2020年湖南省衡阳市中考数学试卷

这是一份2020年湖南省衡阳市中考数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


2020年湖南省衡阳市中考数学试卷
题号
一
二
三
总分
得分





一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. -3的相反数是（　　）
A. 3 B. -3 C. D. -
2. 下列各式中，计算正确的是（　　）
A. a3+a2=a5 B. a3-a2=a C. （a2）3=a5 D. a2•a3=a5
3. 2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（　　）
A. 1.2×108 B. 1.2×107 C. 1.2×109 D. 1.2×10-8
4. 下列各式中正确的是（　　）
A. -|-2|=2 B. =±2 C. =3 D. 30=1
5. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. 赵爽弦图 B. 科克曲线
C. 笛卡尔心形线 D. 斐波那契螺旋线
6. 要使分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A. x＞1 B. x≠1 C. x=1 D. x≠0
7. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）


A. AB∥DC，AD∥BC B. AB=DC，AD=BC
C. AB∥DC，AD=BC D. OA=OC，OB=OD
8. 下列不是三棱柱展开图的是（　　）
A. B.
C. D.
9. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A. B.
C. D.
10. 反比例函数y=经过点（2，1），则下列说法错误的是（　　）
A. k=2 B. 函数图象分布在第一、三象限
C. 当x＞0时，y随x的增大而增大 D. 当x＞0时，y随x的增大而减小
11. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（　　）
A. 35×20-35x-20x+2x2=600 B. 35×20-35x-2×20x=600
C. （35-2x）（20-x）=600 D. （35-x）（20-2x）=600
12. 如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y=x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么▱ABCD的面积为（　　）


A. 3 B. 3 C. 6 D. 6
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 因式分解：a2+a=______．
14. 计算：-x=______．
15. 已知一个n边形的每一个外角都为30°，则n等于______．
16. 一副三角板如图摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为______．








17. 某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有______名．
18. 如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4，OP5，…，OPn（n为正整数），则点P2020的坐标是______．






三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）
19. 化简：b（a+b）+（a+b）（a-b）．







20. 一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为．
（1）求n的值；
（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．







21. 如图，在△ABC中，∠B=∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：DE=DF；
（2）若∠BDE=40°，求∠BAC的度数．







22. 病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：100≤x＜500，500≤x＜900，900≤x＜1300，1300≤x＜1700，1700≤x＜2100，2100≤x＜2500．

根据以上信息回答问题：
（1）补全频数分布直方图．
（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：
C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；
H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；
B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．
（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）







23. 小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上，OA=OB=24cm，BC⊥AC，∠OAC=30°．

（1）求OC的长；
（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离．（结果保留根号）







24. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．
（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AD=8，AE=10，求BD的长．







25. 在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y=x2+px+q的图象过点（-1，0），（2，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当-2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y=（2-m）x+2-m的图象与二次函数y=x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．









26. 如图1，平面直角坐标系xOy中，等腰△ABC的底边BC在x轴上，BC=8，顶点A在y的正半轴上，OA=2，一动点E从（3，0）出发，以每秒1个单位的速度沿CB向左运动，到达OB的中点停止．另一动点F从点C出发，以相同的速度沿CB向左运动，到达点O停止．已知点E、F同时出发，以EF为边作正方形EFGH，使正方形EFGH和△ABC在BC的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）当点H落在AC边上时，求t的值；
（2）设正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，请问是否存在t值，使得S=？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，取AC的中点D，连结OD，当点E、F开始运动时，点M从点O出发，以每秒2个单位的速度沿OD-DC-CD-DO运动，到达点O停止运动．请问在点E的整个运动过程中，点M可能在正方形EFGH内（含边界）吗？如果可能，求出点M在正方形EFGH内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．










答案和解析
1.【答案】A

【解析】【分析】
本题考查了相反数的意义．只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．
​根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．
【解答】
解：-3的相反数是3．
故选A．
2.【答案】D

【解析】解：a3+a5不是同类项，它是一个多项式，因此A选项不符合题意；
同上可得，选项B不符合题意；
（a2）3=a2×3=a6，因此选项C不符合题意；
a2•a3=a2+3=x5，因此选项D符合题意；
故选：D．
根据合并同类项、同底数幂乘除法的性质进行计算即可．
本题考查同底数幂的乘除法的计算法则，同类项、合并同类项的法则，掌握运算性质是正确计算的前提．
3.【答案】A

【解析】解：1.2亿=120000000=1.2×108．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】D

【解析】解：A、-|-2|=-2，故此选项错误；
B、=2，故此选项错误；
C、≠3，故此选项错误；
D、30=1，故此选项正确；
故选：D．
根据算术平方根，绝对值，立方根，零指数幂即可解答．
本题考查了算术平方根，绝对值，立方根，零指数幂，解决本题的关键是熟记算术平方根、绝对值、立方根的定义，零指数幂的运算法则．
5.【答案】B

【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
6.【答案】B

【解析】解：要使分式有意义，则x-1≠0，
解得：x≠1．
故选：B．
直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
7.【答案】C

【解析】解：∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；
∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；
∵AB∥DC，AD=BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；
故选：C．
根据平行四边形的定义，可以得到选项A中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以得到选项B中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以得到选项D中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；选项C中的条件，无法判断四边形ABCD是平行四边形．
本题考查平行四边形的判定，解答本题的关键是明确平行四边形的判定方法．
8.【答案】B

【解析】解：A、C、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．
B围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故C不能围成三棱柱．
故选：B．
根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个四边形，可得答案．
本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形．
9.【答案】C

【解析】解：，
由①得x≤1，
由②得x＞-2，
故不等式组的解集为-2＜x≤1，
在数轴上表示为：．
故选：C．
分别求出①②的解集，再找到其公共部分，在数轴上表示出来即可求解．
本题考查了解一元一次不等式（组）的解集和在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
10.【答案】C

【解析】解：∵反比例函数y=经过点（2，1），
∴1=，
解得，k=2，故选项A正确；
∵k=2＞0，
∴该函数的图象在第一、三象限，故选项B正确；
当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项C错误、选项D正确；
故选：C．
根据反比例函数y=经过点（2，1），可以得到k的值，然后根据反比例函数的性质，即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
11.【答案】C

【解析】解：依题意，得：（35-2x）（20-x）=600．
故选：C．
若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（35-2x）米，宽为（20-x）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12.【答案】B

【解析】解：过B作BM⊥AD于点M，分别过B，D作直线y=x的平行线，交AD于E，如图1所示，

由图象和题意可得，
AE=6-4=2，DE=7-6=1，BE=2，
∴AB=2+1=3，
∵直线BE平行直线y=x，
∴BM=EM=，
∴平行四边形ABCD的面积是：AD•BM=3×=3．
故选：B．
根据函数图象中的数据可以分别求得平行四边形的边AD的长和边AD边上的高BM的长，从而可以求得平行四边形的面积．
本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
13.【答案】a（a+1）

【解析】解：a2+a=a（a+1）．
故答案为：a（a+1）．
直接利用提取公因式法分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
14.【答案】1

【解析】解：原式=-x
=x+1-x
=1．
故答案为：1．
直接利用分式的基本性质化简进而计算即可．
此题主要考查了分式的加减法，正确化简分式是解题关键．
15.【答案】12

【解析】解：∵一个n边形的每一个外角都为30°，任意多边形的外角和都是360°，
∴n=360°÷30°=12．
故答案为：12．
根据多边形的外角和等于360°列式计算即可．
本题主要考查多边形的外角和定理，解答本题的关键是掌握任意多边形的外角和都是360°．
16.【答案】105°

【解析】解：如图，∵AB∥CD，∠D=45°，
∴∠2=∠D=45°．
∵∠1=∠2+∠3，∠3=60°，
∴∠1=∠2+∠3=45°+60°=105°．
故答案是：105°．
利用平行线的性质得到∠2=∠D=45°，然后结合三角形外角定理来求∠1的度数．
本题主要考查了平行线的性质，解题时，注意运用题干中隐藏的已知条件∠D=45°，∠3=60°．
17.【答案】23

【解析】解：设女生有x名，则男生人数有（2x-17）名，依题意有
2x-17+x=52，
解得x=23．
故女生有23名．
故答案为：23．
设女生有x名，根据某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，可以列出相应的方程，解方程即可求解．
本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
18.【答案】（0，-22019）

【解析】解：∵点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；
∴OP1=1，OP2=2，
∴OP3=4，如此下去，得到线段OP4=23，OP5=24…，
∴OPn=2n-1，
由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，
∵2020÷8=252…4，
∴点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，正好在y轴的负半轴上，
∴点P2020的坐标是（0，-22019）．
故答案为：（0，-22019）．
根据题意得出OP1=1，OP2=2，OP3=4，如此下去，得到线段OP4=8=23，OP5=16=24…，OPn=2n-1，再利用旋转角度得出点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，进而得出答案．
此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出点P2014的坐标与点P6的坐标在同一直线上是解题关键．
19.【答案】解：b（a+b）+（a+b）（a-b）
=ab+b2+a2-b2
=ab+a2．

【解析】根据单项式乘多项式的运算法则及平方差公式化简即可．
此题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：（1）由概率的意义可得，
=，解得，n=1，
答：n的值为1；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：

共有9种可能出现的结果，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种．
∴P（一白一黑）=，

【解析】（1）根据摸到白球的概率为，列方程求解即可；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．
本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．
21.【答案】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△BED与△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE=DF；
（2）解：∵∠BDE=40°，
∴∠B=50°，
∴∠C=50°，
∴∠BAC=80°．

【解析】（1）根据DE⊥AB，DF⊥AC可得∠BED=∠CFD=90°，由于∠B=∠C，D是BC的中点，AAS求证△BED≌△CFD即可得出结论．
（2）根据直角三角形的性质求出∠B=50°，根据等腰三角形的性质即可求解．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质直角三角形的性质等知识点的理解和掌握．
22.【答案】解：（1）由直方图可得，
1300≤x＜1700，这一组的频数是：30-3-10-10-2-1=4，
补全的频数分布直方图如右图所示；
（2）360°×=36°，
即扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数是36°；
（3）4.2×≈1.2（万人），
答：在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有1.2万人．

【解析】（1）根据题意和直方图中的数据，可以计算出1300≤x＜1700这一组的频数，从而可以将频数分布直方图补充完整；
（2）根据统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数；
（3）根据小华给出的数据，可以计算出在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人．
本题考查频数分布直方图、近似数和有效数字、用样本估计总体、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23.【答案】解：（1）如图③，在Rt△AOC中，OA=24，∠OAC=30°．
∴OC=OA=×24=12（cm）；
（2）如图④，过点B′作B′D⊥AC，垂足为D，过点O作OE⊥B′D，垂足为E，
由题意得，OA=OB′=24，
当显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，看可得，∠AOB′=150°
∴∠B′OE=60°，
∵∠ACO=∠B′EO=90°，
∴在Rt△△B′OE中，B′E=OB′×sin60°=12，
又∵OC=DE=12，
∴B′D=B′E+DE=12+12，
即：点B′到AC的距离为（12+12）cm．

【解析】（1）解Rt△AOC即可求出OC的长；
（2）求出∠B′OE=60°，在Rt△△B′OE中求出B′E，进而求出B′D．
本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是常用的方法．
24.【答案】解：（1）BC与⊙O相切，
理由：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，
∴OD⊥BC，
∵OD为半径，
∴BC是⊙O切线；
（2）连接DE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
∵∠C=90°，
∴∠ADE=∠C，
∵∠EAD=∠DAC，
∴△ADE∽△ACD，
∴=，
=，
∴AC=，
∴CD===，
∵OD⊥BC，AC⊥BC，
∴△OBD∽△ABC，
∴，
∴=，
∴BD=．

【解析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；
（2）连接DE，根据圆周角定理得到∠ADE=90°，根据相似三角形的性质得到AC=，根据勾股定理得到CD===，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查直线与圆的位置关系，切线的判定，等腰三角形的判定和性质、扇形的面积公式，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
25.【答案】解：（1）由二次函数y=x2+px+q的图象经过（-1，0）和（2，0）两点，
∴，解得，
∴此二次函数的表达式y=x2-x-2；
（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x==，
∴在-2≤x≤1范围内，当x=-2，函数有最大值为：y=4+2-2=4；当x=是函数有最小值：y=--2=-，
∴的最大值与最小值的差为：4-（-）=；

（3）∵y=（2-m）x+2-m与二次函数y=x2-x-2图象交点的横坐标为a和b，
∴x2-x-2=（2-m）x+2-m，整理得
x2+（m-3）x+m-4=0
∵a＜3＜b
∴a≠b
∴△=（m-3）2-4×（m-4）=（m-5）2＞0
∴m≠5
∵a＜3＜b
当x=3时，（2-m）x+2-m＞x2-x-2，
把x=3代入（2-m）x+2-m＞x2-x-2，解得m＜1，
∴m的取值范围为m＜1．

【解析】（1）由二次函数的图象经过（-1，0）和（2，0）两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式；
（2）求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x=-2，函数有最大值4；当x=是函数有最小值-，进而求得它们的差；
（3）由题意得x2-x-2=（2-m）x+2-m，整理得x2+（m-3）x+m-4=0，因为a＜2＜b，a≠b，△=（m-3）2-4×（m-4）=（m-5）2＞0，把x=3代入（2-m）x+2-m＞x2-x-2，解得m＜1．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．
26.【答案】解：（1）如图1-1中，

由题意，OA=2，OB=OC=4，EF=EH=FG=HG=1，
当点H落在AC上时，∵EH∥OA，
∴=，
∴=，
∴CE=2，
∴点E的运动路程为1，
∴t=1时，点E落在AC上．

（2）由题意，在E，F的运动过程中，开始正方形EFGH的边长为1，
∵正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，S=，
∴此时点F与O重合，已经停止运动，如图1-2中，重叠部分是五边形OEKJG．

由题意：（t-3）2-••（3t-13）=，
整理得45t2-486t+1288=0，
解得t=或（舍弃），
∴满足条件的t的值为．

（3）如图3-1中，当点M第一次落在EH上时，4t+t=3，t=

当点M第一次落在FG上时，4t+t=4，t=，
∴点M第一次落在正方形内部（包括边界）的时长=-=（s），
当点M第二次落在FG上时，4t-t=4，t=，
当点M第二次落在EH上时，4t-（t+1）=4，t=，
点M第二次落在正方形内部（包括边界）的时长=-=，
∴点M落在正方形内部（包括边界）的总时长=+=（s）．

【解析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（2）由题意，在E，F的运动过程中，开始正方形EFGH的边长为1，因为正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，S=，推出此时点F与O重合，已经停止运动，如图1-2中，重叠部分是五边形OEKJG．构建方程求解即可．
（3）分别求出点M第一次和第二次落在正方形内部（包括边界）的时长即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．