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内蒙古包头市2021年中考数学三模试卷附答案
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这是一份内蒙古包头市2021年中考数学三模试卷附答案，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
中考数学三模试卷
一、单选题（共12题；共24分）
1.的相反数为
A. B. 3 C. D.
2.下列计算正确的是 （ ）
A. B. C. D.
3.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ）
A. B. C. D.
4.如图， 的顶点都是正方形网格中的格点，则 等于（ ）
A. B. C. D.
5.某校一九年级毕业班为了了解学生100米跑的训练情况，对全班学生进行了一次测试，测试结果如条形统计图所示，则测试成绩的中位数和众数分别是（ ）
A. 85分，90分 B. 90分，90分 C. 90分，95分 D. 95分，95分
6.如图，在 的两边上分别截取OA、OB，使 ；分别以点 为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC若 ，四边形 的面积为 ．则OC的长为（ ）
A. B. C. D.
7.等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则k的值是 ( )
A. 8 B. 9 C. 8或9 D. 12
8.若 则（ ）
A. B. C. D.
9.设点 和点 是反比例函数 图象上的两点，当 时， ，则一次函数 的图象不经过的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
10.如图，已知AB是ʘO的直径，点P在B的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C．若⊙O的半径为6．BC＝9，则PA的长为（ ）
A. 8 B. 4 C. 6 D. 5
11.下列命题中，假命题的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 如果两个三角形相似，则他们的面积比等于相似比的平方
D. 有一个角相等的两个菱形相似
12.如图，已知点A（3，4），点B为直线x＝﹣2上的动点，点C（x ， 0）且﹣2＜x＜3，BC⊥AC垂足为点C ， 连接AB ． 若AB与y轴正半轴的所夹锐角为α，当tanα的值最大时x的值为（ ）
A. B. C. 1 D.
二、填空题（共8题；共9分）
13.在函数y＝ +（x﹣3）0中自变量x的取值范围是________．
14.如果 ，那么代数式 的值是________．
15.现有三张分别标有数字1、2、3的卡片，它们除了数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张，将上面的数字记为a；将卡片放回后，再次任意抽取一张，将上面的数字记为b ， 则点 在直线 图象上的概率为________．
16.如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF ， 点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为________
17.如图，△ABC中，D，E两点分别在边AB，BC上，若AD：DB=CE：EB=3：4，记△DBE的面积为S1 ， △ADC的面积为S2 ， 则S1：S2= ________。
18.如图，平面直角坐标系 中，点B是 的图象上一点，点A是直线 上的一动点，且 ．当 的面积等于5时，k的值为________．
19.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ， DF 分别是△BAD 和△ACD 的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形 AEDF 是正方形；④AE+DF＝AF+DE ． 其中正确的是________（填序号）．
20.如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为 ，过A点作y轴垂线，点B ， C在该垂线上，B点坐标为 ，C点在B点右侧，且 ，则C点的坐标为________．
三、解答题（共6题；共74分）
21.某校对九年级学生进行一次综合文科中考模拟测试，成绩x分（x为整数）评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用A、B、C、D表示），A等级：90≤x≤100，B等级：80≤x＜90，C等级：60≤x＜80，D等级：0≤x＜60.该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表.
等级
频数（人数）
频率
A
a
20%
B
16
40%
C
b
m
D
4
10%
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）上表中的a________，b＝________，m＝________.
（2）本次调查共抽取了多少名学生？请补全条形图.
（3）若从D等级的4名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请用画树状图或列表的方法求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率.
22.小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆 ，箱长 ，拉杆 的长度都相等， 在 上， 在 上，支杆 ，请根据以上信息，解决下列向题.
（1）求 的长度（结果保留根号）；
（2）求拉杆端点 到水平滑杆 的距离（结果保留根号）.
23.某超市用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的 ，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元.
（1）求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？
（2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多60件，求：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具多少件？
24.已知：如图所示，MN是 的直径，B是 上一点，NP平分 交 于P，过P作 于A.
（1）求证：PA与 相切；
（2）若 ， ，求MP的长；
（3）若D是ON中点，过D作 交AP于C，若 ， ，求 的半径.
25.已知：在 中 ，点D为 边的中点，点F是 边上一点，点E在线段 的延长线上， ，点M在线段 上， ．
（1）如图1，当 时，求证： ；
（2）如图2，当 时，则线段 、 之间的数量关系为：________.
（3）在（2）的条件下延长 到P ， 使 ，连接 ，若 ，求 值．
26.如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC＝DE，求出点D的坐标；
（3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．
答案解析部分
一、单选题
1.【解析】【解答】解：∵ ＝3
∴3的相反数是﹣3
故答案为：A
【分析】先求出＝3，再根据相反数的定义进行计算求解即可。
2.【解析】【解答】解：A. ，故A选项不符合题意；
B. ，故B选项不符合题意；
C. ，故C选项不符合题意；
D. ，符合题意．
故答案为D．
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项法则进行计算求解判断即可。
3.【解析】【解答】解： 主视图和左视图是三角形，
几何体是锥体，
俯视图的大致轮廓是圆，
该几何体是圆锥.
故答案为：A.
【分析】观察已知几何体的三视图，主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，由此可知此几何体是圆锥。
4.【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于D．
在Rt△ABD中，tan∠ABC＝ ，
故答案为：C．
【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。
5.【解析】【解答】解：由条形统计图可知，测试成绩90分出现的次数最多，
∴众数为90分.
∵全班学生的人数为 （人），
∴这组数据的中位数为第20个和第21个测试成绩的平均数.
∵第20个和第21个成绩均为90分，
∴中位数为90分.
故答案为：B.
【分析】根据条形统计图，众数和中位数的定义进行求解即可。
6.【解析】【解答】解：根据作图得，AC=BC=OA，
∵OA=OB，
∴OA=OB=BC=AC，
∴四边形OACB是菱形，
∵AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2 ，
∴ AB•OC= ×2×OC=4，
解得OC=4cm．
故答案为：C．
【分析】先证明四边形OACB是菱形，再根据菱形的面积公式计算求解即可。
7.【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
当等腰三角形的底边为2时，
此时关于x的一元二次方程x2-6x+k=0的有两个相等实数根，
∴△=36-4k=0，
∴k=9，
此时两腰长为3，
∵2+3＞3，
∴k=9满足题意.
当等腰三角形的腰长为2时，
此时x=2是方程x2-6x+k=0的其中一根，
∴4-12+k=0，
∴k=8，
此时另外一根为：x=4，
∵2+2=4，
∴不能组成三角形，
综上所述，k=9，
故答案为：B.
【分析】分类讨论：当等腰三角形的底边为2时，根据等腰三角形的两腰相等可知关于x的一元二次方程x2-6x+k=0的有两个相等实数根，故其根的判别式的值应该等于0，从而列出关于k的方程，求解得出k的值，再将k的值代入方程，解出方程的两个根，根据三角形的三边关系进行判断能否围成三角形，从而得出结论；当等腰三角形的腰长为2时，此时x=2是方程x2-6x+k=0的其中一根，将x=2代入方程，求解得出k的值，进而利用根与系数的关系得出方程的另一个根，根据三角形的三边关系进行判断能否围成三角形，从而得出结论，综上所述即可得出答案.
8.【解析】【解答】解:∵ ，
∴a-b=-a-b， 或b-a=-a-b
∴a= -a，或b=-b, ∴a=0,或b=0, ∴ab=0, ∴ .
故答案为：C.
【分析】直接利用二次根式的性质 ，将已知等式左边化简，可以得到a与b中至少有一个为0，进而分析得出答案即可.
9.【解析】【解答】解： 点 和点 是反比例函数 图象上的两点，
当 时， ，
反比例函数的图象在每一象限内y随x的增大而减小，
＞ ，
一次函数 的图象不经过的象限是第三象限．
故答案为：C．
【分析】先求出反比例函数的图象在每一象限内y随x的增大而减小，再求出k＞0，最后进行求解即可。
10.【解析】【解答】解：连接DO
∵PD与⊙O相切于点D，
∴∠PDO＝90°，
∵BC⊥PC，
∴∠C＝90°，
∴∠PDO＝∠C，
∴DO//BC，
∴△PDO∽△PCB，
∴ ，
设PA＝x，则 ，
解得：x＝6，
∴PA＝6．
故答案为C．
【分析】先求出∠PDO＝90°，再证明△PDO∽△PCB，最后根据相似三角形的性质进行计算求解即可。
11.【解析】【解答】解：当 时，若 ，则 ，故A为假命题，
故B为真命题，
由相似三角形的性质可得：如果两个三角形相似，则他们的面积比等于相似比的平方，
故C为真命题，
两个菱形有一个角相等，则利用菱形的性质可推导四个角分别对应相等，
由菱形的四条边相等，则两个菱形的边分别对应成比例，
所以：有一个角相等的两个菱形相似，故D为真命题．
故答案为：A．
【分析】根据命题的定义对每个选项一一判断求解即可。
12.【解析】【解答】解：如图，设直线x＝﹣2与x轴交于G，过A作AH⊥直线x＝﹣2于H，AF⊥x轴于F，
∵BH∥y轴，
∴∠ABH＝α，
在Rt△ABH中，tanα＝ ，
∵tanα随BH的增大而减小，
∴当BH最小时tanα有最大值；即BG最大时，tanα有最大值，
∵∠BGC＝∠ACB＝∠AFC＝90°，
∴∠GBC+∠BCG＝∠BCG+∠ACF＝90°，
∴∠GBC＝∠ACF，
∴△ACF∽△CBG，
∴ ，
设BG=y，则 ，
∴ ，
∴当x＝ 时，BG取最大值，tanα取最大值，
故答案为：A．
【分析】先求出tanα＝ ，再证明△ACF∽△CBG，最后根据相似三角形的性质进行计算求解即可。
二、填空题
13.【解析】【解答】解：由题意得： ，
解得：x＞﹣3，且x≠3．
故答案为：x＞﹣3，且x≠3．
【分析】根据函数可得， 最后计算求解即可。
14.【解析】【解答】解：由 得 ，
所以， = = =3.
故答案为：3.
【分析】先求出， 再根据分式的混合运算计算求解即可。
15.【解析】【解答】解：画树状图得：
所有等可能的情况有9种，其中点（a，b）在直线y＝2x−1图象上的结果有（1，1）、（2，3）这2种情况，
所以点（a，b）在直线y＝2x−1图象上的概率为 ；
故答案为： ．
【分析】先画出树状图，再计算求解即可。
16.【解析】【解答】解：设AF＝x ，
∵AF：AC＝1：3，
∴AC＝3x ， CF＝2x ，
∵四边形CDEF为正方形，
∴EF＝CF＝2x ， EF∥BC ，
∴△AEF∽△ABC ，
∴ ＝ ＝ ，
∴BC＝6x ，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2 ， 即302＝（3x）2+（6x）2 ，
解得，x＝2 ，
∴AC＝6 ，BC＝12 ，
∴剩余部分的面积＝ ×12 ×6 ﹣4 ×4 ＝100（cm2）
故答案为：100cm2.
【分析】先证明△AEF∽△ABC，再利用勾股定理计算求解即可。
17.【解析】【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，过点E作EG⊥AB于点G，
∴CF∥EG，
∴△BEG∽△BCF，
∴BE：BC=EG：CF
∵AD：DB=CE：EB=3：4，
∴BD：AB=BE：BC=4：7，
∴
∴
故答案为：16：21.
【分析】过点C作CF⊥AB于点F，过点E作EG⊥AB于点G，可得△BEG∽△BCF，利益相似三角形的对应边成比例可证得BE：BC=EG：CF，再由已知可得到EG与CF的比值，然后利用三角形的面积公式就可求出两三角形的面积之比。
18.【解析】【解答】解：如图：
∵点A是直线 上的点
∴OM=3
∵等腰直角三角形△AOB的面积等于5
∴ OA·OB=5,即OA=OB=
∴AM=
∵∠OAM+∠AOM=90°，∠BON+∠AOM=90°
∴∠OAM=∠BON
在△AM0和△BNO中
∠AMO=∠BNO，∠OAM=∠BON，OA=OB
∴△AM0≌△BNO
∴BN=OM=3,ON=AM=1
∴B点坐标为（1,3）
∴ ，解得k=3．
故答案为：k=3．
【分析】先求出OM=3，再利用三角形的面积求出OA=OB= ， 最后证明△AMO≌△BNO，即可求解。
19.【解析】【解答】解：如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，没有说∠A=90°，不符合题意，故①不符合题意；
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，DE=DF，
∴AE+DF=AF+DE，故④符合题意；
∵在△AEO和△AFO中，
，
∴△AEO≌△AFO（SAS），
∴EO=FO，
又∵AE=AF，
∴AO是EF的中垂线，
∴AD⊥EF，故②符合题意；
∵当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵DE=DF，
∴四边形AEDF是正方形，故③符合题意．
综上可得：正确的是：②③④，
故答案为②③④．
【分析】先求出∠EAD=∠FAD，再证明三角形全等，进行判断求解即可。
20.【解析】【解答】解：作∠ACO的角平分线CD交OA于D，
∴∠ACO=2∠ACD，
∵∠ACO=2∠AOB，
∴∠ACD=∠AOB，
∵B点坐标为（1，3），AC⊥y轴，
∴∠DAC=90°，OA=3，AB=1，
∴tan∠AOB=tan∠ACD=
设AD=x，AC=3x， ∴OD=3-x，
过D作DE⊥OC于E，
∴∠DEO=∠OAC=90°，AD=DE=x，
∵∠DOE=∠AOC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴OC=9-3x，
∵
∴ ，
解得：
∴AC=4，
∴C点的坐标为（4，3）．
故答案为：（4，3）．
【分析】先求出∠ACD=∠AOB，再证明， 最后利用勾股定理进行计算求解即可。
三、解答题
21.【解析】【解答】解：（1）a＝16÷40%×20%＝8，b＝16÷40%×（1﹣20%﹣40%﹣10%）＝12，m＝1﹣20%﹣40%﹣10%＝30%；
故答案为：8，12，30%；
【分析】（1）由频数分布表可知B组的频数和频率，根据频数=样本容量×B组的百分数可求得样本容量，于是a、b、m的值可求解；
（2）用D组的人数除以该组所占样本的百分比可求解；
（3）列表将所有等可能的结果列举出来，由表可知： 共有12种等可能的结果，恰为一男一女的有8种， 从而利用概率公式求解即可.
22.【解析】【分析】（1） 过 作 于 , 根据含30°的直角三角形的边之间的关系得出
根据等腰直角三角形的性质得出CH=FH=15，进而根据线段的和差算出CD，又CE∶CD=1∶3，从而算出DE的长，然后根据AB=BC=DE，且AC=BC+AB即可算出答案；
（2） 过 作 交 的延长线于 ， 根据等腰直角三角形的性质即可得出
23.【解析】【分析】（1）设甲种玩具的进货单价为x元，则乙种玩具的进价为 元，根据 结合“用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的 ”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具 件，根据进货的总资金不超过2100元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的整数，即可得出结论.
24.【解析】【分析】（1）连接OP，根据角平分线的性质及圆的半径相等的性质得到 ，推出OP∥AN，根据 即可得到OP⊥PA，由此得到结论；
（2）连接 交 于 ，根据勾股定理求出BM=16得到ME=8，再利用勾股定理求出OE=6，得到PE=4，即可利用勾股定理求出MP；
（3）连接 ，设 与 的交点为 ，根据 设 ，可求CF=19-3x,OP=ON=8x ，根据角平分线的性质及圆的半径相等的性质得到 ，推出PC=FC，根据 求出x=2，即可得到半径OP.
25.【解析】【解答】解：（2）由（1）得：
∵ ，
∴ ，
即 ．
∴ ；
故答案为； ．
【分析】（1）先求出 ，再证明 根据相似三角形的性质进行计算求解即可；
（2）利用锐角三角函数进行计算求解即可；
（3）先证明 是等边三角形 ，再证明 ，最后利用勾股定理进行计算求解即可。
26.【解析】【分析】(1)将A,B两点坐标代入解析式，求出b,c值，即可得到抛物线解析式；(2)先根据解析式求出C点坐标，及顶点E的坐标，设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F，利用勾股定理表示出DC,DE的长．再建立相等关系式求出m值，进而求出D点坐标；(3)先根据边角边证明△COD≌△DFE，得出∠CDE=90°，即CD⊥DE，然后当以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似时，根据对应边不同进行分类讨论：
①当OC与CD是对应边时，有比例式 ，能求出DP的值，又因为DE=DC,所以过点P作PG⊥y轴于点G，利用平行线分线段成比例定理即可求出DG,PG的长度，根据点P在点D的左边和右边，得到符合条件的两个P点坐标；
②当OC与DP是对应边时，有比例式 ，易求出DP，仍过点P作PG⊥y轴于点G，利用比例式 求出DG,PG的长度，然后根据点P在点D的左边和右边，得到符合条件的两个P点坐标；这样，直线DE上根据对应边不同，点P所在位置不同，就得到了符合条件的4个P点坐标.
中考数学三模试卷
一、单选题（共12题；共24分）
1.的相反数为
A. B. 3 C. D.
2.下列计算正确的是 （ ）
A. B. C. D.
3.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ）
A. B. C. D.
4.如图， 的顶点都是正方形网格中的格点，则 等于（ ）
A. B. C. D.
5.某校一九年级毕业班为了了解学生100米跑的训练情况，对全班学生进行了一次测试，测试结果如条形统计图所示，则测试成绩的中位数和众数分别是（ ）
A. 85分，90分 B. 90分，90分 C. 90分，95分 D. 95分，95分
6.如图，在 的两边上分别截取OA、OB，使 ；分别以点 为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC若 ，四边形 的面积为 ．则OC的长为（ ）
A. B. C. D.
7.等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则k的值是 ( )
A. 8 B. 9 C. 8或9 D. 12
8.若 则（ ）
A. B. C. D.
9.设点 和点 是反比例函数 图象上的两点，当 时， ，则一次函数 的图象不经过的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
10.如图，已知AB是ʘO的直径，点P在B的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C．若⊙O的半径为6．BC＝9，则PA的长为（ ）
A. 8 B. 4 C. 6 D. 5
11.下列命题中，假命题的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 如果两个三角形相似，则他们的面积比等于相似比的平方
D. 有一个角相等的两个菱形相似
12.如图，已知点A（3，4），点B为直线x＝﹣2上的动点，点C（x ， 0）且﹣2＜x＜3，BC⊥AC垂足为点C ， 连接AB ． 若AB与y轴正半轴的所夹锐角为α，当tanα的值最大时x的值为（ ）
A. B. C. 1 D.
二、填空题（共8题；共9分）
13.在函数y＝ +（x﹣3）0中自变量x的取值范围是________．
14.如果 ，那么代数式 的值是________．
15.现有三张分别标有数字1、2、3的卡片，它们除了数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张，将上面的数字记为a；将卡片放回后，再次任意抽取一张，将上面的数字记为b ， 则点 在直线 图象上的概率为________．
16.如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF ， 点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为________
17.如图，△ABC中，D，E两点分别在边AB，BC上，若AD：DB=CE：EB=3：4，记△DBE的面积为S1 ， △ADC的面积为S2 ， 则S1：S2= ________。
18.如图，平面直角坐标系 中，点B是 的图象上一点，点A是直线 上的一动点，且 ．当 的面积等于5时，k的值为________．
19.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ， DF 分别是△BAD 和△ACD 的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形 AEDF 是正方形；④AE+DF＝AF+DE ． 其中正确的是________（填序号）．
20.如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为 ，过A点作y轴垂线，点B ， C在该垂线上，B点坐标为 ，C点在B点右侧，且 ，则C点的坐标为________．
三、解答题（共6题；共74分）
21.某校对九年级学生进行一次综合文科中考模拟测试，成绩x分（x为整数）评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用A、B、C、D表示），A等级：90≤x≤100，B等级：80≤x＜90，C等级：60≤x＜80，D等级：0≤x＜60.该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表.
等级
频数（人数）
频率
A
a
20%
B
16
40%
C
b
m
D
4
10%
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）上表中的a________，b＝________，m＝________.
（2）本次调查共抽取了多少名学生？请补全条形图.
（3）若从D等级的4名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请用画树状图或列表的方法求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率.
22.小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆 ，箱长 ，拉杆 的长度都相等， 在 上， 在 上，支杆 ，请根据以上信息，解决下列向题.
（1）求 的长度（结果保留根号）；
（2）求拉杆端点 到水平滑杆 的距离（结果保留根号）.
23.某超市用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的 ，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元.
（1）求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？
（2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多60件，求：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具多少件？
24.已知：如图所示，MN是 的直径，B是 上一点，NP平分 交 于P，过P作 于A.
（1）求证：PA与 相切；
（2）若 ， ，求MP的长；
（3）若D是ON中点，过D作 交AP于C，若 ， ，求 的半径.
25.已知：在 中 ，点D为 边的中点，点F是 边上一点，点E在线段 的延长线上， ，点M在线段 上， ．
（1）如图1，当 时，求证： ；
（2）如图2，当 时，则线段 、 之间的数量关系为：________.
（3）在（2）的条件下延长 到P ， 使 ，连接 ，若 ，求 值．
26.如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC＝DE，求出点D的坐标；
（3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．
答案解析部分
一、单选题
1.【解析】【解答】解：∵ ＝3
∴3的相反数是﹣3
故答案为：A
【分析】先求出＝3，再根据相反数的定义进行计算求解即可。
2.【解析】【解答】解：A. ，故A选项不符合题意；
B. ，故B选项不符合题意；
C. ，故C选项不符合题意；
D. ，符合题意．
故答案为D．
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项法则进行计算求解判断即可。
3.【解析】【解答】解： 主视图和左视图是三角形，
几何体是锥体，
俯视图的大致轮廓是圆，
该几何体是圆锥.
故答案为：A.
【分析】观察已知几何体的三视图，主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，由此可知此几何体是圆锥。
4.【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于D．
在Rt△ABD中，tan∠ABC＝ ，
故答案为：C．
【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。
5.【解析】【解答】解：由条形统计图可知，测试成绩90分出现的次数最多，
∴众数为90分.
∵全班学生的人数为 （人），
∴这组数据的中位数为第20个和第21个测试成绩的平均数.
∵第20个和第21个成绩均为90分，
∴中位数为90分.
故答案为：B.
【分析】根据条形统计图，众数和中位数的定义进行求解即可。
6.【解析】【解答】解：根据作图得，AC=BC=OA，
∵OA=OB，
∴OA=OB=BC=AC，
∴四边形OACB是菱形，
∵AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2 ，
∴ AB•OC= ×2×OC=4，
解得OC=4cm．
故答案为：C．
【分析】先证明四边形OACB是菱形，再根据菱形的面积公式计算求解即可。
7.【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
当等腰三角形的底边为2时，
此时关于x的一元二次方程x2-6x+k=0的有两个相等实数根，
∴△=36-4k=0，
∴k=9，
此时两腰长为3，
∵2+3＞3，
∴k=9满足题意.
当等腰三角形的腰长为2时，
此时x=2是方程x2-6x+k=0的其中一根，
∴4-12+k=0，
∴k=8，
此时另外一根为：x=4，
∵2+2=4，
∴不能组成三角形，
综上所述，k=9，
故答案为：B.
【分析】分类讨论：当等腰三角形的底边为2时，根据等腰三角形的两腰相等可知关于x的一元二次方程x2-6x+k=0的有两个相等实数根，故其根的判别式的值应该等于0，从而列出关于k的方程，求解得出k的值，再将k的值代入方程，解出方程的两个根，根据三角形的三边关系进行判断能否围成三角形，从而得出结论；当等腰三角形的腰长为2时，此时x=2是方程x2-6x+k=0的其中一根，将x=2代入方程，求解得出k的值，进而利用根与系数的关系得出方程的另一个根，根据三角形的三边关系进行判断能否围成三角形，从而得出结论，综上所述即可得出答案.
8.【解析】【解答】解:∵ ，
∴a-b=-a-b， 或b-a=-a-b
∴a= -a，或b=-b, ∴a=0,或b=0, ∴ab=0, ∴ .
故答案为：C.
【分析】直接利用二次根式的性质 ，将已知等式左边化简，可以得到a与b中至少有一个为0，进而分析得出答案即可.
9.【解析】【解答】解： 点 和点 是反比例函数 图象上的两点，
当 时， ，
反比例函数的图象在每一象限内y随x的增大而减小，
＞ ，
一次函数 的图象不经过的象限是第三象限．
故答案为：C．
【分析】先求出反比例函数的图象在每一象限内y随x的增大而减小，再求出k＞0，最后进行求解即可。
10.【解析】【解答】解：连接DO
∵PD与⊙O相切于点D，
∴∠PDO＝90°，
∵BC⊥PC，
∴∠C＝90°，
∴∠PDO＝∠C，
∴DO//BC，
∴△PDO∽△PCB，
∴ ，
设PA＝x，则 ，
解得：x＝6，
∴PA＝6．
故答案为C．
【分析】先求出∠PDO＝90°，再证明△PDO∽△PCB，最后根据相似三角形的性质进行计算求解即可。
11.【解析】【解答】解：当 时，若 ，则 ，故A为假命题，
故B为真命题，
由相似三角形的性质可得：如果两个三角形相似，则他们的面积比等于相似比的平方，
故C为真命题，
两个菱形有一个角相等，则利用菱形的性质可推导四个角分别对应相等，
由菱形的四条边相等，则两个菱形的边分别对应成比例，
所以：有一个角相等的两个菱形相似，故D为真命题．
故答案为：A．
【分析】根据命题的定义对每个选项一一判断求解即可。
12.【解析】【解答】解：如图，设直线x＝﹣2与x轴交于G，过A作AH⊥直线x＝﹣2于H，AF⊥x轴于F，
∵BH∥y轴，
∴∠ABH＝α，
在Rt△ABH中，tanα＝ ，
∵tanα随BH的增大而减小，
∴当BH最小时tanα有最大值；即BG最大时，tanα有最大值，
∵∠BGC＝∠ACB＝∠AFC＝90°，
∴∠GBC+∠BCG＝∠BCG+∠ACF＝90°，
∴∠GBC＝∠ACF，
∴△ACF∽△CBG，
∴ ，
设BG=y，则 ，
∴ ，
∴当x＝ 时，BG取最大值，tanα取最大值，
故答案为：A．
【分析】先求出tanα＝ ，再证明△ACF∽△CBG，最后根据相似三角形的性质进行计算求解即可。
二、填空题
13.【解析】【解答】解：由题意得： ，
解得：x＞﹣3，且x≠3．
故答案为：x＞﹣3，且x≠3．
【分析】根据函数可得， 最后计算求解即可。
14.【解析】【解答】解：由 得 ，
所以， = = =3.
故答案为：3.
【分析】先求出， 再根据分式的混合运算计算求解即可。
15.【解析】【解答】解：画树状图得：
所有等可能的情况有9种，其中点（a，b）在直线y＝2x−1图象上的结果有（1，1）、（2，3）这2种情况，
所以点（a，b）在直线y＝2x−1图象上的概率为 ；
故答案为： ．
【分析】先画出树状图，再计算求解即可。
16.【解析】【解答】解：设AF＝x ，
∵AF：AC＝1：3，
∴AC＝3x ， CF＝2x ，
∵四边形CDEF为正方形，
∴EF＝CF＝2x ， EF∥BC ，
∴△AEF∽△ABC ，
∴ ＝ ＝ ，
∴BC＝6x ，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2 ， 即302＝（3x）2+（6x）2 ，
解得，x＝2 ，
∴AC＝6 ，BC＝12 ，
∴剩余部分的面积＝ ×12 ×6 ﹣4 ×4 ＝100（cm2）
故答案为：100cm2.
【分析】先证明△AEF∽△ABC，再利用勾股定理计算求解即可。
17.【解析】【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，过点E作EG⊥AB于点G，
∴CF∥EG，
∴△BEG∽△BCF，
∴BE：BC=EG：CF
∵AD：DB=CE：EB=3：4，
∴BD：AB=BE：BC=4：7，
∴
∴
故答案为：16：21.
【分析】过点C作CF⊥AB于点F，过点E作EG⊥AB于点G，可得△BEG∽△BCF，利益相似三角形的对应边成比例可证得BE：BC=EG：CF，再由已知可得到EG与CF的比值，然后利用三角形的面积公式就可求出两三角形的面积之比。
18.【解析】【解答】解：如图：
∵点A是直线 上的点
∴OM=3
∵等腰直角三角形△AOB的面积等于5
∴ OA·OB=5,即OA=OB=
∴AM=
∵∠OAM+∠AOM=90°，∠BON+∠AOM=90°
∴∠OAM=∠BON
在△AM0和△BNO中
∠AMO=∠BNO，∠OAM=∠BON，OA=OB
∴△AM0≌△BNO
∴BN=OM=3,ON=AM=1
∴B点坐标为（1,3）
∴ ，解得k=3．
故答案为：k=3．
【分析】先求出OM=3，再利用三角形的面积求出OA=OB= ， 最后证明△AMO≌△BNO，即可求解。
19.【解析】【解答】解：如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，没有说∠A=90°，不符合题意，故①不符合题意；
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，DE=DF，
∴AE+DF=AF+DE，故④符合题意；
∵在△AEO和△AFO中，
，
∴△AEO≌△AFO（SAS），
∴EO=FO，
又∵AE=AF，
∴AO是EF的中垂线，
∴AD⊥EF，故②符合题意；
∵当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵DE=DF，
∴四边形AEDF是正方形，故③符合题意．
综上可得：正确的是：②③④，
故答案为②③④．
【分析】先求出∠EAD=∠FAD，再证明三角形全等，进行判断求解即可。
20.【解析】【解答】解：作∠ACO的角平分线CD交OA于D，
∴∠ACO=2∠ACD，
∵∠ACO=2∠AOB，
∴∠ACD=∠AOB，
∵B点坐标为（1，3），AC⊥y轴，
∴∠DAC=90°，OA=3，AB=1，
∴tan∠AOB=tan∠ACD=
设AD=x，AC=3x， ∴OD=3-x，
过D作DE⊥OC于E，
∴∠DEO=∠OAC=90°，AD=DE=x，
∵∠DOE=∠AOC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴OC=9-3x，
∵
∴ ，
解得：
∴AC=4，
∴C点的坐标为（4，3）．
故答案为：（4，3）．
【分析】先求出∠ACD=∠AOB，再证明， 最后利用勾股定理进行计算求解即可。
三、解答题
21.【解析】【解答】解：（1）a＝16÷40%×20%＝8，b＝16÷40%×（1﹣20%﹣40%﹣10%）＝12，m＝1﹣20%﹣40%﹣10%＝30%；
故答案为：8，12，30%；
【分析】（1）由频数分布表可知B组的频数和频率，根据频数=样本容量×B组的百分数可求得样本容量，于是a、b、m的值可求解；
（2）用D组的人数除以该组所占样本的百分比可求解；
（3）列表将所有等可能的结果列举出来，由表可知： 共有12种等可能的结果，恰为一男一女的有8种， 从而利用概率公式求解即可.
22.【解析】【分析】（1） 过 作 于 , 根据含30°的直角三角形的边之间的关系得出
根据等腰直角三角形的性质得出CH=FH=15，进而根据线段的和差算出CD，又CE∶CD=1∶3，从而算出DE的长，然后根据AB=BC=DE，且AC=BC+AB即可算出答案；
（2） 过 作 交 的延长线于 ， 根据等腰直角三角形的性质即可得出
23.【解析】【分析】（1）设甲种玩具的进货单价为x元，则乙种玩具的进价为 元，根据 结合“用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的 ”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具 件，根据进货的总资金不超过2100元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的整数，即可得出结论.
24.【解析】【分析】（1）连接OP，根据角平分线的性质及圆的半径相等的性质得到 ，推出OP∥AN，根据 即可得到OP⊥PA，由此得到结论；
（2）连接 交 于 ，根据勾股定理求出BM=16得到ME=8，再利用勾股定理求出OE=6，得到PE=4，即可利用勾股定理求出MP；
（3）连接 ，设 与 的交点为 ，根据 设 ，可求CF=19-3x,OP=ON=8x ，根据角平分线的性质及圆的半径相等的性质得到 ，推出PC=FC，根据 求出x=2，即可得到半径OP.
25.【解析】【解答】解：（2）由（1）得：
∵ ，
∴ ，
即 ．
∴ ；
故答案为； ．
【分析】（1）先求出 ，再证明 根据相似三角形的性质进行计算求解即可；
（2）利用锐角三角函数进行计算求解即可；
（3）先证明 是等边三角形 ，再证明 ，最后利用勾股定理进行计算求解即可。
26.【解析】【分析】(1)将A,B两点坐标代入解析式，求出b,c值，即可得到抛物线解析式；(2)先根据解析式求出C点坐标，及顶点E的坐标，设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F，利用勾股定理表示出DC,DE的长．再建立相等关系式求出m值，进而求出D点坐标；(3)先根据边角边证明△COD≌△DFE，得出∠CDE=90°，即CD⊥DE，然后当以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似时，根据对应边不同进行分类讨论：
①当OC与CD是对应边时，有比例式 ，能求出DP的值，又因为DE=DC,所以过点P作PG⊥y轴于点G，利用平行线分线段成比例定理即可求出DG,PG的长度，根据点P在点D的左边和右边，得到符合条件的两个P点坐标；
②当OC与DP是对应边时，有比例式 ，易求出DP，仍过点P作PG⊥y轴于点G，利用比例式 求出DG,PG的长度，然后根据点P在点D的左边和右边，得到符合条件的两个P点坐标；这样，直线DE上根据对应边不同，点P所在位置不同，就得到了符合条件的4个P点坐标.
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