辽宁省沈阳市第二中学2023届高三第五次模拟考试数学试题（含答案）

辽宁省沈阳市第二中学2023届高三第五次模拟考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数（其中为虚数单位），则的共轭复数虚部为（    ）

A． B． C． D．

3．某校高三年级一共有1200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是103分，则数学成绩不小于103分的人数至少为（    ）

A．220 B．240 C．250 D．300

4．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ）

A． B． C． D．

5．设是两个单位向量，若在上的投影向量为，则（    ）

A． B． C． D．

6．魏晋时期数学家刘徽（图a）为研究球体的体积公式，创造了一个独特的立体图形“牟合方盖”，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上．如图，将两个底面半径为1的圆柱分别从纵横两个方向嵌入棱长为2的正方体时（如图b），两圆柱公共部分形成的几何体（如图c）即得一个“牟合方盖”，图d是该“牟合方盖”的直观图（图中标出的各点A，B，C，D，P，Q均在原正方体的表面上）．

由“牟合方盖”产生的过程可知，图d中的曲线PBQD为一个椭圆，则此椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若、是关于x的方程在内的两根，则（    ）

A． B． C． D．

8．已知是圆上的动点，以点为圆心，为半径作圆，设圆与圆交于A，B两点，则下列点中，直线一定不经过（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知双曲线，则不因的变化而变化的是（    ）

A．顶点坐标 B．渐近线方程 C．焦距 D．离心率

10．下列说法中正确的是（    ）

A．将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，样本方差没有变化

B．在线性回归分析中，成对数据构成的点都在回归直线上的充要条件是相关系数r=1

C．在线性回归分析中，回归直线就是使所有数据的残差平方和最小的直线

D．在线性回归分析中，用最小二乘法求得的回归直线使所有数据的残差和为零

11．已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，，母线长为2，为母线中点，则下列结论正确的是（    ）

A．圆台母线与底面所成角为60° B．圆台的侧面积为

C．圆台外接球半径为2 D．在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为5

12．已知函数，若直线与曲线和分别相交于点，且，，则(    )

A． B．

C． D．

三、填空题

13．已知，，则______．

14．已知随机变量，若，则的最小值为__________.

15．求值：________.

16．已知表示不超过x的最大整数，记，则方程的整数解个数为__________．

四、解答题

17．已知数列满足，.

（1）证明：为常数；

（2）设数列的前项和为，求.

18．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人在点A处，2号机器人在点B处，3号机器人在点C处，且，，米，如图所示：

(1)求1号机器人和2号机器人之间的距离；

(2)若2号机器人发现足球在点处向点作匀速直线运动，2号机器人则立刻以足球滚动速度的一半作匀速直线运动去拦截足球．已知米，忽略机器人原地旋转所需的时间，若2号机器人最快可在线段上的点处截住足球，求此时线段的长．

19．如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，平面平面ABC．

(1)证明：；

(2)若E为的中点，直线与平面所成的角为45°，求直线与平面所成的角的正弦值．

20．某大学有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：

假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率．

(1)分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率；

(2)记X为甲、乙在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望；

(3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：．

21．如图，小明同学先把一根直尺固定在画板上，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点处，另一端固定在画板上点F处，用铅笔尖扣紧绳子，让细绳紧贴住三角板的直角边，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上留下轨迹.已知细绳长度为，经测量，当笔尖运动到点处时，.设直尺边沿所在直线为，以过垂直于直尺的直线为轴，以过垂直于的垂线段的中垂线为轴，以为单位长度，建立平面直角坐标系.

(1)求的方程；

(2)过点且斜率为的直线与交于两点，的取值范围为，探究：是否存在，使得，若存在，求出.的取值范围，若不存在，说明理由.

22．已知曲线在点处的切线为，设，，2，…，，且.

(1)设是方程的一个实根，证明：为曲线和的公切线；

(2)当时，对任意的且，恒成立，求的最小值.

参考答案：

1．D

2．D

3．B

4．D

5．A

6．A

7．D

8．C

9．BD

10．ACD

11．ACD

12．AD

13．/

14．/

15．

16．24

17．（1）详见解析；（2）.

18．(1)米

(2)7米

19．(1)证明见解析；

(2).

20．(1)，；

(2)分布列见解析，1.9；

(3)证明见解析.

21．(1)，

(2)存在，使得成立.

22．(1)证明见解析；

(2).