湖南省衡阳市2020年中考数学试卷

这是一份湖南省衡阳市2020年中考数学试卷，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


湖南省衡阳市2020年中考数学试卷
一、单选题（共12题；共24分）
1.－3相反数是（    ）
A. 3                                        B. －3                                        C.                                         D. 
2.下列各式中，计算正确的是（    ）
A.                         B.                         C.                         D. 
3.2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（    ）
A.                           B.                           C.                           D. 
4.下列各式中正确的是（    ）
A.                             B.                             C.                             D. 
5.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ）
A.                    B.                    C.                    D. 
6.要使分式 有意义，则x的取值范围是（    ）
A.                                    B.                                    C.                                    D. 
7.如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（   ）

A. AB∥DC,AB=DC            B. AB=DC,AD=BC            C. AB∥DC,AD=BC            D. OA=OC,OB=OD
8.下列不是三棱柱展开图的是（　　）

A.                B.                C.                D. 
9.不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（    ）
A.                            B. 
C.                               D. 
10.反比例函数 经过点 ，则下列说法错误的是（    ）
A.                                                                   B. 函数图象分布在第一、三象限
C. 当 时， 随 的增大而增大                     D. 当 时， 随 的增大而减小
11.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为 米，则根据题意，列方程为（    ）

A.                       B. 
C.                                     D. 
12.如图1，在平面直角坐标系中， 在第一象限，且 轴．直线 从原点 出发沿x轴正方向平移．在平移过程中，直线被 截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么 的面积为（    ）

A. 3                                        B.                                         C. 6                                        D. 
二、填空题（共6题；共6分）
13.因式分解： ________．
14.计算： ________．
15.已知一个n边形的每一个外角都为30°，则n等于________．
16.一副三角板如图摆放，且 ，则∠1的度数为________．

17.某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有________名．
18.如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标 ，将线段 绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为 的2倍，得到线段 ；又将线段 绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为 的2倍，得到线段 ；如此下去，得到线段 、 ，……， （n为正整数），则点 的坐标是________．

三、解答题（共8题；共90分）
19.化简： ．
20.一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为 ．
（1）求n的值；
（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率，请用画树状图或列表的方法进行说明．
21.如图，在 中， ，过 的中点D作 ， ，垂足分别为点E、F．

（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数．
22.病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组： ， ， ， ， ， ．）

根据以上信息回答问题：
（1）补全频数分布直方图．
（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．
据新华网报道在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：
市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；
市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；
市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．
（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）
23.小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当是示屏的边缘线 与底板的边缘线 所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上， ， ， ．

（1）求 的长；
（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线 与水平线的夹角仍保持120°，求点 到 的距离．（结果保留根号）
24.如图，在 中， ， 平分 交 于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段 上， 交 于点E，交 于点F．

（1）判断 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 ， ，求 的长．
25.在平面直角坐标系 中，关于x的二次函数 的图象过点 ， ．

（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当 时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数 的图象与二次函数 的图象交点的横坐标分别是a和b，且 ，求m的取值范围．
26.如图1，平面直角坐标系 中，等腰 的底边 在x轴上， ，顶点A在y的正半轴上， ，一动点 从 出发，以每秒1个单位的速度沿 向左运动，到达 的中点停止．另一动点F从点C出发，以相同的速度沿 向左运动，到达点O停止．已知点E、F同时出发，以 为边作正方形 ，使正方形 和 在 的同侧．设运动的时间为 秒（ ）．

（1）当点H落在 边上时，求t的值；
（2）设正方形 与 重叠面积为S，请问是存在t值，使得 ？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，取 的中点D，连结 ，当点E、F开始运动时，点N从点O出发，以每秒 个单位的速度沿 运动，到达点O停止运动．请问在点E的整个运动过程中，点M可能在正方形 内（含边界）吗？如果可能，求出点M在正方形 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
2.【答案】 D
3.【答案】 A
4.【答案】 D
5.【答案】 C
6.【答案】 B
7.【答案】 C
8.【答案】 C
9.【答案】 C
10.【答案】 C
11.【答案】 C
12.【答案】 B
二、填空题
13.【答案】 a(a+1)
14.【答案】 1
15.【答案】 12
16.【答案】 105°
17.【答案】 23
18.【答案】 （0，-22019）
三、解答题
19.【答案】 解：
=
= ．
20.【答案】 （1）解：由题意得 ，解得n=1；
（2）解：根据题意画出树状图如下：
         
所以共有9种情况，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种情况，则 两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率 ．
21.【答案】 （1）证明：∵点D为BC的中点，
∴BD=CD，
∵ ， ，
∴∠DEB=∠DFC=90°
在△BDE和△CDF中，

∴ ，
∴ ．

（2）解：∵
∴∠B=180°-（∠BDE+∠BED）=50°，
∴∠C=50°，
在△ABC中， =180°-（∠B+∠C）=80°，
故 =80°．
22.【答案】 （1）解：“ ”组得频数为：30-3-10-10-2-1=4，
补全频数分布直方图如图．


（2）解：由频数直方图可知支援武汉的医务人员在“ ”之间的有3个，
所占百分比为： ，
故其所占圆心角度数= ．

（3）解：支援湖北省的全体医务人员“90后”大约有 （万人），
故：支援湖北省的全体医务人员“90后”大约有1.万人．
23.【答案】 （1）解：∵ ， ，
∴ ．
即OC的长度为12cm．

（2）解：如图，过点O作OM∥AC，过点B′作B′E⊥AC交AC的延长线于点E，交OM于点D，B′E即为点 到 的距离，

∵OM∥AC，B′E⊥AC，
∴B′E⊥OD，
∵MN∥AC，
∴∠NOA=∠OAC=30°，
∵∠AOB=120°，
∴∠NOB=90°，
∵∠NOB′=120°，
∴∠BOB′=120°-90°=30°，
∵BC⊥AC，B′E⊥AE，MN∥AE，
∴BC∥B′E，四边形OCED为矩形，
∴∠OB′D=∠BOB′=30°，DE=OC=12cm，
在Rt△B′OD中，∵∠OB′D=30°，B′O=BO=24cm，
∴
B′D= ，
B′E=B′D+DE= ，
答：点 到 的距离为 ．
24.【答案】 （1）解： 与 相切．
理由如下：
如图，连接 ，

平分 ，
 
 
 
 
 
 
 
在 上，
是 的切线．

（2）解：连接
为 的直径，
 
， ，
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
解得：
所以： 的长为：
25.【答案】 （1）解：∵ 的图象过点 ， ，
∴
解得
∴

（2）解：由（1）得，二次函数对称轴为
∴当 时，y的最大值为(-2)2-(-2)-2=4,
y的最小值为
∴ 的最大值与最小值的差为 ；

（3）解：由题意及（1）得

整理得
即
∵一次函数 的图象与二次函数 的图象交点的横坐标分别是 和 ，
∴
化简得
即
解得m≠5
∴a，b为方程 的两个解
又∵
∴a=-1，b=4-m
即4-m>3
∴m<1
综上所述，m的取值范围为 ．
26.【答案】 （1）解：由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，
设直线AC的函数解析式为y=kx+b，
将点A、C坐标代入，得：
，解得： ，
∴直线AC的函数解析式为 ，
当点H落在 边上时，点E(3-t，0)，点H（3-t，1），
将点H代入 ，得：
，解得：t=1；

（2）解：存在， ，使得 ．
根据已知，当点F运动到点O停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t，使重叠面积为 ，故t﹥4，
设直线AB的函数解析式为y=mx+n，
将点A、B坐标代入，得：
，解得： ，
∴直线AC的函数解析式为 ，
当t﹥4时，点E（3-t，0）点H（3-t，t-3），G(0，t-3)，
当点H落在AB边上时，将点H代入 ，得：
，解得： ；
此时重叠的面积为 ，
∵ ﹤ ，∴ ﹤t﹤5，
如图1，设GH交AB于S，EH交AB于T,

将y=t-3代入 得： ，
解得：x=2t-10，
∴点S(2t-10，t-3)，
将x=3-t代入 得： ，
∴点T ，
∴AG=5-t，SG=10-2t，BE=7-t，ET= ，
,

所以重叠面积S= =4- - = ，
由 = 得： ， ﹥5(舍去)，
∴ ；

（3）解：可能， ≤t≤1或t=4．
∵点D为AC的中点，且OA=2,OC=4，
∴点D（2，1），AC= ，OD=OC=OA= ,
易求得OD的解析式为 ，
当0﹤t﹤1时，如图2，设点M为EH与OD的交点，由题意，OM= ，

将x=3-t代入 中得： ，
∴OE=3-t，EM= ，
由勾股定理得： 即 ，
解得： ，
当t=1时，由（1）知，点M与点H都运动到D点处，符合题意；
∴当 ≤t≤1时，点M可能在正方形 内（含边界），
,当1﹤t﹤4时，点M不可能在正方形 内（含边界），
当t=4时，点M运动返回到点O处，此时点F也运动到点O处，符合题意，
综上，当 ≤t≤1或t=4时，点M可能在正方形 内（含边界）．