2022版新教材高考数学一轮复习46直线与圆圆与圆的位置关系训练含解析新人教B版

这是一份2022版新教材高考数学一轮复习46直线与圆圆与圆的位置关系训练含解析新人教B版，共7页。试卷主要包含了已知圆C，已知直线y＝ax与圆C，已知过原点的动直线l与圆C1，若圆O1等内容，欢迎下载使用。
A组 全考点巩固练
1．(2020·广东省高三月考)已知集合M＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，N＝{(x，y)|y＝x}，则集合M∩N中元素的个数为( )
A．0B．1
C．2D．4
C 解析：直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心，直线y＝x与圆x2＋y2＝1恰有两个交点，故M∩N中恰有2个元素．故选C.
2．(2020·南阳高三期中)若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0没有公共点，则实数m的取值范围是( )
A．(－5,15)
B．(－∞，－5)∪(15，＋∞)
C．(－∞，4)∪(13，＋∞)
D．(4,13)
B 解析：由x2＋y2－2x＋4y＋1＝0得(x－1)2＋(y＋2)2＝4.
所以圆心为(1，－2)，半径为r＝2.
又直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0没有公共点，
所以圆心到直线的距离大于半径，即eq \f(|3－8＋m|,\r(9＋16))＞2，解得m＜－5或m＞15.
3．(2020·浏阳二模)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋eq \r(5)＝0或2x＋y－eq \r(5)＝0
C．2x－y＋5＝0或2x＋y－5＝0
D．2x－y＋eq \r(5)＝0或2x－y－eq \r(5)＝0
A 解析：设所求直线方程为2x＋y＋c＝0.由直线与圆相切得，eq \f(|c|,\r(22＋12))＝eq \r(5)，解得c＝±5.
所以直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.故选A.
4．(2020·银川高三三模)若圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0截直线ax＋y－1＝0所得的弦长为2eq \r(3)，则a＝( )
A．－eq \f(4,3)B．－eq \f(3,4)
C．eq \r(3)D．2
A 解析：圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0，即(x－1)2＋(y－4)2＝4.
由垂径定理可得点到直线的距离为eq \r(22－\r(3)2)＝1.
根据点到直线的距离公式可知d＝eq \f(|a＋4－1|,\r(a2＋1))＝1，化简可得(a＋3)2＝a2＋1，解得a＝－eq \f(4,3).
5．(2020·义乌高三模拟)已知圆C：(x＋2)2＋(y＋2)2＝10.若直线l：y＝kx－2与圆交于P，Q两点，则弦长|PQ|的最小值是( )
A．eq \r(5)B．4
C．2eq \r(5)D．2eq \r(6)
D 解析：由题意得，直线l：y＝kx－2过定点A(0，－2)．
由圆C：(x＋2)2＋(y＋2)2＝10的圆心坐标为(－2，－2)，半径r＝eq \r(10)，
则点A到圆心的距离d＝eq \r(0＋22＋－2＋22)＝2，
由圆的弦长公式，可得l＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(10－22)＝2eq \r(6)，即弦长|PQ|的最小值为2eq \r(6).故选D.
6．(2020·石嘴山市第三中学高三模拟)已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0相交于A，B两点(C为圆心)，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为________．
±eq \r(3) 解析：因为三角形ABC为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离等于半径的eq \f(\r(2),2).直线的一般方程为ax－y＝0，圆的方程为(x－a)2＋(y－1)2＝a2－1，圆心为(a,1)，半径为eq \r(a2－1)(a>1)．故eq \f(|a2－1|,\r(a2＋1))＝eq \f(\r(2),2)×eq \r(a2－1)，解得a＝±eq \r(3).
7．(2020·遵义模拟)已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0，直线l1的斜率存在且过定点A(1,0)．若l1与圆相切，则l1的方程是________________．
3x－4y－3＝0 解析：设直线l1的斜率为k，则直线l1的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.
由圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0，可得圆心C(3,4)，半径为r＝2.
因为直线l1与圆相切，则圆心到直线l1的距离等于圆的半径，即d＝eq \f(|3k－4－k|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq \f(3,4)，
所以直线l1的方程为y＝eq \f(3,4)(x－1)，即3x－4y－3＝0.
8．与圆x2＋y2－2x－4y＝0外切于点(2,4)且半径为2eq \r(5)的圆的方程为_____．
(x－4)2＋(y－8)2＝20 解析：圆的方程化为(x－1)2＋(y－2)2＝5，得该圆圆心为(1,2)，半径为eq \r(5)，故两圆连心线斜率k＝eq \f(4－2,2－1)＝2.
设所求圆心为(a，b)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(a－12＋b－22)＝3\r(5)，,\f(4－b,2－a)＝2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝8))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝－4))(舍去)．
所以所求圆的方程为(x－4)2＋(y－8)2＝20.
9．(2020·太原五中高三检测)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
解：(1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x－3)2＋y2＝4，
所以圆C1的圆心坐标为(3,0)．
(2)设M(x，y)，
因为点M为弦AB的中点，
所以C1M⊥AB.
所以kC1M·kAB＝－1，即eq \f(y,x－3)·eq \f(y,x)＝－1.
所以线段AB的中点M的轨迹方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq \f(9,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)0)上存在点P，且点P关于直线x－y＝0的对称点Q在圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1上，则r的取值范围是________．
[eq \r(2)－1，eq \r(2)＋1] 解析：圆C2关于直线x－y＝0的对称圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1，由题意，圆C与圆C1有交点，所以r－1≤eq \r(2)≤r＋1，所以r的取值范围是[eq \r(2)－1，eq \r(2)＋1]．
14．已知⊙H被直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0分成面积相等的四部分，且截x轴所得线段的长为2.
(1)求⊙H的方程；
(2)若存在过点P(a,0)的直线与⊙H相交于M，N两点，且|PM|＝|MN|，求实数a的取值范围．
解：(1)设⊙H的方程为(x－m)2＋(y－n)2＝r2(r>0)．
因为⊙H被直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0分成面积相等的四部分，
所以圆心H(m，n)一定是两互相垂直的直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0的交点，易得交点坐标为(2，1)，所以m＝2，n＝1.
又⊙H截x轴所得线段的长为2，所以r2＝12＋n2＝2.
所以⊙H的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝2.
(2)设N(x0，y0)，由题意易知M是PN的中点，所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0＋a,2)，\f(y0,2))).
因为M，N两点均在⊙H上，
所以(x0－2)2＋(y0－1)2＝2，①
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0＋a,2)－2))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y0,2)－1))2＝2，
即(x0＋a－4)2＋(y0－2)2＝8.②
设⊙I：(x＋a－4)2＋(y－2)2＝8.
由①②知⊙H与⊙I有公共点，
从而2eq \r(2)－eq \r(2)≤|HI|≤2eq \r(2)＋eq \r(2)，
即eq \r(2)≤eq \r(a－22＋1－22)≤3eq \r(2).
整理可得2≤a2－4a＋5≤18，
解得2－eq \r(17)≤a≤1或3≤a≤2＋eq \r(17)，
所以实数a的取值范围是[2－eq \r(17)，1]∪[3,2＋eq \r(17)]．
15．在平面直角坐标系xOy中，已知两定点A(－2,2)，B(0,2)，动点P满足eq \f(|PA|,|PB|)＝eq \r(2).
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)轨迹C上有两点E，F，它们关于直线l：kx＋y－4＝0对称，且满足eq \(OE,\s\up6(→))·eq \(OF,\s\up6(→))＝4，求△OEF的面积．
解：(1)设动点P的坐标为(x，y)，则eq \f(|PA|,|PB|)＝eq \f(\r(x＋22＋y－22),\r(x－02＋y－22))＝eq \r(2).
整理得(x－2)2＋(y－2)2＝8，故动点P的轨迹C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8.
(2)由(1)知动点P的轨迹C是圆心为C(2,2)，半径R＝2eq \r(2)的圆，圆上两点E，F关于直线l对称．由垂径定理可得圆心(2,2)在直线l：kx＋y－4＝0上，代入并求得k＝1，故直线l的方程为x＋y－4＝0.
易知OC垂直于直线l，且|OC|＝R.
设EF的中点为M，则
eq \(OE,\s\up6(→))·eq \(OF,\s\up6(→))＝(eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(ME,\s\up6(→)))·(eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(MF,\s\up6(→)))＝(eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(ME,\s\up6(→)))·(eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(ME,\s\up6(→)))＝eq \(OM,\s\up6(→))2－eq \(ME,\s\up6(→))2＝4.
又eq \(OM,\s\up6(→))2＝eq \(OC,\s\up6(→))2＋eq \(CM,\s\up6(→))2＝R2＋eq \(CM,\s\up6(→))2，
eq \(ME,\s\up6(→))2＝R2－eq \(CM,\s\up6(→))2.
所以2eq \(CM,\s\up6(→))2＝4，|eq \(CM,\s\up6(→))|＝eq \r(2).所以|eq \(ME,\s\up6(→))|＝eq \r(\a\vs4\al(R2－\(CM,\s\up6(→))2))＝eq \r(6)，|eq \(FE,\s\up6(→))|＝2|eq \(ME,\s\up6(→))|＝2eq \r(6).
易知OC∥FE，所以点O到FE的距离等于线段CM的长．所以S△OEF＝eq \f(1,2)×2eq \r(6)×eq \r(2)＝2eq \r(3).