2022高考数学一轮复习课时规范练29等差数列及其前n项和（含解析）

课时规范练29　等差数列及其前n项和

基础巩固组

1.(2020河南开封三模,文3)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,若S5=4a2,则a7=(　　)

A.-2 B.0 C.2 D.10

2.(2019全国1,理9)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则(　　)

A.an=2n-5 B.an=3n-10

C.Sn=2n2-8n D.Sn=n2-2n

3.(2020河北沧州一模,理3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=7,S3=9,则a10=(　　)

A.25 B.32 C.35 D.40

4.已知等差数列{an}的首项a1=2,前n项和为Sn,若S8=S10,则a18=(　　)

A.-4 B.-2 C.0 D.2

5.(2020陕西宝鸡三模,文5)将正奇数排成一个三角形阵,按照如图排列的规律,则第15行第3个数为(　　)

1

3　　5

7　　9　　11

13　　15　　17　　19

A.213 B.215 C.217 D.219

6.(2020北京,8)在等差数列{an}中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2…an,n∈N*,则数列{Tn}(　　)

A.有最大项,有最小项 B.有最大项,无最小项

C.无最大项,有最小项 D.无最大项,无最小项

7.(2020安徽安庆二模,理14)在等差数列{an}中,a2+2a16<a1<3a11,Sn是其前n项和,则使Sn取最大值的n的值为　　　　　. 

8.(2020河北武邑中学三模,14)等差数列{an}前n项和为Sn,且=3,则数列{an}的公差为　　　　　. 

9.若数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=.

(1)求证:成等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式.

综合提升组

10.(2020江西上饶三模,文9)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=2且满足Sn+1+Sn-1=2(Sn+1)(n>1,n∈N*),则(　　)

A.a4=7 B.S16=240

C.a10=19 D.S20=381

11.(2020山东潍坊二模,6)《周髀算经》是中国古代重要的数学著作,其记载的“日月历法”曰:“阴阳之数,日月之法,十九岁为一章,四章为一部,部七十六岁,二十部为一遂,遂千百五二十岁,….生数皆终,万物复苏,天以更元作纪历”.某老年公寓住有20位老人,他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂,其中年长者已是奔百之龄(年龄介于90至100岁),其余19人的年龄依次相差一岁,则年长者的年龄为(　　)

A.94 B.95 C.96 D.98

12.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1>0,a3+a10>0,a6a7<0,则满足Sn>0的最大自然数n的值为　　　　　. 

13.(2020陕西二模,文17)在等差数列{an}中,已知a1+a3=12,a2+a4=18,n∈N*.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求a3+a6+a9+…+a3n.

创新应用组

14.

(2020全国2,理4)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)

A.3 699块 B.3 474块 C.3 402块 D.3 339块

15.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为　　　　　. 

16.对于由正整数构成的数列{An},若对任意m,n∈N*且m≠n,Am+An也是{An}中的项,则称{An}为“Q数列”.设数列{an}满足a1=6,8≤a2≤12.

(1)请给出一个{an}的通项公式,使得{an}既是等差数列也是“Q数列”,并说明理由;

(2)根据你给出的通项公式,设{an}的前n项和为Sn,求满足Sn>100的正整数n的最小值.

参考答案

课时规范练29　等差数列

及其前n项和

1.B　由S5=4a2,得5a1+10d=4a1+4d,即a1+6d=0,所以a7=0.

2.A　由题意可知,解得故an=2n-5,Sn=n2-4n,故选A.

3.C　设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则解得

∴an=4n-5,∴a10=4×10-5=35.故选C.

4.B　设等差数列{an}的公差为d,由S8=S10,得a9+a10=0,所以2a1+17d=0,且a1=2,所以d=-,得a18=a1+17d=2+17×=-2.故选B.

5.B　由题意知,在三角形数阵中,前14行共排了1+2+3+…+14==105个数,则第15行第3个数是数阵的第108个数,即所求数字是首项为1,公差为2的等差数列的第108项,则a108=1+(108-1)×2=215.故选B.

6.B　由题意知,公差d==2,则an=a1+(n-1)d=-9+(n-1)×2=2n-11,

可知数列{an}是单调递增数列,且前5项为负值,自第6项开始为正值.

可知T1=-9<0,T2=63>0,T3=-315<0,T4=945>0为最大项,

自T5起均小于0,且逐渐减小.

所以数列{Tn}有最大项,无最小项.

7.16　方法1:设等差数列{an}的公差为d,由a2+2a16<a1<3a11,得31d<-2a1<30d,故a16=a1+15d>0,a16+a17=2a1+31d<0,即a17<-a16<0,

所以n=16时,Sn取得最大值.

方法2:设公差为d,由a2+2a16<a1<3a11,得31d<-2a1<30d,故d<0,且15<-,又Sn=na1+d=n2+a1-n,其对应为二次函数y=x2+a1-x的图象开口向下,

对称轴为x=∈,16,故n=16时,Sn取得最大值.

8.3　设等差数列{an}的公差为d,则Sn=na1+n(n-1)d,故=a1+(n-1)d,所以=a1+×4d-a1+×2d=d,即d=3.

9.(1)证明当n≥2时,由an+2SnSn-1=0,得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以=2.又=2,故是首项为2,公差为2的等差数列.

(2)解由(1)可得=2n,所以Sn=.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1==-.

当n=1时,a1=不适合上式.

故an=

10.D　由题意,Sn+1+Sn-1=2(Sn+1)(n>1,n∈N*),则Sn+2+Sn=2(Sn+1+1),

两式相减,得an+2+an=2an+1,且当n=2时,解得a3=4,

所以数列{an}是首项为2,公差d=4-2=2的等差数列.

所以an=2+2(n-2)=2n-2,

所以an=

故S16=a1+a2+…+a16=1+=241.

a4=2×4-2=6.a10=2×10-2=18.S20=a1+a2+…+a20=1+=381.故选项D正确.

11.B　根据题意可知,这20位老人年龄之和为1520岁,设年纪最小者年龄为n,年纪最大者年龄为m,m∈[90,100],则有n+(n+1)+(n+2)+…+(n+18)+m=19n+171+m=1520,则有19n+m=1349,则m=1349-19n,所以90≤1349-19n≤100,解得65≤n≤66,因为年龄为整数,所以n=66,则m=1349-19×66=95.故选B.

12.12　设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.∵a6+a7=a3+a10>0,即2a1+11d>0,且a6a7<0,a1>0,

∴a6>0,a7<0.∴d=a7-a6<0.

又∵a7=a1+6d<0,∴2a1+12d<0.当Sn=>0时,2a1+(n-1)d>0.

由2a1+11d>0,2a1+12d<0知n-1最大为11,即n最大为12.

13.解(1)因为{an}是等差数列,a1+a3=12,a2+a4=18,所以

解得则an=3+(n-1)×3=3n,n∈N*.

(2)a3,a6,a9,…,a3n构成首项为a3=9,公差为9的等差数列.

则a3+a6+a9+…+a3n=9n+n(n-1)×9=(n2+n).

14.C　由题意可知,从上到下,从内到外,每环的扇面形石板数构成以9为首项,9为公差的等差数列,设为{an}.

设上层有n环,则上层扇面形石板总数为Sn,中层扇面形石板总数为S2n-Sn,下层扇面形石板总数为S3n-S2n,三层扇面形石板总数为S3n.因为{an}为等差数列,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等差数列,公差为9n2.因为下层比中层多729块,所以9n2=729,解得n=9.所以S3n=S27=27×9+×9=3402.故选C.

15.-49　由Sn=na1+d得解得则Sn=-3n+(n2-10n),所以nSn=(n3-10n2),

令f(x)=(x3-10x2),

则f'(x)=x2-x=x,

当x∈时,f(x)单调递减,

当x∈时,f(x)单调递增,又因为6<<7,f(6)=-48,f(7)=-49,所以nSn的最小值为-49.

16.解(1)给出的通项公式为an=2n+4.

因为对任意n∈N*,an+1-an=2(n+1)+4-2n-4=2,

所以{an}是公差为2的等差数列.

对任意m,n∈N*且m≠n,

am+an=2m+4+2n+4=2(m+n+2)+4=am+n+2,

所以{an}是“Q数列”.

(2)因为{an}是等差数列,所以Sn==n2+5n(n∈N*).

因为S7=72+5×7=84<100,S8=82+5×8=104>100,

所以n的最小值为8.

注:以下答案也正确,解答步骤参考上面内容,

①an=3n+3,Sn=n2+n,n的最小值为7;

②an=6n,Sn=3n2+3n,n的最小值为6.