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2021年山东省东营市中考第一次监测数学试卷（word版 含答案）
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这是一份2021年山东省东营市中考第一次监测数学试卷（word版 含答案），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年山东省东营市中考第一次监测数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在，，，这四个数中，绝对值最小的数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算错误的是（ ）
A．（﹣3ab2）2＝9a2b4 B．﹣6a3b÷3ab＝﹣2a2
C．（a2）3﹣（﹣a3）2＝0 D．（x+1）2＝x2+1
3．一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若，则∠2的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．40°
4．将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设鸡有只，兔有只，则根据题意，下列方程组中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC＝6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则tan∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，．边在轴上，顶点的坐标分别为和．将正方形沿轴向右平移当点落在边上时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．如图,已知矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm.动点P在边BC上从点B向C运动,速度为1cm/s;同时动点Q从点C出发,沿折线C→D→A运动,速度为2cm/s.当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动。设点P运动的时间为t(s),△BPQ的面积为S(cm2),则描述S(cm2)与时间t(s)的函数关系的图象大致是( )
A． B．
C． D．
10．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作边BC的垂线AF交DC的延长线于点E，点F是垂足，连接BE、DF，DF交AC于点O．则下列结论：①四边形ABEC是正方形；②CO：BE＝1：3；③DE＝BC；④S四边形OCEF＝S△AOD，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．据科学研究表明，新型冠状病毒颗粒的最大直径为125纳米；125纳米用科学记数法表示为_____米．（1纳米＝10﹣9米）
12．分解因式：3a3﹣6a2+3a＝_______．
13．某校九年级甲、乙两名男生将近期6次立定跳远的平均成绩都是2.2米，方差分别是S甲2＝0.004，S乙2＝0.006，则两名男生中成绩较稳定的是_____（填“甲”或“乙”）
14．已知一次函数y＝2x﹣1的图象经过A（x1，1），B（x2，3）两点，则x1_____x2（填“＞”“＜”或“＝”）．
15．如图，BD是矩形ABCD的对角线，在BA和BD上分别截取BE，BF，使BE＝BF；分别以E，F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧在∠ABD内交于点G，作射线BG交AD于点P，若AP＝3，则点P到BD的距离为_______．
16．如图，直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，若S△AOB＝S△BOC＝1，则k＝_____．
17．如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结．则线段的最大值是________．
18．如图，在单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0）．则依图中所示规律，A2021的坐标为_____．
三、解答题
19．（1）计算：6cos45°+（）﹣1+（﹣1.73）0+|5﹣3|+42021×（﹣0.25）2021．
（2）先化简，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．
20．如图，某楼房AB顶部有一根天线BE，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C，D，A，在点C处测得天线顶端E的仰角为60°，从点C走到点D，测得CD＝5米，从点D测得天线底端B的仰角为45°，已知A，B，E在同一条垂直于地面的直线上，AB＝25米．
（1）求A与C之间的距离；
（2）求天线BE的高度．（参考数据：≈1.73，结果保留整数）
21．为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩(满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分)分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表.
分数段
频数
频率
74.5～79.5
2
0.05
79.5～84.5
m
0.2
84.5～89.5
12
0.3
89.5～94.5
14
n
94.5～99.5
4
0.1
(1)表中m＝__________，n＝____________；
(2)请在图中补全频数直方图；
(3)甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在_________分数段内；
(4)选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率.
22．如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）试证明DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求此时DE的长．
23．某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．
（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？
（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？
24．如图1，在中，，点D，E分别在边上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接．
（1）当时，求证：；
（2）如图3，当时，延长交于点，求证：垂直平分；
（3）在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的正半轴相交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为线段AB上一点，，求AP的长；
（3）在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．A
【分析】
根据绝对值的定义先求出这四个数的绝对值，再找出绝对值最小的数即可．
【详解】
解：∵|−1|＝1，|0|＝0，|2|＝2，|−3|＝3，
∴这四个数中，绝对值最小的数是0；
故选A．
【点睛】
此题考查了有理数的大小比较和绝对值，掌握绝对值的定义是本题的关键，是一道基础题．
2．D
【分析】
直接利用积的乘方运算法则以及整式的除法运算法则、完全平方公式分别化简得出答案．
【详解】
解：A、（﹣3ab2）2＝9a2b4，原式计算正确，不合题意；
B、﹣6a3b÷3ab＝﹣2a2，原式计算正确，不合题意；
C、（a2）3﹣（﹣a3）2＝0，原式计算正确，不合题意；
D、（x+1）2＝x2++2x+1，原式计算错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．C
【分析】
利用平行线的性质求得∠3的度数，即可求得∠2的度数．
【详解】
∵AD∥BC，
∴∠3=∠1=20，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠EDF=45，
∴∠2=45∠3=25，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
4．B
【分析】
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，先判断中间四个面的情况，根据这一特点可得到答案．
【详解】
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
所以：是相对面，是相对面，
所以：是相对面．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了正方体的表面展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
5．A
【分析】
先化成一般式后，在求根的判别式，即可确定根的状况．
【详解】
解：原方程可化为：，
，，，
，
方程由两个不相等的实数根．
故选A．
【点睛】
本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键．
6．A
【分析】
根据“上有三十五头”和“下有九十四足”两个等量关系列二元一次方程组即可．
【详解】
解：设鸡有只，兔有只
根据上有三十五头，可得x+y=35；
下有九十四足，2x+4y=94
即．
故答案为A．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意、找准等量关系是解答本题的关键．
7．C
【分析】
先根据扇形的面积公式S＝L•R求出母线长，再根据锐角三角函数的定义解答即可．
【详解】
解：根据题意可知：15π＝π×6×AB，
解得AB＝5cm，
∵BO＝BC＝3，
∴AO＝＝4，
∴tan∠ABC＝．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆锥侧面积公式的运用以及正切的定义，能够求出AO是本题解题关键．
8．B
【分析】
先画出落在上的示意图，如图，根据锐角三角函数求解的长度，结合正方形的性质，从而可得答案．
【详解】
解：由题意知：
四边形为正方形，
如图，当落在上时，
由
故选
【点睛】
本题考查的是平移的性质的应用，同时考查了正方形的性质，图形与坐标，锐角三角函数，掌握以上知识是解题的关键．
9．A
【分析】
先求出点P在BC边运动的时间，再求出Q点在CD边和AD边运动的时间，然后分Q点在CD边运动和在AD边运动两种情况分别计算出△BPQ的面积即可得出图象.
【详解】
点P在BC边运动的时间为
Q点在CD边运动的时间为，在AD边运动的时间
当Q点在CD边运动时，即时，
当Q点在AD边运动时，即时，
则根据S(cm2)与时间t(s)的函数关系式可知图象为A
故选A
【点睛】
本题主要考查矩形中的动点问题，能够找到面积与时间之间的函数关系式是解题的关键.
10．D
【分析】
①先证明△ABF≌△ECF，得AB＝EC，再得四边形ABEC为平行四边形，进而由∠BAC＝90°，得四边形ABCD是正方形，便可判断正误；
②由△OCF∽△OAD，得OC：OA＝1：2，进而得OC：BE的值，便可判断正误；
③根据BC＝AB，DE＝2AB进行推理说明便可；
④由△OCF与△OAD的面积关系和△OCF与△AOF的面积关系，便可得四边形OCEF的面积与△AOD的面积关系．
【详解】
解：①∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴BF＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DE，
∴∠BAF＝∠CEF，
∵∠AFB＝∠CFE，
∴△ABF≌△ECF（AAS），
∴AB＝CE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴四边形ABEC是正方形，故①正确；
②∵CF∥AD，
∴△OCF∽△OAD，
∴OC：OA＝CF：AD＝CF：BC＝1：2，
∴OC：AC＝1：3，∵AC＝BE，
∴OC：BE＝1：3，故②正确；
③∵AB＝CD＝EC，
∴DE＝2AB，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴AB＝BC，
∴DE＝2×，故③正确；
④∵△OCF∽△OAD，
∴，
∴，
∵OC：AC＝1：3，
∴3S△OCF＝S△ACF，∵S△ACF＝S△CEF，
∴，
∴，故④正确．
故选：D．
【点睛】
本题是平行四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质与判定，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．
11．1.25×10﹣7
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：125纳米＝125×10﹣9米＝1.25×10﹣7米．
故答案为：1.25×10﹣7．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．3a（a﹣1）2．
【分析】
先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可.
【详解】
解：3a3﹣6a2+3a＝3a（a2﹣2a+1）＝3a（a﹣1）2．
故答案为：3a（a﹣1）2．
【点睛】
此题考查的是因式分解，掌握提取公因式法和完全平方公式因式分解是解决此题的关键.
13．甲
【分析】
根据方差的意义即方差越小数据越稳定，从而得出答案．
【详解】
解：∵甲、乙两名男生6次立定跳远的平均成绩都是2.2米，S甲2＝0.004，S乙2＝0.006，
∴S甲2＜S乙2，
∴两名男生中成绩较稳定的是甲；
故答案为：甲．
【点睛】
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14．＜
【分析】
由k＝2＞0，可得出y随x的增大而增大，结合1＜3，即可得出x1＜x2．
【详解】
解：∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大．
又∵1＜3，
∴x1＜x2．
故答案为：＜．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”．
15．3
【分析】
首先结合作图的过程确定BP是∠ABD的平分线，然后根据角平分线的性质求得点P到BD的距离即可．
【详解】
结合作图的过程知：BP平分∠ABD，
∵∠A＝90°，AP＝3，
∴点P到BD的距离等于AP的长，为3，
故答案为：3．
【点睛】
考查了尺规作图的知识及角平分线的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是根据图形确定BP平分∠ABD．
16．4
【分析】
作CD⊥x轴于D，设OB＝a（a＞0）．由S△AOB＝S△BOC，根据三角形的面积公式得出AB＝BC．根据相似三角形性质即可表示出点C的坐标，把点C坐标代入反比例函数即可求得k．
【详解】
解：如图，作CD⊥x轴于D，设OB＝a（a＞0）．
∵S△AOB＝S△BOC，
∴AB＝BC．
∵△AOB的面积为1，
∴OA•OB＝1，
∴OA＝，
∵CD∥OB，AB＝BC，
∴OD＝OA＝，CD＝2OB＝2a，
∴C（，2a），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，
∴k＝×2a＝4．
故答案为4．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，会运用相似求线段长度是解题的关键．
17．3.5
【分析】
连接BP，如图，先解方程＝0得A（−4，0），B（4，0），再判断OQ为△ABP的中位线得到OQ＝BP，利用点与圆的位置关系，BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，然后计算出BP′即可得到线段OQ的最大值．
【详解】
连接BP，如图，
当y＝0时，＝0，
解得x1＝4，x2＝−4，则A（−4，0），B（4，0），
∵Q是线段PA的中点，
∴OQ为△ABP的中位线，
∴OQ＝BP，
当BP最大时，OQ最大，
而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，
∵BC＝∴BP′＝5＋2＝7，
∴线段OQ的最大值是3.5,
故答案为：3.5．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了三角形中位线．
18．（1012，0）
【分析】
首先确定点的角码与坐标的变化规律，利用规律确定答案即可．
【详解】
解：∵各三角形都是等腰直角三角形，
∴直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，
A3（0，0），A7（﹣2，0），A11（﹣4，0）…，
∵2021÷4＝505余1，
∴点A2021在x轴正半轴，纵坐标是0，横坐标是（2021+3）÷2＝1012，
∴A2021的坐标为（1012，0）．
故答案为：（1012，0）．
【点睛】
本题是对点的坐标变化规律的考查，根据2021是奇数，求出点的角码是奇数时的变化规律是解题的关键．
19．（1）8；（2），－1
【分析】
（1）先代入三角函数值、计算负整数指数幂和零指数幂、去绝对值符号、逆用积的乘方进行变形，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由分式有意义的条件确定出x的值，代入计算即可．
【详解】
解：（1）原式＝6×+3+1+5﹣3+（﹣0.25×4）2021
＝3+3+1+5﹣3﹣1
＝8；
（2）原式＝（﹣）÷
＝•
＝，
∵x≠±1，
∴x＝0，
则原式＝﹣1．
【点睛】
本题考查了分式的混合运算、特殊角的三角函数值、计算负整数指数幂和零指数幂、积的乘方等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20．（1）A与C之间的距离是30米；（2）天线BE的高度为27米
【分析】
（1）由等腰直角三角形的性质得出AD＝AB＝25米，则可求出答案；
（2）解直角三角形求出AE＝30•tan60°＝30（米），则可求出BE．
【详解】
解：（1）由题意得，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，
∴AD＝AB＝25米，
∵CD＝5米，
∴AC＝AD+CD＝25+5＝30（米），
即A与C之间的距离是30米；
（2）在Rt△ACE中．∠ACE＝60°，AC＝30米，
∴AE＝30•tan60°＝30（米），
∵AB＝25米，
∴BE＝AE﹣AB＝（30﹣25）米，
∵1.73，
∴BE≈1.73×30﹣25＝27米．
即天线BE的高度为27米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的计算是解题关键．
21．(1)8，0.35；(2)见解析；(3)89.5～94.5；(4).
【分析】
(1)根据频数=总数×频率可求得m的值，利用频率=频数÷总数可求得n的值；
(2)根据m的值补全直方图即可；
(3)根据中位数的概念进行求解即可求得答案；
(4)画树状图得到所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后利用概率公式进行求解即可.
【详解】
(1)m＝40×0.2＝8，n＝14÷40＝0.35，
故答案为8，0.35；
(2)补全图形如下：
(3)由于40个数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在89.5～94.5，
∴推测他的成绩落在分数段89.5～94.5内，
故答案为89.5～94.5；
(4)选手有4人，2名是男生，2名是女生，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中一名男生一名女生的结果数有8种，
所以恰好是一名男生和一名女生的概率为.
【点睛】
本题考查了频数(率)分布表，频数分布直方图，中位数，列表法或树状图法求概率，正确把握相关知识是解题的关键.
22．（1）见解析；（2）DE＝3
【分析】
（1）连接OD、BD，求出BD⊥AC，可得AD＝DC，根据三角形的中位线得出OD∥BC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；
（2）根据题意求得AD，根据勾股定理求得BD，然后证得△CDE∽△ABD，根据相似三角形的性质即可求得DE．
【详解】
（1）证明：连接OD、BD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
∵AB＝BC，
∴D为AC中点，
∵OA＝OB，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）由（1）知BD是AC的中线，
∴AD＝CD＝，
∵⊙O的半径为5，
∴AB＝10，
∴BD＝，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵∠ADB＝∠CED＝90°，
∴△CDE∽△ABD，
∴，即，
∴DE＝3．
【点睛】
本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理等知识点的综合运用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
23．（1）一次性医用口罩和N95口单价分别是2元，12元；（2）药店购进一次性医用口罩至少1400只
【分析】
（1）设一次性医用口罩单价为x元，则N95口罩的单价为元，列分式方程求解即可；
（2）设购进一次性医用口罩y只，根据题意列不等式求解即可．
【详解】
解：（1）设一次性医用口罩单价为x元，则N95口罩的单价为元
由题意可知，，
解方程 得．
经检验是原方程的解，
当时，．
答：一次性医用口罩和N95口单价分别是2元，12元．
（2）设购进一次性医用口罩y只
根据题意得，
解不等式得．
答：药店购进一次性医用口罩至少1400只．
【点睛】
本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，掌握列分式方程与列不等式是解题的关键．
24．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）的面积的最大值为，旋转角的度数为
【分析】
（1）利用 “SAS”证得△ACE△ABD即可得到结论；
（2）利用 “SAS”证得△ACE△ABD，推出∠ACE=∠ABD，计算得出AD=BC=，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；
（3）观察图形，当点D在线段BC的垂直平分线上时，的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解．
【详解】
（1）根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90，
∵∠CAE+∠BAE =∠BAD+∠BAE =90，
∴∠CAE=∠BAD，
在△ACE和△ABD中，，
∴△ACE△ABD(SAS)，
∴CE=BD；
（2）根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90，
在△ACE和△ABD中，，
∴△ACE△ABD(SAS)，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠ACE+∠AEC=90，且∠AEC=∠FEB，
∴∠ABD+∠FEB=90，
∴∠EFB=90，
∴CF⊥BD，
∵AB=AC=，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90，
∴BC=AB =，CD= AC+ AD=，
∴BC= CD，
∵CF⊥BD，
∴CF是线段BD的垂直平分线；
（3）中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时的面积有最大值，
∴当点D在线段BC的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图：
∵∵AB=AC=，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90，DG⊥BC于G，
∴AG=BC=，∠GAB=45，
∴DG=AG+AD=，∠DAB=180-45=135，
∴的面积的最大值为：，
旋转角．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
25．（1）；（2）；（3）存在，点N的坐标为(，3) 或(，)或（-4，-5）
【分析】
（1）利用直线与y轴的交点求得点B的坐标，然后把点B、C的坐标代入，即可求解；
（2）先求得点A的坐标，证得△PAO△CAB，利用对应边成比例即可求解；
（3）分点N在AB的上方或下方两种情况进行讨论，根据平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质，利用三角形全等，即可求解．
【详解】
（1）令，则，
∴点B的坐标为(0，3)，
抛物线经过点B (0，3)，C (1，0)，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）令，则，
解得：，
∴点A的坐标为(，0)，
∴OA=3，OB=3，OC=1，
，
∵，且，
∴△PAO△CAB，
∴，即，
∴；
（3）存在，
过点P作PD⊥x轴于点D，
∵OA=3，OB=3，∠AOB=，
∴∠BAO=∠ABO=，
∴△PAD为等腰直角三角形，
∵，
∴PD=AD=2，
∴点P的坐标为(，2)，
当N在AB的上方时，过点N作NE⊥y轴于点E，如图，
∵四边形APMN为平行四边形，
∴NM∥AP，NM=AP=，
∴∠NME=∠ABO=，
∴△NME为等腰直角三角形，
∴Rt△NMERt△APD，
∴NE=AD=2，
当时，，
∴点N的坐标为(，3)，
当N在AB的下方时，过点N作NF⊥y轴于点F，如图，
同理可得：Rt△NMFRt△APD，
∴NF=AD=2，
当时，，
∴点N的坐标为(，)，
当AP为平行四边形的对角线时，点N的横坐标为-4，
∴N（-4，-5），
综上，点N的坐标为(，3)、 (，)或（-4，-5） ．
【点睛】
本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数与一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点．正确作出图形是解题的关键．
2021年山东省东营市中考第一次监测数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在，，，这四个数中，绝对值最小的数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算错误的是（ ）
A．（﹣3ab2）2＝9a2b4 B．﹣6a3b÷3ab＝﹣2a2
C．（a2）3﹣（﹣a3）2＝0 D．（x+1）2＝x2+1
3．一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若，则∠2的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．40°
4．将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设鸡有只，兔有只，则根据题意，下列方程组中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC＝6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则tan∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，．边在轴上，顶点的坐标分别为和．将正方形沿轴向右平移当点落在边上时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．如图,已知矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm.动点P在边BC上从点B向C运动,速度为1cm/s;同时动点Q从点C出发,沿折线C→D→A运动,速度为2cm/s.当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动。设点P运动的时间为t(s),△BPQ的面积为S(cm2),则描述S(cm2)与时间t(s)的函数关系的图象大致是( )
A． B．
C． D．
10．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作边BC的垂线AF交DC的延长线于点E，点F是垂足，连接BE、DF，DF交AC于点O．则下列结论：①四边形ABEC是正方形；②CO：BE＝1：3；③DE＝BC；④S四边形OCEF＝S△AOD，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．据科学研究表明，新型冠状病毒颗粒的最大直径为125纳米；125纳米用科学记数法表示为_____米．（1纳米＝10﹣9米）
12．分解因式：3a3﹣6a2+3a＝_______．
13．某校九年级甲、乙两名男生将近期6次立定跳远的平均成绩都是2.2米，方差分别是S甲2＝0.004，S乙2＝0.006，则两名男生中成绩较稳定的是_____（填“甲”或“乙”）
14．已知一次函数y＝2x﹣1的图象经过A（x1，1），B（x2，3）两点，则x1_____x2（填“＞”“＜”或“＝”）．
15．如图，BD是矩形ABCD的对角线，在BA和BD上分别截取BE，BF，使BE＝BF；分别以E，F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧在∠ABD内交于点G，作射线BG交AD于点P，若AP＝3，则点P到BD的距离为_______．
16．如图，直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，若S△AOB＝S△BOC＝1，则k＝_____．
17．如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结．则线段的最大值是________．
18．如图，在单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0）．则依图中所示规律，A2021的坐标为_____．
三、解答题
19．（1）计算：6cos45°+（）﹣1+（﹣1.73）0+|5﹣3|+42021×（﹣0.25）2021．
（2）先化简，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．
20．如图，某楼房AB顶部有一根天线BE，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C，D，A，在点C处测得天线顶端E的仰角为60°，从点C走到点D，测得CD＝5米，从点D测得天线底端B的仰角为45°，已知A，B，E在同一条垂直于地面的直线上，AB＝25米．
（1）求A与C之间的距离；
（2）求天线BE的高度．（参考数据：≈1.73，结果保留整数）
21．为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩(满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分)分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表.
分数段
频数
频率
74.5～79.5
2
0.05
79.5～84.5
m
0.2
84.5～89.5
12
0.3
89.5～94.5
14
n
94.5～99.5
4
0.1
(1)表中m＝__________，n＝____________；
(2)请在图中补全频数直方图；
(3)甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在_________分数段内；
(4)选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率.
22．如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）试证明DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求此时DE的长．
23．某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．
（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？
（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？
24．如图1，在中，，点D，E分别在边上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接．
（1）当时，求证：；
（2）如图3，当时，延长交于点，求证：垂直平分；
（3）在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的正半轴相交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为线段AB上一点，，求AP的长；
（3）在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．A
【分析】
根据绝对值的定义先求出这四个数的绝对值，再找出绝对值最小的数即可．
【详解】
解：∵|−1|＝1，|0|＝0，|2|＝2，|−3|＝3，
∴这四个数中，绝对值最小的数是0；
故选A．
【点睛】
此题考查了有理数的大小比较和绝对值，掌握绝对值的定义是本题的关键，是一道基础题．
2．D
【分析】
直接利用积的乘方运算法则以及整式的除法运算法则、完全平方公式分别化简得出答案．
【详解】
解：A、（﹣3ab2）2＝9a2b4，原式计算正确，不合题意；
B、﹣6a3b÷3ab＝﹣2a2，原式计算正确，不合题意；
C、（a2）3﹣（﹣a3）2＝0，原式计算正确，不合题意；
D、（x+1）2＝x2++2x+1，原式计算错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．C
【分析】
利用平行线的性质求得∠3的度数，即可求得∠2的度数．
【详解】
∵AD∥BC，
∴∠3=∠1=20，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠EDF=45，
∴∠2=45∠3=25，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
4．B
【分析】
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，先判断中间四个面的情况，根据这一特点可得到答案．
【详解】
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
所以：是相对面，是相对面，
所以：是相对面．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了正方体的表面展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
5．A
【分析】
先化成一般式后，在求根的判别式，即可确定根的状况．
【详解】
解：原方程可化为：，
，，，
，
方程由两个不相等的实数根．
故选A．
【点睛】
本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键．
6．A
【分析】
根据“上有三十五头”和“下有九十四足”两个等量关系列二元一次方程组即可．
【详解】
解：设鸡有只，兔有只
根据上有三十五头，可得x+y=35；
下有九十四足，2x+4y=94
即．
故答案为A．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意、找准等量关系是解答本题的关键．
7．C
【分析】
先根据扇形的面积公式S＝L•R求出母线长，再根据锐角三角函数的定义解答即可．
【详解】
解：根据题意可知：15π＝π×6×AB，
解得AB＝5cm，
∵BO＝BC＝3，
∴AO＝＝4，
∴tan∠ABC＝．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆锥侧面积公式的运用以及正切的定义，能够求出AO是本题解题关键．
8．B
【分析】
先画出落在上的示意图，如图，根据锐角三角函数求解的长度，结合正方形的性质，从而可得答案．
【详解】
解：由题意知：
四边形为正方形，
如图，当落在上时，
由
故选
【点睛】
本题考查的是平移的性质的应用，同时考查了正方形的性质，图形与坐标，锐角三角函数，掌握以上知识是解题的关键．
9．A
【分析】
先求出点P在BC边运动的时间，再求出Q点在CD边和AD边运动的时间，然后分Q点在CD边运动和在AD边运动两种情况分别计算出△BPQ的面积即可得出图象.
【详解】
点P在BC边运动的时间为
Q点在CD边运动的时间为，在AD边运动的时间
当Q点在CD边运动时，即时，
当Q点在AD边运动时，即时，
则根据S(cm2)与时间t(s)的函数关系式可知图象为A
故选A
【点睛】
本题主要考查矩形中的动点问题，能够找到面积与时间之间的函数关系式是解题的关键.
10．D
【分析】
①先证明△ABF≌△ECF，得AB＝EC，再得四边形ABEC为平行四边形，进而由∠BAC＝90°，得四边形ABCD是正方形，便可判断正误；
②由△OCF∽△OAD，得OC：OA＝1：2，进而得OC：BE的值，便可判断正误；
③根据BC＝AB，DE＝2AB进行推理说明便可；
④由△OCF与△OAD的面积关系和△OCF与△AOF的面积关系，便可得四边形OCEF的面积与△AOD的面积关系．
【详解】
解：①∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴BF＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DE，
∴∠BAF＝∠CEF，
∵∠AFB＝∠CFE，
∴△ABF≌△ECF（AAS），
∴AB＝CE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴四边形ABEC是正方形，故①正确；
②∵CF∥AD，
∴△OCF∽△OAD，
∴OC：OA＝CF：AD＝CF：BC＝1：2，
∴OC：AC＝1：3，∵AC＝BE，
∴OC：BE＝1：3，故②正确；
③∵AB＝CD＝EC，
∴DE＝2AB，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴AB＝BC，
∴DE＝2×，故③正确；
④∵△OCF∽△OAD，
∴，
∴，
∵OC：AC＝1：3，
∴3S△OCF＝S△ACF，∵S△ACF＝S△CEF，
∴，
∴，故④正确．
故选：D．
【点睛】
本题是平行四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质与判定，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．
11．1.25×10﹣7
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：125纳米＝125×10﹣9米＝1.25×10﹣7米．
故答案为：1.25×10﹣7．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．3a（a﹣1）2．
【分析】
先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可.
【详解】
解：3a3﹣6a2+3a＝3a（a2﹣2a+1）＝3a（a﹣1）2．
故答案为：3a（a﹣1）2．
【点睛】
此题考查的是因式分解，掌握提取公因式法和完全平方公式因式分解是解决此题的关键.
13．甲
【分析】
根据方差的意义即方差越小数据越稳定，从而得出答案．
【详解】
解：∵甲、乙两名男生6次立定跳远的平均成绩都是2.2米，S甲2＝0.004，S乙2＝0.006，
∴S甲2＜S乙2，
∴两名男生中成绩较稳定的是甲；
故答案为：甲．
【点睛】
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14．＜
【分析】
由k＝2＞0，可得出y随x的增大而增大，结合1＜3，即可得出x1＜x2．
【详解】
解：∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大．
又∵1＜3，
∴x1＜x2．
故答案为：＜．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”．
15．3
【分析】
首先结合作图的过程确定BP是∠ABD的平分线，然后根据角平分线的性质求得点P到BD的距离即可．
【详解】
结合作图的过程知：BP平分∠ABD，
∵∠A＝90°，AP＝3，
∴点P到BD的距离等于AP的长，为3，
故答案为：3．
【点睛】
考查了尺规作图的知识及角平分线的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是根据图形确定BP平分∠ABD．
16．4
【分析】
作CD⊥x轴于D，设OB＝a（a＞0）．由S△AOB＝S△BOC，根据三角形的面积公式得出AB＝BC．根据相似三角形性质即可表示出点C的坐标，把点C坐标代入反比例函数即可求得k．
【详解】
解：如图，作CD⊥x轴于D，设OB＝a（a＞0）．
∵S△AOB＝S△BOC，
∴AB＝BC．
∵△AOB的面积为1，
∴OA•OB＝1，
∴OA＝，
∵CD∥OB，AB＝BC，
∴OD＝OA＝，CD＝2OB＝2a，
∴C（，2a），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，
∴k＝×2a＝4．
故答案为4．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，会运用相似求线段长度是解题的关键．
17．3.5
【分析】
连接BP，如图，先解方程＝0得A（−4，0），B（4，0），再判断OQ为△ABP的中位线得到OQ＝BP，利用点与圆的位置关系，BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，然后计算出BP′即可得到线段OQ的最大值．
【详解】
连接BP，如图，
当y＝0时，＝0，
解得x1＝4，x2＝−4，则A（−4，0），B（4，0），
∵Q是线段PA的中点，
∴OQ为△ABP的中位线，
∴OQ＝BP，
当BP最大时，OQ最大，
而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，
∵BC＝∴BP′＝5＋2＝7，
∴线段OQ的最大值是3.5,
故答案为：3.5．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了三角形中位线．
18．（1012，0）
【分析】
首先确定点的角码与坐标的变化规律，利用规律确定答案即可．
【详解】
解：∵各三角形都是等腰直角三角形，
∴直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，
A3（0，0），A7（﹣2，0），A11（﹣4，0）…，
∵2021÷4＝505余1，
∴点A2021在x轴正半轴，纵坐标是0，横坐标是（2021+3）÷2＝1012，
∴A2021的坐标为（1012，0）．
故答案为：（1012，0）．
【点睛】
本题是对点的坐标变化规律的考查，根据2021是奇数，求出点的角码是奇数时的变化规律是解题的关键．
19．（1）8；（2），－1
【分析】
（1）先代入三角函数值、计算负整数指数幂和零指数幂、去绝对值符号、逆用积的乘方进行变形，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由分式有意义的条件确定出x的值，代入计算即可．
【详解】
解：（1）原式＝6×+3+1+5﹣3+（﹣0.25×4）2021
＝3+3+1+5﹣3﹣1
＝8；
（2）原式＝（﹣）÷
＝•
＝，
∵x≠±1，
∴x＝0，
则原式＝﹣1．
【点睛】
本题考查了分式的混合运算、特殊角的三角函数值、计算负整数指数幂和零指数幂、积的乘方等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20．（1）A与C之间的距离是30米；（2）天线BE的高度为27米
【分析】
（1）由等腰直角三角形的性质得出AD＝AB＝25米，则可求出答案；
（2）解直角三角形求出AE＝30•tan60°＝30（米），则可求出BE．
【详解】
解：（1）由题意得，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，
∴AD＝AB＝25米，
∵CD＝5米，
∴AC＝AD+CD＝25+5＝30（米），
即A与C之间的距离是30米；
（2）在Rt△ACE中．∠ACE＝60°，AC＝30米，
∴AE＝30•tan60°＝30（米），
∵AB＝25米，
∴BE＝AE﹣AB＝（30﹣25）米，
∵1.73，
∴BE≈1.73×30﹣25＝27米．
即天线BE的高度为27米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的计算是解题关键．
21．(1)8，0.35；(2)见解析；(3)89.5～94.5；(4).
【分析】
(1)根据频数=总数×频率可求得m的值，利用频率=频数÷总数可求得n的值；
(2)根据m的值补全直方图即可；
(3)根据中位数的概念进行求解即可求得答案；
(4)画树状图得到所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后利用概率公式进行求解即可.
【详解】
(1)m＝40×0.2＝8，n＝14÷40＝0.35，
故答案为8，0.35；
(2)补全图形如下：
(3)由于40个数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在89.5～94.5，
∴推测他的成绩落在分数段89.5～94.5内，
故答案为89.5～94.5；
(4)选手有4人，2名是男生，2名是女生，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中一名男生一名女生的结果数有8种，
所以恰好是一名男生和一名女生的概率为.
【点睛】
本题考查了频数(率)分布表，频数分布直方图，中位数，列表法或树状图法求概率，正确把握相关知识是解题的关键.
22．（1）见解析；（2）DE＝3
【分析】
（1）连接OD、BD，求出BD⊥AC，可得AD＝DC，根据三角形的中位线得出OD∥BC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；
（2）根据题意求得AD，根据勾股定理求得BD，然后证得△CDE∽△ABD，根据相似三角形的性质即可求得DE．
【详解】
（1）证明：连接OD、BD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
∵AB＝BC，
∴D为AC中点，
∵OA＝OB，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）由（1）知BD是AC的中线，
∴AD＝CD＝，
∵⊙O的半径为5，
∴AB＝10，
∴BD＝，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵∠ADB＝∠CED＝90°，
∴△CDE∽△ABD，
∴，即，
∴DE＝3．
【点睛】
本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理等知识点的综合运用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
23．（1）一次性医用口罩和N95口单价分别是2元，12元；（2）药店购进一次性医用口罩至少1400只
【分析】
（1）设一次性医用口罩单价为x元，则N95口罩的单价为元，列分式方程求解即可；
（2）设购进一次性医用口罩y只，根据题意列不等式求解即可．
【详解】
解：（1）设一次性医用口罩单价为x元，则N95口罩的单价为元
由题意可知，，
解方程 得．
经检验是原方程的解，
当时，．
答：一次性医用口罩和N95口单价分别是2元，12元．
（2）设购进一次性医用口罩y只
根据题意得，
解不等式得．
答：药店购进一次性医用口罩至少1400只．
【点睛】
本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，掌握列分式方程与列不等式是解题的关键．
24．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）的面积的最大值为，旋转角的度数为
【分析】
（1）利用 “SAS”证得△ACE△ABD即可得到结论；
（2）利用 “SAS”证得△ACE△ABD，推出∠ACE=∠ABD，计算得出AD=BC=，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；
（3）观察图形，当点D在线段BC的垂直平分线上时，的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解．
【详解】
（1）根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90，
∵∠CAE+∠BAE =∠BAD+∠BAE =90，
∴∠CAE=∠BAD，
在△ACE和△ABD中，，
∴△ACE△ABD(SAS)，
∴CE=BD；
（2）根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90，
在△ACE和△ABD中，，
∴△ACE△ABD(SAS)，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠ACE+∠AEC=90，且∠AEC=∠FEB，
∴∠ABD+∠FEB=90，
∴∠EFB=90，
∴CF⊥BD，
∵AB=AC=，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90，
∴BC=AB =，CD= AC+ AD=，
∴BC= CD，
∵CF⊥BD，
∴CF是线段BD的垂直平分线；
（3）中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时的面积有最大值，
∴当点D在线段BC的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图：
∵∵AB=AC=，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90，DG⊥BC于G，
∴AG=BC=，∠GAB=45，
∴DG=AG+AD=，∠DAB=180-45=135，
∴的面积的最大值为：，
旋转角．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
25．（1）；（2）；（3）存在，点N的坐标为(，3) 或(，)或（-4，-5）
【分析】
（1）利用直线与y轴的交点求得点B的坐标，然后把点B、C的坐标代入，即可求解；
（2）先求得点A的坐标，证得△PAO△CAB，利用对应边成比例即可求解；
（3）分点N在AB的上方或下方两种情况进行讨论，根据平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质，利用三角形全等，即可求解．
【详解】
（1）令，则，
∴点B的坐标为(0，3)，
抛物线经过点B (0，3)，C (1，0)，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）令，则，
解得：，
∴点A的坐标为(，0)，
∴OA=3，OB=3，OC=1，
，
∵，且，
∴△PAO△CAB，
∴，即，
∴；
（3）存在，
过点P作PD⊥x轴于点D，
∵OA=3，OB=3，∠AOB=，
∴∠BAO=∠ABO=，
∴△PAD为等腰直角三角形，
∵，
∴PD=AD=2，
∴点P的坐标为(，2)，
当N在AB的上方时，过点N作NE⊥y轴于点E，如图，
∵四边形APMN为平行四边形，
∴NM∥AP，NM=AP=，
∴∠NME=∠ABO=，
∴△NME为等腰直角三角形，
∴Rt△NMERt△APD，
∴NE=AD=2，
当时，，
∴点N的坐标为(，3)，
当N在AB的下方时，过点N作NF⊥y轴于点F，如图，
同理可得：Rt△NMFRt△APD，
∴NF=AD=2，
当时，，
∴点N的坐标为(，)，
当AP为平行四边形的对角线时，点N的横坐标为-4，
∴N（-4，-5），
综上，点N的坐标为(，3)、 (，)或（-4，-5） ．
【点睛】
本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数与一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点．正确作出图形是解题的关键．
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