贵州省威宁市2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题（word版 含答案）

2020～2021学年度第二学期期中考试

高一数学

考生注意：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．

2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签了笔将密封线内项目填写清楚．

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．

4．本卷命题范围：人教A版必修5．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共6分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1．等差数列的第4项为（    ）

A．      B．      C．      D．

2．已知，且满足，则下列不等式一定成立的是（    ）

A．      B．      C．      D．

3．下列四个数中，属于数列中的一项是（    ）

A．380      B．392      C．321      D．232

4．已知，当取最小值时，则a等于（    ）

A．      B．6      C．9      D．12

5．已知等比数列的前3项和为78，第1项与第3项的和为60，则数列的公比为（    ）

A．3      B．2      C．      D．3或

6．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则b的值为（    ）

A．      B．      C．      D．1

7．若递增的等比数列的前n项和为，，则等于（    ）

A．63      B．64      C．65      D．66

8．已知，且满足不等式组则的最小值为（    ）

A．      B．0      C．      D．

9．若关于x的不等式的解集为，则实数m的值是（    ）

A．1      B．2      C．3      D．4

10．一游客在A处望见在正北方向有一塔B，在北偏西方向的C处有一寺庙，此游客骑车向西行后到达D处，这时塔和寺庙分别在他的北偏东和北偏西，则塔与寺庙的距离为（    ）

A．      B．      C．      D．

11．若实数x，y满足不等式组且目标函数的最大值为6，则实数a的值是（    ）

A．4      B．1或3      C．2      D．2或4

12．已知数列的前n项和，则数列的前n项和，满足（    ）

A．      B．      C．      D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．在等比数列中，，公比．若，则n的值为________．

14．设等差数列的前n项和为，已知，则的最小值为_______．

15．在中，若，则_________．

16．已知x，y都是正数，若，则的最小值为_________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

根据下列条件，求相应的未知数．

（1）在等差数列中，，前n项和，求公差d及项数n；

（2）在等比数列中，，求和公比q．

18．（本小题满分12分）

在中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

（1）求角B的大小；

（2）若，求的面积．

19．（本小题满分12分）

已知函数的解集为．

（1）求的解析式；

（2）当时，求的最小值．

20．（本小题满分12分）

已知是公差为2的等差数列，且，是公比为3的等比数列，且．

（1）求数列，的通项公式；

（2）令，求数列的前n项和．

21．（本小题满分12分）

如图，在中，的垂直平分线交边于点D．

（1）求的长；

（2）若，求的值．

22．（本小题满分12分）

如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目即图中阴影部分，这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，设广告牌的高为．

（1）求广告牌的面积y关于x的表达式；

（2）如何设计才能使广告牌的面积最小，并求出最小值．

2020～2021学年度第二学期期中考试·高一数学

参考答案、提示及评分细则

1．B  由，得．

2．D  由不等式的性质可知D正确．

3．A

4．A  ∵，当且仅当，即或（舍去）时，∴当取最小值时，．

5．D  ∵，∴．又，即，解得或，故选D．

6．B  由，得，即，解得．故选B．

7．A  设等比数列公比为q，由得，所以，或，因为数列递增且，所以，所以．故选A．

8．C  由不等式组表示的平面区域如图（阴影部分），

使取得最小值的最优解为，∴的最小值为．故选C．

9．C  ∵不等式的解集为，∴a，是关于x的方程的两个实根，且，∴，且，解得．故选C．

10．B  如图，先求出的长，然后在中利用余弦定理可求解．

在中，．可得．在中，，

∴，∴．在中，，∴．

11．C  作出可行域如图所示．因为，所以当直线经过点A时，z取得最大值．

由解得点，所以，解得或（舍去）．

12．A  当时，；当时，．验证知，当时，成立．综上，，所以，所以，所以，所以，所以，所以．即数列的前n项和．

13．7  因为且，所以，所以．

14．

15．  ．又，∴．

16．  ．当且仅当即时取“=”．

17．解：（1）由题意，得解得．            2分

又，

将，代入解得．            5分

（2）由题意，得            7分

解得或．            10分

18．解：（1）因为，

所以．            2分

因为，所以，所以．

由正弦定理，得，

整理，得，      4分

所以，即．

因为，所以，所以，又因为，

所以．            6分

（2）由（1）知，由余弦定理，得．

又因为，所以，解得，      9分

所以．      12分

19，解：（1）由题可知解得

所以．            5分

（2）由（1），得．

由，得，            8分

当且仅当，即时取等号，所以y的最小值为3．            12分

20．解：（1）∵数列的公差为，且，即，

∴，∴．            3分

∵，∴，又的公比为3，∴．      6分

（2）由（1）得，

∴，①

，②            9分

由①-②得：，

∴．      12分

21．解：（1）在中，，            3分

整理得，            5分

即，所以或．            6分

（2）因为，由（1）得，所以．            7分

在中，由余弦定理得．

所以．            9分

由，得．            10分

在中，由正弦定理得，即，

所以．            12分

22．解：（1）依题意设广告牌的宽为，则，            2分

所以，且，            2分

所以广告牌的面积．            6分

（2）由（1）知，      8分

，            10分

当且仅当，即时等号成立．            11分

所以当时，广告牌的面积最小最小值为．

答：设计广告牌的高度为时广告牌的面积最小，且最小值为．            12分