2022版新教材高考数学一轮复习4相等关系与不等关系训练含解析新人教B版

四　相等关系与不等关系

(建议用时：45分钟)

A组　全考点巩固练

1．设b<a，d<c，则下列不等式中一定成立的是(　　)

A．a－c<b－d B．ac<bd

C．a＋c>b＋d D．a＋d>b＋c

C　解析：由同向不等式具有可加性可知C正确．

2．(多选题)下列不等式证明过程正确的是(　　)

A．若a，b∈R，则＋≥2＝2

B．若x>1，y>1，则lg x＋lg y≥2

C．若x<0，则x＋≥2＝－4

D．若x<0，则2x＋2－x>2＝2

BD　解析：A错误，∵a，b不满足同号，故不能用均值不等式；B正确，∵lg x和lg y一定是正实数，故可用基本不等式；C错误，∵x和不是正实数，故不能直接利用均值不等式；D正确，∵2x和2－x都是正实数，故2x＋2－x>2＝2成立，当且仅当2x＝2－x相等时(即x＝0时)，等号成立．故选BD.

3．设0<x<2，则函数y＝的最大值为(　　)

A.2   B. 

C.   D.

D　解析：∵0<x<2，∴4－2x>0，

∴x(4－2x)＝×2x(4－2x)≤×2＝×4＝2.当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时等号成立．

即函数y＝的最大值为.

4．(多选题)对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为(　　)

A．若a>b，则ac<bc

B．若ac2>bc2，则a>b

C．若a<b<0，则a2>ab>b2

D．若a>0>b，则|a|<|b|

BC　解析：当c＝0时，ac＝bc，A为假命题；若ac2>bc2，则c≠0，c2>0，故a>b，B为真命题；若a<b<0，则a2>ab且ab>b2，即a2>ab>b2，C为真命题；当a＝1，b＝－1时，|a|＝|b|，D为假命题．故选BC.

5．(2020·上海卷)下列不等式恒成立的是(　　)

A．a2＋b2≤2ab B．a2＋b2≥－2ab

C．a＋b≥2 D．a＋b≤－2

B　解析：对于选项A，因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时取等号，

所以a2＋b2≥2ab，故A错误．

对于选项B，因为a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2≥0，当且仅当a＝－b时取等号，

所以a2＋b2≥－2ab，故B正确．

对于选项C，令a＝－1，b＝2，则a＋b＝－1＋2＝1,2＝2＝2.

因为1＜2，所以a＋b＜2，故C错误．

对于选项D，令a＝1，b＝0，则a＋b＝1，－2＝－2＝0.

因为1>0，所以a＋b>－2，故D错误．

6．当x>0时，函数f(x)＝有(　　)

A．最小值1 B．最大值1

C．最小值2 D．最大值2

B　解析：f(x)＝≤＝1，当且仅当x＝(x>0)，即x＝1时取等号，所以f(x)有最大值1.

7．司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析(　　)

A．甲合适

B．乙合适

C．油价先高后低甲合适

D．油价先低后高甲合适

B　解析：设甲每次加m升油，乙每次加n元钱的油，第一次加油x元/升，第二次加油y元/升．甲的平均单价为＝，乙的平均单价为＝.因为x≠y，所以＝>＝1，即乙的两次平均单价低，乙的方式更合适．故选B.

8．已知a＋b>0，则＋与＋的大小关系是________．

＋≥＋　解析：＋－＝＋＝(a－b)·＝.

因为a＋b>0，(a－b)2≥0，

所以≥0.即＋≥＋.

9．(2020·临沂高三期末)当＋取得最小值时，x＝________.

4　解析：＋＝＋1＋－1≥2－1＝5，当且仅当＋1＝，即x＝4时，等号成立．

B组　新高考培优练

10．已知x，y∈R，且x>y>0，则(　　)

A．－>0 B．sin x－sin y>0

C．x－y<0 D．ln x＋ln y>0

C　解析：选项A中，因为x>y>0，所以<，即－<0，故结论不成立；选项B中，当x＝，y＝时，sin x－sin y<0，故结论不成立；选项C中，函数y＝x是定义在R上的减函数．因为x>y>0，所以x<y，所以x－y<0；选项D中，当x＝e－1，y＝e－2时，结论不成立．

11．(多选题)(2020·潍坊高三期中)若x≥y，则下列不等式中正确的是(　　)

A．2x≥2y   B．≥

C．x2≥y2 D．x2＋y2≥2xy

AD　解析：由指数函数的单调性可知，当x≥y时，有2x≥2y，故A正确；当y<x<0时，≥不成立，故B错误；当0≥x≥y时，x2≥y2不成立，故C错误；因为x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0成立，从而有x2＋y2≥2xy成立，故D正确．故选AD.

12．(2020·济宁高三期末)已知奇函数f(x)在R上单调．若正实数a，b满足f(4a)＋f(b－9)＝0，则＋的最小值是(　　)

A．1   B． 

C．9 D．18

A　解析：奇函数f(x)在R上单调，f(4a)＋f(b－9)＝0，则f(4a)＝－f(b－9)＝f(9－b)．故4a＝9－b，即4a＋b＝9.所以＋＝(4a＋b)＝≥(2＋5)＝1，当仅且当＝，即a＝，b＝3时，等号成立．故选A.

13．设x>0，y>0，x＋2y＝4，则的最小值为________．

　解析：＝＝＝2＋.

因为x>0，y>0且x＋2y＝4，

所以4≥2(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)，

所以2xy≤4，所以≥，

所以2＋≥2＋＝.

14．某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．

(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？

解：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1，

所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－(m≥0)．

又每件产品的销售价格为1.5×，

所以2020年的利润y＝1.5x×－8－16x－m

＝4＋8x－m＝4＋8－m

＝－＋29(m≥0)．

(2)因为m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，

所以y≤－8＋29＝21，

当且仅当＝m＋1⇒m＝3时，

ymax＝21.

故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．