2020年江苏省南京市中考数学试卷

这是一份2020年江苏省南京市中考数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

南京市 2020年初中学业水平考试
数学
第Ⅰ卷（共 60分）
一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.计算3-(-2)的结果是（ ）
A． -5 B． -1 C．1 D．5
2.3 的平方根是（ ）
A．9 B． 3 C． - 3 D． ± 3
3.计算 (a3 )2 ¸ a2 的结果是（ ）
A．

a B． a4 C． a7 D． a8
3
4.党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到更加突出的位置，根据国家统计局发布的数据，2012 - 2019年
年末全国农村贫困人口的情况如图所示，根据图中提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A． 2019 年末，农村费闲人口比上年末减少551万人
B． 2012 年末至 2019 年来，农村费人口果计减少超过9000万人
C． 2012 年末至 2019 年末，连续 7 年每年农村贫用人口减少1000万人以上
D．为在 2020 年末农村困人口全部脱，今年要确保完成减少551万农村人口的任务
5.关于 x 的方程 (x -1)(x + 2) = r2 （ r 为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
6.如图，在平面直角坐标系中，点 P 在第一象限，QP 与 x 轴、y 轴都相切，且经过矩形 AOBC 的顶点C ，
与 BC 相交于点 D ，若QP 的半径为5 ，点 A 的坐标是(0,8) ，则点 D 的坐标是（ ）
A．(9,2) B． (9,3) C．(10,2) D．(10,3)
第Ⅱ卷（共 90分）
二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）
7.写出一个负数，使这个数的绝对值小于3 ．
8.若式子
1-

1
在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．
x -1
9.纳秒 (ns) 是非常小的时间单位，1ns =10-9 s ，北斗全球导航系统的授时精度优于 20ns ，用科学计数法
表示 20ns 是 ．
3
10.计算 的结果是 ．
3 + 12
ì + y = -1
x 3
11.已知 x 、 y 满足方程组 í
，则 x + y 的值为 ．
2x + y = 3 î
12.方程

x x -1
=
x -1 x + 2

的解是 ．
13.将 一 次 函 数 y = -2x + 4 的 图 象 绕 原 点 O 逆 时 针 旋 转

90 ， 所 得 到 的 图 像 对 应 的 函 数 表 达 式
o
是 ．
14.如图，在边长为 2cm 的正六边形 ABCDEF 中，点 P 在 BC 上，则 DPEF 的面积为 ．
15.如图，线段 AB 、 BC 的垂直平分线 l 相交于点O ，若Ð1= 39o ，则ÐAOC = ．
l 、
1 2
16.下列关于二次函数 y = -(x -m)2 + m2 +1（ m 为常数）的结论，①该函数的图象与函数 y = -x2 的图象
形状相同；②该函数的图象一定经过点 ( 0,1) ；③当 x > 0 时， y 随 x 的增大而减小；④该函数的图象的顶
点在函数 y = x2 +1的图像上，其中所有正确的结论序号是 ．
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第 22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17. 计算：
(a

-1+

1
) ¸
a +1

a
2
a

+ 2a
+1
18. 解方程： x2 -2x -3 = 0
19. 如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上， AB = AC ， ÐB = ÐC ，求证： BD = CE
20. 已知反比例函数

k
y = 的图象经过点 (-2,-1)
x

（1）求 k 的值
（2）完成下面的解答
解不等式组

ì2 -
ï
í k
ï
î x

x
>1
①
>1②
解：解不等式①，得 ．
根据函数

k
y = 的图象，得不等式②得解集 ．
x
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来
从中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 ．
21. 为了了解某地居民的用电量情况，随机抽取了该地 200 户居民六月份的用电量（单位： kW ×h ）进行
调查，整理样本数据得到下面的频数分布表：
组别 用电量分组 频数
1 8 £ x < 93 50
2 93£ x <178 100
3 178 £ x < 263 34
4 263£ x < 348 11
5 348 £ x < 433 1
6 433£ x < 518 1
7 518 £ x < 603 2
8 603£ x < 688 1
根据抽样调查的结果，回答下列问题：
（1）该地这 200 户居民六月份的用电量的中位数落在第 组内
（2）估计该地1万户居民六月份的用电量低于178kW ×h的大约有多少户
22.甲、乙两人分别从 A 、 B 、C 这3 个景点随机选择 2 个景点游览
（1）求甲选择的 2 个景点是 A 、 B 的概率
（2）甲、乙两人选择的 2 个景点恰好相同的概率是
23.如图，在港口 A 处的正东方向有两个相距 6km的观测点 B 、C .一胶轮船从 A 处出发， 北偏东 26o 方
向航行至 D 处， 在 B 、 C 处分别测得 ÐABD = 45o .ÐC = 37o 求轮船航行的距离 AD ， (参考数据：
sin 26o » 0.44 ， cos 26o » 0.90， tan 26o » 0.49 ，sin 37o » 0.60，cos 37o » 0.80， tan 37o » 0.75）
24.如图，在 DABC 中， AC = BC ，D 是 AB 上一点，QO 经过点 A 、C 、D ，交 BC 于点 E ，过点 D 作
DF // BC ，交 QO 于点 F
求证：（1）四边形 DBCF 是平行四边形
（2） AF = EF
25. 小明和小丽先后从 A 地出发同一直道去 B 地， 设小丽出发第 x min 时， 小丽、小明离地的距离分别
1 、 y2m ， y1 与 x 之 间 的 数 表 达 式 y1 = -180x + 2250 ，
为 y m

y 与 x 之 间 的 函 数 表 达 式 是
2
y2 = - x - x + 。
10 2 100 2000
（1）小丽出发时，小明离 A 地的距离为 m .
（2）小丽发至小明到达 B 地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
26.如图，在 DABC 和 DA¢B¢C¢中， D 、 D¢ 分别是 AB 、 A¢B¢上一点，

AD
AB

¢ ¢
A D
= 。
¢ ¢
A B

（1）当

CD
¢ ¢
C D

=

AC
¢ ¢
A C

=

AB
¢ ¢
A B

时，求证： DABC ~ DA¢B¢C¢
证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格
（2）当

CD
¢ ¢
C D

=

AC
¢ ¢
A C

=

BC
¢ ¢
B C

时，判断 DABC 与 DA¢B¢C¢是否相似，并说明理由
27.如图①，要在一条笔直的路边l 上建一个燃气站，向l 同侧的 A 、B 两个城镇分别发铺设管道输送燃气，
试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短。
（1）如图②，作出点 A 关于l 的对称点 A¢，线 A¢B 与直线l 的交点C 的位置即为所求， 即在点C 处建气
站，所得路线 ACB 是最短的，为了让明点C 的位置即为所求，不妨在l 直线上另外任取一点C¢ ，连接 AC¢，
B ¢ ， 证明 AC +CB < AC¢+C¢B ， 请完成这个证明。
C
（2）如果在 A 、B 两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别始出下列两种情形
的铺设管道的方案（不需说明理由），
①生市保护区是正方形区城，位置如图③所示
②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示.
试卷答案
一、选择题
1-5： DDBAC 6： A
二、填空题
7.-1（答案不唯一）
8.x ¹1
9.2´10-8
10.

1
3
11.1
12.
x =

1
4
1 + 13.y = x 2
2
14.2 3
15.78
16.①②④
三、解答题
1 a + 2a
2
(a -1+ ) ¸
a +1 a +1
(a -1)(a +1) +1 a +1
= ×
a +1 a + 2a
2
17.解：
a a +1
2
= ×
a +1 a(a + 2)

=

a

a
+
2
18.解：移项，得 x2 -2x = 3
配方，得 x2 -2x +12 = 3+12
(x -1)2 = 4
由此可得 x -1= ±2
x ， x2 = -1
1 = 3
19.证明：QÐA = ÐA， AC = AB ， ÐC = ÐB
\DACD @ DABE
\AD = AE
\AB - AD = AC - AE
即 BD = CE
20.解（1）因为点 (-2,-1)在反比例函数

k
y = 的图像上
x
所以点 (-2,-1)的坐标满足

y =

k
x

即

- k ，解得 k = 2
1=
- 2
（2） x <1，0 < x < 2， 0 < x <1
21.解（1） 2
50 +100 ´ = （2） 10000 7500
200
因此，估计该地1万户居民六月的用电量低于178kW ×h的大约有 7500 户
22.解（1）甲从 A 、 B 、C 这3 个景点中随机抽取 2 个景点
所有可能出现的结果共有3 种
即 (A, B)、 (A,C) 、 (B,C)
这些结果出现的可能性相等
所有的结果中，满足甲选择的 2 个景点是 A 、 B （记为事件 A ）的结果有1种
即 (A, B)
所以

P(A)

1
3
（2）

1
3
23.解：如图，过点 D 作 DH ^ AC ，垂足为 H
在 RtDDCH 中， ÐC = 37o
Qtan 37
o

=

DH
CH
\CH =

DH
tan 37
o
在 RtDDBH 中， ÐDBH = 45o
Qtan 45o

=

DH
BH
\BH =

DH
tan 45o
QBC = CH - BH
\

DH
tan 37o

-

DH
tan 45o

=

6
\DH »18
在 RtDDAH 中， ÐADH = 26o
Qcos 26
o

=

DH
AD
\ AD =

DH
cos

26o


»

20
因此，轮船航行的距离 AD 约为 20km
24.证明：（1）Q AC = BC
\ÐBAC = ÐB
QDF // BC
\ÐADF = ÐB
又 ÐBAC = ÐCFD
\四边形 DBCF 是平行四边形
（2）如图，连接 AE
QÐADF = ÐB ， ÐADF = ÐAEF
\ÐAEF = ÐB
Q四边形 AECF 是 QO 的内接四边形
\ÐECF +ÐEAF

=180
o
QBD // CF
\ÐECF +ÐB

=180o
\ÐEAF = ÐB
\ÐAEF = ÐEAF
\AF = EF
25.解（1） 250
（2）设小丽出发第 x min 时，两人相距 sm，
则 x = -180+ 2250-(-10x2 -100x + 2000)
即 s =10x2 -80x + 250
其中 0 £ x £10
b -80
因此，当 x = - = - = 4 时
2a 2´10
4 2 2 =
ac -b 4´10´250 - (-80)
s 有最小值， = 90
4a 4´10
也就是说，当小丽出发第 4 min 时，两人相距最近，最近距离是90m
26.解（1）

CD
¢ ¢
C D

=

AC
¢ ¢
A C

=

AD
¢ ¢
A D

；ÐA = ÐA¢
（2）如图，过点 D 、 D¢ 分别作 DE // BC 、 D¢E¢// B¢C¢
DE 交 AC 于点 E ， D¢E¢交 A¢C¢于点 E¢
QDE // BC
\DADE ~ DABC
\

AD = DE =
AB BC

AE
AC

同理：

¢ ¢
A D
¢ ¢
A B

=

¢ ¢
D E
¢ ¢
B C

=

¢ ¢
A C
¢ ¢
A C
又

AD
AB

=

¢ ¢
A D
¢ ¢
A B
\

DE
BC

=

¢ ¢
D E
¢ ¢
B C
\

DE
¢ ¢
D E

=

BC
¢ ¢
B C
同理：

AE
AC

=

¢ ¢
A E
¢ ¢
A C
\

AC -
AE
AC

=

¢ ¢- ¢ ¢
A C A E
¢ ¢
A C
即

EC
AC

=

¢ ¢
E C
¢ ¢
A C
\

EC
¢ ¢
E C

=

AC
¢ ¢
A C
又

CD
¢ ¢
C D

=

AC
¢ ¢
A C

=

BC
¢ ¢
B C
CD
\
¢ ¢
C D

=

DE
¢ ¢
D E

=

EC
¢ ¢
E C
\DDCE ~ DD¢ ¢E¢
C
\ÐCED = C¢E¢D¢
QDE // BC
\ÐCED +ÐACB

=180
o
同理： ÐCED¢+ÐA¢CB¢ =180o
\ÐACB = ÐA¢C¢B¢
又

AC
¢
A C

=

BC
¢ ¢
B C
\DABC ~ DA¢B¢C¢
27.（1）证明：如图①，连接 A¢C
Q点 A 、 A¢关于l 对称，点C 在l 上
CA
\CA = ¢
\AC + = A¢C +CB = A¢B
CB
同理 AC +CB = A¢C +CB = A¢B
A¢ < ¢ ¢+ ¢
Q B A C C B
\AC +CB < AC¢+C¢B
（2）解：①
在点C 处建燃气站，铺设管道的最短路线是 ACDB （如图②，其中 D 是正方形的地顶点）
②在点C 处建燃气站，铺设管道的最短路线是 ACD + DE + EB （如图③，其中CD 、 BE 都与圆相切）