2023年湖南省衡阳市中考数学试卷

这是一份2023年湖南省衡阳市中考数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家，若收入500元记作元，则支出237元记作
A．元B．元C．0元D． 元
2．（3分）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是
A．，，B．，，C．，，D．，，
3．（3分）下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是
A．B．C．D．
4．（3分）作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，其左视图的大致形状是
A．B．
C．D．
5．（3分）计算的结果正确的是
A．B．C．D．
6．（3分）据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万．数据7358万用科学记数法表示为
A．B．C．D．
7．（3分）对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是
A．，B．，C．，D．，
8．（3分）如图，在四边形中，已知．添加下列条件不能判定四边形是平行四边形的是
A．B．C．D．
9．（3分）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡免同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡免各几何．”
设有只鸡，只兔，依题意，可列方程组为
A．B．
C．D．
10．（3分）某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下表．甲、乙两名选手成绩的方差分别记为和．则和的大小关系是
A．B．C．D．无法确定
11．（3分）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．”，则三角形的三个内角的和大于．这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．上述推理使用的证明方法是
A．反证法B．比较法C．综合法D．分析法
12．（3分）已知，若关于的方程的解为，，关于的方程的解为，．则下列结论正确的是
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）
13．（3分）在平面直角坐标系中，点所在象限是第 象限．
14．（3分）一个布袋中放着3个红球和9个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．布袋中的球已经搅匀，从布袋中任取1个球，取出红球的概率是 ．
15．（3分）已知，则代数式的值为 ．
16．（3分）已知关于的方程的一个根是，则它的另一个根是 ．
17．（3分）如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当所作的圆与斜边所在的直线相切时，的值为 ．
18．（3分）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．）
19．（6分）计算：．
20．（6分）解不等式组：．
21．（8分）2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，80分及以上为优秀，共分成四组，；；；，并给出下面部分信息：
八年级抽取的学生竞赛成绩在组中的数据为：84，84，88
九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数．
22．（8分）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点．
（1）求点的坐标．
（2）分别以点、为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线，交轴于点．求线段的长．
23．（8分）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的处，遥控无人机旋停在点的正上方的点处，测得教学楼的顶部处的俯角为，长为49.6米．已知目高为1.6米．
（1）求教学楼的高度．
（2）若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米秒的速度继续向前匀速飞行．求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线．
24．（8分）如图，是的直径，是一条弦，是弧的中点，于点，交于点，交于点，交于点．
（1）求证：．
（2）若，，求的半径．
25．（10分）问题探究
（1）如图1，在正方形中，对角线、相交于点．在线段上任取一点（端点除外），连接、．
①求证：；
②将线段绕点逆时针旋转，使点落在的延长线上的点处．当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由；
③探究与的数量关系，并说明理由．
迁移探究
（2）如图2，将正方形换成菱形，且，其他条件不变．试探究与的数量关系，并说明理由．
26．（12分）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，过、两点作直线．
（1）求的值．
（2）将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．
2023年湖南省衡阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．【解答】解：收入500元记作元，则支出237元应记作元，
故选：．
2．【解答】解：、，
长度为，，的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
、，
长度为，，的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
、，
长度为，，的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
、，
长度为，，的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；
故选：．
3．【解答】解：、，选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
4．【解答】解：从左边看，紫砂壶的壶嘴在正中间，只有选项符合题意．
故选：．
5．【解答】解：原式．
故选：．
6．【解答】解：7358万，
故选：．
7．【解答】解：对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是，，
故选：．
8．【解答】解：、因为，，因此由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形，故不符合题意；
、因为，，因此由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形，故不符合题意；
、，但和不一定平行，因此不能判定四边形是平行四边形，故符合题意；
、因为得到，又，，因此，得到，能判定四边形是平行四边形，故不符合题意；
故选：．
9．【解答】解：由题意可得，
，
故选：．
10．【解答】解：图表数据可知，
甲数据在3至10之间波动，偏离平均数数据较大；乙数据在6至8之间波动，偏离平均数数据较小；
即甲的波动性较大，即方差大，
，
故选：．
11．【解答】解：证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．
假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．”，则三角形的三个内角的和大于．
这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于，这种证明方法是反证法，
故选：．
12．【解答】解：关于的方程的解为抛物线与直线的交点的横坐标，
关于的方程的解为抛物线与直线的交点的横坐标，
如图：
由图可知，，
故选：．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）
13．【解答】解：点在第三象限，
故答案为：三．
14．【解答】解：一个布袋中放着3个红球和9个黑球，
从布袋中任取1个球，取出红球的概率是，
故答案为：．
15．【解答】解：原式
，
当时，原式，
故答案为：．
16．【解答】解：设方程的另一个解为，
根据根与系数的关系得，
解得，
即方程的另一个根为5．
故答案为：5．
17．【解答】解：设与所在的直线相切，切点为点，连接，
是的半径，与相切于点，
，
，，，
，
，
，
解得，
，
故答案为：．
18．【解答】解：多边形是正五边形，
正五边形的每一个内角为：，
，
正五边形的个数是．
故答案为：10．
三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．）
19．【解答】解：原式
．
20．【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：．
21．【解答】解：（1）八年级的竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的一个数是84，因此中位数是84，即；
九年级的竞赛成绩出现次数最多的是100，共出现3次，因此众数是100，即；
九年级的竞赛成绩中80分及以上的共有12人，因此优秀率为，即；
故答案为：84，100，；
（2）（人，
答：估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数约200人．
22．【解答】解：（1）解方程组，
得，
点的坐标为；
（2）设点的坐标为．
由题意可知，是的垂直平分线，
，
，
，
，，．
23．【解答】解：（1）过点作于点，则，
在中，米，，
（米，
（米．
答：教学楼的高度为25.6米；
（2）延长交于点，则，
在中，米，米，
，
，
，
，
在中，米，
（米，
（秒，
经过12秒时，无人机刚好离开了小明的视线．
24．【解答】（1）证明：是弧的中点，
，
，且是的直径，
，
，
，
．
（2）解：是的直径，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为5．
25．【解答】（1）①证明：四边形是正方形，
，
，
，
；
②解：的大小不发生变化，；
理由：作，，垂足分别为点、，如图，
四边形是正方形，
，，
四边形是矩形，，
，，
，
，
，即；
③解：；
理由：作交于点，作于点，如图，
四边形是正方形，
，，
，四边形是矩形，
，，
，
，，
，
作于点，
则，，
，
，，
，
；
（2）解：；
理由：四边形是菱形，，
，，，
是等边三角形，垂直平分，
，，
，
，
作交于点，交于点，如图，
则四边形是平行四边形，，，
，，都是等边三角形，
，
作于点，则，，
，
．
26．【解答】解：（1）抛物线与轴交于点，
，
．
（2）存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大．
，
当时，，
，
当时，，
解得：，，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点，
直线的解析式为，
设，
过点作轴，交于点，作于点，设直线交轴于点，如图，
，
，
，，
，
，
，
轴，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
当时，取得最大值，此时点的坐标为，．
（3）存在．
当在的下方时，在轴正半轴上取点，连接交抛物线于点，如图，
，，，，
，，，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
联立，得，
解得：（舍去），，
，；
当在的上方时，作点关于直线的对称点，如图，连接，，直线交抛物线于，
由对称得：，，，
，
，
则直线的解析式为，
联立，得：，
解得：（舍去），，
；
综上所述，抛物线上存在点，使，直线的解析式为或．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/6/28 15:30:25；用户：张雪；邮箱：hxnts67@xyh.cm；学号：37372743测试次数
1
2
3
4
5
甲
5
10
9
3
8
乙
8
6
8
6
7
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
八
87
98
九
87
86