上海市浦东新区2021年中考数学一模试卷附答案

中考数学一模试卷

一、单选题（共6题；共12分）

1.A、B两地的实际距离AB=250米，如果画在地图上的距离 =5厘米，那么地图上的距离与实际距离的比为（   ）           

A. 1∶500                             B. 1∶5 000                             C. 500∶1                             D. 5 000∶1

2.已知在 中， ， ，那么AB的长等于（   ）           

A.                                  B.                                  C.                                  D. 

3.下列 关于x的函数中，一定是二次函数的是（   ）           

A.               B.               C.               D. 

4.已知一个单位向量 ，设 、 是非零向量，那么下列等式中正确的是（  ）．           

A. ；                   B. ；                   C. ；                   D. ．

5.如图，在 ABC中，点D、F是边AB上的点，点E是边AC上的点，如果∠ACD=∠B，DE BC，EF CD，下列结论不成立的是（   ） 

A.              B.              C.              D. 

6.已知点A（1，2）、B（2，3）、C（2，1），那么抛物线 可以经过的点是（   ）           

A. 点A、B、C                             B. 点A、B                            C. 点A、C                            D. 点B、C

二、填空题（共12题；共12分）

7.如果线段a、b满足 ，那么 的值等于________．   

8.已知线段MN的长是4cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP的长是________cm．   

9.计算： ________．   

10.如果从某一高处甲看低处乙的俯角为36度，那么从低处乙看高处甲的仰角是________度．   

11.已知AD、BE是 ABC的中线，AD、BE相交于点F，如果AD=3，那么AF=________．   

12.如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设 ， ，那么向量 关于 、 的分解式为________． 

13.如果抛物线 经过原点，那么该抛物线的开口方向________．（填“向上”或“向下”）   

14.如果（2， ）、（3， ）是抛物线 上两点，那么 ________ ．（填“>”或“<”）   

15.如图，矩形DEFG的边EF在 ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知 ABC的边BC长60厘米，高AH为40厘米，如果DE=2DG，那么DG=________厘米．

16.秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在Rt ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，AD⊥AB，AD=0.4，过点D作DE AB交CB的延长线于点E，过点B作BF⊥CE交DE于点F，那么BF=________． 

17.如果将二次函数的图像平移，有一个点既在平移前的函数图像上又在平移后的函数图像上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线 ： 向右平移得到新抛物线 ，如果“平衡点”为（3，3），那么新抛物线 的表达式为________．   

18.如图， ABC中，AB=10，BC=12，AC=8，点D是边BC上一点，且BD：CD=2：1，联结AD，过AD中点M的直线将 ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为________． 

三、解答题（共7题；共65分）

19.已知向量关系式 ，试用向量 、 表示向量 ．   

20.已知抛物线 的顶点在第二象限，求 的取值范围．   

21.如图，已知AD BE CF，它们依次交直线 、 于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8． 

（1）求 的值；   

（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．   

22.如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形ABCD，现将一根木棒MN放置在该燕尾槽中，木棒与横断面在同一平面内，厚度等不计，它的底端N与点C重合，且经过点A．已知燕尾角∠B=54.5°，外口宽AD=180毫米，木棒与外口的夹角∠MAE=26.5°，求燕尾槽的里口宽BC（精确到1毫米）．（参考数据： ， ， ， ， ， ） 

23.Rt ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD=CA，DE⊥AB． 

（1）求证： ．   

（2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H．求证：CH⊥AB．   

24.二次函数 （ ）的图像经过点A（2，4）、B（5，0）和O（0，0）． 

（1）求二次函数的解析式；   

（2）联结AO，过点B作BC⊥AO于点C，与该二次函数图像的对称轴交于点P，联结AP，求∠BAP的余切值；   

（3）在（2）的条件下，点M在经过点A且与x轴垂直的直线上，当 AMO与 ABP相似时，求点M的坐标．   

25.四边形ABCD是菱形，∠B≤90°，点E为边BC上一点，联结AE，过点E作EF⊥AE，EF与边CD交于点F，且EC=3CF． 

（1）如图1，当∠B=90°时，求 与 的比值；   

（2）如图2，当点E是边BC的中点时，求 的值；   

（3）如图3，联结AF，当∠AFE=∠B且CF=2时，求菱形的边长．   

答案解析部分

一、单选题

1.【解析】【解答】解：∵250米=25000cm，

∴ =5：25000=1：5000．

故答案为：B．

【分析】地图上距离与实际距离的比就是在地图上的距离 与实际距离AB的比值．

2.【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝2，

∴sinA＝ ，

∴AB＝ = ，

故答案为：A．

 
【分析】在直角三角形ACB中，根据锐角三角函数的定义，求出答案即可。

3.【解析】【解答】解： ，当 时， 不是 的二次函数，故 不符合题意；

， 不是 的二次函数，故 不符合题意；

， 不是 的二次函数，故 不符合题意；

，符合 是 的二次函数的定义，故 符合题意；

故答案为：

【分析】形如： 这样的函数，则 是 的二次函数，根据定义逐一判断即可得到答案．

4.【解析】【解答】解： A 、左边得出的是 a 的方向不是单位向量，故不符合题意；

B 、符合向量的长度及方向，符合题意；

C 、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故不符合题意；

D 、左边得出的是 a 的方向，右边得出的是 b 的方向，两者方向不一定相同，故不符合题意．

故答案为：B．

【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．

5.【解析】【解答】解：∵DE BC，EF CD，

∴∠ADE=∠B，∠ACD=∠AEF，

又∵∠ACD=∠B，

∴∠ADE=∠AEF，

∵∠ADE=∠AEF，∠A=∠A，

∴ AEF∽ ADE，

∴ ，

∴ ，A不符合题意；

∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，

∴ ACD∽ ABC，

∴ ，

∴ ，B不符合题意；

∵DE BC，

∴ ，

∵EF CD，

∴ ，

∴ ，

∴ ，D不符合题意；

∵EF CD，

∴ ，

∴ ，C符合题意，

故答案为：C．

【分析】根据相似三角形的判定及性质以及平行线分线段成比例对每个选项逐个证明即可．

6.【解析】【解答】解：把 ， 代入抛物线的解析式，

 即：

解得：

 抛物线为：

当 时，

不在抛物线 上，

 抛物线 可以经过的点是 A,C

故答案为：

【分析】先把 ， 代入抛物线的解析式，求解抛物线的解析式为： ，再判断 不在抛物线上，从而可得答案．

二、填空题

7.【解析】【解答】解：∵ ，

∴

，

故答案为： ．

【分析】根据 ，再将 代入计算即可．

8.【解析】【解答】较长的线段MP的长为xcm，则较短的线段长是(4−x)cm.

则x2=4(4−x)，

解得x= 或−  (舍去).

故答案为： .

【分析】设较长的线段MP的长为xcm，则较短的线段长是(4−x)cm.根据黄金分割的意义可得x2=4(4−x)，解得x=  2− 2  或−  2− 20，   (舍去).

9.【解析】【解答】解：

故答案为： 0

【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可得到答案．

10.【解析】【解答】解：如图所示：

∵甲处看乙处为俯角∠DBA=36°， ，

∴乙处看甲处为：仰角∠CAB=∠DBA=36°．

故答案为：36．

【分析】根据仰角以及俯角的定义，画出图形进而求出即可．

11.【解析】【解答】∵AD、BE是 ABC的中线，AD、BE相交于点F，

∴F点是三角形ABC的重心，

∴AF= AD= ×3=2

故答案为：2．

【分析】由三角形的重心的概念和性质，由AD、BE为△ABC的中线，且AD与BE相交于点F，可知F点是三角形ABC的重心，根据重心的特点即可求解．

12.【解析】【解答】解：∵ ， ，

∴

，

故答案为： ．

【分析】根据 计算即可．

13.【解析】【解答】解： 抛物线 经过原点，

在抛物线上，

 抛物线为：

由 ＞

 抛物线的开口向上．

故答案为：向上．

【分析】把原点 代入函数解析式，先求解抛物线的解析式 ，再根据 的值判断开口方向即可得到答案．

14.【解析】【解答】解：当 时，

当 时，

＞ ，

故答案为：＜．

【分析】根据自变量的值先求解二次函数值，再比较大小即可得到答案．

15.【解析】【解答】解：如图，记 的交点为 设

 四边形 为矩形，

故答案为： 15

【分析】如图，记 的交点为 设   再证明： 利用相似三角形的性质可得： 再列方程，解方程可得答案．

16.【解析】【解答】解：如图，分别过点C、B作CH⊥AB，BG⊥EF，垂足分别为点H、G，

∵∠ACB=90°，AC=12，BC=5，

∴AB= ，

∵CH⊥AB，

∴CH= ，

∵DE AB，BG⊥DE，AD⊥AB，AD=0.4，

∴BG=AD=0.4，∠FEB=∠ABC，

∵BF⊥CE，∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠FBE=90°，

∵∠FEB=∠ABC，∠ACB=∠FBE=90°，

∴ FBE∽ ACB，

又∵CH⊥AB，BG⊥EF，

∴ ，

∴ ，

解得： ，

故答案为： ．

【分析】分别过点C、B作CH⊥AB，BG⊥EF，垂足分别为点H、G，先根据勾股定理得到AB=13，进而可求得CH= ，再证明 FBE∽ ACB，根据相似三角形的性质可得 ，由此计算即可．

17.【解析】【解答】解：抛物线 ： 向右平移 （ ＞ ）个单位可得：

：

把 代入

或

或

经检验： 不合题意，取

故答案为：

【分析】先求抛物线 ： 向右平移 （ ＞ ）个单位的函数解析式，再把 代入平移后的解析式，求解 即可得到答案．

18.【解析】【解答】解：如图，过 作 交 于 ，

设

为 的中点，

 即：

解得： 或 ，

经检验： 不合题意，舍去，

故答案为：

【分析】如图，过 作 交 于 ，设 由三角形的周长关系可得： 再证明： 利用相似三角形的性质求解 再证明： 可得： 再解方程组可得答案．

三、解答题

19.【解析】【分析】根据平面向量的定义，既有方向，又有大小计算即可．

20.【解析】【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（-1，m-1），再利用第二象限点的坐标特征得到m-1＞0，然后解不等式即可．

21.【解析】【分析】（1）根据AD BE CF可得 ，由此计算即可；

（2）过点A作AG DF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=5，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH=6，即可得出结果．

22.【解析】【分析】过 作 于 ，过 作 于 ，先证明： ，可得  设 再利用锐角三角函数建立方程组，解方程组求解 ，从而可得答案．

23.【解析】【分析】（1）证明△DCE∽△BCD，根据相似三角形的对应边成比例即可得证；

（2）证明△CAE∽△CBA，可得∠CEA=∠CAB，由直角三角形的性质可证CM=AM，从而∠CAE=∠ACM，然后由等量代换可证∠CAB+∠ACM=90°，进而可证结论成立．

24.【解析】【分析】（1）由B（5，0）和O（0，0）在抛物线上，可设抛物线为： 再把 代入可得答案；

（2）先求解 的长度，可得 利用等腰三角形的性质证明 求解 的坐标，再求解 的解析式及抛物线的对称轴方程，求解 的坐标，求解 ，可得： 再求 的长及 即可得到答案；

（3）分两种情况讨论，如图，当 时，当 时，再利用相似三角形的性质可得答案．

25.【解析】【分析】（1）先证明： 可得： ，结合： 可得： 再设 可得 而 ，建立方程： 可得： 再利用相似三角形的性质可得答案．

（2）延长 相交于 ，过 作 于 连接 先证明： 可得： 证明： 设 再设 利用 求解 ，可得 从而可得答案；

（3）如图，过 作 交 的延长线于 ，延长 至 ,使 证明： 设  证明： 可得： 再证明： 利用相似三角形的性质列方程组，解方程组可得答案．