2020年江苏省南京市中考数学试卷

这是一份2020年江苏省南京市中考数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。


2020年江苏省南京市中考数学试卷
题号
一
二
三
四
总分
得分






一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）
1. 计算3-（-2）的结果是（　　）
A. -5 B. -1 C. 1 D. 5
2. 3的平方根是（　　）
A. 9 B. C. - D. ±
3. 计算（a3）2÷a2的结果是（　　）
A. a3 B. a4 C. a7 D. a8
4. 党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到更加突出的位置．根据国家统计局发布的数据，2012～2019年年末全国农村贫困人口的情况如图所示．

根据图中提供的信息，下列说法错误的是（　　）
A. 2019年末，农村贫困人口比上年末减少551万人
B. 2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少超过9000万人
C. 2012年末至2019年末，连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上
D. 为在2020年末农村贫困人口全部脱贫，今年要确保完成减少551万农村贫困人口的任务
5. 关于x的方程（x-1）（x+2）=p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　）
A. 两个正根 B. 两个负根
C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根
6. 如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（　　）

A. （9，2） B. （9，3） C. （10，2） D. （10，3）
二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）
7. 写出一个负数，使这个数的绝对值小于3：______．
8. 若式子1-在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
9. 纳秒（ns）是非常小的时间单位，1ns=10-9s．北斗全球导航系统的授时精度优于20ns．用科学记数法表示20ns是______s．
10. 计算的结果是______．
11. 已知x、y满足方程组，则x+y的值为______．
12. 方程=的解是______．
13. 将一次函数y=-2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°，所得到的图象对应的函数表达式是______．
14. 如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为______cm2．






15. 如图，线段AB、BC的垂直平分线11、l2相交于点O，若∠1=39°，则∠AOC=______．








16. 下列关于二次函数y=-（x-m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y=-x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是______．
三、计算题（本大题共2小题，共15.0分）
17. 解方程：x2-2x-3=0．







18. 如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD=45°、∠C=37°．求轮船航行的距离AD．（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）









四、解答题（本大题共9小题，共73.0分）
19. 计算（a-1+）÷．







20. 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE．















21. 已知反比例函数y=的图象经过点（-2，-1）．
（1）求k的值．
（2）完成下面的解答．
解不等式组
解：解不等式①，得______．
根据函数y=的图象，得不等式②的解集______．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．

从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集______．







22. 为了了解某地居民用电量的情况，随机抽取了该地200户居民六月份的用电量（单位：kW•h）进行调查，整理样本数据得到下面的频数分布表．
组别
用电量分组
频数
1
8≤x＜93
50
2
93≤x＜178
100
3
178≤x＜263
34
4
263≤x＜348
11
5
348≤x＜433
1
6
433≤x＜518
1
7
518≤x＜603
2
8
603≤x＜688
1
根据抽样调查的结果，回答下列问题：
（1）该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第______组内；
（2）估计该地1万户居民六月份的用电量低于178kW•h的大约有多少户．







23. 甲、乙两人分别从A、B、C这3个景点中随机选择2个景点游览．
（1）求甲选择的2个景点是A、B的概率；
（2）甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是______．







24. 如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF=EF．









25. 小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第xmin时，小丽、小明离B地的距离分别为y1m、y2m．y1与x之间的函数表达式是y1=-180x+2250，y2与x之间的函数表达式是y2=-10x2-100x+2000．
（1）小丽出发时，小明离A地的距离为______m．
（2）小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？







26. 如图，在△ABC和△A'B'C'中，D、D'分别是AB、A'B'上一点，=．

（1）当==时，求证△ABC∽△A'B'C．
证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．

（2）当==时，判断△ABC与△A'B'C′是否相似，并说明理由．







27. 如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的．
为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC+CB＜AC′+C'B．请完成这个证明．
（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．
①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；
②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．










答案和解析
1.【答案】D

【解析】解：3-（-2）=3+2=5．
故选：D．
根据有理数的减法运算法则，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．
本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
2.【答案】D

【解析】解：∵（）2=3，
∴3的平方根．
故选D．
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有正、负两个平方根，他们互相为相反数；零的平方根是零，负数没有平方根．
本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
3.【答案】B

【解析】解：（a3）2÷a2=a3×2÷a2=a6-2=a4，
故选：B．
根据积的乘方、同底数幂的除法的计算法则进行计算即可．
本题考查幂的乘方、同底数幂除法的计算法则，掌握计算法则是正确计算的前提．
4.【答案】A

【解析】解：A．2019年末，农村贫困人口比上年末减少1660-551=1109（万人），此选项错误；
B．2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少超过9899-551=9348（万人），此选项正确；
C．2012年末至2019年末，连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上，此选项正确；
D．为在2020年末农村贫困人口全部脱贫，今年要确保完成减少551万农村贫困人口的任务，此选项正确；
故选：A．
根据条形统计图中每年末贫困人口的数量，结合各选项逐一分析判断可得答案．
本题主要考查条形统计图，解题的关键是根据条形统计图得出解题所需的具体数据．
5.【答案】C

【解析】解：∵关于x的方程（x-1）（x+2）=p2（p为常数），
∴x2+x-2-p2=0，
∴△=1+8+4p2=9+4p2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∵两个的积为-2-p2，
∴一个正根，一个负根，
故选：C．
先把方程（x-1）（x+2）=p2化为x2+x-2-p2=0，再根据方程有两个不相等的实数根可得△=1+8+4p2＞0，由-2-p2＞0即可得出结论．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．也考查了根的判别式．
6.【答案】A

【解析】解：设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，
则PE⊥y轴，PF⊥x轴，
∵∠EOF=90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∵PE=PF，PE∥OF，
∴四边形PEOF为正方形，
∴OE=OF=PE=OF=5，
∵A（0，8），
∴OA=8，
∴AE=8-5=3，
∵四边形OACB为矩形，
∴BC=OA=8，BC∥OA，AC∥OB，
∴EG∥AC，
∴四边形AEGC为平行四边形，四边形OEGB为平行四边形，
∴CG=AE=3，EG=OB，
∵PE⊥AO，AO∥CB，
∴PG⊥CD，
∴CD=2CG=6，
∴DB=BC-CD=8-6=2，
∵PD=5，DG=CG=3，
∴PG=4，
∴OB=EG=5+4=9，
∴D（9，2）．

故选：A．
设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，证明四边形PEOF为正方形，求得CG，再根据垂径定理求得CD，进而得PG、DB，便可得D点坐标．
本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，圆的切线的性质，垂径定理，勾股定理，关键是求出CG的长度．
7.【答案】-1（答案不唯一）

【解析】解：∵这个数的绝对值小于3，
∴这个数的绝对值等于0、1或2，
∴这个负数可能是-2、-1．
故答案为：-1（答案不唯一）．
首先根据这个数的绝对值小于3，可得这个数的绝对值等于0、1或2；然后根据绝对值的含义和求法，求出这个数是多少即可．
此题主要考查了绝对值的含义和运用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零．
8.【答案】x≠1

【解析】解：若式子1-在实数范围内有意义，
则x-1≠0，
解得：x≠1．
故答案为：x≠1．
直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
9.【答案】2×10-8

【解析】解：20ns=20×10-9s=2×10-8s，
故答案为：2×10-8．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10.【答案】

【解析】解：原式===．
故答案为：．
直接利用二次根式的性质化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键．
11.【答案】1

【解析】解：，
①×2-②得：5y=-5，
解得：y=-1，
①-②×3得：-5x=-10，
解得：x=2，
则x+y=2-1=1，
故答案为1．
求出方程组的解，代入求解即可．
本题考查了解二元一次方程组，整式的求值的应用，求得x、y的值是解此题的关键．
12.【答案】x=

【解析】解：方程=，
去分母得：x2+2x=x2-2x+1，
解得：x=，
经检验x=是分式方程的解．
故答案为：x=．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
13.【答案】y=x+2

【解析】解：在一次函数y=-2x+4中，令x=0，则y=4，
∴直线y=-2x+4经过点（0，4），
将一次函数y=-2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°，则点（0，4）的对应点为（-4，0），
旋转后得到的图象与原图象垂直，则对应的函数解析式为：y=x+b，
将点（-4，0）代入得，+b=0，
解得b=2，
∴旋转后对应的函数解析式为：y=x+2，
故答案为y=x+2．
直接根据一次函数互相垂直时系数之积为-1，进而得出答案．
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握互相垂直的两直线系数关系是解题关键．
14.【答案】2

【解析】解：连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T

∵ABCDEF是正六边形，
∴CB∥EF，AB=AF，∠BAF=120°，
∴S△PEF=S△BEF，
∵AT⊥BE，AB=AF，
∴BT=FT，∠BAT=∠FAT=60°，
∴BT=FT=AB•sin60°=，
∴BF=2BT=2，
∵∠AFE=120°，∠AFB=∠ABF=30°，
∴∠BFE=90°，
∴S△PEF=S△BEF=•EF•BF=×2×=2，
故答案为2．
连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T，证明S△PEF=S△BEF，求出△BEF的面积即可．
本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
15.【答案】78°

【解析】解：过O作射线BP，

∵线段AB、BC的垂直平分线11、l2相交于点O，
∴AO=OB=OC，∠BDO=∠BEO=90°，
∴∠DOE+∠ABC=180°，
∵∠DOE+∠1=180°，
∴∠ABC=∠1=39°，
∵OA=OB=OC，
∴∠A=∠ABO，∠OBC=∠C，
∵∠AOP=∠A+∠ABO，∠COP=∠C+∠OBC，
∴∠AOC=∠AOP+∠COP=∠A+∠ABC+∠C=2×39°=78°，
故答案为：78°．
过O作射线BP，根据线段的垂直平分线的性质得AO=OB=OC和∠BDO=∠BEO=90°，根据四边形的内角和为360°得∠DOE+∠ABC=180°，根据外角的性质得∠AOP=∠A+∠ABO，∠COP=∠C+∠OBC，相加可得结论．
本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16.【答案】①②④

【解析】解：①∵二次函数y=-（x-m）2+m+1（m为常数）与函数y=-x2的二次项系数相同，
∴该函数的图象与函数y=-x2的图象形状相同，故结论①正确；
②∵在函数y=-（x-m）2+m2+1中，令x=0，则y=-m2+m2+1=1，
∴该函数的图象一定经过点（0，1），故结论②正确；
③∵y=-（x-m）2+m2+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=m，当x＞m时，y随x的增大而减小，故结论③错误；
④∵抛物线开口向下，当x=m时，函数y有最大值m2+1，
∴该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图象上．故结论④正确，
故答案为①②④．
利用二次函数的性质一一判断即可．
本题考查二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17.【答案】解：原方程可以变形为（x-3）（x+1）=0
x-3=0，x+1=0
∴x1=3，x2=-1．

【解析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答．
熟练运用因式分解法解一元二次方程．注意：常数项应分解成两个数的积，且这两个的和应等于一次项系数．
18.【答案】解：如图，过点D作DH⊥AC于点H，

在Rt△DCH中，∠C=37°，
∴CH=，
在Rt△DBH中，∠DBH=45°，
∴BH=，
∵BC=CH-BH，
∴-=6，
解得DH≈18，
在Rt△DAH中，∠ADH=26°，
∴AD=≈20．
答：轮船航行的距离AD约为20km．

【解析】过点D作DH⊥AC于点H，根据锐角三角函数即可求出轮船航行的距离AD．
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
19.【答案】解：原式=（+）÷
=•
=．

【解析】先计算括号内异分母分式的加法、将除式分子因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分即可得．
本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20.【答案】证明：在△ABE与△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD．
∴AD=AE．
∴BD=CE．

【解析】要证BD=CE只要证明AD=AE即可，而证明△ABE≌△ACD，则可得AD=AE．
考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．本题得出三角形全等后，再根据全等三角形的性质可得线段相等．
21.【答案】x＜1  0＜x＜2  0＜x＜1

【解析】解：（1）∵反比例函数y=的图象经过点（-2，-1），
∴k=（-2）×（-1）=2；
（2）解不等式组
解：解不等式①，得x＜1．
根据函数y=的图象，得不等式②的解集0＜x＜2．
把不等式①和②的解集在数轴上表示为：

∴不等式组的解集为0＜x＜1，
故答案为：x＜1，0＜x＜2，0＜x＜1．
（1）把点（-2，-1）代入y=即可得到结论；
（2）解不等式组即可得到结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确的理解题意是解题的关键．
22.【答案】2

【解析】解：（1）∵有200个数据，
∴六月份的用电量的中位数应该是第100个和第101个数的平均数，
∴该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第2组内；
故答案为：2；
（2）×10000=7500（户），
答：估计该地1万户居民六月份的用电量低于178kW•h的大约有7500户．
（1）根据中位数的定义即可得到结论；
（2）根据题意列式计算即可得到结论．
本题考查了中位数，用样本估计总体，频数（率）分布表，正确的理解题意是解题的关键．
23.【答案】

【解析】解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：

（1）共有9种可能出现的结果，其中选择A、B的有2种，
∴P（A、B）=；
（2）共有9种可能出现的结果，其中选择景点相同的有3种，
∴P（景点相同）==．
故答案为：．
（1）用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率；
（2）由（1）的列表法，求出两个景点相同的概率．
本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的前提．
24.【答案】证明：（1）∵AC=BC，
∴∠BAC=∠B，
∵DF∥BC，
∴∠ADF=∠B，
∵∠BAC=∠CFD，
∴∠ADF=∠CFD，
∴BD∥CF，
∵DF∥BC，
∴四边形DBCF是平行四边形；


（2）连接AE，
∵∠ADF=∠B，∠ADF=∠AEF，
∴∠AEF=∠B，
∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，
∴∠ECF+∠EAF=180°，
∵BD∥CF，
∴∠ECF+∠B=180°，
∴∠EAF=∠B，
∴∠AEF=∠EAF，
∴AE=EF．

【解析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠BAC=∠B，根据平行线的性质得出∠ADF=∠B，求出∠ADF=∠CFD，根据平行线的判定得出BD∥CF，根据平行四边形的判定得出即可；
（2）求出∠AEF=∠B，根据圆内接四边形的性质得出∠ECF+∠EAF=180°，根据平行线的性质得出∠ECF+∠B=180°，求出∠AEF=∠EAF，根据等腰三角形的判定得出即可．
本题考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定，圆内接四边形，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
25.【答案】250

【解析】解：（1）∵y1=-180x+2250，y2=-10x2-100x+2000，
∴当x=0时，y1=2250，y2=2000，
∴小丽出发时，小明离A地的距离为2250-2000=250（m），
故答案为：250；
（2）设小丽出发第xmin时，两人相距sm，则
s=（-180x+2250）-（-10x2-100x+2000）=10x2-80x+250=10（x-4）2+90，
∴当x=4时，s取得最小值，此时s=90，
答：小丽出发第4min时，两人相距最近，最近距离是90m．
（1）根据题意和函数解析式，可以计算出小丽出发时，小明离A地的距离；
（2）根据题目中的函数解析式和题意，利用二次函数的性质，可以得到小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近，最近距离是多少．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
26.【答案】（1）证明：∵=，
∴=，
∵==，
∴==，
∴△ADC∽△A′D′C，
∴∠A=∠A′，
∵=，
∴△ABC∽△A′B′C′．
故答案为：==，∠A=∠A′．

（2）如图，过点D，D′分别作DE∥BC，D′E′∥B′C′，DE交AC于E，D′E′交A′C′于E′．

∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴==，
同理，==，
∵=，
∴=，
∴=，
同理，=，
∴=，即=，
∴=，
∵==，
∴==，
∴△DCE∽△D′C′E′，
∴∠CED=∠C′E′D′，
∵DE∥BC，
∴∠CED+∠ACB=90°，
同理，∠C′E′D′+∠A′C′B′=180°，
∴∠ACB=∠A′B′C′，
∵=，
∴△ABC∽△A′B′C′．

【解析】（1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．
（2）过点D，D′分别作DE∥BC，D′E′∥B′C′，DE交AC于E，D′E′交A′C′于E′．首先证明△CED∽△C′E′D′，推出∠CED=∠C′E′D′，再证明∠ACB=∠A′C′B′即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
27.【答案】证明：（1）如图②，连接A'C'，
∵点A，点A'关于l对称，点C在l上，
∴CA=CA'，
∴AC+BC=A'C+BC=A'B，
同理可得AC'+C'B=A'C'+BC'，
∵A'B＜A'C'+C'B，
∴AC+BC＜AC'+C'B；
（2）如图③，

在点C出建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB，（其中点D是正方形的顶点）；
如图④，

在点C出建燃气站，铺设管道的最短路线是ACD++EB，（其中CD，BE都与圆相切）

【解析】（1）由轴对称的性质可得CA=CA'，可得AC+BC=A'C+BC=A'B，AC'+C'B=A'C'+BC'，由三角形的三边关系可得A'B＜A'C'+C'B，可得结论；
（2）①由（1）的结论可求；
②由（1）的结论可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，圆的有关知识，轴对称的性质，三角形的三边关系，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．