高三第五次模拟考试数学试题

高三5月教学情况调研（二）

数学Ⅰ试题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．     函数的定义域为A，函数的定义域为B，则AB =    ▲   ．

2．     设（是虚数单位），则=    ▲   ．

3．     在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的一个焦点为（5，0），则实数m =    ▲   ．

4．     样本容量为100的频率分布直方图如右图所示，由此估计

样本数据落在[6，10]内的频数为    ▲   ．

5．     “”是“函数的图象关于y轴对称”的

  ▲  条件．（在“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、

“既不充分也不必要”中选一个合适的填空）

6．     已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1 = 1，S3 = 6，则S6 =    ▲   ．

7．     函数的值域是    ▲   ．

8．     执行右面的程序图，那么输出n的值为   ▲   ．

9．     在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，则“是整数”的概率为   ▲   ．

10．  已知△ABC为等腰直角三角形，斜边BC上的中线AD = 2，将△ABC沿AD折成60°的二面角，连结BC，则三棱锥C  ABD的体积为   ▲   ．

11．  直线y = kx与曲线相切，则实数k =    ▲   ．

12．  已知平面内的四点O，A，B，C满足，，则 =   ▲   ．

13．  已知奇函数是上的单调函数，若函数只有一个零点，则实数k的值是

   ▲   ．

14．  已知x，y，满足，x≥1，则的最大值为   ▲   ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足A = B  30°．

（1）若c = 1，，求B．

（2）若，求的值．

16．（本小题满分14分）

如图，正四棱锥P  ABCD的高为PO，PO = AB = 2．E，F分别是棱PB，CD的中点，Q是棱PC上的点．

（1）求证：EF∥平面PAD；

（2）若PC⊥平面QDB，求PQ．

17．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F 与F，圆：．

（1）设M为圆F上一点，满足，求点M的坐标；

（2）若P为椭圆上任意一点，以P为圆心，OP为半径的圆P与圆F的公共弦为QT，

证明：点F到直线QT的距离FH为定值．

18．（本小题满分16分）

如图，O为总信号源点，A，B，C是三个居民区，已知A，B都在O的正东方向上，

OA = 10 ，OB = 20 ，C在O的北偏西45° 方向上，CO =．

（1）求居民区A与C的距离；

（2）现要经过点O铺设一条总光缆直线EF（E在直线OA的上方），并从A，B，C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m（m为常数）．设∠AOE = θ（0≤θ <），铺设三条分光缆的总费用为w（元）．

① 求w关于θ的函数表达式；

② 求w的最小值及此时的值．

19．（本小题满分16分）

若存在实数x0与正数a，使，均在函数的定义域内，且成立，则称“函数f（x）在x = x0处存在长度为a的对称点”．

（1）设，问是否存在正数a，使“函数f（x）在x = 1处存在长度为a的对称点”？试说明理由．

（2）设（x > 0），若对于任意x0（3，4），总存在正数a，使得“函数在x = x0处存在长度为a的对称点”，求b的取值范围．

20．（本小题满分16分）

已知常数λ≥0，设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足：a1 = 1，

（）．

（1）若λ = 0，求数列{an}的通项公式；

（2）若对一切恒成立，求实数λ的取值范围．

高三5月教学情况调研（二）

         数学Ⅱ（附加题）    

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：几何证明选讲

如图，△ABC中，∠ACB = 90°，以边AC上的点O为圆心，OA为半径作圆，与边AB，AC分别交于点E，F，EC与⊙O交于点D，连结AD并延长交BC于P，已知AE = EB = 4，AD = 5，求AP的长．

B．选修4—2：矩阵与变换

已知点M（3，1）绕原点按逆时针旋转90°后，且在

矩阵对应的变换作用下，得到点N (3，5)，

求a，b的值．

C．选修4—4：坐标系与参数方程

如图，在极坐标系中，设极径为（），极角为θ（）．⊙A的极坐标方程为，点C在极轴的上方，∠AOC =．△OPQ是以OQ为斜边的等腰直角三角形，若C为OP的中点，求点Q的极坐标．

D．选修4—5：不等式选讲

已知不等式对满足

的一切实数，，都成立，求实数的取值范围．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

如图，在空间直角坐标系A  xyz中，已知斜四棱柱ABCD  A1B1C1D1的底面是边长为3的正方形，点B，D，B1分别在x，y，z轴上，B1A = 3，P是侧棱B1B上的一点，BP = 2PB1 ．

（1）写出点C1，P，D1的坐标；

（2）设直线C1E⊥平面D1PC，E在平面ABCD内，

求点E的坐标．

23．（本小题满分10分）

如图，圆周上有n个固定点，分别为A1，A2，…，An（n，n≥2），在每一个点上分别标上1，2，3中的某一个数字，但相邻的两个数字不相同，记所有的标法总数为an．

（1）写出a2，a3，a4的值；

（2）写出an的表达式，并用数学归纳法证明．