2022版新教材高考数学一轮复习38空间中的平行关系训练含解析新人教B版

这是一份2022版新教材高考数学一轮复习38空间中的平行关系训练含解析新人教B版，共8页。试卷主要包含了下列命题中不是真命题的为等内容，欢迎下载使用。
A组 全考点巩固练
1．如果AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．AC在此平面内
D．平行或相交
A 解析：把这三条线段放在正方体内如图，显然AC∥EF，AC⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，故AC∥平面EFG.故选A.
2．(多选题)下列命题中不是真命题的为( )
A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α
B．若直线a在平面α外，则a∥α
C．若直线a∥b，b∥α，则a∥α
D．若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线
ABC 解析：A中，l可以在平面α内，故不是真命题；B中，也存在直线a与平面α相交，故不是真命题；C中，a也可能在平面α内，故不是真命题；D是真命题．
3．(2020·重庆育才中学月考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，有以下四个命题：
①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；
②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；
③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；
④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.
其中真命题的序号是( )
A．②③B．③④
C．①④D．①②
A 解析：对于命题①，直线m，n可以相交、平行或异面，故①错误；易知②③正确；对于命题④，直线m，n可以相交、平行或异面，故④错误．故选A.
4．如图，AB∥平面α∥平面β，过A，B的直线m，n分别交α，β于点C，E和D，F.若AC＝2，CE＝3，BF＝4，则BD的长为( )
A.eq \f(6,5) B.eq \f(7,5)
C.eq \f(8,5) D.eq \f(9,5)
C 解析：由AB∥α∥β，易证eq \f(AC,CE)＝eq \f(BD,DF)，
即eq \f(AC,AE)＝eq \f(BD,BF)，
所以BD＝eq \f(AC·BF,AE)＝eq \f(2×4,5)＝eq \f(8,5).
5．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有( )
A．0条B．1条
C．2条D．0条或2条
C 解析：如图，设平面α截三棱锥所得的四边形EFGH是平行四边形，则EF∥GH，EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，所以EF∥平面BCD.又EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，则EF∥CD，EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，则CD∥平面EFGH.同理AB∥平面EFGH，所以该三棱锥与平面α平行的棱有2条．故选C.
6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
eq \r(2) 解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，
所以AC＝2eq \r(2).
又E为AD的中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面AB1C＝AC，
所以EF∥AC，所以F为DC的中点，
所以EF＝eq \f(1,2)AC＝eq \r(2).
7．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
点M在线段FH上(或点M与点H重合) 解析：连接HN，FH，FN(图略)，则FH∥DD1，HN∥BD，所以平面FHN∥平面B1BDD1.故只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，所以MN∥平面B1BDD1.
8．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，E，F分别是线段A1D，BC1的中点．延长D1A1到点G，使得D1A1＝A1G.证明：GB∥平面DEF.
证明：连接A1C，B1C，则B1C，BC1交于点F(图略)．
因为CBD1A1，D1A1＝A1G，
所以CBA1G，所以四边形BCA1G是平行四边形，所以GB∥A1C.
又GB⊄平面A1B1CD，A1C⊂平面A1B1CD，
所以GB∥平面A1B1CD.
又点D，E，F均在平面A1B1CD内，所以GB∥平面DEF.
9．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．
(1)求证：CE∥平面PAD；
(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论；若不存在，请说明理由．
(1)证明：如图，取PA的中点H，连接EH，DH.
因为E为PB的中点，
所以EH∥AB，EH＝eq \f(1,2)AB.
又AB∥CD，CD＝eq \f(1,2)AB，
所以EH∥CD，EH＝CD，
因此四边形DCEH为平行四边形，
所以CE∥DH.
又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，
所以CE∥平面PAD.
(2)解：存在点F为AB的中点，使平面PAD∥平面CEF.
证明如下：
取AB的中点F，连接CF，EF，
则AF＝eq \f(1,2)AB.
因为CD＝eq \f(1,2)AB，所以AF＝CD.
又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形，所以CF∥AD.
又AD⊂平面PAD，CF⊄平面PAD，
所以CF∥平面PAD.
由(1)知CE∥平面PAD，
又CE∩CF＝C，
故平面CEF∥平面PAD，
故存在AB的中点F满足要求．
B组 新高考培优练
10．(多选题)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列直线或平面与平面ACD1平行的有( )
A．直线A1BB．直线BB1
C．平面A1DC1D．平面A1BC1
AD 解析：对于A，由于A1B∥D1C，且A1B⊄平面ACD1，D1C⊂平面ACD1，可得直线A1B∥平面ACD1.对于B，由于B1B∥D1D，且D1D∩平面ACD1＝D1，可得直线B1B不平行于平面ACD1.对于C，由于A1D∩AD1，A1D⊂平面A1DC1，可得平面A1DC1不与平面ACD1平行．对于D，由于A1B∥D1C，C1B∥D1A，A1B，C1B⊂平面A1BC1，可得平面A1BC1∥平面ACD1.故选AD.
11．(多选题)(2020·山东六地部分学校3月线上考试)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，侧棱AA1＝1，P为上底面A1B1C1D1上的动点，下列四个结论中正确的为( )
A．若PD＝3，则满足条件的P点有且只有一个
B．若PD＝eq \r(3)，则点P的轨迹是一段圆弧
C．若PD∥平面ACB1，则DP长的最小值为2
D．若PD∥平面ACB1，且PD＝eq \r(3)，则平面BDP截正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的外接球所得平面图形的面积为eq \f(9π,4)
ABD 解析：如图，因为正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，所以B1D1＝2eq \r(2).又侧棱AA1＝1，所以DB1＝eq \r(2\r(2)2＋12)＝3，则点P与点B1重合时，PD＝3，此时P点唯一，故A正确．
因为PD＝eq \r(3)∈(1,3)，DD1＝1，则PD1＝eq \r(2)，即点P的轨迹是一段圆弧，故B正确．
连接DA1，DC1，可得平面A1DC1∥平面ACB1，则当P为A1C1中点时，DP有最小值，为eq \r(\r(2)2＋12)＝eq \r(3)，故C错误．
由C选项知，平面BDP即为平面BDD1B1，平面BDP截正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为eq \f(1,2)eq \r(22＋22＋12)＝eq \f(3,2)，面积为eq \f(9π,4)，故D正确．故选ABD.
12．平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，平面α∥平面A1BD，平面α∩平面ABCD＝l，则直线l与直线A1C1所成的角为( )
A．30°B．45°
C．60°D．90°
D 解析：如图所示，
因为平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，平面α∥平面A1BD，平面α∩平面ABCD＝l＝AF，平面A1BD∩平面ABCD＝BD，所以BD∥AF.又因为A1C1∥AC，则直线l与直线A1C1所成的角即为直线BD与直线AC所成的角，即直线l与直线A1C1所成的角为90°.
13．(2021·蚌埠模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AA1，AB的中点，点M是正方形ABB1A1内的动点．若C1M∥平面CD1EF，则M点的轨迹长度为________．
eq \r(2) 解析：如图所示，取A1B1的中点H，B1B的中点G，连接GH，C1H，C1G，EG，HF.
可得四边形EGC1D1是平行四边形，所以C1G∥D1E.同理可得C1H∥CF.
因为C1H∩C1G＝C1，所以平面C1GH∥平面CD1EF.
由M点是正方形ABB1A1内的动点可知，若C1M∥平面CD1EF，则点M在线段GH上，所以M点的轨迹长度GH＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2).
14．如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥平面α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG是________．
平行四边形 解析：因为AB∥α，平面ABD∩α＝FH，平面ABC∩α＝EG，
所以AB∥FH，AB∥EG，
所以FH∥EG，同理EF∥GH，
所以四边形EFHG是平行四边形．
15．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，E为侧棱PD(不含端点)上的动点．
(1)是否存在一点E，使得PB∥平面AEC？若存在，请说明点E的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
(2)若点F在CD上，且PE∶ED＝CF∶FD，在棱PA(不含端点)上是否存在点G，使得平面BCG∥平面AEF？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．
解：(1)当E为PD的中点时，PB∥平面AEC.证明如下：如图，连接BD，设AC∩BD＝O，则O为BD的中点．连接EO，由E，O分别为PD，BD的中点，知EO为△PBD的中位线，所以EO∥PB.又EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.
(2)不存在符合题意的点G.
理由如下：假设存在点G满足题意．
如图，因为平面BCG∩平面ABCD＝BC，平面AEF∩平面ABCD＝AF，
又平面BCG∥平面AEF，所以BC∥AF.
又在菱形ABCD中，BC∥AD，
所以在平面ABCD内，过A点有两条直线AF，AD同时平行于BC，矛盾，
所以，在棱PA(不含端点)上不存在点G，使得平面BCG∥平面AEF.