C．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，直线a∥b，顶点C在直线b上，交AC与点E，若∠1＝145°（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得∠ACB＝75°，由三角形外角的性质可得∠AED的度数，由平行线的性质可得同位角相等，可得结论．
【解答】解：∵AB＝AC，且∠A＝30°，
∴∠ACB＝75°，
在△ADE中，∵∠1＝∠A+∠AED＝145°，
∴∠AED＝145°﹣30°＝115°，
∵a∥b，
∴∠AED＝∠2+∠ACB，
∴∠3＝115°﹣75°＝40°，
故选：C．
5．在纳木错开展的第二次青藏高原综合科学考查研究中，我国自主研发的系留浮空器于5月23日凌晨达到海拔7003米的高度．这一高度也是已知的同类型同量级浮空器驻空高度的世界纪录．数据7003用科学记数法表示为（ ）
A．0.7×104 B．70.03×102 C．7.003×103 D．7.003×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将7003用科学记数法表示为：7.003×103．
故选：C．
6．下列说法正确的是（ ）
A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定
C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5
D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
【分析】全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
【解答】解：A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，A错误；
B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙6＝4，说明甲的跳远成绩比乙稳定；
C．一组数据2，5，3，中位数是2.6；
D．可能性是1%的事件在一次试验中可能会发生．
故选：C．
7．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：C．
8．根据规定，郑州市将垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类，现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个（用不透明垃圾袋分类打包）随机投进两个不同的垃圾桶，则投放正确的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】设可回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾分别用A、B、C、D表示，根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：设可回收垃圾、厨余垃圾、B、C、D表示
共有12种等可能的情况数，其中投放正确的有1种，
则投放正确的概率是．
故选：C．
9．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形
①分别以点O和点B为圆心，以大于OB的长为半径画弧；②作直线MN交BC于点E，交OA于点F．若点A的坐标为（4，0）（2，），则点C的坐标为（ ）
A．（1，） B．（，） C．（，） D．（，1）
【分析】连接CE，如图，先计算出OE＝3，再利用基本作图得到MN垂直平分OB，则OE＝OF＝3，OB⊥EF，根据等腰三角形的性质得∠EOB＝∠FOB，接着利用平行四边形的性质得BC∥OA，BC＝OA＝4，从而可证明∠EOB＝∠EBO，则EB＝EO＝3，然后确定E点坐标．
【解答】解：连接CE，如图，
∵点A的坐标为（4，0），），
∴OA＝4，OE＝，
由作法得MN垂直平分OB，
∴OE＝OF＝6，OB⊥EF，
∴∠EOB＝∠FOB，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴BC∥OA，BC＝OA＝4，
∴∠AOB＝∠EBO，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴EB＝EO＝3，
∴CE＝BC﹣BE＝5﹣3＝1，
∴E点坐标为（4，）．
故选：A．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．设点P运动的路程为x，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，可得AB＝4，根据CD⊥AB于点D．可得AD＝BD＝2，CD平分角ACB，点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，分两种情况讨论：根据PE⊥AC，PF⊥BC，可得四边形CEPF是矩形和正方形，设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，进而可得能反映y与x之间函数关系式，从而可以得函数的图象．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB＝4，∠A＝45°，
∵CD⊥AB于点D，
∴AD＝BD＝3，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴四边形CEPF是矩形，
∴CE＝PF，PE＝CF，
∵点P运动的路程为x，
∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，
即0＜x＜2时，
AP＝x，
则AE＝PE＝x•sin45°＝x，
∴CE＝AC﹣AE＝2﹣x，
∵四边形CEPF的面积为y，
y＝PE•CE
＝x（2﹣
＝﹣x2+6x
＝﹣（x﹣8）2+2，
∴当4＜x＜2时，抛物线开口向下；
当点P沿D→C路径运动时，
即2≤x＜8时，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴PE＝PF，
∴四边形CEPF是正方形，
∵AD＝2，PD＝x﹣2，
∴CP＝3﹣x，
y＝（7﹣x）2＝（x﹣4）2．
∴当3≤x＜4时，抛物线开口向上，
综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A．
故选：A．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．写出一个比大比2小的有理数 1.5（答案不唯一） ．
【分析】首先估算出的大小，只需要写出一个比大比2小的有理数即可．
【解答】解：∵1＜2＜3，
∴1＜＜2，
∵2＜1.72，
∴＜8.5，
故答案为：1.6（答案不唯一）．
12．不等式组的最小整数解是 ﹣2 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＞﹣3，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤1，
∴不等式组的最小整数解是﹣4，
故答案为：﹣2．
13．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8．随机摸取一个小球后不放回，则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是 ．
【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下
1
2
8
8
1
6
4
8
6
2
8
16
4
4
8
32
2
8
16
32
由表知，共有12种等可能结果，
所以两次取出的小球上数字之积等于8的概率为＝，
故答案为：．
14．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°上，且的长为π，点D在OA上，CD，若点C，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】根据轴对称得出BD垂直平分OC，再根据直角三角形的边角关系可求出∠OBE的度数，进而求出∠BOC的度数，利用弧长公式求出半径，最后根据扇形面积和三角形面积公式求出答案即可．
【解答】解：连接OC，交BD于点E，垂足为F，
∵点C，O关于直线BD对称，
∴BD垂直平分OC，即OE＝CE，
∵OE＝CE＝OC＝，
∴∠OBE＝30°，
∴∠BOC＝90°﹣30°＝60°，
又∵的长为π，
∴＝π，
∴OB＝3，
在Rt△BOD中，OB＝3，
∴OD＝OB•tan30°＝3×＝，
在Rt△COF中，OC＝3，
∴CF＝OC＝，
∴S阴影部分＝S扇形AOC﹣S△OCD
＝﹣××
＝，
故答案为：．
15．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，垂足为D．当△ACF是直角三角形时，BD的长为 2或 ．
【分析】分两种情况讨论：（1）当∠AFC＝90°时，AF⊥BC，利用等腰三角形的三线合一性质和垂直平分线的性质可解；
（2）当∠CAF＝90°时，过点A作AM⊥BC于点M，证明△AMC∽△FAC，列比例式求出FC，从而得BF，再利用垂直平分线的性质得BD．
【解答】解：（1）当∠AFC＝90°时，AF⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BF＝BC∴BF＝6
∵DE垂直平分BF，
∵BC＝8
∴BD＝BF＝2．
（2）当∠CAF＝90°时，过点A作AM⊥BC于点M，
∵AB＝AC
∴BM＝CM
在Rt△AMC与Rt△FAC中，∠AMC＝∠FAC＝90°，
∴△AMC∽△FAC，
∴＝
∴FC＝
∵AC＝2，MC＝
∴FC＝
∴BF＝BC﹣FC＝8﹣＝
∴BD＝BF＝
故答案为：7或．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）先化简，然后从﹣2，2，5中选取一个的合适的数作为x的值代入求值．
【分析】首先化简分式时，有公因数（式）就先提取公因数（式），括号里分式的加减法，先通分，找到最小公分母是x+2，则原式可以化简为÷＝÷＝．注意整个过程中分母不能为0，即x（x﹣2）≠0，x2﹣4≠0．所以x≠±2，x≠0．将x＝5代入求解得．
【解答】解：原式＝÷
＝÷
＝．
∵x2﹣2≠0，x（x﹣2）≠3
∴x≠0，x≠±2，
∴当x＝6时，原式＝．
答：原式的值为．
17．（9分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，分别交DC，AB的延长线于点F，交CD于点P．
（1）求证：EF＝FP；
（2）连接AD，若AD∥FG
①CD＝8，cosF＝，则EG＝ ．
②当∠F＝ 30 °时，四边形ACOD是菱形．
【分析】（1）连接OE，要使EF＝FP，需要∠FEP＝∠FPE，通过切线和垂直的已知条件，利用等角的余角相等可得∠FEP＝∠FPE，结论可得．
（2）①设圆的半径为r，在Rt△ODH中，利用勾股定理可以求得半径r，通过说明∠GOE＝∠F，得到tan∠GOF＝，利用直角三角形的边角关系可求EG．
②连接OC，OD，AC，证明△AOD为等边三角形，得出AD＝OD，由菱形的判定定理可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵EF是圆的切线，
∴OE⊥EF．
∴∠OEF＝90°．
∴∠OEA+∠AEF＝90°．
∵CD⊥AB，
∴∠AHC＝90°．
∴∠OAE+∠APH＝90°．
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA．
∴∠AEF＝∠APH．
∵∠APH＝∠EPF，
∴∠EPF＝∠AEF．
∴EF＝PF．
（2）解：连接OD，设圆的半径为r，
∵直径AB⊥CD于H，CD＝8，
∴CH＝DH＝4．
∵AD∥FG，
∴∠D＝∠F．
∴cosD＝cosF＝．
∴AD＝＝5．
∴AH＝＝＝8．
∴OH＝OA﹣AH＝r＝3．
在Rt△ODH中，
∵OH2+DH8＝OD2，
∴（r﹣3）2+42＝r6．
∴OE＝r＝．
∵∠F+∠G＝90°，∠G+∠GOE＝90°，
∴∠GOE＝∠F．
∴cos∠GOE＝．
∴tan∠GOE＝．
∴EG＝OE•tan∠GOE＝．
故答案为．
②如图，∠F＝30°时．
连接OC，OD，
∵∠F＝30°，AD∥FG，
∴∠ADF＝∠F＝30°，
∵AB⊥CD，
∴∠HAD＝60°，
又∵OA＝OD，
∴△AOD为等边三角形，
∴AD＝OD，
∴AH＝OH，
又∵CH＝DH，
∴四边形ACOD为菱形．
故答案为30°．
18．（9分）《国家学生体质健康标准》规定：体质测试成绩达到90.0分及以上的为优秀；达到80.0分至89.9分的为良好；达到60.0分至79.9分的为及格，从该校九年级学生中随机抽取了10%的学生进行体质测试，测试结果如下面的统计表和扇形统计图所示．
各等级学生平均分统计表
等级
优秀
良好
及格
不及格
平均分
92.1
85.0
69.2
41.3
（1）扇形统计图中“不及格”所占的百分比是 4% ；
（2）计算所抽取的学生的测试成绩的平均分；
（3）若所抽取的学生中所有不及格等级学生的总分恰好等于某一个良好等级学生的分数，请估计该九年级学生中约有多少人达到优秀等级．
【分析】（1）根据各组的百分比之和为1，计算即可；
（2）利用加权平均数公式计算即可；
（3）设总人数为n个，列不等式组即可得到结论．
【解答】解：（1）扇形统计图中“不及格”所占的百分比是1﹣52%﹣18%﹣26%＝4%；
故答案为：5%；
（2）92.1×52%+85.0×26%+69.2×18%+41.3×4%＝84.8；
答：所抽取的学生的测试成绩的平均分为84.1分；
（3）设总人数为n个，80.0≤41.3×n×4%≤89.9 48＜n＜54.4 4%n为整数 ，
即优秀的学生有52%×50÷10%＝260 人．
19．（9分）2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，仰角为30°．3秒后，火箭直线上升到达点B处，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1米/秒，参考数据：≈1.732，≈1.414）．
【分析】设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可得AB＝3x，在Rt△ADO中，∠ADO＝30°，AD＝4000，可得AO＝2000，DO＝2000，在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，可得BO＝OC，即可得2000+3x＝2000﹣460，进而解得x的值．
【解答】解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知：
AB＝3x，
在Rt△ADO中，∠ADO＝30°，
∴AO＝2000，
∴DO＝2000，
∵CD＝460，
∴OC＝OD﹣CD＝2000﹣460，
在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，
∴BO＝OC，
∵OB＝OA+AB＝2000+3x，
∴2000+3x＝2000﹣460，
解得x≈335（米/秒）．
答：火箭从A到B处的平均速度为335米/秒．
20．（9分）某商店销售A、B两种商品，A种商品的销售单价比B种商品的销售单价少40元，2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元．
（1）求A种商品和B种商品的销售单价分别为多少元？
（2）该商店计划购进A，B两种商品共60件，且A，应如何进货才能使这两种商品全部售出后总获利最多？
【分析】（1）设A种商品的销售单价是x元，B种商品的销售单价是y元，根据A种商品的销售单价比B种商品的销售单价少40元，2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元列方程组，解出即可解答；
（2）根据不等量关系：A种商品总进价+B种商品总进价≤7800，列不等式，解出即可解答．
【解答】解：（1）设A种商品的销售单价是x元，B种商品的销售单价是y元
根据题意得：，
解得：，
答：A种商品的销售单价是140元，B种商品的销售单价是180元；
（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（60﹣a）件，
根据题意得：110a+140（60﹣a）≤7800，
解得：a≥20，
w＝（140﹣110）a+（180﹣140）（60﹣a）＝﹣10a+2400，
∵﹣10＜7，
∴w随a的增大而减小，
∴当a＝20时，w有最大值；
答：商店购进A种商品20件，购进B种商品40件时．
21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+2mx+4﹣m2与图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）若点B的坐标为（3，0），
①求此时二次函数的解析式；
②当2≤x≤n时，函数值y的取值范围是﹣n﹣1≤y≤3，求n的值；
（2）将该二次函数图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象，这个新函数的函数值y随x的增大而增大，结合函数图象
【分析】（1）①先根据二次函数为y＝﹣x2+2mx+4﹣m2＝﹣（x﹣m）2+4，得到对称轴为x＝m，把x＝3代入解析式求得m＝1或m＝5，根据题意点B在对称轴右侧，即m＜3，则m＝1，即可求得抛物线的解析式；②根据开口方向和对称轴顶点当x＝2时，函数取得最大值3，当x＝m时，函数取得最小值﹣n2+2n+3＝﹣n﹣1，在n＞2范围内，解得n＝4；
（2）令y＝0，得﹣（x﹣m）2+4＝0，解得x1＝m﹣2，与x2＝m+2，根据题意得到①﹣1≤m﹣2，②m≤﹣2且﹣1≤m+2，即可求得m的取值范围是﹣3≤m≤﹣2或m≥1．
【解答】解：（1）①∵二次函数为y＝﹣x2+2mx+7﹣m2＝﹣（x﹣m）2+5，对称轴为x＝m，
令x＝3，则﹣（m﹣3）2+4＝0，解得：m＝3或m＝5，
∵B（3，8）为该二次函数图象与x轴靠右侧的交点，
∴点B在对称轴右侧，
∴m＜3，故m＝1，
∴二次函数解析式为y＝﹣x4+2x+3．（或y＝﹣（x﹣5）2+4）；
②由于二次函数开口向下，且对称轴为x＝6，
∴2≤x≤n时，函数值y随x的增大面减小，
∴当x＝2时，函数取得最大值2，函数取得最小值﹣n2+2n+8＝﹣n﹣1，
∴在n＞2范围内，解得n＝2；
（2）令y＝0，得﹣（x﹣m）2+6＝0，解得x1＝m﹣4，与x2＝m+2，
将函数图象在x轴上方的部分向下翻折后，新的函数图象增减性情况为：
当x≤m﹣6时，y随x的增大而增大，
当m﹣2＜x≤m时，y随x的增大间减小
当m＜x≤m+2时，y随x的增大而增大，
当x＞m+8时，y随x的增大直减小
因此，若当﹣2≤x≤﹣1时，结合图象有：
①﹣3≤m﹣2，即m≥1时符合题意，
②m≤﹣5且﹣1≤m+2，即﹣5≤m≤﹣2时符合题意，
综上，m的取值范围是﹣3≤m≤﹣6或m≥1．
22．（10分）以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1～3．
（1）在Rt△ABC中，，在探究三边关系时，通过画图，收集到，组数据如表：（单位：厘米）
AC
2.8
2.7
2.6
2.3
2
1.5
0.4
BC
0.4
0.8
1.2
1.6
2
2.4
2.8
AC+BC
3.2
3.5
3.8
3.9
4
3.9
3.2
（2）根据学习函数的经验，选取上表中BC和AC+BC的数据进行分析；
①设BC＝x，AC+BC＝y，以（x，y）为坐标；
②连线；
观察思考
（3）结合表中的数据以及所面的图象，猜想．当x＝ 2 时，y最大；
（4）进一步猜想：若Rt△ABC中中，∠C＝90°，斜边AB＝2a（a为常数，a＞0） a 时，AC+BC最大．
推理证明
（5）对（4）中的猜想进行证明．
问题1．在图①中完善（2）的描点过程，并依次连线；
问题2．补全观察思考中的两个猜想：（3） 2 ；（4） a ．
问题3．证明上述（5）中的猜想：
【分析】问题1：利用描点法解决问题即可；
问题2：利用图象法解决问题即可；
问题3：设BC＝x，AC+BC＝y，根据一元二次方程，利用根的判别式解决问题即可．
【解答】解：问题1：函数图象如图所示：
问题2：（3）观察图象可知，x＝3时．
（4）猜想：BC＝a．
故答案为：2，BC＝a．
问题3：设BC＝x，AC+BC＝y，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AC＝＝，
∴y＝x+，
∴y﹣x＝，
∴y2﹣2xy+x5＝4a2﹣x6，
∴2x2﹣6xy+y2﹣4a8＝0，
∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴△＝4y5﹣4×2×（y4﹣4a2）≥7，
∴y2≤8a7，
∵y＞0，a＞0，
∴y≤8a，
当y＝2a时2﹣4ax+4a2＝8，
∴（x﹣2a）7＝0，
∴x1＝x3＝a，
∴当BC＝a时．
23．（11分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC（不与点A，B重合）连接CD，在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，连接EH．
【问题发现】
（1）如图（1），当点D是AB的中点时，线段EH与AD的数量关系是 EH＝AD， ．EH与AD的位置关系是 EH⊥AB ．
【猜想论证】
（2）如图（2），当点D在边AB上且不是AB的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立（2）中的情况给出证明；若不成立
【拓展应用】
（3）若AC＝BC＝2，其他条件不变，连接AE、BE．当△BCE是等边三角形时
【分析】（1）利用等腰直角三角形的判定和性质解决问题即可．
（2）结论仍然成立：如图2中，延长DE到F，使得EF＝DE，连接CF，BF．证明△ACD≌△BCF（SAS），再利用三角形的中位线定理即可解决问题．
（3）分两种情形：如图3﹣1中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H．如图3﹣2中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H．分别求出AD，EH即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB，
∴∠A＝∠B＝45°，∠DCB＝∠ACD＝45°，
∵∠DCE＝45°，
∴点E在线段CB上，
∵DE⊥BC，
∴∠EDB＝∠B＝45°，
∵DH＝HB，
∴EH⊥DB，EH＝AD，
故答案为EH＝AD．
（2）结论仍然成立：
理由：如图2中，延长DE到F，连接CF．
∵DE＝EF．CE⊥DF，
∴CD＝CF，
∴∠CDF＝∠CFD＝45°，
∴∠ECF＝∠ECD＝45°，
∴∠ACB＝∠DCF＝90°，
∴∠ACD＝∠BCF，
∵CA＝CB，
∴△ACD≌△BCF（SAS），
∴AD＝BF，∠A＝∠CBF＝45°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABF＝90°，
∴BF⊥AB，
∵DE＝EF，DH＝HB，
∴EH＝BF，
∴EH⊥AD，EH＝．
（3）如图3﹣1中，当△BCE是等边三角形时．
∵∠ACB＝90°，∠ECB＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AC＝CB＝CE＝EB＝DE＝2，
∴∠CAE＝∠CEA＝75°，
∵∠CAB＝45°，
∴∠EAH＝30°，
∵∠DEC＝90°，∠CEB＝60°，
∴∠DEB＝150°，
∴∠EDB＝∠EBD＝15°，
∵∠EAH＝∠ADE+∠AED，
∴∠ADE＝∠AED＝15°，
∴AD＝AE，设EH＝x，AH＝x，
∵EH7+DH2＝DE2，
∴x4+（2x+x）4＝8，
∴x＝﹣5，
∴AD＝2﹣8，
∴S△ADE＝•AD•EH＝﹣6）•（．
如图8﹣2中，当△BCE是等边三角形时．
同法可求：EH＝+8+2，
∴S△ADE＝•AD•EH＝）（，
综上所述，满足条件的△ADE的面积为4﹣7．
2021年河南省中考数学模拟试卷（4）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．计算3﹣4，结果是（ ）
A．﹣1 B．﹣7 C．1 D．7
2．下列运算中，正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a B．a6÷a3＝a2
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．
3．下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（ ）
A．正方体 B．圆柱
C．圆锥 D．球
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，直线a∥b，顶点C在直线b上，交AC与点E，若∠1＝145°（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
5．在纳木错开展的第二次青藏高原综合科学考查研究中，我国自主研发的系留浮空器于5月23日凌晨达到海拔7003米的高度．这一高度也是已知的同类型同量级浮空器驻空高度的世界纪录．数据7003用科学记数法表示为（ ）
A．0.7×104 B．70.03×102 C．7.003×103 D．7.003×104
6．下列说法正确的是（ ）
A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定
C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5
D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
7．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
8．根据规定，郑州市将垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类，现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个（用不透明垃圾袋分类打包）随机投进两个不同的垃圾桶，则投放正确的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形
①分别以点O和点B为圆心，以大于OB的长为半径画弧；②作直线MN交BC于点E，交OA于点F．若点A的坐标为（4，0）（2，），则点C的坐标为（ ）
A．（1，） B．（，） C．（，） D．（，1）
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．设点P运动的路程为x，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．写出一个比大比2小的有理数 ．
12．不等式组的最小整数解是 ．
13．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8．随机摸取一个小球后不放回，则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是 ．
14．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°上，且的长为π，点D在OA上，CD，若点C，则图中阴影部分的面积为 ．
15．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，垂足为D．当△ACF是直角三角形时，BD的长为 ．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）先化简，然后从﹣2，2，5中选取一个的合适的数作为x的值代入求值．
17．（9分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，分别交DC，AB的延长线于点F，交CD于点P．
（1）求证：EF＝FP；
（2）连接AD，若AD∥FG
①CD＝8，cosF＝，则EG＝ ．
②当∠F＝ °时，四边形ACOD是菱形．
18．（9分）《国家学生体质健康标准》规定：体质测试成绩达到90.0分及以上的为优秀；达到80.0分至89.9分的为良好；达到60.0分至79.9分的为及格，从该校九年级学生中随机抽取了10%的学生进行体质测试，测试结果如下面的统计表和扇形统计图所示．
各等级学生平均分统计表
等级
优秀
良好
及格
不及格
平均分
92.1
85.0
69.2
41.3
（1）扇形统计图中“不及格”所占的百分比是 ；
（2）计算所抽取的学生的测试成绩的平均分；
（3）若所抽取的学生中所有不及格等级学生的总分恰好等于某一个良好等级学生的分数，请估计该九年级学生中约有多少人达到优秀等级．
19．（9分）2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，仰角为30°．3秒后，火箭直线上升到达点B处，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1米/秒，参考数据：≈1.732，≈1.414）．
20．（9分）某商店销售A、B两种商品，A种商品的销售单价比B种商品的销售单价少40元，2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元．
（1）求A种商品和B种商品的销售单价分别为多少元？
（2）该商店计划购进A，B两种商品共60件，且A，应如何进货才能使这两种商品全部售出后总获利最多？
21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+2mx+4﹣m2与图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）若点B的坐标为（3，0），
①求此时二次函数的解析式；
②当2≤x≤n时，函数值y的取值范围是﹣n﹣1≤y≤3，求n的值；
（2）将该二次函数图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象，这个新函数的函数值y随x的增大而增大，结合函数图象
22．（10分）以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1～3．
（1）在Rt△ABC中，，在探究三边关系时，通过画图，收集到，组数据如表：（单位：厘米）
AC
2.8
2.7
2.6
2.3
2
1.5
0.4
BC
0.4
0.8
1.2
1.6
2
2.4
2.8
AC+BC
3.2
3.5
3.8
3.9
4
3.9
3.2
（2）根据学习函数的经验，选取上表中BC和AC+BC的数据进行分析；
①设BC＝x，AC+BC＝y，以（x，y）为坐标；
②连线；
观察思考
（3）结合表中的数据以及所面的图象，猜想．当x＝ 时，y最大；
（4）进一步猜想：若Rt△ABC中中，∠C＝90°，斜边AB＝2a（a为常数，a＞0） 时，AC+BC最大．
推理证明
（5）对（4）中的猜想进行证明．
问题1．在图①中完善（2）的描点过程，并依次连线；
问题2．补全观察思考中的两个猜想：（3） ；（4） ．
问题3．证明上述（5）中的猜想：
23．（11分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC（不与点A，B重合）连接CD，在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，连接EH．
【问题发现】
（1）如图（1），当点D是AB的中点时，线段EH与AD的数量关系是 ．EH与AD的位置关系是 ．
【猜想论证】
（2）如图（2），当点D在边AB上且不是AB的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立（2）中的情况给出证明；若不成立
【拓展应用】
（3）若AC＝BC＝2，其他条件不变，连接AE、BE．当△BCE是等边三角形时
2021年河南省中考数学模拟试卷（4）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．计算3﹣4，结果是（ ）
A．﹣1 B．﹣7 C．1 D．7
【分析】有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．依此即可求解．
【解答】解：3﹣4＝﹣4．
故选：A．
2．下列运算中，正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a B．a6÷a3＝a2
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．
【分析】分别计算各选项即可．
【解答】解：A选项根据合并同类项的法则，系数相加，故该选项正确；
B选项根据同底数幂的除法，a6÷a3＝a6，故该选项错误，不符合题意；
C选项根据完全平方公式，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故该选项错误，不符合题意；
D选项与不是同类二次根式，故该选项错误．
故选：A．
3．下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（ ）
A．正方体 B．圆柱
C．圆锥 D．球
【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．
【解答】解：A．俯视图与主视图都是正方形；
B．俯视图与主视图都是长方形；
C．俯视图是圆，故选项C符合题意；
D．俯视图与主视图都是圆；
故选：C．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，直线a∥b，顶点C在直线b上，交AC与点E，若∠1＝145°（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得∠ACB＝75°，由三角形外角的性质可得∠AED的度数，由平行线的性质可得同位角相等，可得结论．
【解答】解：∵AB＝AC，且∠A＝30°，
∴∠ACB＝75°，
在△ADE中，∵∠1＝∠A+∠AED＝145°，
∴∠AED＝145°﹣30°＝115°，
∵a∥b，
∴∠AED＝∠2+∠ACB，
∴∠3＝115°﹣75°＝40°，
故选：C．
5．在纳木错开展的第二次青藏高原综合科学考查研究中，我国自主研发的系留浮空器于5月23日凌晨达到海拔7003米的高度．这一高度也是已知的同类型同量级浮空器驻空高度的世界纪录．数据7003用科学记数法表示为（ ）
A．0.7×104 B．70.03×102 C．7.003×103 D．7.003×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将7003用科学记数法表示为：7.003×103．
故选：C．
6．下列说法正确的是（ ）
A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定
C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5
D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
【分析】全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
【解答】解：A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，A错误；
B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙6＝4，说明甲的跳远成绩比乙稳定；
C．一组数据2，5，3，中位数是2.6；
D．可能性是1%的事件在一次试验中可能会发生．
故选：C．
7．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：C．
8．根据规定，郑州市将垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类，现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个（用不透明垃圾袋分类打包）随机投进两个不同的垃圾桶，则投放正确的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】设可回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾分别用A、B、C、D表示，根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：设可回收垃圾、厨余垃圾、B、C、D表示
共有12种等可能的情况数，其中投放正确的有1种，
则投放正确的概率是．
故选：C．
9．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形
①分别以点O和点B为圆心，以大于OB的长为半径画弧；②作直线MN交BC于点E，交OA于点F．若点A的坐标为（4，0）（2，），则点C的坐标为（ ）
A．（1，） B．（，） C．（，） D．（，1）
【分析】连接CE，如图，先计算出OE＝3，再利用基本作图得到MN垂直平分OB，则OE＝OF＝3，OB⊥EF，根据等腰三角形的性质得∠EOB＝∠FOB，接着利用平行四边形的性质得BC∥OA，BC＝OA＝4，从而可证明∠EOB＝∠EBO，则EB＝EO＝3，然后确定E点坐标．
【解答】解：连接CE，如图，
∵点A的坐标为（4，0），），
∴OA＝4，OE＝，
由作法得MN垂直平分OB，
∴OE＝OF＝6，OB⊥EF，
∴∠EOB＝∠FOB，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴BC∥OA，BC＝OA＝4，
∴∠AOB＝∠EBO，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴EB＝EO＝3，
∴CE＝BC﹣BE＝5﹣3＝1，
∴E点坐标为（4，）．
故选：A．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．设点P运动的路程为x，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，可得AB＝4，根据CD⊥AB于点D．可得AD＝BD＝2，CD平分角ACB，点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，分两种情况讨论：根据PE⊥AC，PF⊥BC，可得四边形CEPF是矩形和正方形，设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，进而可得能反映y与x之间函数关系式，从而可以得函数的图象．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB＝4，∠A＝45°，
∵CD⊥AB于点D，
∴AD＝BD＝3，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴四边形CEPF是矩形，
∴CE＝PF，PE＝CF，
∵点P运动的路程为x，
∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，
即0＜x＜2时，
AP＝x，
则AE＝PE＝x•sin45°＝x，
∴CE＝AC﹣AE＝2﹣x，
∵四边形CEPF的面积为y，
y＝PE•CE
＝x（2﹣
＝﹣x2+6x
＝﹣（x﹣8）2+2，
∴当4＜x＜2时，抛物线开口向下；
当点P沿D→C路径运动时，
即2≤x＜8时，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴PE＝PF，
∴四边形CEPF是正方形，
∵AD＝2，PD＝x﹣2，
∴CP＝3﹣x，
y＝（7﹣x）2＝（x﹣4）2．
∴当3≤x＜4时，抛物线开口向上，
综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A．
故选：A．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．写出一个比大比2小的有理数 1.5（答案不唯一） ．
【分析】首先估算出的大小，只需要写出一个比大比2小的有理数即可．
【解答】解：∵1＜2＜3，
∴1＜＜2，
∵2＜1.72，
∴＜8.5，
故答案为：1.6（答案不唯一）．
12．不等式组的最小整数解是 ﹣2 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＞﹣3，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤1，
∴不等式组的最小整数解是﹣4，
故答案为：﹣2．
13．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8．随机摸取一个小球后不放回，则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是 ．
【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下
1
2
8
8
1
6
4
8
6
2
8
16
4
4
8
32
2
8
16
32
由表知，共有12种等可能结果，
所以两次取出的小球上数字之积等于8的概率为＝，
故答案为：．
14．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°上，且的长为π，点D在OA上，CD，若点C，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】根据轴对称得出BD垂直平分OC，再根据直角三角形的边角关系可求出∠OBE的度数，进而求出∠BOC的度数，利用弧长公式求出半径，最后根据扇形面积和三角形面积公式求出答案即可．
【解答】解：连接OC，交BD于点E，垂足为F，
∵点C，O关于直线BD对称，
∴BD垂直平分OC，即OE＝CE，
∵OE＝CE＝OC＝，
∴∠OBE＝30°，
∴∠BOC＝90°﹣30°＝60°，
又∵的长为π，
∴＝π，
∴OB＝3，
在Rt△BOD中，OB＝3，
∴OD＝OB•tan30°＝3×＝，
在Rt△COF中，OC＝3，
∴CF＝OC＝，
∴S阴影部分＝S扇形AOC﹣S△OCD
＝﹣××
＝，
故答案为：．
15．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，垂足为D．当△ACF是直角三角形时，BD的长为 2或 ．
【分析】分两种情况讨论：（1）当∠AFC＝90°时，AF⊥BC，利用等腰三角形的三线合一性质和垂直平分线的性质可解；
（2）当∠CAF＝90°时，过点A作AM⊥BC于点M，证明△AMC∽△FAC，列比例式求出FC，从而得BF，再利用垂直平分线的性质得BD．
【解答】解：（1）当∠AFC＝90°时，AF⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BF＝BC∴BF＝6
∵DE垂直平分BF，
∵BC＝8
∴BD＝BF＝2．
（2）当∠CAF＝90°时，过点A作AM⊥BC于点M，
∵AB＝AC
∴BM＝CM
在Rt△AMC与Rt△FAC中，∠AMC＝∠FAC＝90°，
∴△AMC∽△FAC，
∴＝
∴FC＝
∵AC＝2，MC＝
∴FC＝
∴BF＝BC﹣FC＝8﹣＝
∴BD＝BF＝
故答案为：7或．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）先化简，然后从﹣2，2，5中选取一个的合适的数作为x的值代入求值．
【分析】首先化简分式时，有公因数（式）就先提取公因数（式），括号里分式的加减法，先通分，找到最小公分母是x+2，则原式可以化简为÷＝÷＝．注意整个过程中分母不能为0，即x（x﹣2）≠0，x2﹣4≠0．所以x≠±2，x≠0．将x＝5代入求解得．
【解答】解：原式＝÷
＝÷
＝．
∵x2﹣2≠0，x（x﹣2）≠3
∴x≠0，x≠±2，
∴当x＝6时，原式＝．
答：原式的值为．
17．（9分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，分别交DC，AB的延长线于点F，交CD于点P．
（1）求证：EF＝FP；
（2）连接AD，若AD∥FG
①CD＝8，cosF＝，则EG＝ ．
②当∠F＝ 30 °时，四边形ACOD是菱形．
【分析】（1）连接OE，要使EF＝FP，需要∠FEP＝∠FPE，通过切线和垂直的已知条件，利用等角的余角相等可得∠FEP＝∠FPE，结论可得．
（2）①设圆的半径为r，在Rt△ODH中，利用勾股定理可以求得半径r，通过说明∠GOE＝∠F，得到tan∠GOF＝，利用直角三角形的边角关系可求EG．
②连接OC，OD，AC，证明△AOD为等边三角形，得出AD＝OD，由菱形的判定定理可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵EF是圆的切线，
∴OE⊥EF．
∴∠OEF＝90°．
∴∠OEA+∠AEF＝90°．
∵CD⊥AB，
∴∠AHC＝90°．
∴∠OAE+∠APH＝90°．
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA．
∴∠AEF＝∠APH．
∵∠APH＝∠EPF，
∴∠EPF＝∠AEF．
∴EF＝PF．
（2）解：连接OD，设圆的半径为r，
∵直径AB⊥CD于H，CD＝8，
∴CH＝DH＝4．
∵AD∥FG，
∴∠D＝∠F．
∴cosD＝cosF＝．
∴AD＝＝5．
∴AH＝＝＝8．
∴OH＝OA﹣AH＝r＝3．
在Rt△ODH中，
∵OH2+DH8＝OD2，
∴（r﹣3）2+42＝r6．
∴OE＝r＝．
∵∠F+∠G＝90°，∠G+∠GOE＝90°，
∴∠GOE＝∠F．
∴cos∠GOE＝．
∴tan∠GOE＝．
∴EG＝OE•tan∠GOE＝．
故答案为．
②如图，∠F＝30°时．
连接OC，OD，
∵∠F＝30°，AD∥FG，
∴∠ADF＝∠F＝30°，
∵AB⊥CD，
∴∠HAD＝60°，
又∵OA＝OD，
∴△AOD为等边三角形，
∴AD＝OD，
∴AH＝OH，
又∵CH＝DH，
∴四边形ACOD为菱形．
故答案为30°．
18．（9分）《国家学生体质健康标准》规定：体质测试成绩达到90.0分及以上的为优秀；达到80.0分至89.9分的为良好；达到60.0分至79.9分的为及格，从该校九年级学生中随机抽取了10%的学生进行体质测试，测试结果如下面的统计表和扇形统计图所示．
各等级学生平均分统计表
等级
优秀
良好
及格
不及格
平均分
92.1
85.0
69.2
41.3
（1）扇形统计图中“不及格”所占的百分比是 4% ；
（2）计算所抽取的学生的测试成绩的平均分；
（3）若所抽取的学生中所有不及格等级学生的总分恰好等于某一个良好等级学生的分数，请估计该九年级学生中约有多少人达到优秀等级．
【分析】（1）根据各组的百分比之和为1，计算即可；
（2）利用加权平均数公式计算即可；
（3）设总人数为n个，列不等式组即可得到结论．
【解答】解：（1）扇形统计图中“不及格”所占的百分比是1﹣52%﹣18%﹣26%＝4%；
故答案为：5%；
（2）92.1×52%+85.0×26%+69.2×18%+41.3×4%＝84.8；
答：所抽取的学生的测试成绩的平均分为84.1分；
（3）设总人数为n个，80.0≤41.3×n×4%≤89.9 48＜n＜54.4 4%n为整数 ，
即优秀的学生有52%×50÷10%＝260 人．
19．（9分）2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，仰角为30°．3秒后，火箭直线上升到达点B处，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1米/秒，参考数据：≈1.732，≈1.414）．
【分析】设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可得AB＝3x，在Rt△ADO中，∠ADO＝30°，AD＝4000，可得AO＝2000，DO＝2000，在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，可得BO＝OC，即可得2000+3x＝2000﹣460，进而解得x的值．
【解答】解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知：
AB＝3x，
在Rt△ADO中，∠ADO＝30°，
∴AO＝2000，
∴DO＝2000，
∵CD＝460，
∴OC＝OD﹣CD＝2000﹣460，
在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，
∴BO＝OC，
∵OB＝OA+AB＝2000+3x，
∴2000+3x＝2000﹣460，
解得x≈335（米/秒）．
答：火箭从A到B处的平均速度为335米/秒．
20．（9分）某商店销售A、B两种商品，A种商品的销售单价比B种商品的销售单价少40元，2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元．
（1）求A种商品和B种商品的销售单价分别为多少元？
（2）该商店计划购进A，B两种商品共60件，且A，应如何进货才能使这两种商品全部售出后总获利最多？
【分析】（1）设A种商品的销售单价是x元，B种商品的销售单价是y元，根据A种商品的销售单价比B种商品的销售单价少40元，2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元列方程组，解出即可解答；
（2）根据不等量关系：A种商品总进价+B种商品总进价≤7800，列不等式，解出即可解答．
【解答】解：（1）设A种商品的销售单价是x元，B种商品的销售单价是y元
根据题意得：，
解得：，
答：A种商品的销售单价是140元，B种商品的销售单价是180元；
（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（60﹣a）件，
根据题意得：110a+140（60﹣a）≤7800，
解得：a≥20，
w＝（140﹣110）a+（180﹣140）（60﹣a）＝﹣10a+2400，
∵﹣10＜7，
∴w随a的增大而减小，
∴当a＝20时，w有最大值；
答：商店购进A种商品20件，购进B种商品40件时．
21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+2mx+4﹣m2与图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）若点B的坐标为（3，0），
①求此时二次函数的解析式；
②当2≤x≤n时，函数值y的取值范围是﹣n﹣1≤y≤3，求n的值；
（2）将该二次函数图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象，这个新函数的函数值y随x的增大而增大，结合函数图象
【分析】（1）①先根据二次函数为y＝﹣x2+2mx+4﹣m2＝﹣（x﹣m）2+4，得到对称轴为x＝m，把x＝3代入解析式求得m＝1或m＝5，根据题意点B在对称轴右侧，即m＜3，则m＝1，即可求得抛物线的解析式；②根据开口方向和对称轴顶点当x＝2时，函数取得最大值3，当x＝m时，函数取得最小值﹣n2+2n+3＝﹣n﹣1，在n＞2范围内，解得n＝4；
（2）令y＝0，得﹣（x﹣m）2+4＝0，解得x1＝m﹣2，与x2＝m+2，根据题意得到①﹣1≤m﹣2，②m≤﹣2且﹣1≤m+2，即可求得m的取值范围是﹣3≤m≤﹣2或m≥1．
【解答】解：（1）①∵二次函数为y＝﹣x2+2mx+7﹣m2＝﹣（x﹣m）2+5，对称轴为x＝m，
令x＝3，则﹣（m﹣3）2+4＝0，解得：m＝3或m＝5，
∵B（3，8）为该二次函数图象与x轴靠右侧的交点，
∴点B在对称轴右侧，
∴m＜3，故m＝1，
∴二次函数解析式为y＝﹣x4+2x+3．（或y＝﹣（x﹣5）2+4）；
②由于二次函数开口向下，且对称轴为x＝6，
∴2≤x≤n时，函数值y随x的增大面减小，
∴当x＝2时，函数取得最大值2，函数取得最小值﹣n2+2n+8＝﹣n﹣1，
∴在n＞2范围内，解得n＝2；
（2）令y＝0，得﹣（x﹣m）2+6＝0，解得x1＝m﹣4，与x2＝m+2，
将函数图象在x轴上方的部分向下翻折后，新的函数图象增减性情况为：
当x≤m﹣6时，y随x的增大而增大，
当m﹣2＜x≤m时，y随x的增大间减小
当m＜x≤m+2时，y随x的增大而增大，
当x＞m+8时，y随x的增大直减小
因此，若当﹣2≤x≤﹣1时，结合图象有：
①﹣3≤m﹣2，即m≥1时符合题意，
②m≤﹣5且﹣1≤m+2，即﹣5≤m≤﹣2时符合题意，
综上，m的取值范围是﹣3≤m≤﹣6或m≥1．
22．（10分）以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1～3．
（1）在Rt△ABC中，，在探究三边关系时，通过画图，收集到，组数据如表：（单位：厘米）
AC
2.8
2.7
2.6
2.3
2
1.5
0.4
BC
0.4
0.8
1.2
1.6
2
2.4
2.8
AC+BC
3.2
3.5
3.8
3.9
4
3.9
3.2
（2）根据学习函数的经验，选取上表中BC和AC+BC的数据进行分析；
①设BC＝x，AC+BC＝y，以（x，y）为坐标；
②连线；
观察思考
（3）结合表中的数据以及所面的图象，猜想．当x＝ 2 时，y最大；
（4）进一步猜想：若Rt△ABC中中，∠C＝90°，斜边AB＝2a（a为常数，a＞0） a 时，AC+BC最大．
推理证明
（5）对（4）中的猜想进行证明．
问题1．在图①中完善（2）的描点过程，并依次连线；
问题2．补全观察思考中的两个猜想：（3） 2 ；（4） a ．
问题3．证明上述（5）中的猜想：
【分析】问题1：利用描点法解决问题即可；
问题2：利用图象法解决问题即可；
问题3：设BC＝x，AC+BC＝y，根据一元二次方程，利用根的判别式解决问题即可．
【解答】解：问题1：函数图象如图所示：
问题2：（3）观察图象可知，x＝3时．
（4）猜想：BC＝a．
故答案为：2，BC＝a．
问题3：设BC＝x，AC+BC＝y，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AC＝＝，
∴y＝x+，
∴y﹣x＝，
∴y2﹣2xy+x5＝4a2﹣x6，
∴2x2﹣6xy+y2﹣4a8＝0，
∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴△＝4y5﹣4×2×（y4﹣4a2）≥7，
∴y2≤8a7，
∵y＞0，a＞0，
∴y≤8a，
当y＝2a时2﹣4ax+4a2＝8，
∴（x﹣2a）7＝0，
∴x1＝x3＝a，
∴当BC＝a时．
23．（11分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC（不与点A，B重合）连接CD，在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，连接EH．
【问题发现】
（1）如图（1），当点D是AB的中点时，线段EH与AD的数量关系是 EH＝AD， ．EH与AD的位置关系是 EH⊥AB ．
【猜想论证】
（2）如图（2），当点D在边AB上且不是AB的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立（2）中的情况给出证明；若不成立
【拓展应用】
（3）若AC＝BC＝2，其他条件不变，连接AE、BE．当△BCE是等边三角形时
【分析】（1）利用等腰直角三角形的判定和性质解决问题即可．
（2）结论仍然成立：如图2中，延长DE到F，使得EF＝DE，连接CF，BF．证明△ACD≌△BCF（SAS），再利用三角形的中位线定理即可解决问题．
（3）分两种情形：如图3﹣1中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H．如图3﹣2中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H．分别求出AD，EH即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB，
∴∠A＝∠B＝45°，∠DCB＝∠ACD＝45°，
∵∠DCE＝45°，
∴点E在线段CB上，
∵DE⊥BC，
∴∠EDB＝∠B＝45°，
∵DH＝HB，
∴EH⊥DB，EH＝AD，
故答案为EH＝AD．
（2）结论仍然成立：
理由：如图2中，延长DE到F，连接CF．
∵DE＝EF．CE⊥DF，
∴CD＝CF，
∴∠CDF＝∠CFD＝45°，
∴∠ECF＝∠ECD＝45°，
∴∠ACB＝∠DCF＝90°，
∴∠ACD＝∠BCF，
∵CA＝CB，
∴△ACD≌△BCF（SAS），
∴AD＝BF，∠A＝∠CBF＝45°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABF＝90°，
∴BF⊥AB，
∵DE＝EF，DH＝HB，
∴EH＝BF，
∴EH⊥AD，EH＝．
（3）如图3﹣1中，当△BCE是等边三角形时．
∵∠ACB＝90°，∠ECB＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AC＝CB＝CE＝EB＝DE＝2，
∴∠CAE＝∠CEA＝75°，
∵∠CAB＝45°，
∴∠EAH＝30°，
∵∠DEC＝90°，∠CEB＝60°，
∴∠DEB＝150°，
∴∠EDB＝∠EBD＝15°，
∵∠EAH＝∠ADE+∠AED，
∴∠ADE＝∠AED＝15°，
∴AD＝AE，设EH＝x，AH＝x，
∵EH7+DH2＝DE2，
∴x4+（2x+x）4＝8，
∴x＝﹣5，
∴AD＝2﹣8，
∴S△ADE＝•AD•EH＝﹣6）•（．
如图8﹣2中，当△BCE是等边三角形时．
同法可求：EH＝+8+2，
∴S△ADE＝•AD•EH＝）（，
综上所述，满足条件的△ADE的面积为4﹣7．
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