2020-2021学年湖北省荆州市某校高二（下）4月月考数学（理）试卷

这是一份2020-2021学年湖北省荆州市某校高二（下）4月月考数学（理）试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. “m≤0”是“函数fx=lnx−mx在(0,1]上为增函数”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2. 复数z∈C，在复平面内z对应的点Z，满足1≤|z−11+i|≤2，则点Z所在区域的面积( )
A.πB.2πC.3πD.4π

3. 现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同的选法的种数是( )
A.56B.65C.30D.11

4. 甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次(无并列名次)，已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五．据此推测5人的名次排列情况共有( )种
A.5B.8C.14D.21

5. 若平面内两条平行线l1：x+a−1y+2=0，l2：ax+2y+1=0间的距离为355，则实数a=( )
A.−2B.−2或1C.−1D.−1或2

6. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=52， S9=9，则a7=( )
A.12B.1C.−12D.2

7. 已知抛物线y2=16x的焦点与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的焦点F重合，C的渐近线恰为矩形OAFB的边OA，OB所在直线（O为坐标原点），则双曲线C的方程是( )
A.x212−y24=1B.x232−y232=1
C.x24−y212=1D.x28−y28=1

8. 已知函数fx=ex−3 ，gx=12+lnx2，若fm=gn成立，则n−m的最小值为( )
A.1+ln2B.ln2C.2ln2D.ln2−1
二、多选题

已知圆M:x2+y2−4x−1=0，点Px,y是圆M上的动点，则下列说法正确的有( )
A.圆M关于直线x+3y−2=0对称
B.直线x+y=0与M的相交弦长为3
C.t=yx+3的最大值为12
D.x2+y2的最小值为9−45

已知a，b是两条不重合的直线， α，β是两个不重合的平面，则下列命题正确的是( )
A.若a⊥α，a⊥β，则α//β
B.若a⊥α，b⊥α，则a//b
C.若a→⊥b→，b⊥α，a//β，则α//β
D.若α//β，a与α所成的角和b与β所成的角相等，则a//b

已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，Sn+1=Sn+2an+1，数列2nan⋅an+1的前n项和为Tn，n∈N*，则下列选项正确的为( )
A.数列an+1是等差数列
B.数列an+1是等比数列
C.数列an的通项公式为an=2n−1
D.Tn<1

已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)与双曲线Ω:x218−y232=1有相同的渐近线，且过点P6,43，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，则下列说法正确的是( )
A.若双曲线C上一点M到它的焦点F1的距离等于16，则点M到另一个焦点F2的距离为10
B.过点3,0的直线l与双曲线C有唯一公共点，则直线l的方程为4x−3y−12=0
C.若N是双曲线C左支上的点，且|NF1|⋅|NF2|=32，则△F1NF2的面积为16
D.过点Q2,2的直线与双曲线x2a2−7−y2b2−8=1相交于A，B两点，且Q2,2为弦AB的中点，则直线AB的方程为4x−y−6=0
三、填空题

i是虚数单位，则复数3−i1+2i=________.

设随机变量X的分布列为PX=k=a⋅13k，k=1，2，3，则a的值为________ .

x+1x−2x6展开式中含x的项的系数为________.

已知函数fx=x+4e,x≤0,exx,x>0,若存在x1≤0，x2>0，使得fx1=fx2，则x1fx2的取值范围是________.
四、解答题

2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”：高铁，扫码支付、共享单车和网购．为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付准备从国内nn∈N*个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计，若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为415．
(1)求n的值；

(2)若一次抽取4个城市，假设取出小城市的个数为X，求X的分布列．

已知函数fx=xlnx−ax+2（a为实数）．
(1)若a=2，求fx的最小值；

(2)若fx≥0恒成立，求a的取值范围．

设数列{an}满足a1=3，an+1=3an−4n.
(1)计算a2，a3，求an的通项公式；

(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.

如图，四棱锥P−ABCD中，△PAD为等边三角形，AB//CD，∠BAD=90∘，平面PAD⊥平面ABCD．

(1)若平面PAB∩平面PDC=l，求证：l⊥平面PAD；

(2)若AB=2CD，ABPA=λλ>0，且二面角P−BC−D的平面角为π3，求实数λ的值．

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，若△F1AB的周长为8．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设P为椭圆C上的动点，过原点作直线与椭圆C分别交于点M，N（点P不在直线MN上），求△PMN面积的最大值．

已知函数fx=lnxx．
(1)若直线y=kx−1是曲线y=fx的切线，求实数k的值；

(2)若对任意x∈0,+∞，不等式fx≤ax−1−lnax成立，求实数a的取值集合．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省荆州市某校高二（下）4月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
利用导数研究函数的单调性
【解析】
利用导数的单调性，求出参数范围，即可判断充要条件.
【解答】
解：∵ f(x)=lnx−mx，x∈(0,1]，
∴ f′(x)=1x−m，
又∵ 函数f(x)=lnx−mx在(0,1]上为增函数，
则f′(x)=1x−m≥0，即m≤1x在(0,1]上恒成立，
即m≤1xmin，
又当x=1时，1xmin=1，所以m≤1，
故“m≤0”是“m≤1”的充分而不必要条件.
故选A.
2.
【答案】
C
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
利用复数的几何意义，确定点所在的区域，即可得出答案.
【解答】
解：∵ 11+i=1−i1+i1−i=12−12i，
∴ z−11+i=z−12−12i表示复数点Z与复数点12,−12之间的距离，
∴ 1≤z−11+i≤2表示以12,−12为圆心，小于2为半径的圆的圆面与大于1为半径的圆的圆面所围成的圆环区域，
故点Z所在区域的面积为4π−π=3π.
故选C.
3.
【答案】
A
【考点】
分步乘法计数原理
【解析】
6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，实际上是有6个人选择讲座，且每人有5种选择方法，根据分步计数原理得到结果．
【解答】
解：∵ 每位同学均有5种讲座可选择，
∴ 6位同学共有5×5×5×5×5×5=56种.
故选A．
4.
【答案】
C
【考点】
排列、组合的应用
【解析】
讨论丙是否为第一，即可得出答案.
【解答】
解：由甲排第三，故不用考虑甲的情况.
又由乙不是第一，丙不是第五，
若丙是第一，则有A33种排法；
若丙不是第一，则第一有2种情况，第五也有2种情况，则有2×2×A22种排法，
故共有A33+2×2×A22=14种排法.
故选C.
5.
【答案】
C
【考点】
两条平行直线间的距离
【解析】
由两直线平行求得α，并确定两直线不重合，然后求出两平行线的距离即可得．
【解答】
解：若l1//l2，则aa−1=2 ，
解得a=−1或a=2，
当a=−1时，两直线方程分别为x−2y+2=0，
x−2y−1=0，
∴ d=2−(−1)5=355 ，符合题意；
当a=2时，两直线方程分别为x+y+2=0， x+y+12=0 ，
∴ d=2−122=324，不符合题意，
综上所述，a=−1.
故选C．
6.
【答案】
C
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的性质
【解析】
根据等差数列前π项和公式得S9=9a1+a92，又由等差数列性质a1+a9=a3+a7，综合可得a7的值．
【解答】
解：由题意，得S9=9a1+a92
=9a3+a72=952+a72=9，
解得a7=−12.
故选C．
7.
【答案】
D
【考点】
双曲线的特性
双曲线的标准方程
抛物线的性质
双曲线的渐近线
【解析】
由矩形的性质可得双曲线的两条渐近线垂直，求得a=b，再由抛物线的焦点，解方程求得a=b=22，可得双曲线的方程．
【解答】
解：由C的渐近线恰为矩形OAFB的边OA，OB所在直线，
可得双曲线的两条渐近线垂直，
由渐近线方程为y=±bax，
可得−b2a2=−1，即a=b，
又抛物线y2=16x的焦点为4,0，
即有a2+b2=16，解得a=b=22，
则双曲线的方程为x28−y28=1.
故选D．
8.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数恒成立问题
利用导数研究函数的最值
【解析】
由题意，设gn=fm=k，即，解得m=lnk+3，n=2ek−12，令hk=2ek−12−lnk−3k>0 ，求出导函数，利用导数求hk的最小值即可得到答案.
【解答】
解：不妨设gn=fm=kk>0，
所以em−3=12+lnn2=k k>0，
所以m=lnk+3，n=2ek−12，
故n−m=2ek−12−lnk−3k>0，
令hk=2ek−12−lnk−3k>0，
则h′k=2ek−12−1k，
易知h′k在0,+∞上单调递增，且h′12=0，
当k>12时，h′k>0，h(x)单调递增，
当0即当k=12时，hk取得极小值也是最小值，
此时h12=2−3+ln12=ln2−1，
即n−m的最小值是ln2−1.
故选D．
二、多选题
【答案】
A,C,D
【考点】
直线与圆的位置关系
与圆有关的最值问题
圆的标准方程
【解析】
验证圆心是否过直线判断A，求出相交弦长判断B，把t=yx+3变以y=tx+3代入圆方程，利用判别式不小于0判断C，利用原点到圆心的距离求得x2+y2最小值判断D．
【解答】
解：A，∵ 圆M的标准方程是x−22+y2=5，
∴ M2,0 ，半径为r=5，
易得M点在直线x+3y−2=0上，故A正确；
B，∵ 点M到直线x+y=0的距离为d=22=2，
∴ 弦长=2r2−d2=252−22=23 ，故B错误；
C，由t=yx+3得y=tx+3代入圆的方程整理，
得1+t2x2+6t2−4x+9t2−1=0，
由Δ=6t2−42−41+t29t2−1=−80t2+20≥0 ，
可得−12≤t≤12 ，
∴ t的最大值是12 ，故C正确；
D，∵ |OM|=2，且 |OP|min=5−2 ，
∴ x2+y2的最小值是(|OP|min)2=9−45 ，故D正确．
故选ACD．
【答案】
A,B
【考点】
空间中直线与直线之间的位置关系
空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】
利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解，逐条判定，即可推出结果．
【解答】
解：A，垂直于同一直线的两个平面平行，故A正确；
B，垂直于同一个平面的两直线平行，故B正确；
C，若a→⊥b→，b⊥α，a//β，则α与β可能平行，也可能相交，故C错误；
D，若α//β，a与α所成的角和b与β所成的角相等，则a与b可能平行，也可能相交或异面，故D错误.
故选AB.
【答案】
B,C,D
【考点】
数列的求和
数列递推式
等比数列
【解析】
求出数列的an的通项公式，利用裂项求和法，即可求出结果.
【解答】
解：因为Sn+1=Sn+2an+1，
即an+1=Sn+1−Sn=2an+1，
所以an+1+1=2an+1，
由S1=a1=1，可得数列an+1是首项为2，
公比为2的等比数列，故A错误，B正确；
因为an+1=2n，
所以an=2n−1，故C正确；
又因为2nan⋅an+1=2n2n−12n+1−1
=12n−1−12n+1−1，
所以Tn=1−122−1+122−1−123−1
+...+12n−1−12n+1−1=1−12n+1−1<1，故D正确.
故选BCD.
【答案】
C,D
【考点】
双曲线的特性
双曲线的标准方程
双曲线的应用
与双曲线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
设双曲线C的方程为x218−y232=kk>0，则x218k−y232k=1k>0，由双曲线C过点P(6,43)，求得k=12，可得双曲线C方程为x29−y216=1.根据双曲线的定义判断故A错误；由直线l与双曲线C的位置关系判断B错误；根据双曲线的定义得到NF2−NF1=6，结合已知可得NF22+NF12=F2F12=100，即NF2⊥NF1，所以△NF1F2为直角三角形，再利用三角形的面积公式可知C正确；设Ax1,y1,Bx2,y2，过点Q(2,2)的直线方程为y−2=k(x−2)，联立直线方程换个双曲线方程，利用韦达定理结合点Q(2,2)为弦AB的中点，得到x1+x2=−4k(k−1)4−k2=4，求得k=4，即可得到直线AB的方程从而判断D正确.

【解答】
解：设双曲线C的方程为x218−y232=kk>0，
则x218k−y232k=1k>0，
∵ 双曲线C过点P(6,43)，
∴ 3618k−4832k=1k>0，可得k=12,
∴ 双曲线C方程为x29−y216=1，
∴ a=3，b=4，c=5.
A，由题意，得MF1−MF2=2a，
即16−MF2=6，解得MF2=10或MF2=22，故A错误；
B，∵ 点(3,0)为双曲线C的右顶点，
∴ 过点(3,0)的直线l与双曲线C相切有唯一公共点，
此时直线l的方程为x=3，
当直线l与双曲线C的渐近线y=±43x平行时，
直线l与双曲线C有唯一公共点，此时kl=±43，
∴ 直线l的方程为4x−3y−12=0或4x+3y−12=0，故B错误；
C，N是双曲线C左支上的一点，则NF2−NF1=6，
即NF22−2NF2⋅NF1+NF12=36，
由NF2⋅NF1=32可得NF22+NF12=100，
即NF22+NF12=F2F12=100，
∴ NF2⊥NF1，即△NF1F2为直角三角形，
∴ S△NF1F2=12NF1⋅NF2=12×32=16，故C正确；
D，双曲线x2a2−7−y2b2−8=1，即x22−y28=1，
设Ax1,y1，Bx2,y2，
过点Q(2,2)的直线方程为y−2=k(x−2)，
联立y−2=k(x−2),x22−y28=1,
可得4−k2x2+4k(k−1)x−(4k2−8k+12)=0，
则x1+x2=−4k(k−1)4−k2，
∵ 点Q(2,2)为弦AB的中点，
∴ x1+x2=−4k(k−1)4−k2=4，
解得k=4，∴ 直线AB的方程为y−2=4(x−2)，
即4x−y−6=0，故D正确.
故选CD.
三、填空题
【答案】
15−75i
【考点】
复数代数形式的混合运算
【解析】
根据复数的运算化简即可得解.
【解答】
解：3−i1+2i=3−i1−2i1+2i1−2i
=3−7i+2i25=15−75i.
故答案为：15−75i.
【答案】
2713
【考点】
离散型随机变量及其分布列
【解析】
因为随机变量X的分布列为P(X=A)=a⋅13k,k=1,2,3，所以根据分布到的性质有a⋅13+a⋅(13)2+a⋅132=1，所a⋅13+132=1，所以a⋅13+19+127=a×1327=1，所以a=2713 .
【解答】
解：因为随机变量X的分布列为P(X=k)=a⋅13k，k=1，2，3，
所以根据分布列性质，得a⋅13+a⋅132+a⋅133=1，
所以a=2713 .
故答案为：2713.
【答案】
−100
【考点】
二项式定理的应用
二项展开式的特定项与特定系数
【解析】
把x+1x−2x6展按照二项式定理展开，可得x+1x−2x6的展开式中含x的项的系数．
【解答】
解：x−2x6展开式的通项为
Tr+1=C6r⋅x6−r⋅−2xr=(−2)rC6r⋅x3−r，
令3−r=0，解得r=3，
∴ T4=−23⋅C63⋅x=−160x，
令3−r=1，解得r=2，
∴ T3=−22⋅C62⋅x=60x，
∴ x+1x−2x6展开式中含x的项的系数为−160+60=−100．
故答案为：−100．
【答案】
−4e2,0
【考点】
分段函数的应用
利用导数研究函数的最值
利用导数研究函数的单调性
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
由fx1=fx2得x1=ex2x2−4e ，根据x1的范围得ex2x2≤4e，利用导数得ex2x2≥e ，可得e≤ex2x2≤4e ，令t=ex2x2 ，将x1fx2化为关于t的二次函数，根据二次函数知识可求得结果．
【解答】
解：因为fx1=fx2 ，x1≤0，x2>0，
所以x1+4e=ex2x2 ，即x1=ex2x2−4e.
因为x1≤0，所以ex2x2≤4e，
当x>0时，fx=exx，
则f′x=exx−exx2=exx−1x2，
当f′x>0时，x>1 ，fx在1,+∞上单调递增；
当f′x<0时，0所以fx在x=1处取得最小值f1=e，
所以e≤ex2x2≤4e，
所以x1fx2=ex2x2−4eex2x2=ex2x22−4e⋅ex2x2，
令t=ex2x2 ，则e≤t≤4e，
所以x1fx2=t2−4et=t−2e2−4e2，
所以当t=2e时，x1fx2取得最小值−4e2 ，
当t=4e时，x1fx2取得最大值0，
所以x1fx1的取值范围是−4e2,0.
故答案为：−4e2,0.
四、解答题
【答案】
解：(1)由题意，得C82C8+n2=415，
整理，得n2+15n−154=0，
解得n=7或n=−22（负值舍去）．
(2)由题意可知，随机变量X的可能值为0，1，2，3，4，
PX=0=C74C154=139，PX=1=C81C73C154=839，
PX=2=C82C72C154=2865，PX=3=C83C71C154=56195，
PX=4=C84C154=239，
X的分布列如表所示.
【考点】
古典概型及其概率计算公式
离散型随机变量的分布列及性质
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题意，得C82C8+n2=415，
整理，得n2+15n−154=0，
解得n=7或n=−22（负值舍去）
(2)由题意可知，随机变量X的可能值为0，1，2，3，4，
PX=0=C74C154=139，PX=1=C81C73C154=839，
PX=2=C82C72C154=2865，PX=3=C83C71C154=56195，
PX=4=C84C154=239，
X的分布列如表所示.
【答案】
解：(1)当a=2时，fx=xlnx−2x+2，则f′x=lnx−1．
由f′x<0得0由f′x>0得x>e，
∴ 函数fx在0,e上单调递减，在e,+∞上单调递增，
∴ 函数fx的最小值为fe=elne−2e+2=2−e．
(2)由题意可知，x>0，
若fx≥0恒成立，则xlnx−ax+2≥0，
即lnx+2x≥a恒成立，
令gx=lnx+2x，
则g′x=1x−2x2=x−2x2，
当0当x>2时，g′x>0，
∴ gx在0,2上单调递减，在2,+∞上单调递增，
∴ gxmin=g2=1+ln2，
∴ a≤1+ln2，
即a的取值范围为(−∞,1+ln2]．
【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)当a=2时，fx=xlnx−2x+2，则f′x=lnx−1．
由f′x<0得0由f′x>0得x>e，
∴ 函数fx在0,e上单调递减，在e,+∞上单调递增，
∴ 函数fx的最小值为fe=elne−2e+2=2−e．
(2)由题意可知，x>0，
若fx≥0恒成立，则xlnx−ax+2≥0，
即lnx+2x≥a恒成立，
令gx=lnx+2x，
则g′x=1x−2x2=x−2x2，
当0当x>2时，g′x>0，
∴ gx在0,2上单调递减，在2,+∞上单调递增，
∴ gxmin=g2=1+ln2，
∴ a≤1+ln2，
即a的取值范围为(−∞,1+ln2]．
【答案】
解：(1)由a1=3，an+1=3an−4n，
得a2=3a1−4=5，a3=3a2−4×2=7，
⋯，
猜想an的通项公式为an=2n+1.
证明如下：（数学归纳法）当n=1，2，3时，显然成立①；
假设n=k时，即ak=2k+1成立，其中k∈N*，
由ak+1=3ak−4k=3(2k+1)−4k=2(k+1)+1 ②，
故假设成立.
综上①②，所以an=2n+1n∈N*.
(2)令bn=2nan=2n+12n，
则前n项和Sn=b1+b2+⋯+bn
=3×21+5×22+⋯+(2n+1)2n③，
由③两边同乘2得
2Sn=3×22+5×23+⋯+(2n−1)2n+(2n+1)2n+1 ④，
由③−④得−Sn=3×2+2×22+⋯+2×2n−(2n+1)2n+1
=6+23(1−2n−1)1−2−(2n+1)2n+1，
化简得Sn=2n−12n+1+2.
【考点】
数学归纳法
数列递推式
数列的求和
等比数列的前n项和
【解析】
(1)利用数列的递推关系式求出a2，a3，猜想{an}的通项公式，然后利用数学归纳法证明即可；
(2)化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的前n项和Sn.
【解答】
解：(1)由a1=3，an+1=3an−4n，
得a2=3a1−4=5，a3=3a2−4×2=7，
⋯，
猜想an的通项公式为an=2n+1.
证明如下：（数学归纳法）当n=1，2，3时，显然成立①；
假设n=k时，即ak=2k+1成立，其中k∈N*，
由ak+1=3ak−4k=3(2k+1)−4k=2(k+1)+1 ②，
故假设成立.
综上①②，所以an=2n+1n∈N*.
(2)令bn=2nan=2n+12n，
则前n项和Sn=b1+b2+⋯+bn
=3×21+5×22+⋯+(2n+1)2n③，
由③两边同乘2得
2Sn=3×22+5×23+⋯+(2n−1)2n+(2n+1)2n+1 ④，
由③−④得−Sn=3×2+2×22+⋯+2×2n−(2n+1)2n+1
=6+23(1−2n−1)1−2−(2n+1)2n+1，
化简得Sn=2n−12n+1+2.
【答案】
(1)证明：∵ 平面PAD⊥平面ABCD，BA⊥AD，
且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴ BA⊥平面PAD，
∵ AB//CD，
∴ AB//平面PCD，
∵ 平面PAB∩平面PDC=l，
∴ AB//l，
∴ l⊥平面PAD．
(2)解：如图，过P作PE⊥AD，可得PE⊥平面ABCD，
过E作EH⊥BC，连PH，可得∠PHE即为P−BC−D的平面角，
由题意，得∠PHE=60∘，设PA=2，
则PE=3，AB=2λ，CD=λ，BC=4+λ2，
∵ 12BC⋅EH=2λ+2λ2−1×λ+2λ2=3λ2，
∴ EH=3λ4+λ2，
∴ tan∠PHE=PEEH=33λλ2+4=3，
解得λ=22．
【考点】
直线与平面平行的判定
平面与平面垂直的性质
二面角的平面角及求法
【解析】
无
无
【解答】
(1)证明：∵ 平面PAD⊥平面ABCD，BA⊥AD，
且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴ BA⊥平面PAD，
∵ AB//CD，
∴ AB//平面PCD，
∵ 平面PAB∩平面PDC=l，
∴ AB//l，
∴ l⊥平面PAD．
(2)解：如图，过P作PE⊥AD，可得PE⊥平面ABCD，
过E作EH⊥BC，连PH，可得∠PHE即为P−BC−D的平面角，
由题意，得∠PHE=60∘，设PA=2，
则PE=3，AB=2λ，CD=λ，BC=4+λ2，
∵ 12BC⋅EH=2λ+2λ2−1×λ+2λ2=3λ2，
∴ EH=3λ4+λ2，
∴ tan∠PHE=PEEH=33λλ2+4=3，
解得λ=22．
【答案】
解：(1)由椭圆的定义可知，△F1AB的周长为4a，
∴ 4a=8，a=2，
又离心率为12，
∴ c=1，
∴ b2=3，
∴ 椭圆方程为x24+y23=1．
(2)当直线MN⊥x轴时，
Smax=12×23×2=23；
当直线MN不垂直x轴时，
设MN：y=kx，
联立y=kx，x24+y23=1，
∴ x2=123+4k2，y2=12k23+4k2，
∴ |MN|=431+k23+4k2．
设与MN平行且与椭圆C相切的直线为：y=kx+m，
联立y=kx+m，x24+y23=1，
化简得3+4k2x2+8kmx+4m2−12=0，
∵ Δ=64k2m2−43+4k24m2−12=0，
∴ m2=3+4k2，
∴ P距MN的最大距离为：dmax=|m|1+k2=3+4k21+k2．
∴ Smax=12⋅|MN|⋅dmax
=12×431+k23+4k2×3+4k21+k2
=23，
综上，△PMN面积的最大值为23．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆结合的最值问题
椭圆的应用
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由椭圆的定义可知，△F1AB的周长为4a，
∴ 4a=8，a=2，
又离心率为12，
∴ c=1，
∴ b2=3，
∴ 椭圆方程为x24+y23=1．
(2)当直线MN⊥x轴时，
Smax=12×23×2=23；
当直线MN不垂直x轴时，
设MN：y=kx，
联立y=kx，x24+y23=1，
∴ x2=123+4k2，y2=12k23+4k2，
∴ |MN|=431+k23+4k2．
设与MN平行且与椭圆C相切的直线为：y=kx+m，
联立y=kx+m，x24+y23=1，
化简得3+4k2x2+8kmx+4m2−12=0，
∵ Δ=64k2m2−43+4k24m2−12=0，
∴ m2=3+4k2，
∴ P距MN的最大距离为：dmax=|m|1+k2=3+4k21+k2．
∴ Smax=12⋅|MN|⋅dmax
=12×431+k23+4k2×3+4k21+k2
=23，
综上，△PMN面积的最大值为23．
【答案】
解：(1)因为fx=lnxxx>0，
所以f′x=1−lnxx2，
设切点为px0,lnx0x0，此时切线方程为y−lnx0x0=1−lnx0x02x−x0，
又直线y=kx−1过0,−1，
所以−1−lnx0x0=1−lnx0x020−x0，
即2lnx0+x0−1=0，
令hx=2lnx+x−1，
则h1=0，且hx在0,+∞上单调递增，
所以方程2lnx0+x0−1=0有唯一解x0=1，
所以k=1．
(2)不等式fx≤ax−1−lnax恒成立，即不等式ax2−x−lnx−lna≥0恒成立．
令Fx=ax2−x−lnx−lna，
则F′x=2ax2−x−1x，
令Gx=2ax2−x−1=0，
因为a>0，
所以Δ=1+8a>0，
所以Gx=0有两个不等根x1，x2，且x1x2=−12a<0.
不妨设x1<0所以Fx在0,x2上单调递减，在x2,+∞上单调递增，
所以Fxmin=Fx2=ax22−x2−lnax2
由Gx2=2ax22−x2−1=0，可得ax2=1+x22x2，
所以Fx2=1−x22−ln1+x22x2
所以1−x22−ln1+x22x2≥0．
令Hx=1−x2−ln1+x2x
=1−x2+ln2x−ln1+x，
则H′x=−x−1x+22xx+1，
所以Hx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，
所以Hx≤H1=0，
又Fx2≥0，
所以Fx2=0，
所以x2=1，
所以a=1，
所以，实数a的取值集合为1．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为fx=lnxxx>0，
所以f′x=1−lnxx2，
设切点为px0,lnx0x0，此时切线方程为y−lnx0x0=1−lnx0x02x−x0，
又直线y=kx−1过0,−1，
所以−1−lnx0x0=1−lnx0x020−x0，
即2lnx0+x0−1=0，
令hx=2lnx+x−1，
则h1=0，且hx在0,+∞上单调递增，
所以方程2lnx0+x0−1=0有唯一解x0=1，
所以k=1．
(2)不等式fx≤ax−1−lnax恒成立，即不等式ax2−x−lnx−lna≥0恒成立．
令Fx=ax2−x−lnx−lna，
则F′x=2ax2−x−1x，
令Gx=2ax2−x−1=0，
因为a>0，
所以Δ=1+8a>0，
所以Gx=0有两个不等根x1，x2，且x1x2=−12a<0.
不妨设x1<0所以Fx在0,x2上单调递减，在x2,+∞上单调递增，
所以Fxmin=Fx2=ax22−x2−lnax2
由Gx2=2ax22−x2−1=0，可得ax2=1+x22x2，
所以Fx2=1−x22−ln1+x22x2
所以1−x22−ln1+x22x2≥0．
令Hx=1−x2−ln1+x2x
=1−x2+ln2x−ln1+x，
则H′x=−x−1x+22xx+1，
所以Hx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，
所以Hx≤H1=0，
又Fx2≥0，
所以Fx2=0，
所以x2=1，
所以a=1，
所以，实数a的取值集合为1．X
0
1
2
3
4
P
139
839
2865
56195
239
X
0
1
2
3
4
P
139
839
2865
56195
239