2022版新教材高考数学一轮复习49抛物线训练含解析新人教B版

这是一份2022版新教材高考数学一轮复习49抛物线训练含解析新人教B版，共9页。试卷主要包含了已知抛物线C，由题意知直线MN，已知直线l过抛物线C，已知F是抛物线C，设抛物线C等内容，欢迎下载使用。

A组 全考点巩固练
1．(2021·银川一中高三模拟)若抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
A．－eq \f(17,16)B．－eq \f(15,16)
C．eq \f(7,16) D．eq \f(15,16)
B 解析：由抛物线的方程y＝－4x2，可得标准方程为x2＝－eq \f(1,4)y，则焦点坐标为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,16)))，准线方程为y＝eq \f(1,16).设M(x0，y0)，则由抛物线的定义可得－y0＋eq \f(1,16)＝1，解得y0＝－eq \f(15,16).
2．(2020·湖南长沙第一中学第七次联考)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的一点．若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p＝( )
A．2B．4
C．6D．8
D 解析：由题意得，△OFM的外接圆半径为6，△OFM的外接圆圆心应位于线段OF的垂直平分线x＝eq \f(p,4)上，圆心到准线x＝－eq \f(p,2)的距离等于6，即有eq \f(p,4)＋eq \f(p,2)＝6，解得p＝8.故选D.
3．(2020·湖北十堰第二中学二诊)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l1与抛物线C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线l2与x轴交于点P.若|PF|＝6，则|MN|＝( )
A．10B．12
C．14D．16
B 解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)．由题意知直线MN：y＝x－eq \f(p,2)，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－\f(p,2)，,y2＝2px，))得y2－2py－p2＝0，则y1＋y2＝2p，y1y2＝－p2.设线段MN的中点为A(x0，y0)，则eq \f(y1＋y2,2)＝p＝y0，代入y＝x－eq \f(p,2)中，解得x0＝eq \f(3,2)p，故直线l2：y－p＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3p,2))).令y＝0，得x＝eq \f(5p,2)，故|PF|＝2p＝6，则y1＋y2＝6，y1y2＝－9，则|MN|＝eq \r(2)|y1－y2|＝eq \r(2)×6eq \r(2)＝12.
4．(2020·绵阳市高三三模)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过抛物线的焦点作x轴的垂线，与抛物线交于A，B两点，点M的坐标为(－2,0)，且△ABM为直角三角形，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝8xB．y2＝－8x
C．y2＝－4xD．y2＝4x
B 解析：设点A位于第一象限，直线AB的方程为x＝eq \f(p,2).联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,x＝\f(p,2)，))可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(p,2)，,y＝±p，))所以点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，p)).因为△ABM为等腰直角三角形，由抛物线的对称性可得出|AM|＝|BM|，所以直线AM的斜率为1，即kAM＝eq \f(p,\f(p,2)＋2)＝1，解得p＝4.
因此，以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2＝－8x.
5．(多选题)(2020·济宁市高三一模)已知直线l过抛物线C：y2＝－2px(p>0)的焦点，且与该抛物线交于M，N两点．若线段MN的长是16，MN的中点到y轴的距离是6，O是坐标原点，则( )
A．抛物线C的方程是y2＝－8x
B．抛物线的准线方程是y＝2
C．直线MN的方程是x－y＋2＝0
D．△MON的面积是8eq \r(2)
AD 解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|MN|＝－(x1＋x2)＋p＝16.又MN的中点到y轴的距离为6，所以－eq \f(x1＋x2,2)＝6，所以x1＋x2＝－12，所以p＝4.
所以抛物线C的方程为y2＝－8x，故A项正确．
抛物线C的准线方程是x＝2，故B项错误．
设直线l的方程是x＝my－2，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝－8x，,x＝my－2，))
消去x得y2＋8my－16＝0，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝－8m，,y1·y2＝－16，))
所以x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝－8m2－4＝－12，解得m＝±1.
故直线l的方程是x－y＋2＝0或x＋y＋2＝0，故C项错误．
S△MON＝eq \f(1,2)|OF|·|y1－y2|＝eq \f(1,2)×2·eq \r(y1＋y22－4y1y2)＝eq \r(64＋64)＝8eq \r(2)，
故D项正确．
6．(2020·池州市高三一模)已知F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，P是抛物线C在x轴上方一点，以P为圆心，3为半径的圆过点F，且被y轴截得的弦长为2eq \r(5)，则抛物线C的方程为____________．
y2＝4x 解析：设P(x0，y0)，由抛物线的定义知|PF|＝eq \f(p,2)＋x0＝3，则点P到y轴的距离为x0＝3－eq \f(p,2)>0.由垂径定理知，5＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(p,2)))2＝9，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.
7．(2020·宜宾高三月考)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.
6 解析：如图所示，不妨设点M位于第一象限，
设抛物线的准线与x轴交于点F′，作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A.由抛物线的解析式可得准线方程为x＝－2，则 |AN|＝2，|FF′|＝4.在直角梯形ANFF′中，|BM|＝eq \f(|AN|＋|FF′|,2)＝3.由抛物线的定义有|MF|＝|MB|＝3.结合题意，有|MN|＝|MF|＝3，故|FN|＝|FM|＋|NM|＝3＋3＝6.
8．(2020·西安中学高三模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F斜率为eq \r(3)的直线l′与抛物线C交于点M(M在x轴的上方)，过M作MN⊥l于点N，连接NF交抛物线C于点Q，则eq \f(|NQ|,|QF|)＝________.
2 解析：由抛物线定义可得|MF|＝|MN|，又斜率为eq \r(3)的直线l′倾斜角为eq \f(π,3)，MN⊥l，
所以∠NMF＝eq \f(π,3)，即△MNF为正三角形．因此NF的倾斜角为eq \f(2π,3).由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,y＝－\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，))解得x＝eq \f(p,6)或x＝eq \f(3p,2)(舍)，即xQ＝eq \f(p,6)，eq \f(|NQ|,|QF|)＝eq \f(\f(p,6)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2))),\f(p,2)－\f(p,6))＝2.
9．设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，M(p，p－1)是C上的点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋2与C交于A，B两点，且|AF||BF|＝13，求k的值．
解：(1)因为M(p，p－1)是C上的点，所以p2＝2p(p－1)．因为p>0，解得p＝2，
所以抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2，,x2＝4y，))得x2－4kx－8＝0，Δ＝16k2＋32>0，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－8.
由抛物线的定义知，|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，则|AF||BF|＝(y1＋1)·(y2＋1)＝(kx1＋3)(kx2＋3)＝k2x1x2＋3k(x1＋x2)＋9＝4k2＋9＝13，解得k＝±1.
B组 新高考培优练
10．(2020·邯郸一模)抛物线y2＝8x的焦点为F.设A，B是抛物线上的两个动点，|AF|＋|BF|＝eq \f(2\r(3),3)|AB|，则∠AFB的最大值为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(3π,4)
C.eq \f(5π,6) D.eq \f(2π,3)
D 解析：设|AF|＝m，|BF|＝n.
因为|AF|＋|BF|＝eq \f(2\r(3),3)|AB|，
所以eq \f(2\r(3),3)|AB|≥2eq \r(mn)，所以mn≤eq \f(1,3)|AB|2，当且仅当m＝n时等号成立．
在△AFB中，由余弦定理得
cs ∠AFB＝eq \f(m2＋n2－|AB|2,2mn)
＝eq \f(m＋n2－2mn－|AB|2,2mn)
＝eq \f(\f(1,3)|AB|2－2mn,2mn)≥－eq \f(1,2)，
所以∠AFB的最大值为eq \f(2π,3).
11．(2020·福建质量检测)设抛物线E：y2＝6x的弦AB过焦点F，|AF|＝3|BF|，过A，B分别作E的准线的垂线，垂足分别是A′，B′，则四边形 AA′B′B的面积等于( )
A．4eq \r(3)B．8eq \r(3)
C．16eq \r(3)D．32eq \r(3)
C 解析：(方法一)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))，所以，可设直线AB的方程x＝my＋eq \f(3,2).代入E的方程，整理得y2－6my－9＝0，故y1＋y2＝6m，y1y2＝－9，不妨设y1>y2.因为|AF|＝3|BF|，所以y1＝－3y2，解得y1＝3eq \r(3)，y2＝－eq \r(3)，m＝eq \f(\r(3),3)，所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)，3\r(3)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\r(3))).
故|AA′|＝eq \f(9,2)＋eq \f(3,2)＝6，|BB′|＝eq \f(1,2)＋eq \f(3,2)＝2，|A′B′|＝|y1－y2|＝4eq \r(3)，故四边形AA′B′B的面积为eq \f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)·|A′B′|＝eq \f(1,2)×(6＋2)×4eq \r(3)＝16eq \r(3).
(方法二)设弦AB与x轴的夹角为θ，则有|AF|＝eq \f(p,1－cs θ)＝eq \f(3,1－cs θ)，|BF|＝eq \f(p,1＋cs θ)＝eq \f(3,1＋cs θ)，所以eq \f(3,1－cs θ)＝3×eq \f(3,1＋cs θ)，所以cs θ＝eq \f(1,2)，故θ＝60°.故|AA′|＝|AF|＝6，|BB′|＝|BF|＝2，|A′B′|＝|AB|sin θ＝4eq \r(3)，
所以直角梯形AA′B′B的面积为eq \f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)·|A′B′|＝eq \f(1,2)×(6＋2)×4eq \r(3)＝16eq \r(3).
(方法三)如图所示，作BG⊥AA′，垂足为G，连接A′F.
设|BF|＝m，则|AF|＝3m.
由抛物线的定义知 |AA′|＝3m，
|A′G|＝|BB′|＝|BF|＝m，
所以|AB|＝4m，|AG|＝2m，
所以∠BAA′＝60°，
即△FAA′为正三角形，故∠B′A′F＝30°，故|AA′|＝|A′F|＝2p＝6＝3m，解得m＝2.
故|AA′|＝6，|BB′|＝2，|A′B′|＝4eq \r(3)，
所以四边形AA′B′B的面积为eq \f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)·|A′B′|＝eq \f(1,2)×(6＋2)×4eq \r(3)＝16eq \r(3).
12．(多选题)已知O是坐标原点，A，B是抛物线y＝x2上不同于O的两点，且OA⊥OB，下列结论中正确的是( )
A．|OA|·|OB|≥2
B．|OA|＋|OB|≥2eq \r(2)
C．直线AB过抛物线y＝x2的焦点
D．O到直线AB的距离小于或等于1
ABD 解析：设A(x1，xeq \\al(2,1))，B(x2，xeq \\al(2,2))(x1≠0，x2≠0)．
∵OA⊥OB，∴eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝(x1，xeq \\al(2,1))·(x2，xeq \\al(2,2))＝x1x2＋xeq \\al(2,1)xeq \\al(2,2)＝x1x2(1＋x1x2)＝0，
∴1＋x1x2＝0，∴x2＝－eq \f(1,x1)，
∴|OA|·|OB|
＝eq \r(x\\al(2,1)＋x\\al(4,1)·x\\al(2,2)＋x\\al(4,2))
＝eq \r(x\\al(2,1)＋x\\al(4,1)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x\\al(2,1))＋\f(1,x\\al(4,1)))))
＝eq \r(1＋x\\al(2,1)＋\f(1,x\\al(2,1))＋1)
≥eq \r(2＋2\r(x\\al(2,1)·\f(1,x\\al(2,1))))＝2，当且仅当xeq \\al(2,1)＝eq \f(1,x\\al(2,1))，即x1＝±1时等号成立，故选项A正确．
又|OA|＋|OB|≥2eq \r(|OA|·|OB|)≥2eq \r(2)，故选项B正确．
∵直线AB的斜率为eq \f(x\\al(2,2)－x\\al(2,1),x2－x1)＝x2＋x1＝x1－eq \f(1,x1)，
∴直线AB的方程为y－xeq \\al(2,1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－\f(1,x1))) (x－x1)．当x＝0时，y＝1，焦点坐标eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))不满足直线AB的方程，故选项C错误．
原点(0,0)到直线AB：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－\f(1,x1)))x－y＋1＝0 的距离d＝eq \f(1,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－\f(1,x1)))2＋12))≤1，故选项D正确．
13．已知抛物线方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为________．
eq \f(6\r(5),5)－1 解析：如图，过A作AH⊥l，AN垂直于抛物线的准线，则|AH|＋|AN|＝m＋n＋1.连接AF，则|AF|＋|AH|＝m＋n＋1.由平面几何知识，知当A，F，H三点共线时，|AF|＋|AH|＝m＋n＋1取得最小值，最小值为F到直线l的距离，即eq \f(6,\r(5))＝eq \f(6\r(5),5)，即m＋n的最小值为eq \f(6\r(5),5)－1.
14．设抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点A是E上一点，且线段AF的中点坐标为(1,1)．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)若B，C为抛物线E上的两个动点(异于点A)，且BA⊥BC，求点C的横坐标的取值范围．
解：(1)依题意得Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，设A(x0，y0)．
由AF的中点坐标为(1,1)，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝\f(x0,2)，,1＝\f(y0＋\f(p,2),2)，))
即x0＝2，y0＝2－eq \f(p,2)，所以4＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(p,2)))，
得p2－4p＋4＝0，解得p＝2.
所以抛物线E的标准方程为x2＝4y.
(2)由题意知A(2,1)．设Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，\f(x\\al(2,1),4)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，\f(x\\al(2,2),4)))，则kBA＝eq \f(\f(x\\al(2,1),4)－1,x1－2)＝eq \f(1,4)(x1＋2)．
因为x1≠－2，所以kBC＝－eq \f(4,x1＋2)，所以BC所在直线方程为y－eq \f(x\\al(2,1),4)＝eq \f(－4,x1＋2)(x－x1)．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－\f(x\\al(2,1),4)＝\f(－4,x1＋2)x－x1，,x2＝4y.))
因为x≠x1，得(x＋x1)(x1＋2)＋16＝0，
即xeq \\al(2,1)＋(x＋2)x1＋2x＋16＝0.
因为Δ＝(x＋2)2－4(2x＋16)≥0，
即x2－4x－60≥0，故x≥10或x≤－6.
经检验，当x＝－6时，不满足题意．
所以点C的横坐标的取值范围是(－∞，－6)∪[10，＋∞)．
15．(2020·厦门一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点A在抛物线C上．若|AO|＝|AF|＝eq \f(3,2).
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线l与抛物线C交于点P，Q.若线段PQ的中点的纵坐标为1，求△OPQ的面积的最大值．
解：(1)因为点A在抛物线C上，|AO|＝|AF|＝eq \f(3,2)，所以点A的纵坐标为eq \f(p,4).所以eq \f(p,4)＋eq \f(p,2)＝eq \f(3,2).所以p＝2.所以抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)由题意知直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝kx＋b(b≥0)，代入抛物线方程，可得x2－4kx－4b＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，所以y1＋y2＝4k2＋2b.
因为线段PQ的中点的纵坐标为1，所以2k2＋b＝1，即2k2＝1－b≥0.所以0所以S△OPQ＝eq \f(1,2)b|x1－x2|＝eq \f(1,2)b·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \f(1,2)beq \r(16k2＋16b)＝beq \r(2＋2b)＝eq \r(2)·eq \r(b3＋b2)(0设y＝b3＋b2，y′＝3b2＋2b>0，函数单调递增，所以b＝1时，△OPQ的面积最大，最大值为2.