上海市杨浦区2021年中考数学一模试卷附答案

中考数学一模试卷

一、单选题（共6题；共12分）

1.关于抛物线 ，下列说法中，正确的是（    ）           

A. 经过坐标原点                B. 顶点是坐标原点                C. 有最高点                D. 对称轴是直线

2.在 中，如果 ， ，那么这个三角形一定是（    ）           

A. 等腰三角形                       B. 锐角三角形                       C. 钝角三角形                       D. 直角三角形

3.如果小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，那么点B处小明看点A处小丽的仰角是（    ）           

A. 35°                                       B. 45°                                       C. 55°                                       D. 65°

4.在 中，点D、E分别在边 、 上，下列条件中，能判定 的是（    ）           

A.                        B.                        C.                        D. 

5.下列命题中，正确的是（    ）           

A. 如果 为单位向量，那么                     B. 如果 、 都是单位向量，那么
C. 如果 ，那么                                D. 如果 ，那么

6.在梯形 中， ，对角线 与 相交于点O，下列说法中，错误的是（    ）           

A.                B.                C.                D. 

二、填空题（共12题；共12分）

7.计算： ________．   

8.已知抛物线 的开口向上，那么a的取值范围是________．   

9.如果小明沿着坡度为 的山坡向上走了130米，那么他的高度上升了________米．   

10.已知线段 的长为4厘米，点P是线段AB的黄金分割点（ ），那么线段 的长是________厘米．   

11.抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于A、B，与y轴交于C，则△ABC的面积＝________．   

12.已知抛物线 ，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点 ，那么平移后的抛物线的表达式是________．   

13.一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为 ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为________m．   

14.如图，已知在平行四边形 中，点E在边 上， ，联结 交对角线 于点O，那么 的值为________． 

15.如图，已知在 中， ，点G是 的重心， ， ，那么 ________． 

16.如图，已知在 中， ， ， ，正方形 的顶点G、F分别在边 、 上，点D、E在斜边 上，那么正方形 的边长为________． 

17.新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形 中， ， ， ， ，那么边 的长为________． 

18.如图，已知在△ABC中，∠B=45º，∠C=60º，将△ABC绕点A旋转，点B、C分别落在点B1、C1处，如果BB1//AC，联结C1B1交边AB于点D，那么 的值为________． 

三、解答题（共7题；共66分）

19.计算： ．   

20.已知一个二次函数的图像经过点 、 、 ．   

（1）求这个函数的解析式及对称轴；   

（2）如果点 、 在这个二次函数图像上，且 ，那么 ________ ．（填“<”或者“>”）   

21.如图，已知在 中，点D、E分别在边 、 上， ，点M为边 上一点， ，联结 交 于点N． 

（1）求 的值；   

（2）设 ， ，如果 ，请用向量 、 表示向量 ．   

22.如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B、C两点，对岸岸边有一块石头A，在 中，测得 ， ， 米，求河宽（即点A到边 的距离）（结果精确到0.1米）． 

（参考数据： ， ， ， ）

23.已知：如图，在梯形 中， ，对角线 、 相交于点E，过点A作 ，交对角线 于点F． 

（1）求证： ；   

（2）如果 ，求证：线段 是线段 、 的比例中项．   

24.已知在平面直角坐标系 中，抛物线 与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（点C在点D左侧），顶点A在第一象限，异于顶点A的点 在该抛物线上． 

（1）如果点P与点C重合，求线段 的长；   

（2）如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点， ，求点Q的坐标；   

（3）如果直线 与x轴的负半轴相交，求m的取值范围．   

25.如图，已知在 中， ， ，点D为边 上一动点（与点B、C不重合），点E为边 上一点， ，过点E作 ，垂足为点G，交射线 于点F．

（1）如果点D为边 的中点，求 的正切值；   

（2）当点F在边 上时，设 ， ，求y关于x的函数解析式及定义域；   

（3）联结 如果 与 相似，求线段 的长．   

答案解析部分

一、单选题

1.【解析】【解答】解： ，

二次项前面的系数大于0， 抛物线开口向上，有最低点，

当x=0时，y=0， 抛物线经过坐标原点，

，

抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，

综上所述，B、C、D选项均不符合题意，只有A选项符合题意．

故答案为：A．

【分析】本题根据二次函数的性质直接判断即可得出符合题意结果．

2.【解析】【解答】∵ ， ，

∴∠A＝30°，∠B＝60°，

∴ ∠A＋∠B＝90°，

∴ 这个三角形一定是直角三角形，

故答案为：D．

【分析】根据特殊的三角函数值可知，∠A＝30°，∠B＝60°，即可判断三角形的形状．

3.【解析】【解答】解：根据两点之间的仰角与俯角构成的两条水平线夹角的内错角相等，可知，点B处小明看点A处小丽的仰角是35°，

故答案为：A．

【分析】根据两点之间的仰角与俯角构成的两条水平线夹角的内错角相等，即可得出答案．

4.【解析】【解答】A、 ,可证明DE∥BC,故本选项符合题意；

 B、 ,不可证明DE∥BC,故本选项不符合题意；

C、 ,不可证明DE∥BC,故本选项不符合题意；

 D、 不可证明DE∥BC,故本选项不符合题意．

故答案为：A．

【分析】根据对应线段成比例，两直线平行，可得出答案．

5.【解析】【解答】A、如果 为单位向量，则有 ，但 不等于1，所以 ，故不符合题意；

B、长度等于1的向量是单位向量，故不符合题意；

C、如果 ，那么 ，故符合题意；

D、 表示这两个向量长度相等，而 表示的是长度相等，方向也相同的两个向量，故不符合题意；

故答案为：C．

【分析】根据向量的定义和要素可直接进行排除选项．

6.【解析】【解答】解：如图所示：

∵AD∥BC，

∴△AOD∽△COB， ， ，故D不符合题意，

∴ ，

∴ ，故C符合题意；

∵ ，

∴ ，A不符合题意；

∴ ，即 ，故B不符合题意；

故答案为：C．

【分析】根据相似三角形的性质及等积法可直接进行排除选项．

二、填空题

7.【解析】【解答】解： ；

故答案为： ．

【分析】根据向量的线性运算可直接进行求解．

8.【解析】【解答】解：由抛物线 的开口向上，可得：

，解得： ；

故答案为： ．

【分析】根据二次函数的图像与性质可直接进行求解．

9.【解析】【解答】解：设高度上升了h，则水平前进了2.4h，

由勾股定理得： ，解得h=50．

故答案为50．

【分析】设高度上升了h，则水平前进了2.4h，然后根据勾股定理解答即可．

10.【解析】【解答】解： 点P是线段AB的黄金分割点（ ），

，

可知 （厘米），

（厘米）

故答案为： ．

【分析】根据黄金比值可知 ，计算得出结果即可．

11.【解析】【解答】解：y＝0时，0＝x2﹣4x+3，

解得x1＝3，x2＝1

∴线段AB的长为2，

∵与y轴交点C（0，3），

∴以AB为底的△ABC的高为3，

∴S△ABC＝ ×2×3＝3，

故答案为：3．

【分析】先根据题意求出AB的长。再得到C点坐标，故可求解．

12.【解析】【解答】解：设所求的函数解析式为y=x2+h

将点A坐标代入得：2=22+h，解得h=-2

所以平移后的抛物线的表达式是y=x2-2．

故答案为：y=x2-2．

【分析】设所求的函数解析式为y=x2+h，然后将点A坐标代入求得k即可．

13.【解析】【解答】由题意可得：y=﹣ =− （x2− x）+ =− （x− ）2+ ，

故铅球运动过程中最高点离地面的距离为： m.

故答案为 .
【分析】将二次函数解析式配方可得y =− （x− ）2+ ，再根据顶点坐标求解即可。

14.【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠OAE=∠DCO，∠OEA=∠ODC，

∴△AOE∽△COD，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

故答案为 ．

【分析】由题意可以得到△AOE∽△COD，再根据三角形相似的性质和已知条件可以求得AO：OC的值．

15.【解析】【解答】解：如图，延长CG与AB交于点D，过D作DE⊥CB于点E，

∵G是△ABC 的重心，∴CG=2GD，

∵CG=2，∴GD=1，∴CD=2+1=3，

∵∠ACB=90°，∴AC⊥CB，∴AC∥DE，

∵D是AB中点，∴E是CB中点，

∴CE= ，∴cos∠GCB= ，

故答案为 ．

【分析】根据重心的性质和余弦函数的定义可以得到解答．

16.【解析】【解答】作CM⊥AB于M，交GF于N，如图所示：

∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10， ，

∴设BC＝k，则AC＝2k，AB2＝AC2＋BC2  ， 即：102＝（2k）2＋k2  ， 解得：k＝2 ，

∴BC＝2 ，AC＝4 ，

∴CM＝ ＝ ＝4，

∵正方形DEFG内接于△ABC，

∴GF＝EF＝MN，GF∥AB，

∴△CGF∽△CAB，

∴ ，即 ，

解得：EF＝ ；

故答案为： ．

【分析】作CM⊥AB于M，交GF于N，由勾股定理可得出AB，由面积法求出CM，证明△CGF∽△CAB，再根据对应边成比例，即可得出答案．

17.【解析】【解答】解：如图，连接AC，作 交BC于E点，

  ， ，

，设AE=3x，BE=4x，

，则 ，

解得x=2，则AE=6，BE=8，

又 ， CE=BC-BE=4，

，

作 交AD于F点，

， ，

， = = ，

又 ， 同理可得DF=3，CF=4，

，

AD=AF+DF=9．

故答案为：9．

【分析】连接AC，作 交BC于E点，由 ， ，可得AE=6，BE=8，并求出AC的长，作 交AD于F点，可证 ，最后求得AF和DF的长，可解出最终结果．

18.【解析】【解答】解：由题意知 ，AC∥BB1  ，  °，∠C=60°，

∴ =75°

∵∠ ∠ABC=45°

∴∠ =30°，则∠ =75°

在△ 中，过点B作BM⊥ 于M,设

在Rt△BMB1中，∠ =30°

∴BM= ，

∴

则BD=

∵ =

【分析】由旋转得出∠ =75°，在△ 中，过点B作BM⊥ 于M,设 ,由勾股定理计算出BD的长，由此解答即可．

三、解答题

19.【解析】【分析】把各三角函数的值代入式中计算即可．

20.【解析】【解答】解：（2） ， 抛物线开口向下，

对称轴为直线x=1， x<1时，y随x的增大而增大，

又 本题 ， ．

故答案为：<．

【分析】（1）直接用待定系数法代入三点求出函数解析式，运用对称轴公式可求出对称轴；

（2）通过判断二次函数增减性可得出结果．

21.【解析】【分析】（1）由平行线的性质得到△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，可得 ，即 ，根据 可求出 的值；

（2）根据 可得 ，所以 = ，根据 = ，即可得出答案．

22.【解析】【分析】过A作AD⊥BC于D，并设AD=x米，则由已知条件可以得到关于x的方程，解方程即可得到河的宽度．

23.【解析】【分析】（1）延长AF交BC于点G，可证AD=GC，由 ，可证 ，由 ，可证 ，进而可证结论成立；

（2）证明 ，可证 ，由（1）得 ，即 ，进而可证线段 是线段 、 的比例中项．

24.【解析】【分析】（1）根据题意求出C点的坐标，由点P与点C重合列等式求解即可；

（2）由题意代入原点坐标可得出点P的坐标，连接OP，PQ，作 于E点， 轴于F点，根据三角函数值可证明 ，从而得到OG=PG，得到G点的坐标，求出PG所在直线的解析式，联立等式求解即可；

（3）分别求出B、P的坐标，求出直线BP的解析式，令y=0，可得直线BP与x轴的交点横坐标，求其小于0的取值范围即可．

25.【解析】【分析】（1））过点D作 于H，在 中，利用勾股定理解得AD、AB的长，再结合等积法，解得DH、AH的长即可解题；

（2）根据相似三角形对应边成比例的性质，表示 ， 再证明

由 即 得到与x的关系；

（3）根据相似三角形对应边成比例的性质，结合（2）中y关于x的函数解析式联立方程组，继而解得x、y的值即可解题．