内蒙古包头市三校联考中考数学一模试卷

这是一份内蒙古包头市三校联考中考数学一模试卷，共26页。

一、选择题（每题3分，共36分)
1．（3分）下列各数：﹣1.5，0，，1.030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次多1），，，其中无理数的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（3分）截止2018年5月底，我国的外汇储备约为31100亿元，将31100亿用科学记数法表示为（　　）
A．0.311×1012 B．3.11×1012 C．3.11×1013 D．3.11×1011
3．（3分）为了了解某市参加中考的25000名学生的视力情况，抽查了2000名学生的视力进行统计分析，下面四个判断正确的是（　　）
A．2000名学生的视力是总体的一个样本
B．25000名学生是总体
C．每名学生是总体的一个个体
D．样本容量是2000名
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a3+a3＝2a6
B．3﹣2÷30×32＝54
C．
D．a2⋅（﹣a）3⋅a4＝﹣a9
5．（3分）在函数 中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥3 B．x＞3 C．x≠3 D．x≤3且x≠2
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的点，若∠D＝20°，则∠BAC的值是（　　）
​

A．20° B．60° C．70° D．80°
7．（3分）方程（m﹣2）x2﹣x+＝0有两个实数根，则m的取值范围为（　　）
A．m＞ B．m≤且m≠2 C．m≥3 D．m≤3且m≠2
8．（3分）如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（　　）

A．（﹣1，2） B．（，2） C．（3﹣，2） D．（﹣2，2）
9．（3分）体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（　　）
A．40×1.25x﹣40x＝800 B．﹣＝40
C．﹣＝40 D．﹣＝40
10．（3分）下列命题中，逆命题为真命题的有（　　）
①若 a2＝b2，则|a|＝|b|；
②若 ma2＞na2，则m＞n；
③垂直于弦的直径平分这条弦；
④对角线互相垂直的四边形是菱形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（3分）如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，连接DE，若＝，则sinA的值为（　　）
​

A． B． C． D．
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0），（x，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论正确的是（　　）
①4a﹣2b+c＝0
②a＜b＜0
③2a+c＞0
④2a﹣b+1＞0．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（每题3分，共24分）
13．（3分）计算：＝　 　．
14．（3分）分解因式：x3y﹣2x2y+xy＝　 　．
15．（3分）化简： 的结果是 　 　．
16．（3分）关于x的不等式组只有3个整数解，求a的取值范围　 　．
17．（3分）如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝45°，则图中阴影部分的面积为　 　．

18．（3分）如图，矩形ABCD的顶点A、B在x轴的正半轴上，反比例函数在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若AB＝4，CE＝2BE，tan∠AOD＝，则k的值为 　 　．
​​

19．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG＝2，BG＝6，则BE的长为　 　．

三、解答题（共63分）
20．（8分）为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，东坡中学随机抽取了部分学生进行调查．要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果．现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）这次活动共抽查了　 　人．
（2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数．
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法，求出抽取的2人学习效果全是“良好”的概率．



21．（8分）新冠病毒传播迅速，无人机在防疫工作上表现出色，零接触运送物资，如图，无人机在离地面30米的D处，测得操控者A的俯角为30°，测得点C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者A和教学楼BC间的水平距离为60米，则教学楼BC的高度为多少米？（点A、B、C、D都在同一平面内，结果保留根号）
​



22．（10分）为加强校园文化建设，某校准备打造校园文化墙，需用甲，乙两种石材．经市场调查，甲种石材的费用y（元）与使用面积 x（m2） 间的函数关系如图所示，乙种石材的价格为每平方米50元．
​（1）求y与x间的函数解析式；


（2）若校园文化墙总面积共600m2，其中使用甲石材设购买两种石材的总费用为w元，请直接写出w与x间的函数解析式；


（3）在（2）的前提下，若甲种石材使用面积多于300m2，且不超过 乙种石材面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种石材的使用面积才能使总费用最少？总费用最少为多少元？


23．（12分）如图，CD为⊙O的弦，直径AB⊥CD于点E，点M为⊙O上一点，．
​（1）求证：BE＝CD．

（2）求sin∠CMD．

24．（12分）（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，求证：AD•BC＝AP•BP；
（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B＝θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．


（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB＝6，AD＝BD＝5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠CPD＝∠A，设点P的运动时间为t（秒），当DC＝4BC时，求t的值．

25．（13分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；



（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；




（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．


参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共36分)
1．（3分）下列各数：﹣1.5，0，，1.030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次多1），，，其中无理数的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】无理数；算术平方根．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】运用无理数的概念进行求解．
【解答】解：由题意得，1.030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次多1），这2个数是无理数，
故选：C．
【点评】此题考查了无理数概念的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识．
2．（3分）截止2018年5月底，我国的外汇储备约为31100亿元，将31100亿用科学记数法表示为（　　）
A．0.311×1012 B．3.11×1012 C．3.11×1013 D．3.11×1011
【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将31100亿用科学记数法表示为3.11×1012，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）为了了解某市参加中考的25000名学生的视力情况，抽查了2000名学生的视力进行统计分析，下面四个判断正确的是（　　）
A．2000名学生的视力是总体的一个样本
B．25000名学生是总体
C．每名学生是总体的一个个体
D．样本容量是2000名
【考点】总体、个体、样本、样本容量．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】总体：所要考察对象的全体；个体：总体的每一个考察对象叫个体；样本：抽取的部分个体叫做一个样本；样本容量：样本中个体的数目．
【解答】解：根据题意
2000名学生的视力情况是总体，
2000名学生的视力是样本，
2000是样本容量，
每个学生的视力是总体的一个个体．
故选：A．
【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量．理清概念是关键．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a3+a3＝2a6
B．3﹣2÷30×32＝54
C．
D．a2⋅（﹣a）3⋅a4＝﹣a9
【考点】单项式乘单项式；零指数幂；负整数指数幂；合并同类项；同底数幂的乘法．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】运用单项式加法、乘法、除法法则进行逐一计算、辨别．，
【解答】解：∵a3+a3＝2a3，
∴选项A不符合题意；
∵3﹣2÷30×32＝1；
∴选项B不符合题意；
∵（﹣ab2）•（﹣2a2b3）＝a3b5，
∴选项C不符合题意；
∵a2⋅（﹣a）3⋅a4＝﹣a9，
∴选项D符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了单项式加法、乘法、除法的运算能力，关键是能运用以上运算法则进行正确地计算，特别是符号、指数的准确确定．
5．（3分）在函数 中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥3 B．x＞3 C．x≠3 D．x≤3且x≠2
【考点】函数自变量的取值范围．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣3≥0且2﹣x≠0，
解得：x≥3．
故选：A．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的点，若∠D＝20°，则∠BAC的值是（　　）
​

A．20° B．60° C．70° D．80°
【考点】圆周角定理．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据圆周角定理可得∠B＝20°，∠ACB＝90°，然后再利用三角形内角和计算即可．
【解答】解：∵∠D＝20°，
∴∠B＝20°，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝180°﹣90°﹣20°＝70°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
7．（3分）方程（m﹣2）x2﹣x+＝0有两个实数根，则m的取值范围为（　　）
A．m＞ B．m≤且m≠2 C．m≥3 D．m≤3且m≠2
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：∵方程（m﹣2）x2﹣x+＝0有两个实数根，
∴，
解得m≤且m≠2．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”是解题的关键．
8．（3分）如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（　　）

A．（﹣1，2） B．（，2） C．（3﹣，2） D．（﹣2，2）
【考点】作图—基本作图；坐标与图形性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO＝，依据∠AGO＝∠AOG，即可得到AG＝AO＝，进而得出HG＝﹣1，可得G（﹣1，2）．
【解答】解：∵▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），
∴AH＝1，HO＝2，
∴Rt△AOH中，AO＝＝，
由题可得，OF平分∠AOB，
∴∠AOG＝∠EOG，
又∵AG∥OE，
∴∠AGO＝∠EOG，
∴∠AGO＝∠AOG，
∴AG＝AO＝，
∴HG＝﹣1，
∴G（﹣1，2），
故选：A．

【点评】本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
9．（3分）体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（　　）
A．40×1.25x﹣40x＝800 B．﹣＝40
C．﹣＝40 D．﹣＝40
【考点】由实际问题抽象出分式方程．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即可．
【解答】解：小进跑800米用的时间为秒，小俊跑800米用的时间为秒，
∵小进比小俊少用了40秒，
方程是﹣＝40，
故选：C．
【点评】本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题的关键．
10．（3分）下列命题中，逆命题为真命题的有（　　）
①若 a2＝b2，则|a|＝|b|；
②若 ma2＞na2，则m＞n；
③垂直于弦的直径平分这条弦；
④对角线互相垂直的四边形是菱形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】命题与定理；菱形的判定；垂径定理．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】先根据绝对值、不等式的性质、垂径定理和菱形的判定对四个命题进行判断，再分别交换命题的题设和结论得到四个逆命题，然后判断逆命题的真假．
【解答】解：①若 a2＝b2，则|a|＝|b|，此命题为真命题；它的逆命题为若a2＝b2，则|a|＝|b|，此逆命题为真命题；
②若ma2＞na2，则m＞n，此命题为真命题；它的逆命题为若m＞n，则ma2＞na2，此逆命题为假命题；
③垂直于弦的直径平分弦，此命题为真命题；它的逆命题为平分弦的直径垂直于弦，此逆命题为假命题；
④对角线互相垂直的四边形是菱形，此逆命题为假命题，它的逆命题为菱形的对角线互相垂直，此逆命题为真命题．
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
11．（3分）如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，连接DE，若＝，则sinA的值为（　　）
​

A． B． C． D．
【考点】解直角三角形．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解．
【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠BEA，
∴△ABE∽△ACD，
∴＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴＝＝，
设AD＝2a，则AC＝5a，
根据勾股定理得到CD＝a，
因而sinA＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，能证出△AED∽△ABC是解决本题的关键．
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0），（x，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论正确的是（　　）
①4a﹣2b+c＝0
②a＜b＜0
③2a+c＞0
④2a﹣b+1＞0．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【考点】二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】①由函数图象过点（﹣2，0），将点（﹣2，0）代入到抛物线解析式即可得知①正确；②结合函数图象与x轴的交点横坐标可以得知抛物线对称轴﹣＜﹣＜0，再由抛物线与y轴的交点在y轴正半轴得知a＜0，解不等式即可得知②正确；③令ax2+bx+c＝0，由根与系数的关系即可得出关于的不等式，解不等式得出c与a之间的关系，将其代入2a+c即可得知③正确；④由抛物线与y轴交点坐标的范围可找出c的范围，结合抛物线的图象过点（﹣2，0），将c换成2即可得知④正确．综上即可得出结论．
【解答】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，0），
∴0＝4a﹣2b+c，①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0），（x，0），且1＜x1＜2，
∴抛物线的对称轴﹣＜x＝﹣＜0．
∵抛物线图象与x轴的两交点分别在原点两侧，与y轴的交点在y轴正半轴，
∴抛物线开口向下，即a＜0，
∵﹣＜﹣＜0，
∴a＜b＜0，即②正确；
③令ax2+bx+c＝0，
则方程的两个解为：1＜x1＜2，x2＝﹣2，
∴＝x1•x2，即﹣4＜＜﹣2，
又∵a＜0，
∴﹣2a＜c＜﹣4a，
∴2a+c＞0，即③正确；
④∵抛物线图象与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方
∴c＜2，
∵当x＝﹣2时，y＝0，即：4a﹣2b+c＝0，
∴4a﹣2b+2＞0，
∴2a﹣b+1＞0，即D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系以及解不等式，解题的关键是依据二次函数图象与系数的关系逐条分析4条结论．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练利用二次函数图象与系数的关系解决问题是关键．
二、填空题（每题3分，共24分）
13．（3分）计算：＝　10﹣　．
【考点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂．菁优网版权所有
【答案】10﹣．
【分析】先算零指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，再算加减即可．
【解答】解：
＝1+2﹣+9
＝10﹣．
故答案为：10﹣．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
14．（3分）分解因式：x3y﹣2x2y+xy＝　xy（x﹣1）2　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝xy（x2﹣2x+1）＝xy（x﹣1）2．
故答案为：xy（x﹣1）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
15．（3分）化简： 的结果是 　﹣　．
【考点】分式的混合运算．菁优网版权所有
【答案】﹣．
【分析】先化除法为乘法、约分化简分式；然后计算分式减法．
【解答】解：
＝﹣•
＝﹣
＝
＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，把分式化到最简是解答的关键．
16．（3分）关于x的不等式组只有3个整数解，求a的取值范围　8≤a＜9　．
【考点】一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有
【答案】8≤a＜9．
【分析】根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，根据题意列出关于a的不等式组，解不等式组得到答案．
【解答】解：，
解①得，x≤13，
解②得，x＞2+a，
∴不等式组的解集为：2+a＜x≤13，
∵不等式组只有3个整数解，
∴10≤2+a＜11，
解得，8≤a＜9，
故答案为8≤a＜9．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解法和整数解的确定，正确解出不等式组、根据题意列出不等式组是解题的关键．
17．（3分）如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝45°，则图中阴影部分的面积为　4﹣π　．

【考点】切线的性质；扇形面积的计算．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形AEF．由圆周角定理推知∠BAC＝90°．
【解答】解：如图，连接AD．
∵⊙A与BC相切于点D，
∴AD⊥BC．
∵∠EPF＝45°，
∴∠BAC＝2∠EPF＝90°．
∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形AEF＝BC•AD﹣＝×4×2﹣＝4﹣π．
故答案是：4﹣π．

【点评】本题考查了切线的性质与扇形面积的计算．求阴影部分的面积时，采用了“分割法”．
18．（3分）如图，矩形ABCD的顶点A、B在x轴的正半轴上，反比例函数在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若AB＝4，CE＝2BE，tan∠AOD＝，则k的值为 　3　．
​​

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．菁优网版权所有
【答案】3．
【分析】由tan∠AOD＝＝可设AD＝3a、OA＝4a，在表示出点D、E的坐标，由反比例函数经过点D、E列出关于a的方程，解之求得a的值即可得出答案．
【解答】解：∵tan∠AOD＝＝，
∴设AD＝3a、OA＝4a，
则BC＝AD＝3a，点D坐标为（4a，3a），
∵CE＝2BE，
∴BE＝BC＝a，
∵AB＝4，
∴点E（4+4a，a），
∵反比例函数y＝经过点D、E，
∴k＝12a2＝（4+4a）a，
解得：a＝或a＝0（舍），
则k＝12×＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点D、E的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数k．
19．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG＝2，BG＝6，则BE的长为　2.8　．

【考点】翻折变换（折叠问题）；菱形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】作EH⊥BD于H，根据折叠的性质得到EG＝EA，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△ABD为等边三角形，得到AB＝BD，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：作EH⊥BD于H，
由折叠的性质可知，EG＝EA，
由题意得，BD＝DG+BG＝8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB＝BD＝8，
设BE＝x，则EG＝AE＝8﹣x，
在Rt△EHB中，BH＝x，EH＝x，
在Rt△EHG中，EG2＝EH2+GH2，即（8﹣x）2＝（x）2+（6﹣x）2，
解得，x＝2.8，即BE＝2.8，
方法二：易知三角形ADB是等边三角形，沿着EF折叠，可以得出DFG相似于BGE，DG比BE等于周长之比，有折叠性质，DGF周长为10，BGE周长为14，DG＝2，可以得出BE等于2.8，
故答案为：2.8．

【点评】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
三、解答题（共63分）
20．（8分）为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，东坡中学随机抽取了部分学生进行调查．要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果．现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）这次活动共抽查了　200　人．
（2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数．
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法，求出抽取的2人学习效果全是“良好”的概率．
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由“良好”的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）求出“不合格”的学生人数为20人，从而补全条形统计图；由360°乘以学习效果“一般”的学生人数所占的百分比即可；
（3）画出树状图，利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）这次活动共抽查的学生人数为80÷40%＝200（人）；
故答案为：200；
（2）“不合格”的学生人数为200﹣40﹣80﹣60＝20（人），
将条形统计图补充完整如图：

学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数为360°×＝108°；
（3）把学习效果“优秀”的记为A，“良好”记为B，“一般”的记为C，
画树状图如图：

共有12个等可能的结果，抽取的2人学习效果全是“良好”的结果有2个，
∴抽取的2人学习效果全是“良好”的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法或画树状图法、概率公式以及条形统计图和扇形统计图的有关知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）新冠病毒传播迅速，无人机在防疫工作上表现出色，零接触运送物资，如图，无人机在离地面30米的D处，测得操控者A的俯角为30°，测得点C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者A和教学楼BC间的水平距离为60米，则教学楼BC的高度为多少米？（点A、B、C、D都在同一平面内，结果保留根号）
​

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【答案】教学楼BC的高度为（30﹣30）米．
【分析】过点A作AE⊥DM，垂足为E，延长BC交DM于点F，根据题意可得：BF⊥DM，AB＝EF＝60米，AE＝BF＝30米，然后在Rt△AED中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，从而求出DF的长，再在Rt△DFC中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：如图：过点A作AE⊥DM，垂足为E，延长BC交DM于点F，

由题意得：
BF⊥DM，AB＝EF＝60米，AE＝BF＝30米，
在Rt△AED中，∠ADE＝30°，
∴DE＝＝＝30（米），
∴DF＝EF﹣DE＝（60﹣30）米，
在Rt△DFC中，∠FDC＝45°，
∴CF＝DF•tan45°＝（60﹣30）米，
∴BC＝BF﹣CF＝30﹣（60﹣30）＝（30﹣30）米，
∴教学楼BC的高度为（30﹣30）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．（10分）为加强校园文化建设，某校准备打造校园文化墙，需用甲，乙两种石材．经市场调查，甲种石材的费用y（元）与使用面积 x（m2） 间的函数关系如图所示，乙种石材的价格为每平方米50元．
​（1）求y与x间的函数解析式；
（2）若校园文化墙总面积共600m2，其中使用甲石材设购买两种石材的总费用为w元，请直接写出w与x间的函数解析式；
（3）在（2）的前提下，若甲种石材使用面积多于300m2，且不超过 乙种石材面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种石材的使用面积才能使总费用最少？总费用最少为多少元？

【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
【答案】（1）y与x间的函数解析式为y＝；
（2）w与x间的函数解析式为w＝；
（3）甲种石材400m2，乙种石材200m2时，总费用最少，最少总费用为37000元．
【分析】（1）由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．
（2）根据（1）的结论，即可得出w与x间的函数解析式．
（3）根据实际意义可以确定x的范围，结合（2）的结论，利用一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）当0≤x≤300时，设y＝kx，
∵点（300，24000）在该函数图象上，
∴24000＝300k，
解得k＝80，
即当0≤x≤300时，y＝80x；
当x＞300时，设y与x的函数关系式为y＝ax+b，
∵点（300，24000），（500，30000）在该函数图象上，
∴，
解得，
即当x＞300时，y与x的函数关系式为y＝30x+15000，
由上可得：y与x间的函数解析式为y＝；
（2）当0≤x≤300时，w＝80x+50（600﹣x）＝30x+30000；
当300＜x＜600时，w＝30x+15000+50（600﹣x），
即w＝﹣20x+45000；
∴w与x间的函数解析式为w＝；
（3）根据题意得，
∴300＜x≤400，
由（2）知w＝﹣20x+45000，
∵k＝﹣20＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝400时，w最小，最小值为37000，
此时600﹣x＝200，
答：甲种石材400m2，乙种石材200m2时，总费用最少，最少总费用为37000元．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象以及一元一次不等式组的应用．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．
23．（12分）如图，CD为⊙O的弦，直径AB⊥CD于点E，点M为⊙O上一点，．
​（1）求证：BE＝CD．
（2）求sin∠CMD．

【考点】圆周角定理；解直角三角形；垂径定理．菁优网版权所有
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）先根据垂径定理得出CD＝2DE，再由tan∠CDA＝，可知＝，设AE＝x，⊙O的半径等于r，则DE＝2x，连接OD，在Rt△ODE中，OD＝r，OE＝r﹣x，根据勾股定理用x表示出r及OE的值，进而可得出结论；
（2）根据（1）得DE＝2x，OD＝2.5x，由∠CMD＝∠EOD可得出结论．
【解答】（1）证明：∵⊙O的直径AB⊥CD于E，
∴CD＝2DE，
∵tan∠CDA＝，
∴＝，
∴设AE＝x，⊙O的半径等于r，则DE＝2x，
连接OD，在Rt△ODE中，OD＝r，OE＝r﹣x
由勾股定理得：（r﹣x）2+（2x）2＝r2，
解得r＝2.5x，OE＝1.5x，
∴BE＝2.5x+1.5x＝4x，
∵CD＝2DE＝4x，
∴BE＝CD；
（2）解：∵DE＝2x，OD＝2.5x，∠CMD＝∠EOD，
∴sin∠CMD＝sin∠EOD＝＝＝．

【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
24．（12分）（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，求证：AD•BC＝AP•BP；
（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B＝θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．
（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB＝6，AD＝BD＝5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠CPD＝∠A，设点P的运动时间为t（秒），当DC＝4BC时，求t的值．

【考点】相似形综合题．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）如图1，由∠DPC＝∠A＝∠B＝90°可得∠ADP＝∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）如图2，由∠DPC＝∠A＝∠B＝θ可得∠ADP＝∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE＝BE＝3，根据勾股定理可得DE＝4，由题可得DC＝DE＝4，则有BC＝5﹣4＝1．易证∠DPC＝∠A＝∠B．根据AD•BC＝AP•BP，就可求出t的值．
【解答】解：（1）如图1，

∵∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，
∴∠ADP+∠APD＝90°，
∠BPC+∠APD＝90°，
∴∠ADP＝∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴＝，
∴AD•BC＝AP•BP；

（2）结论AD•BC＝AP•BP仍然成立．
理由：如图2，

∵∠BPD＝∠DPC+∠BPC，∠BPD＝∠A+∠ADP，
∴∠DPC+∠BPC＝∠A+∠ADP．
∵∠DPC＝∠A＝∠B＝θ，
∴∠BPC＝∠ADP，
∴△ADP∽△BPC，
∴＝，
∴AD•BC＝AP•BP；

（3）如图3，

∵DC＝4BC，
又∵AD＝BD＝5，
∴DC＝4，BC＝1，
，由（1）、（2）的经验可知AD•BC＝AP•BP，
∴5×1＝t（6﹣t），
解得：t1＝1，t2＝5，
∴t的值为1秒或5秒．
【点评】本题是对K型相似模型的探究和应用，考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、等角的余角相等、三角形外角的性质、解一元二次方程等知识，以及运用已有经验解决问题的能力，渗透了特殊到一般的思想．
25．（13分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线解析式可得出b、c的值，继而得出抛物线解析式，利用待定系数法可求出AC的函数解析式；
（2）利用轴对称求最短路径的知识，找到N点关于直线x＝3的对称点N′，连接N'D，N'D与直线x＝3的交点即是点M的位置，继而求出m的值．
（3）设出点E的坐标，分情况讨论，①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，根据平行四边形的性质表示出F的坐标，将点F的坐标代入抛物线解析式可得出x的值，继而求出点E的坐标．
【解答】解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3），可得：，
解得：，
故抛物线为y＝﹣x2+2x+3，
设直线AC解析式为y＝kx+n，将点A（﹣1，0）、C（2，3）代入得：，
解得：，
故直线AC为y＝x+1．

（2）作N点关于直线x＝3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），
可求出直线DN′的函数关系式为y＝﹣x+，
当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，
则m＝﹣×3+＝．

（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）
点E在直线AC上，设E（x，x+1），
①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），
∵F在抛物线上，
∴x+3＝﹣x2+2x+3
解得，x＝0或x＝1（舍去），
则点E的坐标为：（0，1）．
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1），
∵点F在抛物线上，
∴x﹣1＝﹣x2+2x+3，
解得x＝或x＝，
即点E的坐标为：（，）或（，）
综上可得满足条件的点E为E（0，1）或（，）或（，）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、轴对称求最短路径及平行四边形的性质，同学们注意培养自己解答综合题的能力，将所学知识融会贯通．
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