专题22 空间中的平行关系（针对训练）-2023年高考一轮复习精讲精练必备

第22练   空间中的平行关系

学校____________          姓名____________          班级____________

一、单选题

1．已知直线a、b和平面，下面说法正确的是(       )

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，，则 D．若，，则

【答案】C

【详解】

对于A，若，，则或，故A错误；

对于B，若，，则或，故B错误；

对于C，若，，，则，故C正确；

对于D，若，，则，a与b相交，或a与b异面，故D错误．

故选：C．

2．设为两个不同的平面，则的充要条件是（       ）

A．内有无数条直线与平行

B．垂直于同一平面

C．平行于同一条直线

D．内的任何直线都与平行

【答案】D

【详解】

A选项，内有无数条直线与平行，与可能相交，A选项错误.

B选项，垂直于同一平面，与可能相交，B选项错误.

C选项，平行于同一条直线，与可能相交，C选项错误.

D选项，内的任何直线都与平行，则，D选项正确.

故选：D

3．在空间四边形中，分别在上，且满足，则直线与平面的位置关系是（       ）

A．平面 B．平面

C．与平面相交 D．以上都有可能

【答案】A

【详解】

∵

∴

又∵，.

∴平面.

故选：A

4．如图，已知为四边形外一点，，分别为，上的点，若平面，则（       ）

A． B． C． D．以上均有可能

【答案】B

【详解】

如下图分别在边，上取点，，使，，

所以，，又，，

所以选项A ，C， D不正确.

因为平面，且平面平面，平面，所以，故B正确.

故选：B.

5．如图是正方体的平面展开图．关于这个正方体，以下判断不正确的是（       ）

A． B．平面

C．与所成的角为 D．

【答案】A

【详解】

如图：由正方体的平面展开图还原正方体

根据图形显然不平行，，A不正确，D正确；

∵且，则为平行四边形

∴

平面，平面

则平面，B正确；

连接

∵且，则为平行四边形

∴

又∵，即△为等边三角形

∴与所成的角为，C正确；

故选：A．

6．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，过BC的平面与平面PAD交于EF，E在线段PD上且异于P、D，则四边形EFBC是（       ）

A．空间四边形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形

【答案】C

【详解】

因为∥，平面，平面，

所以∥平面，

因为平面，平面平面，

所以∥，

因为，，

所以，

所以四边形为梯形，

故选：C

7．已知长方体中，，，，分别为棱和的中点，为长方体表面上任意一点．若平面，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．6

【答案】C

【详解】

如图所示，取，分别为棱和的中点，连接,

由题意易知，

所以；

又易知，

故可以证明平面平面；

又平面，由面面平行的性质可知平面，

所以由题意可知在等腰梯形四条边上运动，

过点作，交于点，

由题意可知,

所以,

所以，

又，

所以故当与点重合时，的值为最大值，此时；

故选：C

8．如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

如图，取中点，中点，连接，

所以，正方体中，易得，所以，

因为平面，平面，所以平面，

因为为中点，所以，

因为平面，平面，所以平面，

因为，所以平面平面，

因为平面，所以平面，

又为正方形内一动点（含边界），所以在线段上，

可得,

则当在中点时，取得最小值为，

当在两端时，取得最大值为，

所以长度的取值范围是.

故选：D.

二、多选题

9．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【详解】

对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行，故A错误；

对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正确；

对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正确；

对于选项D，由于AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正确；

故选：BCD

10．下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中正确的关系有（       ）

A． B．DE∥平面ABFG

C．平面BDE∥平面AFH D．BE∥平面DGC

【答案】BC

【详解】

还原为原正方体如图所示，

由图可知，与异面，故A错误；

因为，平面，

所以平面，故B正确；

因为，平面，所以平面，

因为，平面，所以平面，

而，平面，

所以平面平面，故C正确；

因为，与平面相交，

所以与平面相交，故D错误.

故选：BC.

11．设，，为三个平面，l，m，n为三条直线，则下列说法不正确的是（       ）

A．若，，则

B．若l上有两点到的距离相等，则

C．，，两两相交于三条直线l，m，n，若，则

D．若，，，，则

【答案】ABD

【详解】

解：对A：若，，则或，故选项A错误；

对B：若l上有两点到的距离相等，则或或与相交，故选项B错误；

对C：，，两两相交于三条直线l，m，n，若，由线面平行的判断定理及性质定理可得，故选项C正确；

对D：若，，，，则或与相交，故选项D错误.

故选：ABD.

12．如图所示，平面平面，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【详解】

对于A，因为平面平面，平面，所以平面，故A正确

对于B，设由与所确定的平面为

因为平面平面，平面平面，平面平面

所以，所以即，解之得

对于C，若，则，这与三角形三边关系定理相矛盾，故C错误

对于D，，

而由，

但与长度关系不确定，故D错误

故选：AB

三、解答题

13．如图，在圆锥中，，，为底面圆上的三个点，，且，．

(1)证明：平面．

(2)求四棱锥的体积．

【解析】(1)

如图，设线段上靠近的三等分点为，连接，．

因为，所以，所以，且，

因为，且，所以，且，

所以四边形为平行四边形，所以

因为平面，平面，所以平面．

(2)

作于点，则为的中点，所以，

所以梯形的面积为，

因为，所以到平面的距离为，

所以四棱锥的体积为．

14．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD＝90°．

(1)求证：BC∥平面ADD1A1；

(2)若，B1D与平面ABCD所成角为，满足且，求最大值．

【解析】(1)

∵AD∥BC，BC平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，

∴BC∥平面ADD1A1．

(2)

∵BB1⊥平面ABCD，则B1D与平面ABCD所成角为，即，

∵∠BAD＝90°且，则，

∵，则且，

∴

，

当，即时取等号

∴最大值为.

15．如图，在四棱柱中，四边形ABCD是正方形，E，F，G分别是棱，，的中点.

(1)证明：平面平面；

(2)若点在底面ABCD的投影是四边形ABCD的中心，，求三棱锥的体积.

【解析】(1)

证明：连接EG，.

因为E，G分别是棱，的中点，所以，.

因为，，所以，，

所以四边形是平行四边形，则.

因为平面，平面，所以平面.

因为E，F分别是棱，的中点，所以.

因为，所以.

因为平面，平面，所以平面.

因为平面，平面，且，

所以平面平面.

(2)

连接AC，BD，记，连接，则平面ABCD.

因为，所以，所以.

因为，所以，

则四棱柱的体积.

故三棱锥的体积，

即三棱锥的体积为.

16．在长方体中，，P为的中点．

(1)已知过点的平面与平面平行，平面与直线分别相交于点M，N，请确定点M，N的位置；

(2)求点到平面的距离．

【答案】(1)分别是棱的中点；(2).

【解析】(1)

依题意，如图，平面平面，平面平面，平面平面，

则，在长方体中，，则有四边形为平行四边形，

于是得，即点M是棱AB的中点，同理点N是棱的中点，

所以分别是棱的中点.

(2)

在长方体中，，P为的中点，

则，，，

设点到平面的距离为，由得：，

即，解得，

所以点到平面的距离是.