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2021年四川省绵阳市三台县中考数学一模试题（word版 含答案）
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这是一份2021年四川省绵阳市三台县中考数学一模试题（word版 含答案），共35页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年四川省绵阳市三台县中考数学一模试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．起重机将质量为6.5t的货物沿竖直方向提升了2m，则起重机提升货物所做的功用科学记数法表示为（g=10N/kg）
A．1.3×106J B．13×105J C．13×104J D．1.3×105J
3．用一把带有刻度的直尺，① 可以画出两条平行的直线与b，如图⑴；② 可以画出∠AOB的平分线OP，如图⑵所示；③ 可以检验工件的凹面是否为半圆，如图⑶所示；④ 可以量出一个圆的半径，如图⑷所示．这四种说法正确的个数有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（ ）
A．10° B．14° C．16° D．26°
5．如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数（k≠0，x＞0），若矩形ABCD的面积为10，则k的值为（ ）
A．10 B．4 C．3 D．5
6．定义运算：若am＝b，则logab＝m（a＞0），例如23＝8，则log28＝3．运用以上定义，计算：log5125﹣log381＝（ ）
A．﹣1 B．2 C．1 D．44
7．将抛物线M：y=- x2+2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线M'．若抛物线M'与x轴交于A、B两点，M'的顶点记为C，则∠ACB=（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
8．如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的央角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AFBE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（ ）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）
A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m
9．设方程x2+x﹣1=0的一个正实数根为a，2a3+a2﹣3a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣3
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，F为边CD的中点，E为矩形ABCD外一动点，且∠AEC＝90°，则线段EF的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
11．若数a使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
12．如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作射线OG、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF＝90°，BO、EF交于点P．则下列结论中：
（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；（3）BE+BF＝OA；（4）AE2+CF2＝2OP•OB．
正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．分解因式：3x2﹣6xy+3y2＝_____．
14．如图，在线段AB上取一点C，分别以AC、BC为边长作菱形ACDE和菱形BCFG，使点D在CF上，连接EG，H是EG的中点，EG=4，则CH的长是___．
15．如图，边长为2cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足为B，AB＝17cm，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为_____cm．
16．如图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度为，顶点M距水面（即），小孔顶点N距水面（即）．当水位上涨到刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，可以得出此时大孔的水面宽度是_________m．
17．普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的_____倍．
18．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，则下列结论：①2a﹣b＜0，②4a﹣2b+c＞0，③b2+8a＞4ac，④当x＞0时，函数值随x的增长而减少，⑤a+c＜1．其中正确的是_____（填序号）．
三、解答题
19．计算： ．
20．先化简，再求值：，其中x，y的取值是二元一次方程x+2y＝7的一对整数解．
21．年国家提出并部署了“新基建”项目，主要包含“特高压，城际高速铁路和城市轨道交通，基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩”等．《新基建中高端人才市场就业吸引力报告》重点刻画了“新基建”中五大细分领域（基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩）总体的人才与就业机会．下图是其中的一个统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：图中年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是______亿元；
（2）甲，乙两位待业人员，仅根据上面统计图中的数据，从五大细分领域中分别选择了“基站建设”和“人工智能”作为自己的就业方向，请简要说明他们选择就业方向的理由各是什么；
（3）小勇对“新基建”很感兴趣，他收集到了五大细分领域的图标，依次制成编号为，，，，的五张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这五张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为（基站建设）和（人工智能）的概率．
22．Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2．
（1）求m与n的数量关系；
（2）当tan∠BAC＝时，求反比例函数的解析式和直线AB的解析式；
（3）设P是线段AB边上的点，在（2）的条件下，是否存在点P，以B，C，P为顶点的三角形与△EDB相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，在中，，AD平分，AD交BC于点D，交AB于点E，的外接圆⊙O交AC于点F，连接EF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径r及的正切值．
24．“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量（件）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，如图所示.
（1）求与之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）．
（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；
（3）设点P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
26．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿线段AB方向匀速运动，到达点B停止．连接DP交AC于点E，以DP为直径作⊙O交AC于点F，连接DF、PF．
（1）求证：△DPF为等腰直角三角形；
（2）若点P的运动时间t秒．
①当t为何值时，点E恰好为AC的一个三等分点；
②将△EFP沿PF翻折，得到△QFP，当点Q恰好落在BC上时，求t的值．
参考答案
1．D
【分析】
轴对称图形的定义：把一个图形沿某条直线对折，对折后直线两旁的部分能完全重合，则这个图形是轴对称图形，中心对称图形：把一个图形绕某点旋转后能与自身重合，则这个图形是中心对称图形，根据概念逐一分析可得答案．
【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形的，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是轴对称图形与中心对称图形的概念与识别，掌握以上知识是解题的关键．
2．D
【详解】
试题分析：∵质量m=6500kg，G=mg=65000，∴做功为W="650,0×2=130000" （J）．
根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．130000一共6位，从而130000 =1.3×105．故选D．
3．D
【解析】
可以利用全等、勾股定理等特征得出四种说法都正确，故选D．
4．C
【分析】
连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，则可计算出∠BDC＝16°，然后根据圆周角定理得到∠CAB的度数．
【详解】
解：连接BD，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝106°﹣90°＝16°，
∴∠CAB＝∠BDC＝16°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
5．D
【分析】
设A点的坐标为（）则根据矩形的性质得出矩形中心的坐标为：（），即（），进而可得出BC的长度．然后将坐标代入函数解析式即可求出k的值．
【详解】
解：设 A（ ），
∴AB＝，
∵矩形的面积为10，
∴BC＝，
∴矩形ABCD对称中心的坐标为：
矩形对称中心的坐标为：（），即（）
∵对称中心在 的图象上，
∴，
∴
∴
∴k＝5，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy为定值是解答此题的关键．
6．A
【分析】
先根据乘方确定53=125，34=81，根据新定义求出log5125=3，log381=4，再计算出所求式子的值即可．
【详解】
解：∵53=125，34=81，
∴log5125=3，log381=4，
∴log5125﹣log381，
＝3﹣4，
＝﹣1，
故选：A．
【点睛】
本题考查新定义对数函数运算，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质，掌握新定义对数函数运算，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质，解题关键理解新定义就是乘方的逆运算．
7．C
【分析】
利用二次函数的平移规律：上加下减，左加右减，可求出抛物线M'的函数解析式，由此可得到点C的坐标，再由y=0求出抛物线M'与x轴的两个交点A，B的坐标，然后利用勾股定理求出AC2、BC2、AB2，由此可以推出AC2+BC2=AB2，利用勾股定理的逆定理，可求出∠ACB的度数．
【详解】
∵y=-x2+2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线M'，
∴抛物线M'的解析式为y=
∵ 若抛物线M'与x轴交于A、B两点，M'的顶点记为C，
∴点C（-2，3）
当y=0时
解之：x1=1，x2=-5
∴点A（1，0），点B（-5，0）
∴AB2=|-5-1|2=36
AC2=32+32=18，BC2=32+32=18
∴AC2+BC2=AB2
∴∠ACB=90°．
故答案为：C．
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与几何变换、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．
8．B
【分析】
首先证明四边形ACDF是矩形，利用∠PBE的正弦值可求出AC的长，即可得DF的长，利用∠PEB的正切值即可得答案．
【详解】
∵FD⊥AB，AC⊥EB，
∴DF∥AC，
∵AF∥EB，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠ACD＝90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∴DF＝AC，
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠ABE=43°，
∴AC＝AB•sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），
∴DF＝AC＝1.12（m），
在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，∠PEB=20°，
∴tan∠PEB＝≈0.4，
∴DE≈＝2.8（m），
故选：B．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用及矩形的判定与性质，熟练掌握各三角函数的定义是解题关键．
9．B
【分析】
根据一元二次方程解的定义得到a2=-a+1，再用a表示a3，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：方程x2+x-1=0的一个正实数根为a，
∴a2+a-1=0，
∴a2=-a+1，
∴a3=-a2+a=-(-a+1)+a=2a-1，
∴2a3+a2-3a=2×(2a-1)-a+1-3a=4a-2-a+1-3a=-1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
10．C
【分析】
如图，连接AC，取AC的中点O，利用勾股定理求出AC，利用中位线求出OF，利用直角三角形斜边中线求OE即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接AC，取AC的中点O，连结OF，OE，
∵矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，F为CD的中点，
∴AC＝，
∵AO＝OC，CF＝FD，
∴OF＝AD＝BC＝4，
∵∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝＝5，
由三角形的三边关系得，O、E、F三点共线时EF最大，
此时EF最大＝4+5＝9．
故选：C．
【点睛】
本题考查矩形的性质，勾股定理，中位线，直角三角形斜边中线，O、E、F三点共线，掌握矩形的性质，勾股定理，中位线，直角三角形斜边中线，O、E、F三点共线是解题关键．
11．A
【分析】
先解不等式组根据其有三个整数解，得a的一个范围；再解关于y的分式方程，根据其解为正数，并考虑增根的情况，再得a的一个范围，两个范围综合考虑，则所有满足条件的整数a的值可求，从而得其和．
【详解】
解：由关于x的不等式组，得
∵有且仅有三个整数解，
∴，，2，或3．
∴，
∴；
由关于y的分式方程得，
∴，
∵解为正数，且为增根，
∴，且，
∴，且，
∴所有满足条件的整数a的值为：﹣2，﹣1，0，其和为﹣3．
故选A．
【点睛】
本题属于含一元一次不等式组和含分式方程的综合计算题，比较容易错，属于易错题．
12．C
【分析】
由正方形的性质和已知条件得出图形中全等的三角形有四对，得出（1）错误；由，得出四边形OEBF的面积的面积正方形ABCD的面积，得出（2）正确；由，得出，得出，得出（3）正确；由得出，进而，再证明∽，得出，得出（4）正确．
【详解】
解：（1）不正确；图形中全等的三角形有四对：，，，；
理由如下：
四边形是正方形，
，，，
在和中，
，
；
点为对角线的中点，
，
在和中，
，
；
，，，
，，
又，
，
在和中，
，
；
同理：；
（2）正确．理由如下：
，
四边形的面积的面积正方形的面积；
（3）正确．理由如下：
，
，
；
（4）正确．
AE2+CF2＝BE2+BF2＝EF2＝（OF）2＝2OF2，
在△OPF与△OFB中，
∠OBF＝∠OFP＝45°，
∠POF＝∠FOB，
∴△OPF∽△OFB，
OP：OF＝OF：OB，
OF2＝OP•OB，
AE2+CF2＝2OP•OB．
正确结论的个数有3个；
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理和相似三角形的判定和性质等．解题的关键是正确寻找全等三角形、相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
13．3
【分析】
先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【详解】
3x2-6xy+3y2，
=3（x2-2xy+y2），
=3（x-y）2．
故答案为3（x-y）2．
【点睛】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14．2.
【分析】
连接AD，CE，CG，根据菱形的性质可知AD⊥CE，∠CAD=∠EAC，∠BCG=∠BCF，根据平行线的性质可得出∠EAC=∠BCF，故可得出∠CAD=∠BCG，所以AD∥CG，即CE⊥CG，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：连接AD，CE，CG，
∵四边形ACDE与四边形BCFG均是菱形，
∴AD⊥CE，∠CAD=∠EAC，∠BCG=∠BCF．
∵AE∥CF，
∴∠EAC=∠BCF，
∴∠CAD=∠BCG，
∴AD∥CG，
∴CE⊥CG．
∵H是EG的中点，EG=4，
∴CH=EG=2．
故答案为2．
【点睛】
本题考查的是菱形的性质，平行线的性质及判定，直角三角形斜边上中线的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形的性质求解是解答此题的关键．
15．10π
【分析】
利用正六边形的性质求出OB的长度，进而得到OA的长度，根据弧长公式进行计算即可．
【详解】
解：连接OD，OC．
∵∠DOC＝60°，OD＝OC，
∴△ODC是等边三角形，
∴OD＝OC＝DC＝（cm），
∵OB⊥CD，
∴BC＝BD＝（cm），
∴OB＝BC＝3（cm），
∵AB＝17cm，
∴OA＝OB+AB＝20（cm），
∴点A在该过程中所经过的路径长＝＝10π（cm），
故答案为：10π．
【点睛】
本题考查了正六边形的性质及计算，扇形弧长的计算，熟知以上计算是解题的关键．
16．
【分析】
利用待定系数法求出大孔抛物线的解析式，然后根据NC的长即可求出点E、F的坐标，从而求出结论．
【详解】
解：设大孔抛物线的解析式为，
把点解析式，得
，解得，
因此大孔抛物线的解析式为；
由，可知点F的纵坐标为4，
代入解析式，
解得．
所以，
所以．
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用待定系数法求二次函数解析式是解决此题的关键．
17．2
【分析】
设普通火车的平均速度为x千米/小时，城际快车的平均速度为y千米/小时，则两地间的距离为2x千米，利用路程=速度×时间，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之即可得出y=2x，进而可得出城际快车的平均速度是普通火车平均速度的2倍．
【详解】
解：设普通火车的平均速度为x千米/小时，城际快车的平均速度为y千米/小时，则两地间的距离为2x千米，
依题意得，
解得：y=2x，
∴．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
18．①③④⑤
【分析】
由对称轴大于﹣1可知①正确；当x＝﹣2时，由函数值可得出结论②错误；将点（﹣1，2）代入y＝ax2+bx+c中得出a、b、c的数量关系，再根据对称轴大于﹣1得到不等式，将此不等式变形后知结论③正确，由对称轴大于﹣1可知④正确；当x＝1时，y＝a+b+c＜0且a﹣b+c＝2，两式相加即可判断⑤正确．
【详解】
解：由﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，可知对称轴＞﹣1，且a＜0，
∴2a＜b，即2a﹣b＜0，故①正确；
当x＝﹣2时，函数值小于0，
即4a﹣2b+c＜0，故②错误；
将点（﹣1，2）代入y＝ax2+bx+c中，得a﹣b+c＝2，即c＝2﹣a+b，
由图象可知对称轴＞﹣1得2a﹣b＜0，则（2a﹣b）2＞0，
即b2＞﹣4a2+4ab，
∴b2+8a＞8a﹣4a2+4ab＝4a（2﹣a+b）＝4ac，
故③正确；
又∵＞﹣1，
∴当x＞0时，函数值随x的增大而减少，故④正确；
∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，a﹣b+c＝2，
∴2a+2c＜2，即a+c＜1，故⑤正确．
故答案为：①③④⑤．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系．关键是根据图象得出开口方向、对称轴、与坐标轴的交点与系数的关系，自变量取±1，±2时的函数值的符号，利用所得的等式或不等式变形．
19．
【分析】
直接利用乘方、特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、零指数幂、绝对值的性质的性质分别化简得出答案．
【详解】
解：原式＝﹣4+（1﹣）×+4+1+﹣2
＝﹣4+﹣1+4+1+﹣2
＝2﹣2．
【点睛】
本题考查了实数的运算：二次根式的运算、零指数幂、负指数幂和特殊角的三角函数值、绝对值的化简，能熟练掌握各项化简是解答此题的关键．
20．﹣x﹣y，(取整数解不唯一)如时，值为-3．
【分析】
先将括号内通分，然后因式分解，再约分．化简，再取二元一次方程整数解（分式有意义条件），代入求值即可
【详解】
解：，
=，
=，
=，
取二元一次方程x+2y＝7的一对整数解，如（不能取）(取整数解不唯一)，
∴原式＝﹣（﹣1）﹣4＝﹣3．
【点睛】
本题考查分式化简求值，二元一次方程整数解，掌握分式化简求值，二元一次方程整数解，关键是注意分式有意义条件限定．
21．（1）；（2）甲更关注在线职位增长率，在“新基建”五大细分领域中，年第一季度“基站建设”在线职位与年同期相比增长率最高；乙更关注预计投资规模，在“新基建”五大细分领域中，“人工智能”在年预计投资规模最大；（3）
【分析】
(1)根据中位数的定义判断即可．
(2)根据图象分析各个优势,表达出来即可．
(3)利用列表法或树状图的方法算出概率即可．
【详解】
(1)将数据从小到大排列:100,160,200,300,300,500,640,中位数为:．
故答案为:300
(2)解：甲更关注在线职位增长率，在“新基建”五大细分领域中，年第一季度“基站建设”在线职位与年同期相比增长率最高；
乙更关注预计投资规模，在“新基建”五大细分领域中，“人工智能”在年预计投资规模最大
(3)解：列表如下：
第二张
第一张
或画树状图如下：
由列表(或画树状图)可知一共有种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性都相同，其中抽到“”和“”的结果有种．
所以，(抽到“”和“”)．
【点睛】
本题考查统计图的数据分析及概率计算,关键在于从图像中获取有用信息．
22．（1）n＝2m；（2）当，；（3）存在，点P的坐标为；．
【分析】
（1）将D（4，m）、E（2，n）代入反比例函数y＝解析式，进而得出n，m的关系；
（2）利用的面积为2，得出m的值，进而得出D，E，B的坐标，利用待定系数法求出一次函数与反比例函数关系式即可；
（3）利用与相似存在两种情况，分别利用图形分析得出即可．
【详解】
解：（1）∵D（4，m）、E（2，n）在反比例函数y＝的图象上，
∴4m＝k，2n＝k，
整理，得n＝2m；
（2）如图1，过点E作EH⊥BC，垂足为H．
在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠A＝，EH＝2，所以BH＝1．
因此D（4，m），E（2，2m），B（4，2m+1）．
已知的面积为2，
∴BD•EH＝（m+1）×2＝2，
所以解得m＝1．
因此D（4，1），E（2，2），B（4，3）．
因为点D（4，1）在反比例函数y＝的图象上，
所以k＝4．
因此反比例函数的解析式为：．
设直线AB的解析式为y＝kx+b，代入B（4，3）、E（2，2），
得
解得：
因此直线AB的函数解析式为：．
（3）如图2，作EH⊥BC于H，PF⊥BC于F，
当时，＝＝，
＝，
∵BH＝1，
∴BF=，
∴CF＝，
＝x+1，x＝1，
点P的坐标为（1，）；
如图3，
当时，＝，
EH＝2，BH＝1，由勾股定理，BE＝，
＝，BP＝，
同理可得：＝，BH＝1，
BF＝，
∴CF＝，
＝，x＝，
点P的坐标为（，）
点P的坐标为（1，）；（，）
【点睛】
本题属于反比例函数综合题，主要考查的是反比例函数的性质，待定系数法求出一次函数解析式，相似三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想，属于中考压轴题．
23．（1）见解析；（2）⊙O的半径，.
【解析】
【分析】
（1）由垂直的定义得到，连接OD，则，得到，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，于是得到BC是⊙O的切线；
（2）由勾股定理得到，推出，根据相似三角形的性质得到，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
（1）证明：，
，
∵AE是⊙O的直径，
∴AE的中点是圆心O，
连接OD，则
∵AD平分，
∴
，
，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：在中，由勾股定理得，
，
，
，即，
，
在中，，
，
在中，，
，
．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、圆周角定理和三角函数的相关知识；正确的识别图形是解题的关键．
24．（1）；（2）单价为46元时，利润最大为3840元.（3）单价的范围是45元到55元.
【分析】
（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；
（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；
（3）首先得出w与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据增减性，求出x的取值范围．
【详解】
（1）由题意得： ．
故y与x之间的函数关系式为：y=-10x+700，
（2）由题意，得
-10x+700≥240，
解得x≤46，
设利润为w=（x-30）•y=（x-30）（-10x+700），
w=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，
∵-10＜0，
∴x＜50时，w随x的增大而增大，
∴x=46时，w大=-10（46-50）2+4000=3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；
（3）w-150=-10x2+1000x-21000-150=3600，
-10（x-50）2=-250，
x-50=±5，
x1=55，x2=45，
如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．
25．（1）A（﹣1，0），y＝ax+a；（2）y＝x2﹣x﹣；（3）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，4）．
【分析】
（1）由抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于两点A、B，求得A点的坐标，作DF⊥x轴于F，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线l的函数表达式．
（2）设点E（m，ax2﹣2ax﹣3a），知HE＝（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+3ax+4a，根据直线和抛物线解析式求得点D的横坐标，由S△ADE＝S△AEH+S△DEH列出函数解析式，根据最值确定a的值即可；
（3）分以AD为矩形的对角线和以AD为矩形的边两种情况利用矩形的性质确定点P的坐标即可．
【详解】
解：（1）令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），
如图1，作DF⊥x轴于F，
∴DF∥OC，
∴,
∵CD＝4AC，
∴
∵OA＝1，
∴OF＝4，
∴D点的横坐标为4，
代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得，y＝5a，
∴D（4，5a），
把A、D坐标代入y＝kx+b得
解得
∴直线l的函数表达式为y＝ax+a．
（2）如图2，过点E作EH∥y轴，交直线l于点H，
设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则H（x，ax+a）．
∴HE＝（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+3ax+4a，
由 得x＝﹣1或x＝4，
即点D的横坐标为4，
∴S△ADE＝S△AEH+S△DEH＝（﹣ax2+3ax+4a）
∴△ADE的面积的最大值为a，
∴
解得：,
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣
（3）已知A（﹣1，0），D（4，5a）．
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴抛物线的对称轴为x＝1，
设P（1，m），
①若AD为矩形的边，且点Q在对称轴左侧时，则AD∥PQ，且AD＝PQ，
则Q（﹣4，21a），
m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ为矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴AD2+PD2＝AP2，
∴52+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2＝（﹣1﹣1）2+（26a）2，
即a2＝，
∵a＞0，
∴a＝，
∴P1（1，），
②若AD为矩形的边，且点Q在对称轴右侧时，则AD∥PQ，且AD＝PQ，
则Q（4，5a），
此时点Q与点D重合，不符合题意，舍去；
③若AD是矩形的一条对角线，则AD与PQ互相平分且相等．
∴xD+xA＝xP+xQ，yD+yA＝yP+yQ，
∴xQ＝2，
∴Q（2，﹣3a）．
∴yP＝8a
∴P（1，8a）．
∵四边形APDQ为矩形，
∴∠APD＝90°
∴AP2+PD2＝AD2
∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2
即a2＝，
∵a＞0，
∴a＝
∴P2（1，4）
综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，4）．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及矩形的判定，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标是本题的关键．
26．（1）详见解析；（2）①1；②﹣1．
【分析】
（1）要证明三角形△DPF为等腰直角三角形，只要证明∠DFP＝90°，∠DPF＝∠PDF＝45°即可，根据直径所对的圆周角是90°和同弧所对的圆周角相等，可以证明∠DFP＝90°，∠DPF＝∠PDF＝45°，从而可以证明结论成立；
（2）①根据题意，可知分两种情况，然后利用分类讨论的方法，分别计算出相应的t的值即可，注意点P从A出发到B停止，t≤4÷2＝2；
②根据题意，画出相应的图形，然后利用三角形相似，勾股定理，即可求得t的值．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠DAC＝45°，
∵在⊙O中，所对的圆周角是∠DAF和∠DPF，
∴∠DAF＝∠DPF，
∴∠DPF＝45°，
又∵DP是⊙O的直径，
∴∠DFP＝90°，
∴∠FDP＝∠DPF＝45°，
∴△DFP是等腰直角三角形；
（2）①当AE：EC＝1：2时，
∵AB∥CD，
∴∠DCE＝∠PAE，∠CDE＝∠APE，
∴△DCE∽△PAE，
∴，
∴，
解得，t＝1；
当AE：EC＝2：1时，
∵AB∥CD，
∴∠DCE＝∠PAE，∠CDE＝∠APE，
∴△DCE∽△PAE，
∴，
∴，
解得，t＝4，
∵点P从点A到B，t的最大值是4÷2＝2，
∴当t＝4时不合题意，舍去；
由上可得，当t为1时，点E恰好为AC的一个三等分点；
②如右图所示，
∵∠DPF＝90°，∠DPF＝∠OPF，
∴∠OPF＝90°，
∴∠DPA+∠QPB＝90°，
∵∠DPA+∠PDA＝90°，
∴∠PDA＝∠QPB，
∵点Q落在BC上，
∴∠DAP＝∠B＝90°，
∴△DAP∽△PBQ，
∴，
∵DA＝AB＝4，AP＝2t，∠DAP＝90°，
∴DP＝＝2，PB＝4﹣2t，
设PQ＝a，则PE＝a，DE＝DP﹣a＝2﹣a，
∵△AEP∽△CED，
∴，
即，
解得，a＝，
∴PQ＝，
∴，
解得，t1＝﹣﹣1（舍去），t2＝﹣1，
即t的值是﹣1．
【点睛】
此题主要考查四边形综合，解题的关键是熟知正方形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.
2021年四川省绵阳市三台县中考数学一模试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．起重机将质量为6.5t的货物沿竖直方向提升了2m，则起重机提升货物所做的功用科学记数法表示为（g=10N/kg）
A．1.3×106J B．13×105J C．13×104J D．1.3×105J
3．用一把带有刻度的直尺，① 可以画出两条平行的直线与b，如图⑴；② 可以画出∠AOB的平分线OP，如图⑵所示；③ 可以检验工件的凹面是否为半圆，如图⑶所示；④ 可以量出一个圆的半径，如图⑷所示．这四种说法正确的个数有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（ ）
A．10° B．14° C．16° D．26°
5．如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数（k≠0，x＞0），若矩形ABCD的面积为10，则k的值为（ ）
A．10 B．4 C．3 D．5
6．定义运算：若am＝b，则logab＝m（a＞0），例如23＝8，则log28＝3．运用以上定义，计算：log5125﹣log381＝（ ）
A．﹣1 B．2 C．1 D．44
7．将抛物线M：y=- x2+2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线M'．若抛物线M'与x轴交于A、B两点，M'的顶点记为C，则∠ACB=（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
8．如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的央角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AFBE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（ ）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）
A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m
9．设方程x2+x﹣1=0的一个正实数根为a，2a3+a2﹣3a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣3
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，F为边CD的中点，E为矩形ABCD外一动点，且∠AEC＝90°，则线段EF的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
11．若数a使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
12．如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作射线OG、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF＝90°，BO、EF交于点P．则下列结论中：
（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；（3）BE+BF＝OA；（4）AE2+CF2＝2OP•OB．
正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．分解因式：3x2﹣6xy+3y2＝_____．
14．如图，在线段AB上取一点C，分别以AC、BC为边长作菱形ACDE和菱形BCFG，使点D在CF上，连接EG，H是EG的中点，EG=4，则CH的长是___．
15．如图，边长为2cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足为B，AB＝17cm，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为_____cm．
16．如图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度为，顶点M距水面（即），小孔顶点N距水面（即）．当水位上涨到刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，可以得出此时大孔的水面宽度是_________m．
17．普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的_____倍．
18．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，则下列结论：①2a﹣b＜0，②4a﹣2b+c＞0，③b2+8a＞4ac，④当x＞0时，函数值随x的增长而减少，⑤a+c＜1．其中正确的是_____（填序号）．
三、解答题
19．计算： ．
20．先化简，再求值：，其中x，y的取值是二元一次方程x+2y＝7的一对整数解．
21．年国家提出并部署了“新基建”项目，主要包含“特高压，城际高速铁路和城市轨道交通，基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩”等．《新基建中高端人才市场就业吸引力报告》重点刻画了“新基建”中五大细分领域（基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩）总体的人才与就业机会．下图是其中的一个统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：图中年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是______亿元；
（2）甲，乙两位待业人员，仅根据上面统计图中的数据，从五大细分领域中分别选择了“基站建设”和“人工智能”作为自己的就业方向，请简要说明他们选择就业方向的理由各是什么；
（3）小勇对“新基建”很感兴趣，他收集到了五大细分领域的图标，依次制成编号为，，，，的五张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这五张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为（基站建设）和（人工智能）的概率．
22．Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2．
（1）求m与n的数量关系；
（2）当tan∠BAC＝时，求反比例函数的解析式和直线AB的解析式；
（3）设P是线段AB边上的点，在（2）的条件下，是否存在点P，以B，C，P为顶点的三角形与△EDB相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，在中，，AD平分，AD交BC于点D，交AB于点E，的外接圆⊙O交AC于点F，连接EF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径r及的正切值．
24．“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量（件）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，如图所示.
（1）求与之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）．
（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；
（3）设点P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
26．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿线段AB方向匀速运动，到达点B停止．连接DP交AC于点E，以DP为直径作⊙O交AC于点F，连接DF、PF．
（1）求证：△DPF为等腰直角三角形；
（2）若点P的运动时间t秒．
①当t为何值时，点E恰好为AC的一个三等分点；
②将△EFP沿PF翻折，得到△QFP，当点Q恰好落在BC上时，求t的值．
参考答案
1．D
【分析】
轴对称图形的定义：把一个图形沿某条直线对折，对折后直线两旁的部分能完全重合，则这个图形是轴对称图形，中心对称图形：把一个图形绕某点旋转后能与自身重合，则这个图形是中心对称图形，根据概念逐一分析可得答案．
【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形的，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是轴对称图形与中心对称图形的概念与识别，掌握以上知识是解题的关键．
2．D
【详解】
试题分析：∵质量m=6500kg，G=mg=65000，∴做功为W="650,0×2=130000" （J）．
根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．130000一共6位，从而130000 =1.3×105．故选D．
3．D
【解析】
可以利用全等、勾股定理等特征得出四种说法都正确，故选D．
4．C
【分析】
连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，则可计算出∠BDC＝16°，然后根据圆周角定理得到∠CAB的度数．
【详解】
解：连接BD，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝106°﹣90°＝16°，
∴∠CAB＝∠BDC＝16°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
5．D
【分析】
设A点的坐标为（）则根据矩形的性质得出矩形中心的坐标为：（），即（），进而可得出BC的长度．然后将坐标代入函数解析式即可求出k的值．
【详解】
解：设 A（ ），
∴AB＝，
∵矩形的面积为10，
∴BC＝，
∴矩形ABCD对称中心的坐标为：
矩形对称中心的坐标为：（），即（）
∵对称中心在 的图象上，
∴，
∴
∴
∴k＝5，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy为定值是解答此题的关键．
6．A
【分析】
先根据乘方确定53=125，34=81，根据新定义求出log5125=3，log381=4，再计算出所求式子的值即可．
【详解】
解：∵53=125，34=81，
∴log5125=3，log381=4，
∴log5125﹣log381，
＝3﹣4，
＝﹣1，
故选：A．
【点睛】
本题考查新定义对数函数运算，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质，掌握新定义对数函数运算，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质，解题关键理解新定义就是乘方的逆运算．
7．C
【分析】
利用二次函数的平移规律：上加下减，左加右减，可求出抛物线M'的函数解析式，由此可得到点C的坐标，再由y=0求出抛物线M'与x轴的两个交点A，B的坐标，然后利用勾股定理求出AC2、BC2、AB2，由此可以推出AC2+BC2=AB2，利用勾股定理的逆定理，可求出∠ACB的度数．
【详解】
∵y=-x2+2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线M'，
∴抛物线M'的解析式为y=
∵ 若抛物线M'与x轴交于A、B两点，M'的顶点记为C，
∴点C（-2，3）
当y=0时
解之：x1=1，x2=-5
∴点A（1，0），点B（-5，0）
∴AB2=|-5-1|2=36
AC2=32+32=18，BC2=32+32=18
∴AC2+BC2=AB2
∴∠ACB=90°．
故答案为：C．
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与几何变换、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．
8．B
【分析】
首先证明四边形ACDF是矩形，利用∠PBE的正弦值可求出AC的长，即可得DF的长，利用∠PEB的正切值即可得答案．
【详解】
∵FD⊥AB，AC⊥EB，
∴DF∥AC，
∵AF∥EB，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠ACD＝90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∴DF＝AC，
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠ABE=43°，
∴AC＝AB•sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），
∴DF＝AC＝1.12（m），
在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，∠PEB=20°，
∴tan∠PEB＝≈0.4，
∴DE≈＝2.8（m），
故选：B．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用及矩形的判定与性质，熟练掌握各三角函数的定义是解题关键．
9．B
【分析】
根据一元二次方程解的定义得到a2=-a+1，再用a表示a3，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：方程x2+x-1=0的一个正实数根为a，
∴a2+a-1=0，
∴a2=-a+1，
∴a3=-a2+a=-(-a+1)+a=2a-1，
∴2a3+a2-3a=2×(2a-1)-a+1-3a=4a-2-a+1-3a=-1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
10．C
【分析】
如图，连接AC，取AC的中点O，利用勾股定理求出AC，利用中位线求出OF，利用直角三角形斜边中线求OE即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接AC，取AC的中点O，连结OF，OE，
∵矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，F为CD的中点，
∴AC＝，
∵AO＝OC，CF＝FD，
∴OF＝AD＝BC＝4，
∵∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝＝5，
由三角形的三边关系得，O、E、F三点共线时EF最大，
此时EF最大＝4+5＝9．
故选：C．
【点睛】
本题考查矩形的性质，勾股定理，中位线，直角三角形斜边中线，O、E、F三点共线，掌握矩形的性质，勾股定理，中位线，直角三角形斜边中线，O、E、F三点共线是解题关键．
11．A
【分析】
先解不等式组根据其有三个整数解，得a的一个范围；再解关于y的分式方程，根据其解为正数，并考虑增根的情况，再得a的一个范围，两个范围综合考虑，则所有满足条件的整数a的值可求，从而得其和．
【详解】
解：由关于x的不等式组，得
∵有且仅有三个整数解，
∴，，2，或3．
∴，
∴；
由关于y的分式方程得，
∴，
∵解为正数，且为增根，
∴，且，
∴，且，
∴所有满足条件的整数a的值为：﹣2，﹣1，0，其和为﹣3．
故选A．
【点睛】
本题属于含一元一次不等式组和含分式方程的综合计算题，比较容易错，属于易错题．
12．C
【分析】
由正方形的性质和已知条件得出图形中全等的三角形有四对，得出（1）错误；由，得出四边形OEBF的面积的面积正方形ABCD的面积，得出（2）正确；由，得出，得出，得出（3）正确；由得出，进而，再证明∽，得出，得出（4）正确．
【详解】
解：（1）不正确；图形中全等的三角形有四对：，，，；
理由如下：
四边形是正方形，
，，，
在和中，
，
；
点为对角线的中点，
，
在和中，
，
；
，，，
，，
又，
，
在和中，
，
；
同理：；
（2）正确．理由如下：
，
四边形的面积的面积正方形的面积；
（3）正确．理由如下：
，
，
；
（4）正确．
AE2+CF2＝BE2+BF2＝EF2＝（OF）2＝2OF2，
在△OPF与△OFB中，
∠OBF＝∠OFP＝45°，
∠POF＝∠FOB，
∴△OPF∽△OFB，
OP：OF＝OF：OB，
OF2＝OP•OB，
AE2+CF2＝2OP•OB．
正确结论的个数有3个；
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理和相似三角形的判定和性质等．解题的关键是正确寻找全等三角形、相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
13．3
【分析】
先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【详解】
3x2-6xy+3y2，
=3（x2-2xy+y2），
=3（x-y）2．
故答案为3（x-y）2．
【点睛】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14．2.
【分析】
连接AD，CE，CG，根据菱形的性质可知AD⊥CE，∠CAD=∠EAC，∠BCG=∠BCF，根据平行线的性质可得出∠EAC=∠BCF，故可得出∠CAD=∠BCG，所以AD∥CG，即CE⊥CG，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：连接AD，CE，CG，
∵四边形ACDE与四边形BCFG均是菱形，
∴AD⊥CE，∠CAD=∠EAC，∠BCG=∠BCF．
∵AE∥CF，
∴∠EAC=∠BCF，
∴∠CAD=∠BCG，
∴AD∥CG，
∴CE⊥CG．
∵H是EG的中点，EG=4，
∴CH=EG=2．
故答案为2．
【点睛】
本题考查的是菱形的性质，平行线的性质及判定，直角三角形斜边上中线的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形的性质求解是解答此题的关键．
15．10π
【分析】
利用正六边形的性质求出OB的长度，进而得到OA的长度，根据弧长公式进行计算即可．
【详解】
解：连接OD，OC．
∵∠DOC＝60°，OD＝OC，
∴△ODC是等边三角形，
∴OD＝OC＝DC＝（cm），
∵OB⊥CD，
∴BC＝BD＝（cm），
∴OB＝BC＝3（cm），
∵AB＝17cm，
∴OA＝OB+AB＝20（cm），
∴点A在该过程中所经过的路径长＝＝10π（cm），
故答案为：10π．
【点睛】
本题考查了正六边形的性质及计算，扇形弧长的计算，熟知以上计算是解题的关键．
16．
【分析】
利用待定系数法求出大孔抛物线的解析式，然后根据NC的长即可求出点E、F的坐标，从而求出结论．
【详解】
解：设大孔抛物线的解析式为，
把点解析式，得
，解得，
因此大孔抛物线的解析式为；
由，可知点F的纵坐标为4，
代入解析式，
解得．
所以，
所以．
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用待定系数法求二次函数解析式是解决此题的关键．
17．2
【分析】
设普通火车的平均速度为x千米/小时，城际快车的平均速度为y千米/小时，则两地间的距离为2x千米，利用路程=速度×时间，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之即可得出y=2x，进而可得出城际快车的平均速度是普通火车平均速度的2倍．
【详解】
解：设普通火车的平均速度为x千米/小时，城际快车的平均速度为y千米/小时，则两地间的距离为2x千米，
依题意得，
解得：y=2x，
∴．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
18．①③④⑤
【分析】
由对称轴大于﹣1可知①正确；当x＝﹣2时，由函数值可得出结论②错误；将点（﹣1，2）代入y＝ax2+bx+c中得出a、b、c的数量关系，再根据对称轴大于﹣1得到不等式，将此不等式变形后知结论③正确，由对称轴大于﹣1可知④正确；当x＝1时，y＝a+b+c＜0且a﹣b+c＝2，两式相加即可判断⑤正确．
【详解】
解：由﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，可知对称轴＞﹣1，且a＜0，
∴2a＜b，即2a﹣b＜0，故①正确；
当x＝﹣2时，函数值小于0，
即4a﹣2b+c＜0，故②错误；
将点（﹣1，2）代入y＝ax2+bx+c中，得a﹣b+c＝2，即c＝2﹣a+b，
由图象可知对称轴＞﹣1得2a﹣b＜0，则（2a﹣b）2＞0，
即b2＞﹣4a2+4ab，
∴b2+8a＞8a﹣4a2+4ab＝4a（2﹣a+b）＝4ac，
故③正确；
又∵＞﹣1，
∴当x＞0时，函数值随x的增大而减少，故④正确；
∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，a﹣b+c＝2，
∴2a+2c＜2，即a+c＜1，故⑤正确．
故答案为：①③④⑤．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系．关键是根据图象得出开口方向、对称轴、与坐标轴的交点与系数的关系，自变量取±1，±2时的函数值的符号，利用所得的等式或不等式变形．
19．
【分析】
直接利用乘方、特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、零指数幂、绝对值的性质的性质分别化简得出答案．
【详解】
解：原式＝﹣4+（1﹣）×+4+1+﹣2
＝﹣4+﹣1+4+1+﹣2
＝2﹣2．
【点睛】
本题考查了实数的运算：二次根式的运算、零指数幂、负指数幂和特殊角的三角函数值、绝对值的化简，能熟练掌握各项化简是解答此题的关键．
20．﹣x﹣y，(取整数解不唯一)如时，值为-3．
【分析】
先将括号内通分，然后因式分解，再约分．化简，再取二元一次方程整数解（分式有意义条件），代入求值即可
【详解】
解：，
=，
=，
=，
取二元一次方程x+2y＝7的一对整数解，如（不能取）(取整数解不唯一)，
∴原式＝﹣（﹣1）﹣4＝﹣3．
【点睛】
本题考查分式化简求值，二元一次方程整数解，掌握分式化简求值，二元一次方程整数解，关键是注意分式有意义条件限定．
21．（1）；（2）甲更关注在线职位增长率，在“新基建”五大细分领域中，年第一季度“基站建设”在线职位与年同期相比增长率最高；乙更关注预计投资规模，在“新基建”五大细分领域中，“人工智能”在年预计投资规模最大；（3）
【分析】
(1)根据中位数的定义判断即可．
(2)根据图象分析各个优势,表达出来即可．
(3)利用列表法或树状图的方法算出概率即可．
【详解】
(1)将数据从小到大排列:100,160,200,300,300,500,640,中位数为:．
故答案为:300
(2)解：甲更关注在线职位增长率，在“新基建”五大细分领域中，年第一季度“基站建设”在线职位与年同期相比增长率最高；
乙更关注预计投资规模，在“新基建”五大细分领域中，“人工智能”在年预计投资规模最大
(3)解：列表如下：
第二张
第一张
或画树状图如下：
由列表(或画树状图)可知一共有种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性都相同，其中抽到“”和“”的结果有种．
所以，(抽到“”和“”)．
【点睛】
本题考查统计图的数据分析及概率计算,关键在于从图像中获取有用信息．
22．（1）n＝2m；（2）当，；（3）存在，点P的坐标为；．
【分析】
（1）将D（4，m）、E（2，n）代入反比例函数y＝解析式，进而得出n，m的关系；
（2）利用的面积为2，得出m的值，进而得出D，E，B的坐标，利用待定系数法求出一次函数与反比例函数关系式即可；
（3）利用与相似存在两种情况，分别利用图形分析得出即可．
【详解】
解：（1）∵D（4，m）、E（2，n）在反比例函数y＝的图象上，
∴4m＝k，2n＝k，
整理，得n＝2m；
（2）如图1，过点E作EH⊥BC，垂足为H．
在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠A＝，EH＝2，所以BH＝1．
因此D（4，m），E（2，2m），B（4，2m+1）．
已知的面积为2，
∴BD•EH＝（m+1）×2＝2，
所以解得m＝1．
因此D（4，1），E（2，2），B（4，3）．
因为点D（4，1）在反比例函数y＝的图象上，
所以k＝4．
因此反比例函数的解析式为：．
设直线AB的解析式为y＝kx+b，代入B（4，3）、E（2，2），
得
解得：
因此直线AB的函数解析式为：．
（3）如图2，作EH⊥BC于H，PF⊥BC于F，
当时，＝＝，
＝，
∵BH＝1，
∴BF=，
∴CF＝，
＝x+1，x＝1，
点P的坐标为（1，）；
如图3，
当时，＝，
EH＝2，BH＝1，由勾股定理，BE＝，
＝，BP＝，
同理可得：＝，BH＝1，
BF＝，
∴CF＝，
＝，x＝，
点P的坐标为（，）
点P的坐标为（1，）；（，）
【点睛】
本题属于反比例函数综合题，主要考查的是反比例函数的性质，待定系数法求出一次函数解析式，相似三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想，属于中考压轴题．
23．（1）见解析；（2）⊙O的半径，.
【解析】
【分析】
（1）由垂直的定义得到，连接OD，则，得到，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，于是得到BC是⊙O的切线；
（2）由勾股定理得到，推出，根据相似三角形的性质得到，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
（1）证明：，
，
∵AE是⊙O的直径，
∴AE的中点是圆心O，
连接OD，则
∵AD平分，
∴
，
，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：在中，由勾股定理得，
，
，
，即，
，
在中，，
，
在中，，
，
．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、圆周角定理和三角函数的相关知识；正确的识别图形是解题的关键．
24．（1）；（2）单价为46元时，利润最大为3840元.（3）单价的范围是45元到55元.
【分析】
（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；
（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；
（3）首先得出w与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据增减性，求出x的取值范围．
【详解】
（1）由题意得： ．
故y与x之间的函数关系式为：y=-10x+700，
（2）由题意，得
-10x+700≥240，
解得x≤46，
设利润为w=（x-30）•y=（x-30）（-10x+700），
w=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，
∵-10＜0，
∴x＜50时，w随x的增大而增大，
∴x=46时，w大=-10（46-50）2+4000=3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；
（3）w-150=-10x2+1000x-21000-150=3600，
-10（x-50）2=-250，
x-50=±5，
x1=55，x2=45，
如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．
25．（1）A（﹣1，0），y＝ax+a；（2）y＝x2﹣x﹣；（3）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，4）．
【分析】
（1）由抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于两点A、B，求得A点的坐标，作DF⊥x轴于F，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线l的函数表达式．
（2）设点E（m，ax2﹣2ax﹣3a），知HE＝（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+3ax+4a，根据直线和抛物线解析式求得点D的横坐标，由S△ADE＝S△AEH+S△DEH列出函数解析式，根据最值确定a的值即可；
（3）分以AD为矩形的对角线和以AD为矩形的边两种情况利用矩形的性质确定点P的坐标即可．
【详解】
解：（1）令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），
如图1，作DF⊥x轴于F，
∴DF∥OC，
∴,
∵CD＝4AC，
∴
∵OA＝1，
∴OF＝4，
∴D点的横坐标为4，
代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得，y＝5a，
∴D（4，5a），
把A、D坐标代入y＝kx+b得
解得
∴直线l的函数表达式为y＝ax+a．
（2）如图2，过点E作EH∥y轴，交直线l于点H，
设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则H（x，ax+a）．
∴HE＝（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+3ax+4a，
由 得x＝﹣1或x＝4，
即点D的横坐标为4，
∴S△ADE＝S△AEH+S△DEH＝（﹣ax2+3ax+4a）
∴△ADE的面积的最大值为a，
∴
解得：,
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣
（3）已知A（﹣1，0），D（4，5a）．
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴抛物线的对称轴为x＝1，
设P（1，m），
①若AD为矩形的边，且点Q在对称轴左侧时，则AD∥PQ，且AD＝PQ，
则Q（﹣4，21a），
m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ为矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴AD2+PD2＝AP2，
∴52+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2＝（﹣1﹣1）2+（26a）2，
即a2＝，
∵a＞0，
∴a＝，
∴P1（1，），
②若AD为矩形的边，且点Q在对称轴右侧时，则AD∥PQ，且AD＝PQ，
则Q（4，5a），
此时点Q与点D重合，不符合题意，舍去；
③若AD是矩形的一条对角线，则AD与PQ互相平分且相等．
∴xD+xA＝xP+xQ，yD+yA＝yP+yQ，
∴xQ＝2，
∴Q（2，﹣3a）．
∴yP＝8a
∴P（1，8a）．
∵四边形APDQ为矩形，
∴∠APD＝90°
∴AP2+PD2＝AD2
∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2
即a2＝，
∵a＞0，
∴a＝
∴P2（1，4）
综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，4）．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及矩形的判定，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标是本题的关键．
26．（1）详见解析；（2）①1；②﹣1．
【分析】
（1）要证明三角形△DPF为等腰直角三角形，只要证明∠DFP＝90°，∠DPF＝∠PDF＝45°即可，根据直径所对的圆周角是90°和同弧所对的圆周角相等，可以证明∠DFP＝90°，∠DPF＝∠PDF＝45°，从而可以证明结论成立；
（2）①根据题意，可知分两种情况，然后利用分类讨论的方法，分别计算出相应的t的值即可，注意点P从A出发到B停止，t≤4÷2＝2；
②根据题意，画出相应的图形，然后利用三角形相似，勾股定理，即可求得t的值．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠DAC＝45°，
∵在⊙O中，所对的圆周角是∠DAF和∠DPF，
∴∠DAF＝∠DPF，
∴∠DPF＝45°，
又∵DP是⊙O的直径，
∴∠DFP＝90°，
∴∠FDP＝∠DPF＝45°，
∴△DFP是等腰直角三角形；
（2）①当AE：EC＝1：2时，
∵AB∥CD，
∴∠DCE＝∠PAE，∠CDE＝∠APE，
∴△DCE∽△PAE，
∴，
∴，
解得，t＝1；
当AE：EC＝2：1时，
∵AB∥CD，
∴∠DCE＝∠PAE，∠CDE＝∠APE，
∴△DCE∽△PAE，
∴，
∴，
解得，t＝4，
∵点P从点A到B，t的最大值是4÷2＝2，
∴当t＝4时不合题意，舍去；
由上可得，当t为1时，点E恰好为AC的一个三等分点；
②如右图所示，
∵∠DPF＝90°，∠DPF＝∠OPF，
∴∠OPF＝90°，
∴∠DPA+∠QPB＝90°，
∵∠DPA+∠PDA＝90°，
∴∠PDA＝∠QPB，
∵点Q落在BC上，
∴∠DAP＝∠B＝90°，
∴△DAP∽△PBQ，
∴，
∵DA＝AB＝4，AP＝2t，∠DAP＝90°，
∴DP＝＝2，PB＝4﹣2t，
设PQ＝a，则PE＝a，DE＝DP﹣a＝2﹣a，
∵△AEP∽△CED，
∴，
即，
解得，a＝，
∴PQ＝，
∴，
解得，t1＝﹣﹣1（舍去），t2＝﹣1，
即t的值是﹣1．
【点睛】
此题主要考查四边形综合，解题的关键是熟知正方形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.
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