吉林省吉林市普通高中2021届高三第一次调研测试（期中）数学（理）试题

吉林市普通中学2020—2021学年度高中毕业班第一次调研测试

理科数学

本试卷共22小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条

形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案

的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、

笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案

    无效。

4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮

    纸刀。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1.  已知集合，，则

A.          B.

C.                  D.

2.  下列函数中最小正周期为的函数的个数

①；②；③

1.  0     B.  1      C.  2     D.  3

3.  下列向量中不是单位向量的是

A.           B.

C.         D.

4.  为了得到函数的图象，可将函数的图象

A. 向左平移个单位                      B. 向右平移个单位 

C. 向左平移个单位                      D. 向右平移个单位

5.  设角的始边为轴非负半轴，则“角的终边在第二、三象限”是“”的

A. 充分不必要条件                        B. 必要不充分条件 

C. 充要条件                              D. 既不充分也不必要条件

6.  等差数列中，，则的值为

A．            B．

C．10          D．20

7.  已知定义在实数集上的偶函数在区间是单调增函数，若，则实数的取值范围是

A.          B. 或

C.          D. 或

8.  《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图（如图）是由四个全等的直角三角形和中间一个小

正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为,，且小正方形与大正

方形面积之比为，则的值为

A.           B．

C．          D．

9.  已知某函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是

  B.

C.

D.

10. 某兴趣小组对函数的性质进行研究，发现函数是偶函数，在定义域上满足

，且在区间为减函数．则与的关系为

A．       B．

C．       D．

11．设为的内心，延长线段交线段于点，若，则

A.           B.

C.           D.

12. 已知函数，对，使得成立，则的取值范围是

A.        B.

    C.       D.

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13. 已知复数，则________.

14. 已知函数且，若，则实数的取值范围

是___________.

15. 有一个数阵排列如下：

     1   2   4   7   11  16  22……

     3   5   8   12  17  23…………

     6   9   13  18  24………………

     10  14  19  25……………………

     15  20  26…………………………

     21  27………………………………

     28……………………………………

     ………………………………………

    则第40行从左至右第6个数字为　　　　  .

16.  如图所示，滨江公园内有一块三角形形状的草坪，经测量

得，在保护草坪的同时，

为了方便游人行走，现打算铺设一条小路（其中点在边

上，点在边上），若恰好将该草坪的面积平分，

则两点间的最小距离为　　　  .

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）

数列前项和为且，

（I）求的通项公式；

（II）求值.

18．（本小题满分12分）

已知函数，，

（I）求函数的对称中心；

（II）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.

19．（本小题满分12分）

在中，分别是内角的对边，，

（I） 求角的大小；

（II）若，且的面积等于，求的值.

20．（本小题满分12分）

已知函数，

（I） 当时，求函数的单调区间与极值；

（II）是否存在正实数，使得函数在区间上为减函数？若存在，请求的取值范围；若不存在，请说明理由.

21．（本小题满分12分）

已知数列的首项，且满足，

（I）设，证明是等差数列；

（II）求数列的前项和.

22．（本小题满分12分）

设函数，

（I）当时，求函数在点处的切线；

（II）若，都有，求正实数的取值范围；

（III）当时，曲线上的点处的切线与相切，求满足条件的的个数.

命题、校对：高三数学核心组

吉林市普通中学2020—2021学年度高中毕业班第一次调研测试

理科数学参考答案

一、选择题

二、填空题

13.               14.               15.   1030             16.

三、解答题

17【解析】

（1）由得.................................................1分

两式相减得即..................................2分

，所以..........................................3分

当时为等比数列，且.............................4分

所以的通项公式为...................................5分

（2）由（1）知

设，则.............................7分

所以是首项为，公比的等比数列.......................................8分

所以...........................10分

18【解析】

（1）由题得，

                      ……………………………………………………4分

       令  ，得

所以，函数的对称中心为  …………………………………6分

(2)    因为存在，使不等式成立，所以大于的最小值………8分

由，得，

当，即时，取最小值，

所以，则的取值范围为.……………………………………12分

19【解析】

（1）由正弦定理得

因为，所以

即……………………………2分

化简，得………………………………………………………………………4分

因为，所以……………………………………………………………………6分

（2）由（1）知，因为，所以由余弦定理，得

，即

化简，得①……………………………………………………………………8分

因为该三角形面积为

所以，即②…………………………………………………………10分

联立①②，解得………………………………………………………………………12分

20【解析】

（1）当时，     ......................1分

       令，解得，       .................................2分

...................3分

所以，的增区间为，， .................................4分

的减区间为     ........................................5分

的极大值为， ...........................................6分

的极小值为   ............................................7分

（2）依题意： ........................9分

      又因为，所以， ，.........................................10分

【说明】（1）此处只使用判别式小于等于0 加上a>0的不给分；

       （2）若使用变量分离的，需要分类讨论，可以酌情给分；

即 即无解。 所以，不存在满足条件的正实数......................12分

【说明】（1）此处若结算结果都正确，只结论错误，只扣1分；

       （2）此处若计算结果不正切，不给分；

21.【解析】

（1）解法一：将等式两边都减去得.........2分

再除以得，即..................................4分

即.且.................................................5分

    所以是首项为，公差为的等差数列.........................................6分

     解法二：由得..........................................1分

     将 代入上式得.....3分

     因此.且..............................................5分

     所以是首项为，公差为的等差数列........................................6分

(2)    由（1）知，所以..........................8分

    则.......................................9分

令...........................①

.........................②

①-②得：...................................10分

即.......................................................11分

所以.................................................12分

【说明】在求时，也可以用，采用累加法求和.其中.

22【解析】

22. （I）当时，， ..........................................1分

即切线方程为 ..........................2分

（II）<方法一>

由，

..............................................3分

，，即在上单调递增；

，，即在上单调递减；

则，..........................................5分

依题意：，所以，  .........................6分

<方法二>依题意：，....................................................3分

则，................................................5分

依题意：，所以，  .....................................6分

（III）当时，

则曲线上的点处的切线方程为

..................7分

    设直线与相切于点，即切线方程为...............8分

<方法一>即

，

......................................9分

，

，

所以，，,

,

..............................................10分

                                                  ............................11分

即有两个实根，即满足条件的有两个 .............12分

<方法二>即

，..................................9分

............................................................................10分

...................................................11分

................................12分