2020年湖南省衡阳市中考数学试卷
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2020年湖南省衡阳市中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共12题） |
1. 的相反数是．
A． B． C． D．
2. 下列各式中，计算正确的是．
A． B． C． D．
3. 年月日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水周年来，直接受益人口超过亿人，其中亿用科学记数法表示为．
A． B． C． D．
4. 下列各式中正确的是．
A． B． C． D．
5. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是．
A．赵爽弦图
B．科克曲线
C．笛卡尔心形线
D．斐波那契螺旋线
6. 若分式有意义，则的取值范围是．
A． B． C． D．
7. 如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是．
A．，
B．，
C．，
D．，
8. 下列不是三棱柱展开图的是．
A．
B．
C．
D．
9. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是．
A．
B．
C．
D．
10. 反比例函数经过点，则下列说法错误的是．
A．
B．函数图象分布在第一、三象限
C．当时，随的增大而增大
D．当时，随的增大而减小
11. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长米、宽米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为．
A．
B．
C．
D．
12. 如图1，在平面直角坐标系中，▱在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示．那么▱的面积为．
A． B． C． D．
| 二、 填空题（共6题） |
13. 因式分解：________．
14. 计算：________．
15. 已知一个边形的每一个外角都为，则等于________．
16. 一副三角板如图摆放，且，则的度数为________．
17. 某班有名学生，其中男生人数是女生人数的倍少人，则女生有________名．
18. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段；又将线段绕点按顺时针方向旋转，长度伸长为的倍，得到线段；如此下去，得到线段，，，（为正整数），则点的坐标是________．
| 三、 解答题（共8题） |
19. 化简：．
20. 一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的个黑球和个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为．
（1）求的值；
（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出个球，放回搅匀，再随机摸出第个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．
21. 如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为点、．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
22. 病毒虽无情，人间有大爱．年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成组：，，，，，）．
根据以上信息回答问题：
（1）补全频数分布直方图．
（2）求扇形统计图中派出人数大于等于小于所占圆心角度数．据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“后”也有“后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“后”医务人员的数据：
市派出的名医护人员中有人是“后”；
市派出的名医护人员中有人是“后”；
市某医院派出的名医护人员中有人是“后”．
（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按万人计）中，“后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到万人）
23. 小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线与底板的边缘线所在水平线的夹角为时，感觉最舒适（如图① ）．侧面示意图为图② ；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③ ，点、、在同一直线上，，，．
（1）求的长；
（2）如图④ ，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线与水平线的夹角仍保持，求点到的距离．（结果保留根号）
24. 如图，在中，，平分交于点，过点和点的圆，圆心在线段上，交于点，交于点．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的长．
25. 在平面直角坐标系中，关于的二次函数的图象过点，．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当时，的最大值与最小值的差；
（3）一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和，且，求的取值范围．
26. 如图1，平面直角坐标系中，等腰的底边在轴上，，顶点在的正半轴上，，一动点从出发，以每秒个单位的速度沿向左运动，到达的中点停止．另一动点从点出发，以相同的速度沿向左运动，到达点停止．已知点、同时出发，以为边作正方形，使正方形和在的同侧，设运动的时间为秒．
（1）当点落在边上时，求的值；
（2）设正方形与重叠面积为，请问是否存在值，使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，取的中点，连结，当点、开始运动时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，到达点停止运动．请问在点的整个运动过程中，点可能在正方形内（含边界）吗？如果可能，求出点在正方形内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】A
【解析】的相反数是．
故选：
【点评】本题考查了相反数的意义．只有符号不同的数为相反数，的相反数是．
2. 【答案】D
【解析】不是同类项，它是一个多项式，因此选项不符合题意；
同上可得，选项不符合题意；
，因此选项不符合题意；
，因此选项符合题意．
故选：
【点评】本题考查同底数幂的乘除法的计算法则，同类项、合并同类项的法则，掌握运算性质是正确计算的前提．
3. 【答案】A
【解析】亿．
故选：
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定的值以及的值．
4. 【答案】D
【解析】、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，故此选项正确．
故选：
【点评】本题考查了算术平方根，绝对值，立方根，零指数幂，解决本题的关键是熟记算术平方根、绝对值、立方根的定义，零指数幂的运算法则．
5. 【答案】B
【解析】、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
、既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：
【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．
6. 【答案】C
【解析】根据题意得：，
解得：．
故选
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为．
7. 【答案】C
【解析】，，
四边形是平行四边形，故选项中条件可以判定四边形是平行四边形；
，，
四边形是平行四边形，故选项中条件可以判定四边形是平行四边形；
，，则无法判断四边形是平行四边形，故选项中的条件，不能判断四边形是平行四边形；
，，
四边形是平行四边形，故选项中条件可以判定四边形是平行四边形．
故选：
【点评】本题考查平行四边形的判定，解答本题的关键是明确平行四边形的判定方法．
8. 【答案】B
【解析】、、中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．
．围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故不能围成三棱柱．
故选：
【点评】本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形．
9. 【答案】C
【解析】，
由① 得，
由② 得，
故不等式组的解集为，
在数轴上表示为：．
故选：
【点评】本题考查了解一元一次不等式（组）的解集和在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线．
10. 【答案】C
【解析】反比例函数经过点，
，
解得，，故选项正确；
，
该函数的图象在第一、三象限，故选项正确；
当时，随的增大而减小，故选项错误、选项正确．
故选：
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
11. 【答案】C
【解析】依题意，得：．
故选：
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12. 【答案】B
【解析】过作于点，分别过，作直线的平行线，交于，如图1所示，
由图象和题意可得，
，，，
，
直线平行直线，
，
平行四边形的面积是：．
故选：
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
二、 填空题
13. 【答案】；
【解析】．
故答案为：
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
14. 【答案】；
【解析】原式
．
故答案为：
【点评】此题主要考查了分式的加减法，正确化简分式是解题关键．
15. 【答案】；
【解析】一个边形的每一个外角都为，任意多边形的外角和都是，
．
故答案为：
【点评】本题主要考查多边形的外角和定理，解答本题的关键是掌握任意多边形的外角和都是．
16. 【答案】；
【解析】如图，
，，
．
，，
．
故答案是：
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时，注意运用题干中隐藏的已知条件，．
17. 【答案】；
【解析】设女生有名，则男生人数有名，依题意有
，
解得．
故女生有名．
故答案为：
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
18. 【答案】；
【解析】点的坐标为，将线段绕点按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段；
，，
，如此下去，得到线段，，
，
由题意可得出线段每旋转次旋转一周，
，
点的坐标与点的坐标在同一直线上，正好在轴的负半轴上，
点的坐标是．
故答案为：
【点评】此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出点的坐标与点的坐标在同一直线上是解题关键．
三、 解答题
19. 【答案】
【解析】
．
【点评】此题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20. 【答案】（1）
（2）
【解析】（1）由概率的意义可得，
，解得，，
答的值为；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有种可能出现的结果，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有种．
，
【点评】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．
21. 【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）证明：，，
，
是的中点，
，
在与中，
，
，
；
（2）解：，
，
，
．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质直角三角形的性质等知识点的理解和掌握．
22. 【答案】（1）
（2）
（3）万人
【解析】（1）由直方图可得，
，这一组的频数是：，
补全的频数分布直方图如右图所示；
（2），
即扇形统计图中派出人数大于等于小于所占圆心角度数是；
（3）（万人），
答在支援湖北省的全体医务人员（按万人计）中，“后”大约有万人．
【点评】本题考查频数分布直方图、近似数和有效数字、用样本估计总体、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23. 【答案】（1）
（2）
【解析】（1）如图③ ，在中，，．
；
（2）如图④ ，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
由题意得，，
当显示屏的边缘线与水平线的夹角仍保持，看可得，
，
，
在中，，
又，
，
即：点到的距离为．
【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是常用的方法．
24. 【答案】（1）与相切，理由见解析
（2）
【解析】（1）与相切，
理由：连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
为半径，
是切线；
（2）连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，切线的判定，等腰三角形的判定和性质、扇形的面积公式，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
25. 【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）由二次函数的图象经过和两点，
，解得，
此二次函数的表达式；
（2）抛物线开口向上，对称轴为直线，
在范围内，当，函数有最大值为：；当是函数有最小值：，
的最大值与最小值的差为：；
（3）与二次函数图象交点的横坐标为和，
，整理得，
解得：，，
，
，，
故解得，即的取值范围是．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．
26. 【答案】（1）
（2）存在，
（3）有可能，时长
【解析】（1）如图1-1中，
由题意，，，，
当点落在上时，，
，
，
，
点的运动路程为，
时，点落在上．
（2）由题意，在，的运动过程中，开始正方形的边长为，
正方形与重叠面积为，，
此时点与重合，已经停止运动，如图中1-2，重叠部分是五边形．
由题意：，
整理得，
解得或（舍弃），
满足条件的的值为．
（3）如图3-1中，当点第一次落在上时，，
当点第一次落在上时，，，
点第一次落在正方形内部（包括边界）的时长，
当点第二次落在上时，，，
当点第二次落在上时，，，
点第二次落在正方形内部（包括边界）的时长，
点落在正方形内部（包括边界）的总时长．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
