2022版新教材高考数学一轮复习29等差数列训练含解析新人教B版

二十九　等差数列

(建议用时：45分钟)

A组　全考点巩固练

1．(2020·开封三模)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S5＝4a2，则a7＝

(　　)

A．－2 B．0 

C．2 D．10

B　解析：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝4a2，

所以5a1＋10d＝4a1＋4d，即a1＋6d＝0，

则a7＝a1＋6d＝0.

2．(2020·广州二模)首项为－21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是(　　)

A．d＞3 B．d＜

C．3≤d＜ D．3＜d≤

D　解析：an＝－21＋(n－1)d.

因为从第8项起开始为正数，

所以a7＝－21＋6d≤0，a8＝－21＋7d＞0，

解得3＜d≤.

3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝(　　)

A.   B.

C.   D.

D　解析：＝＝＝，

所以＝，

所以＝＝＝.

4．(2020·河南二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a8－a5＝－6，S9－S4＝75，则Sn取得最大值时n＝(　　)

A．14 B．15 

C．16 D．17

A　解析：设等差数列{an}的公差为d.因为a8－a5＝－6，S9－S4＝75，

所以3d＝－6,5a1＋30d＝75，

解得a1＝27，d＝－2，

所以an＝27－2(n－1)＝29－2n.

令an≥0，解得n≤＝14＋.

则Sn取得最大值时n＝14.

5．公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a6＝3a4，且S10＝λa4，则λ的值为(　　)

A．15 B．21 

C．23 D．25

D　解析：由题意得a1＋5d＝3(a1＋3d)，所以a1＝－2d.

所以λ＝＝＝＝25.故选D.

6．已知在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝6，a7＝11，则a1＝________.

－7　解析：由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＝3a4＝6，所以a4＝2，公差d＝＝＝3.

又a4＝a1＋3d＝2，所以a1＝－7.

7．在等差数列{an}中，若a7＝，则sin 2a1＋cos a1＋sin 2a13＋cos a13＝________.

0　解析：根据题意可得a1＋a13＝2a7＝π，

2a1＋2a13＝4a7＝2π，

所以有sin 2a1＋cos a1＋sin 2a13＋cos a13＝sin 2a1＋sin(2π－2a1)＋cos a1＋cos(π－a1)＝0.

8．已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，给出下列结论：

①a10＝0；②S10最小；③S7＝S12；④S20＝0.

其中一定正确的结论是________．(填序号)

①③　解析：a1＋5(a1＋2d)＝8a1＋28d，

所以a1＝－9d，

a10＝a1＋9d＝0，故①正确；

由于d的符号未知，所以S10不一定最大，故②错误；

S7＝7a1＋21d＝－42d，S12＝12a1＋66d＝－42d，

所以S7＝S12，故③正确；

S20＝20a1＋190d＝10d，不一定为0，故④错误．

所以一定正确的是①③.

9．在等差数列{an}中，已知a1＋a3＝12，a2＋a4＝18，n∈N*.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求a3＋a6＋a9＋…＋a3n.

解：(1)因为数列{an}是等差数列，a1＋a3＝12，a2＋a4＝18，所以

解得d＝3，a1＝3，

则an＝3＋(n－1)×3＝3n，n∈N*.

(2)a3，a6，a9，…，a3n构成首项为a3＝9，公差为9的等差数列，

则a3＋a6＋a9＋…＋a3n＝9n＋n(n－1)×9＝(n2＋n)．

10．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.

(1)求a及k的值；

(2)设数列{bn}的通项公式bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.

(1)解：设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，

由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，

所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.

由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，

解得k＝10或k＝－11(舍去)．

故a＝2，k＝10.

(2)证明：由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，

则bn＝＝n＋1，

故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，

即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，

所以Tn＝＝.

B组　新高考培优练

11．(多选题)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn.若a3＝12，S12＞0，S13＜0，则下列结论正确的是(　　)

A．数列{an}是递增数列

B．S5＝60

C．－＜d＜－3

D．S1，S2，…，S12中最大的是S6

BCD　解析：依题意，有S12＝12a1＋d＞0，S13＝13a1＋d＜0，化为2a1＋11d＞0，a1＋6d＜0，即a6＋a7＞0，a7＜0，所以a6＞0.

由a3＝12，得a1＝12－2d，联立解得－＜d＜－3，C正确．等差数列{an}是单调递减的，A错误．

S1，S2，…，S12中最大的是S6，D正确．

S5＝＝5a3＝60，B正确．

故选BCD.

12．(2020·珠海三模)天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”……依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”……依此类推.1911年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国性革命，这一年是辛亥年，史称“辛亥革命”.1949年新中国成立，请推算新中国成立的年份为(　　)

A．己丑年 B．己酉年

C．丙寅年 D．甲寅年

A　解析：根据题意可得，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1911年到1949年经过38年，且1911年为“辛亥”年，以1911年的天干和地支分别为首项，则38＝3×10＋8，则1949年的天干为己，38＝12×3＋2，则1949年的地支为丑，所以1949年为己丑年．

13．(2019·北京卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，Sn的最小值为________．

0　－10　解析：设等差数列{an}的公差为d，因为a2＝－3，S5＝－10，

所以

即得

所以a5＝a1＋4d＝0，Sn＝na1＋d＝－4n＋＝(n2－9n)＝2－.

因为n∈N*，所以n＝4或n＝5时，Sn取最小值，最小值为－10.

14．已知等差数列{an}的公差d＞0，设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2S3＝36.

(1)求d及Sn；

(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.

解：(1)由题意知(a1＋a2)(a1＋a2＋a3)＝36，即(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，

将a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5.

因为d＞0，所以d＝2，

所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1，

Sn＝n＋·2＝n2.

(2)由(1)得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝2m－1＋2(m＋1)－1＋2(m＋2)－1＋…＋2(m＋k)－1＝(2m＋k－1)(k＋1)，

所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.

由m，k∈N*知2m＋k－1≥k＋1＞1，且2m＋k－1与k＋1均为整数，

故解得

即所求m的值为5，k的值为4.

15．已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为15.

(1)求等差数列{an}的通项公式；

(2)若公差d>0，求数列{|an|}的前n项和Tn.

解：(1)设等差数列的{an}的公差为d.

由a1＋a2＋a3＝－3，得3a2＝－3，所以a2＝－1.

又a1a2a3＝15，所以a1a3＝－15，即

所以或即an＝4n－9或an＝7－4n.

(2)当公差d>0时，an＝4n－9(n∈N*)．

当n≤2时，an＝4n－9<0，T1＝－a1＝5，T2＝－a1－a2＝6.

设数列{an}的前项和为Sn，则Sn＝×n＝2n2－7n.

当n≥3时，an＝4n－9>0，

Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|

＝－a1－a2＋a3＋…＋an

＝(a1＋a2＋a3＋…＋an)－2(a1＋a2)

＝Sn－2S2＝2n2－7n＋12.

当n＝1时，T1＝5不满足上式；

当n＝2时，T2＝6满足T2＝2×22－7×2＋12＝6.

所以数列{|an|}的前n项和Tn＝