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2021年浙江省宁波市中考数学复习模拟试卷（二）
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这是一份2021年浙江省宁波市中考数学复习模拟试卷（二），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年浙江省宁波市中考数学复习模拟试卷（二）
一、选择题（每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）与2021相加和为零的数是（ ）
A．﹣2021 B． C．0 D．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．2a×3a＝6a C．（a2）3＝a6 D．a2•a3＝a6
3．（4分）小栋画了4个图，分别是矩形，扇形，等边三角形，平行四边形，从这4个图中任取一个，取出的图形是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
4．（4分）由几个相同小立方体搭成的一个几何体及它的主视图如图所示，那么它的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）如图线段AB、DC相交于点O，已知OC＝OB，添加一个条件使△OCA≌△OBD，下列添加条件中，不正确的是（ ）
A．AC＝DB B．∠C＝∠B C．OA＝OD D．∠A＝∠D
6．（4分）一名射击运动员连续打靶8次，命中的环数如图所示，则命中环数的众数与中位数分别为（ ）
A．9环与8环 B．8环与9环 C．8环与8.5环 D．8.5环与9环
7．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
则下列关于该函数的判断中不正确的是（ ）
A．抛物线开口向下
B．抛物线对称轴为直线x＝1
C．当x＝﹣2时的函数值小于x＝5时的函数值
D．当﹣1＜x＜3时，y＞0
8．（4分）某种罐装凉茶一箱的价格为84元，某商场实行促销活动，买一箱送四罐，每罐的价格比原来便宜0.5元．设每箱凉茶有x罐，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（10，0），B（8，0），点C，D是以OA为直径的半圆上两点，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（2，4） C．（1，2） D．（1，3）
10．（4分）如图，△ABC中，∠B＝90°，点E在AC上，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，能求出矩形FEBG面积的条件是已知（ ）
A．△AEF面积与△CEG面积之和
B．△AEF面积与△CEG面积之差
C．△AEF面积与△CEG面积之商
D．△AEF面积与△CEG面积之积
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）一个正多边形的每个内角的度数为144°，则这个多边形的边数是 ．
12．（5分）点（a，a+2）在第二象限，则a的取值范围是 ．
13．（5分）若一个圆锥的底面半径为3，侧面展开图的圆心角为120°，则该圆锥体的侧面积为 ．
14．（5分）如图，一张矩形纸片ABCD，E，F，G，H分别在四条边上，分别沿EF，FG，GH，HE将△BEF，△CFG，△DGH，△AHE折叠，结果点A和点B都落在FH上的点M，点C和点D都落在FH上的点N，得到一个四边形EFGH，已知AH＝12，HD＝5，那么FH的长是 ．
15．（5分）已知关于x的二次函数y＝x2﹣ax+a﹣1的图象与坐标轴有且只有2个公共点，则a＝ ．
16．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，sin∠A＝，将平行四边形ABCD放置在平面直角坐标系中，且AD⊥x轴，点D的横坐标为1，点C的纵坐标为2，恰有一条双曲线y＝（k＞0，x＞0）同时经过B，D两点，则点B的纵坐标是 ．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（8分）先化简，再求值：，其中x＝2021．
18．（8分）已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sinB＝．
求：（1）线段DC的长；
（2）tan∠ACB的值．
19．（8分）现有三块两直角边长分别为1和2的直角三角形纸板，借助下面5×5的网格，用全部纸板分别拼出3个面积为3且周长不同的四边形，并写出相应四边形的周长．
20．（10分）2020年的全球新冠肺炎，使许多国家经济受到严重的打击，我国的疫情也很严重．某记者随机调查了部分市民，发现市民们对新冠肺炎成因所持的观点不一，经对调查结果整理，绘制了如下尚不完全的统计图表．
组别
观点
频数（人数）
A
食用野生动物
160
B
家禽感染人
m
C
牲畜感染人
n
D
有人制造病毒
240
E
其他
120
请根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）求出统计表中m，n的值，并求出扇形统计图中E组所占的百分比；
（2）若宁波市常住人口约有850万人，请你估计其中持D组“观点”的市民人数；
（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽取一人，则此人持C组“观点”的概率是多少？
21．（10分）已知反比例函数y1＝（m≠0）的图象经过点A（﹣7，1），B（﹣1，n）．
（1）填空：m＝ ，n＝ ；
（2）若直线AB的解析式为y2＝kx+b，请根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围；
（3）若P（x，y）为线段AB上一点，⊙P的半径为2，且与坐标轴不相交，求x的取值范围．
22．（10分）用21张长50cm，宽25cm的硬纸板．做长、宽．高分别是15cm，10cm，10cm的长方体盒子（①）．如图②．长方体盒子表面展开图中，4个侧面组成的矩形叫做盒身，用灰色部分表示，2个底面分别用斜线阴影部分表示，硬纸板有如图③的A，B，C三种剪裁方法（边角料不再利用）．
A方法：剪2个盒身：
B方法：剪1个盒身和5个底面；
C方法：剪2个盒身和1个底面（2个灰色部分拼成1个盒身）．
（1）如果只用A、B两种剪裁方法，最多可以做几个盒子？
（2）如果只用B、C两种裁剪方法．最多可以做几个盒子？（直接写出结果）．
23．（12分）我们把三角形三边上的高产生的三个垂足组成的三角形称为该三角形的垂足三角形．
（1）如图1，△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，△DEF是△ABC的垂足三角形，求DE的长．
（2）如图2，圆内接三角形△ABC中，AB＝AC＝x，BC＝6，△ABC的垂足三角形DEF的周长为y．
①求y与x的关系式；
②若△DEF的周长为时，求⊙O的半径．
24．（14分）已知，点A（10，0）B（6，8），点P为线段OA上一动点（不与点A、点O重合），以PA为半径的⊙P与线段AB的另一个交点为C，作CD⊥OB于D（如图1）
（1）求证：CD是⊙P的切线；
（2）求当⊙P与OB相切时⊙P的半径；
（3）在（2）的情况下，设（2）中⊙P与OB的切点为E，连接PB交CD于点F（如图2）
①求CF的长；
②在线段DE上是否存在点G使∠GPF＝45°？若存在，求出EG的长；若不存在，请说明理由．
2021年浙江省宁波市中考数学复习模拟试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）与2021相加和为零的数是（ ）
A．﹣2021 B． C．0 D．
【分析】根据有理数加法法则：相反数相加为0可得答案．
【解答】解：﹣2021+2021＝0．
故选：A．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．2a×3a＝6a C．（a2）3＝a6 D．a2•a3＝a6
【分析】直接利用合并同类项法则、单项式乘法、幂的乘方以及同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：选项A：a2和a3不是同类项，不能合并，不符合题意；
选项B：2a×3a＝6a2，不符合题意；
选项C：（a2）3＝a2×3＝a6，符合题意；
选项D：a2•a3＝a2+3＝a5，不符合题意；
故选：C．
3．（4分）小栋画了4个图，分别是矩形，扇形，等边三角形，平行四边形，从这4个图中任取一个，取出的图形是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：从矩形，扇形，等边三角形，平行四边形这4个图中任取一个共有4种等可能结果，其中取出的图形是中心对称图形的有矩形，平行四边形这2种结果，
所以取出的图形是中心对称图形的概率是＝，
故选：B．
4．（4分）由几个相同小立方体搭成的一个几何体及它的主视图如图所示，那么它的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上面看，是左边3个正方形，右边2个正方形，
故选：D．
5．（4分）如图线段AB、DC相交于点O，已知OC＝OB，添加一个条件使△OCA≌△OBD，下列添加条件中，不正确的是（ ）
A．AC＝DB B．∠C＝∠B C．OA＝OD D．∠A＝∠D
【分析】根据全等三角形的判定定理，对每个选项分别分析、解答出即可；
【解答】解：根据题意，已知OC＝OB，∠AOC＝∠COB，
∴只需添加对顶角的邻边，即OA＝OD，
或任意一组对应角，即∠C＝∠B，∠A＝∠D；
所以，选项A错误；
故选：A．
6．（4分）一名射击运动员连续打靶8次，命中的环数如图所示，则命中环数的众数与中位数分别为（ ）
A．9环与8环 B．8环与9环 C．8环与8.5环 D．8.5环与9环
【分析】根据众数的定义找出出现次数最多的数；根据中位数的定义求出最中间两个数的平均数即可．
【解答】解：根据统计图可得：
8出现了3次，出现的次数最多，
则众数是8；
∵共有8个数，
∴中位数是第4和5个数的平均数，
∴中位数是（8+9）÷2＝8.5；
故选：C．
7．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
则下列关于该函数的判断中不正确的是（ ）
A．抛物线开口向下
B．抛物线对称轴为直线x＝1
C．当x＝﹣2时的函数值小于x＝5时的函数值
D．当﹣1＜x＜3时，y＞0
【分析】根据x＝1时的函数值最大判断出抛物线的开口方向；根据表格数据判断出函数图象关于直线x＝1，再根据函数的对称性可知当x＝﹣2时的函数值与x＝4时的函数值相同，并求出y＝0时的x的值，从而得解．
【解答】解：A、由图表数据可知x＝1时，y＝4最大，
所以，抛物线开口向下，正确，故本选项错误；
B、∵x＝0和x＝2时的函数值都是3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，正确，故本选项错误；
C、由图表数据可知，当x＝﹣2时的函数值与x＝4时的函数值相同，
∵x＞1时，y随x的增大而减小，
∴当x＝﹣2时的函数值应大于x＝5时的函数值，故本选项正确；
D、根据对称性，x＝﹣1和x＝3时的函数值y＝0，
所以当﹣1＜x＜3时，y＞0，正确，故本选项错误．
故选：C．
8．（4分）某种罐装凉茶一箱的价格为84元，某商场实行促销活动，买一箱送四罐，每罐的价格比原来便宜0.5元．设每箱凉茶有x罐，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据凉茶一箱的价格为84元，某商场实行促销活动，买一箱送四罐，每罐的价格比原来便宜0.5元，可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
＝0.5，
故选：B．
9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（10，0），B（8，0），点C，D是以OA为直径的半圆上两点，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（2，4） C．（1，2） D．（1，3）
【分析】设以OA为直径的半圆的圆心为M，过点C作CE⊥OA于E，过点M作MF⊥CD于F，连接MC，得出CF＝4，MC＝5，四边形CEMF为矩形，易求OE＝1，由勾股定理即可求得MF，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形OCDB是平行四边形，点B的坐标为（8，0），
∴CD∥OA，CD＝OB＝8，
设以OA为直径的半圆的圆心为M，过点C作CE⊥OA于E，过点M作MF⊥CD于F，连接MC，如图所示：
则CF＝CD＝4，MC＝OA＝5，四边形CEMF为矩形，
∴ME＝CF＝4，
∵A（10，0），
∴OA＝10，OM＝5，
∴OE＝OM﹣ME＝5﹣4＝1，
在Rt△CMF中，由勾股定理得：MF＝＝＝3，
∴点C的坐标为（1，3），
故选：D．
10．（4分）如图，△ABC中，∠B＝90°，点E在AC上，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，能求出矩形FEBG面积的条件是已知（ ）
A．△AEF面积与△CEG面积之和
B．△AEF面积与△CEG面积之差
C．△AEF面积与△CEG面积之商
D．△AEF面积与△CEG面积之积
【分析】根据矩形的判定定理得到四边形EFBG是矩形，根据平行线的性质得到∠AEF＝∠C，∠A＝∠CEG，根据相似三角形的性质得到AF•CG＝EF•EG，由三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵∠B＝90°，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，
∴∠B＝∠EFB＝∠EGB＝90°，
∴四边形EFBG是矩形，
∴EF∥BC，EG∥AB，
∴∠AEF＝∠C，∠A＝∠CEG，
∴△AEF∽△CEG，
∴，
∴AF•CG＝EF•EG，
∵S△AEF＝AF•EF，S△CEG＝EG•CG，
∴S△AEF•S△CEG＝AF•EF•EG•CG＝（EF•CG）2，
∴矩形FEBG面积＝4S△AEF•S△CEG，
∴求出矩形FEBG面积的条件是已知△AEF面积与△CEG面积之积，
故选：D．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）一个正多边形的每个内角的度数为144°，则这个多边形的边数是 10 ．
【分析】设这个正多边形的边数为n，根据n边形的内角和为（n﹣2）×180°得到（n﹣2）×180°＝144°×n，然后解方程即可．
【解答】解：设这个正多边形的边数为n，
∴（n﹣2）×180°＝144°×n，
∴n＝10．
故答案为：10．
12．（5分）点（a，a+2）在第二象限，则a的取值范围是 ﹣2＜a＜0 ．
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组求解即可．
【解答】解：∵点（a，a+2）在第二象限，
∴，
解得﹣2＜a＜0．
故答案为：﹣2＜a＜0．
13．（5分）若一个圆锥的底面半径为3，侧面展开图的圆心角为120°，则该圆锥体的侧面积为 18π ．
【分析】设侧面展开图所得扇形的半径为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2π•3＝，解得R＝9，然后根据扇形面积公式求解．
【解答】解：设侧面展开图所得扇形的半径为R，
根据题意得2π•3＝，解得R＝9，
所以该圆锥体的侧面积＝•2π•2•9＝18π．
故答案为18π．
14．（5分）如图，一张矩形纸片ABCD，E，F，G，H分别在四条边上，分别沿EF，FG，GH，HE将△BEF，△CFG，△DGH，△AHE折叠，结果点A和点B都落在FH上的点M，点C和点D都落在FH上的点N，得到一个四边形EFGH，已知AH＝12，HD＝5，那么FH的长是 17 ．
【分析】由折叠的性质可得∠AHE＝∠FHE，AH＝HM＝12，HD＝HN＝5，∠DHG＝∠GHN，∠A＝∠EMH＝∠C＝∠FNG＝90°，由“AAS”可证△EHM≌△GFN，可得HM＝FN＝12，即可求解．
【解答】解：由折叠可知：∠AHE＝∠FHE，AH＝HM＝12，HD＝HN＝5，∠DHG＝∠GHN，∠A＝∠EMH＝∠C＝∠FNG＝90°，
∵∠AHE+∠EHF+∠GHN+∠DHG＝180°，
∴∠EHG＝90°，
同理可得∠HEF＝∠EFG＝∠HGF＝90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∴EH＝FG，EH∥FG，
∴∠EHF＝∠GFH，
在△EHM和△GFN中，
，
∴△EHM≌△GFN（AAS），
∴HM＝FN＝12，
∴FH＝FN+NH＝17，
故答案为17．
15．（5分）已知关于x的二次函数y＝x2﹣ax+a﹣1的图象与坐标轴有且只有2个公共点，则a＝ 1或2 ．
【分析】当a＝1时，y＝x2﹣ax+a﹣1＝x2﹣x，该函数与坐标轴有2个交点，当a≠1时，图象与坐标轴有且只有2个公共点，则△＝（﹣a）2﹣4（a﹣1）＝0，即可求解．
【解答】解：当a＝1时，y＝x2﹣ax+a﹣1＝x2﹣x，
该函数与坐标轴有2个交点，
当a≠1时，图象与坐标轴有且只有2个公共点，
则△＝（﹣a）2﹣4（a﹣1）＝0，解得a＝2，
故答案为1或2．
16．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，sin∠A＝，将平行四边形ABCD放置在平面直角坐标系中，且AD⊥x轴，点D的横坐标为1，点C的纵坐标为2，恰有一条双曲线y＝（k＞0，x＞0）同时经过B，D两点，则点B的纵坐标是 ．
【分析】连接DB，作BH⊥AD于H，DE⊥BC于E，如图，先利用三角函数的定义得到sin∠A＝＝，设BD＝4t，则AD＝5t，AB＝3t，BH＝t，再利用平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC＝5t，CD＝AB＝3t，接着计算出CE＝t，然后表示出B（1+t，2﹣5t），k＝2﹣t，再利用反比例函数图象上点的坐标特征得到2﹣t＝（1+t）（2﹣5t），解方程求出t即可求得点B的纵坐标．
【解答】解：连接DB，作BH⊥AD于H，DE⊥BC于E，如图，
∵AB⊥BD，
∴∠ABD＝90°，
在Rt△ABD中，sin∠A＝＝，
设BD＝4t，则AD＝5t，
∴AB＝＝3t，
在Rt△ABH中，sin∠A＝＝，
∴BH＝•3t＝t，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝5t，CD＝AB＝3t，
而AD⊥x轴，
∴BC⊥x轴，
在Rt△CDE中，CE＝＝＝t，
∴D（1，k），点C的纵坐标为2，
∴B（1+t，2﹣5t），k＝2﹣t，
∵双曲线y＝（k＞0，x＞0）同时经过B，D两点，
∵1•k＝（1+t）（2﹣5t），即2﹣t＝（1+t）（2﹣5t），
整理得15t2﹣2t＝0，解得t1＝0（舍去），t2＝，
∴2﹣5t＝2﹣5×＝，
故答案为．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（8分）先化简，再求值：，其中x＝2021．
【分析】根据分式的减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
当x＝2021时，原式＝＝．
18．（8分）已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sinB＝．
求：（1）线段DC的长；
（2）tan∠ACB的值．
【分析】（1）根据sinB＝，求得AB＝15，由勾股定理得BD＝9，从而计算出CD；
（2）再利用三角函数，求出tan∠ACB的值即可．
【解答】解：（1）∵AD是BC上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵sinB＝，AD＝12，
∴AB＝15，
∴BD＝，
∵BC＝14，
∴DC＝BC﹣BD＝14﹣9＝5；
（2）由（1）知，CD＝5，AD＝12，
∴tan∠ACB＝＝．
19．（8分）现有三块两直角边长分别为1和2的直角三角形纸板，借助下面5×5的网格，用全部纸板分别拼出3个面积为3且周长不同的四边形，并写出相应四边形的周长．
【分析】根据题意设计出不同形状的四边形进而利用勾股定理求出周长即可．
【解答】解；如图所示：
20．（10分）2020年的全球新冠肺炎，使许多国家经济受到严重的打击，我国的疫情也很严重．某记者随机调查了部分市民，发现市民们对新冠肺炎成因所持的观点不一，经对调查结果整理，绘制了如下尚不完全的统计图表．
组别
观点
频数（人数）
A
食用野生动物
160
B
家禽感染人
m
C
牲畜感染人
n
D
有人制造病毒
240
E
其他
120
请根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）求出统计表中m，n的值，并求出扇形统计图中E组所占的百分比；
（2）若宁波市常住人口约有850万人，请你估计其中持D组“观点”的市民人数；
（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽取一人，则此人持C组“观点”的概率是多少？
【分析】（1）根据A组有160人，所占的百分比是20%，求得调查的总人数，然后根据百分比的意义求得m的值，再用调查的总人数减去A、B、D、E四个组的人数得到n的值，最后用E组的人数除以总人数得出扇形统计图中E组所占的百分比；
（2）利用850万乘以样本中持D组“观点”的市民所占的百分比即可；
（3）用样本中C组的人数除以调查的总人数即可．
【解答】解：（1）调查的总人数是：160÷20%＝800（人），
则m＝800×10%＝80，
n＝800﹣160﹣80﹣240﹣120＝200，
扇形统计图中E组所占百分比是：×100%＝15%；
（2）估计其中持D组“观点”的市民人数：850×＝255（万）；
（3）随机抽查一人，则此人持C组“观点”的概率是：＝．
21．（10分）已知反比例函数y1＝（m≠0）的图象经过点A（﹣7，1），B（﹣1，n）．
（1）填空：m＝ ﹣7 ，n＝ 7 ；
（2）若直线AB的解析式为y2＝kx+b，请根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围；
（3）若P（x，y）为线段AB上一点，⊙P的半径为2，且与坐标轴不相交，求x的取值范围．
【分析】（1）由点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出m值，由点B的横坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出n值；
（2）观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系，即可找出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围；
（3）根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式，由点P的坐标结合⊙P的半径为2且与坐标轴不相交，可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【解答】解：（1）∵反比例函数y1＝（m≠0）的图象经过点A（﹣7，1），
∴1＝，
∴m＝﹣7，
∴反比例函数的解析式为y1＝﹣．
∵反比例函数y1＝﹣的图象经过点B（﹣1，n），
∴n＝﹣＝7．
故答案为：﹣7；7．
（2）观察函数图象可知：当x＜﹣7或﹣1＜x＜0时，反比例函数图象在直线的上方，
∴反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围为x＜﹣7或﹣1＜x＜0．
（3）将A（﹣7，1），B（﹣1，7）代入y2＝kx+b得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y2＝x+8．
∵点P（x，y）为线段AB上一点，⊙P的半径为2，且与坐标轴不相交，
∴，即，
解得：﹣6＜x＜﹣2．
22．（10分）用21张长50cm，宽25cm的硬纸板．做长、宽．高分别是15cm，10cm，10cm的长方体盒子（①）．如图②．长方体盒子表面展开图中，4个侧面组成的矩形叫做盒身，用灰色部分表示，2个底面分别用斜线阴影部分表示，硬纸板有如图③的A，B，C三种剪裁方法（边角料不再利用）．
A方法：剪2个盒身：
B方法：剪1个盒身和5个底面；
C方法：剪2个盒身和1个底面（2个灰色部分拼成1个盒身）．
（1）如果只用A、B两种剪裁方法，最多可以做几个盒子？
（2）如果只用B、C两种裁剪方法．最多可以做几个盒子？（直接写出结果）．
【分析】（1）设裁剪时x张用A方法，则（21﹣x）张用B方法，根据盒身与盒底正好配套列出方程即可得解；
（2）根据B和C的裁剪方法和矩形的展开图可得答案．
【解答】解：（1）①设裁剪时x张用A方法，则（21﹣x）张用B方法，
则盒身共有2x+（21﹣x）＝x+21（个），
盒底共有5（21﹣x）个；
②盒身与盒底正好配套时，做的盒子最多，
所以5（21﹣x）＝2（x+21），
解得，x＝9，
答：最多可以做9个盒子．
（2）①由题意得，盒身有3个，盒底有6个，正好做3个盒子．
②由①可知，1张硬纸板用B的方法裁剪，1张硬纸板用的方法裁剪，得到的盒身与盒底正好配套，做3个盒子；
因此用10张硬纸板用B的方法裁剪，10张硬纸板用C的方法裁剪，正好配套，做30个盒子；
剩余1张，用B方法裁剪可做1个盒子，剩余3个盒底；而用C方法裁剪做不成盒子；
因此11张用B方法裁剪，10张硬纸板用的方法裁剪，共做出31个盒子．
23．（12分）我们把三角形三边上的高产生的三个垂足组成的三角形称为该三角形的垂足三角形．
（1）如图1，△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，△DEF是△ABC的垂足三角形，求DE的长．
（2）如图2，圆内接三角形△ABC中，AB＝AC＝x，BC＝6，△ABC的垂足三角形DEF的周长为y．
①求y与x的关系式；
②若△DEF的周长为时，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据直角三角形的性质可得答案；
（2）①如图，连接CE，同理（1）可得DE＝BD＝DF＝3，然后根据相似三角形的判定与性质得AE的长，再次根据相似三角形的判定与性质可得答案；②连接AD，BO，设⊙O的半径为r，根据勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴D是BC的中点，又∠BEC是直角，
∴DE＝BC＝3．
（2）①如图，连接CE，同理（1）可得DE＝BD＝DF＝3，
∴∠B＝∠BED＝∠ACB，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
∴BE＝，
∴AE＝x﹣，
同理可得：AF＝x﹣，
∴AE＝AF，
∵AB＝AC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴EF＝6﹣，
∴y＝12﹣；
②当y＝时，x＝5，
如图，连接AD，
∵AB＝AC，
∴△ABC的外心O在线段AD上，连接BO，
设⊙O的半径为r，则32+（4﹣r）2＝r2，
∴r＝，
即⊙O的半径为．
24．（14分）已知，点A（10，0）B（6，8），点P为线段OA上一动点（不与点A、点O重合），以PA为半径的⊙P与线段AB的另一个交点为C，作CD⊥OB于D（如图1）
（1）求证：CD是⊙P的切线；
（2）求当⊙P与OB相切时⊙P的半径；
（3）在（2）的情况下，设（2）中⊙P与OB的切点为E，连接PB交CD于点F（如图2）
①求CF的长；
②在线段DE上是否存在点G使∠GPF＝45°？若存在，求出EG的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）如图1，连接PC，过B作BN⊥x轴于点N．欲证CD是⊙P的切线，只需证明PC⊥CD即可；
（2）如图2，过B作BN⊥x轴于点N，设圆P的半径为r．根据切线的性质知PE⊥OE，所以在Rt△OPE和Rt△OBN中，利用∠BON的正弦函数的定义列出关于r的比例式＝，由此可以求得r的值；
（3）①如图3，由正方形PCDE的四条边相等知DE＝DC＝r，则BD＝OB﹣OE﹣DE．然后将其代入相似三角形（△BDF∽△PCF）的对应边成比例的比例式＝中，从而求得CF的值；
②假设在线段DE上是否存在点G使∠GPF＝45°．如图4所示，在线段DE上截取EQ＝EG．通过相似三角形：△GQP∽△BDP
，的对应边成比例求得BD＝，然后将相关线段的长度代入该比例式来求线段EG的长度．
【解答】解：（1）连接PC，过B作BN⊥x轴于点N．
∵PC＝PA（⊙P的半径），
∴∠1＝∠2（等边对等角）．
∵A（10，0），B（6，8），
∴OA＝10，BN＝8，ON＝6，
∴在Rt△OBN中，OB＝＝10（勾股定理），
∴OA＝OB，
∴∠OBA＝∠1（等边对等角），
∴∠OBA＝∠2（等量代换），
∴PC∥OB（同位角相等，两直线平行）．
∵CD⊥OB，
∴CD⊥PC，
∴CD为⊙P的切线；
（2）如图2，过B作BN⊥x轴于点N，设圆P的半径为r．
∵⊙P与OB相切于点E，则OB⊥PE，OA＝10，
∴在Rt△OPE中，sin∠EOP＝＝，
在Rt△OBN中，sin∠BON＝＝＝，
∴＝，
解得：r＝；
（3）①如图3，∵由（2）知r＝，
∴在Rt△OPE中，OE＝＝＝（勾股定理），
∵∠PCD＝∠CDE＝∠PED＝90°，
∴四边形PCDE是矩形．
又∵PE＝PC（⊙O的半径），
∴矩形PCDE是正方形，
∴DE＝DC＝r＝，
∴BD＝OB﹣OE﹣DE＝10﹣﹣＝．
∵∠BFD＝∠PFC，∠PEO＝∠PCF＝90°，
∴△BDF∽△PCF，
∴＝，即＝，
解得，CF＝，即CF的长度是；
②假设在线段DE上是否存在点G使∠GPF＝45°．
如图4所示，在线段EP上截取EQ＝EG．
∵OB⊥PE，
∴∠GQE＝45°，
∴∠GQP＝135°．
∵四边形PCDE是正方形，
∴PD＝PC＝，∠EPD＝∠PDC＝45°，
∴∠2+∠3＝45°．
∵∠FPG＝45°，
∴∠1+∠2＝45°
∴∠1＝∠3
∵∠BDP＝∠BDC+∠PDC＝90°+45°＝135°
∴∠GQP＝∠BDP
∴△GQP∽△BDP
∴＝
∵OE＝，DE＝，OB＝10，
∴BD＝OB﹣ED﹣OE＝．
设EG＝a，则GQ＝a，PQ＝PE﹣EQ＝﹣a，
∴＝，
解得，a＝，即EG的长度是．
2021年浙江省宁波市中考数学复习模拟试卷（二）
一、选择题（每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）与2021相加和为零的数是（ ）
A．﹣2021 B． C．0 D．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．2a×3a＝6a C．（a2）3＝a6 D．a2•a3＝a6
3．（4分）小栋画了4个图，分别是矩形，扇形，等边三角形，平行四边形，从这4个图中任取一个，取出的图形是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
4．（4分）由几个相同小立方体搭成的一个几何体及它的主视图如图所示，那么它的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）如图线段AB、DC相交于点O，已知OC＝OB，添加一个条件使△OCA≌△OBD，下列添加条件中，不正确的是（ ）
A．AC＝DB B．∠C＝∠B C．OA＝OD D．∠A＝∠D
6．（4分）一名射击运动员连续打靶8次，命中的环数如图所示，则命中环数的众数与中位数分别为（ ）
A．9环与8环 B．8环与9环 C．8环与8.5环 D．8.5环与9环
7．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
则下列关于该函数的判断中不正确的是（ ）
A．抛物线开口向下
B．抛物线对称轴为直线x＝1
C．当x＝﹣2时的函数值小于x＝5时的函数值
D．当﹣1＜x＜3时，y＞0
8．（4分）某种罐装凉茶一箱的价格为84元，某商场实行促销活动，买一箱送四罐，每罐的价格比原来便宜0.5元．设每箱凉茶有x罐，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（10，0），B（8，0），点C，D是以OA为直径的半圆上两点，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（2，4） C．（1，2） D．（1，3）
10．（4分）如图，△ABC中，∠B＝90°，点E在AC上，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，能求出矩形FEBG面积的条件是已知（ ）
A．△AEF面积与△CEG面积之和
B．△AEF面积与△CEG面积之差
C．△AEF面积与△CEG面积之商
D．△AEF面积与△CEG面积之积
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）一个正多边形的每个内角的度数为144°，则这个多边形的边数是 ．
12．（5分）点（a，a+2）在第二象限，则a的取值范围是 ．
13．（5分）若一个圆锥的底面半径为3，侧面展开图的圆心角为120°，则该圆锥体的侧面积为 ．
14．（5分）如图，一张矩形纸片ABCD，E，F，G，H分别在四条边上，分别沿EF，FG，GH，HE将△BEF，△CFG，△DGH，△AHE折叠，结果点A和点B都落在FH上的点M，点C和点D都落在FH上的点N，得到一个四边形EFGH，已知AH＝12，HD＝5，那么FH的长是 ．
15．（5分）已知关于x的二次函数y＝x2﹣ax+a﹣1的图象与坐标轴有且只有2个公共点，则a＝ ．
16．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，sin∠A＝，将平行四边形ABCD放置在平面直角坐标系中，且AD⊥x轴，点D的横坐标为1，点C的纵坐标为2，恰有一条双曲线y＝（k＞0，x＞0）同时经过B，D两点，则点B的纵坐标是 ．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（8分）先化简，再求值：，其中x＝2021．
18．（8分）已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sinB＝．
求：（1）线段DC的长；
（2）tan∠ACB的值．
19．（8分）现有三块两直角边长分别为1和2的直角三角形纸板，借助下面5×5的网格，用全部纸板分别拼出3个面积为3且周长不同的四边形，并写出相应四边形的周长．
20．（10分）2020年的全球新冠肺炎，使许多国家经济受到严重的打击，我国的疫情也很严重．某记者随机调查了部分市民，发现市民们对新冠肺炎成因所持的观点不一，经对调查结果整理，绘制了如下尚不完全的统计图表．
组别
观点
频数（人数）
A
食用野生动物
160
B
家禽感染人
m
C
牲畜感染人
n
D
有人制造病毒
240
E
其他
120
请根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）求出统计表中m，n的值，并求出扇形统计图中E组所占的百分比；
（2）若宁波市常住人口约有850万人，请你估计其中持D组“观点”的市民人数；
（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽取一人，则此人持C组“观点”的概率是多少？
21．（10分）已知反比例函数y1＝（m≠0）的图象经过点A（﹣7，1），B（﹣1，n）．
（1）填空：m＝ ，n＝ ；
（2）若直线AB的解析式为y2＝kx+b，请根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围；
（3）若P（x，y）为线段AB上一点，⊙P的半径为2，且与坐标轴不相交，求x的取值范围．
22．（10分）用21张长50cm，宽25cm的硬纸板．做长、宽．高分别是15cm，10cm，10cm的长方体盒子（①）．如图②．长方体盒子表面展开图中，4个侧面组成的矩形叫做盒身，用灰色部分表示，2个底面分别用斜线阴影部分表示，硬纸板有如图③的A，B，C三种剪裁方法（边角料不再利用）．
A方法：剪2个盒身：
B方法：剪1个盒身和5个底面；
C方法：剪2个盒身和1个底面（2个灰色部分拼成1个盒身）．
（1）如果只用A、B两种剪裁方法，最多可以做几个盒子？
（2）如果只用B、C两种裁剪方法．最多可以做几个盒子？（直接写出结果）．
23．（12分）我们把三角形三边上的高产生的三个垂足组成的三角形称为该三角形的垂足三角形．
（1）如图1，△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，△DEF是△ABC的垂足三角形，求DE的长．
（2）如图2，圆内接三角形△ABC中，AB＝AC＝x，BC＝6，△ABC的垂足三角形DEF的周长为y．
①求y与x的关系式；
②若△DEF的周长为时，求⊙O的半径．
24．（14分）已知，点A（10，0）B（6，8），点P为线段OA上一动点（不与点A、点O重合），以PA为半径的⊙P与线段AB的另一个交点为C，作CD⊥OB于D（如图1）
（1）求证：CD是⊙P的切线；
（2）求当⊙P与OB相切时⊙P的半径；
（3）在（2）的情况下，设（2）中⊙P与OB的切点为E，连接PB交CD于点F（如图2）
①求CF的长；
②在线段DE上是否存在点G使∠GPF＝45°？若存在，求出EG的长；若不存在，请说明理由．
2021年浙江省宁波市中考数学复习模拟试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）与2021相加和为零的数是（ ）
A．﹣2021 B． C．0 D．
【分析】根据有理数加法法则：相反数相加为0可得答案．
【解答】解：﹣2021+2021＝0．
故选：A．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．2a×3a＝6a C．（a2）3＝a6 D．a2•a3＝a6
【分析】直接利用合并同类项法则、单项式乘法、幂的乘方以及同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：选项A：a2和a3不是同类项，不能合并，不符合题意；
选项B：2a×3a＝6a2，不符合题意；
选项C：（a2）3＝a2×3＝a6，符合题意；
选项D：a2•a3＝a2+3＝a5，不符合题意；
故选：C．
3．（4分）小栋画了4个图，分别是矩形，扇形，等边三角形，平行四边形，从这4个图中任取一个，取出的图形是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：从矩形，扇形，等边三角形，平行四边形这4个图中任取一个共有4种等可能结果，其中取出的图形是中心对称图形的有矩形，平行四边形这2种结果，
所以取出的图形是中心对称图形的概率是＝，
故选：B．
4．（4分）由几个相同小立方体搭成的一个几何体及它的主视图如图所示，那么它的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上面看，是左边3个正方形，右边2个正方形，
故选：D．
5．（4分）如图线段AB、DC相交于点O，已知OC＝OB，添加一个条件使△OCA≌△OBD，下列添加条件中，不正确的是（ ）
A．AC＝DB B．∠C＝∠B C．OA＝OD D．∠A＝∠D
【分析】根据全等三角形的判定定理，对每个选项分别分析、解答出即可；
【解答】解：根据题意，已知OC＝OB，∠AOC＝∠COB，
∴只需添加对顶角的邻边，即OA＝OD，
或任意一组对应角，即∠C＝∠B，∠A＝∠D；
所以，选项A错误；
故选：A．
6．（4分）一名射击运动员连续打靶8次，命中的环数如图所示，则命中环数的众数与中位数分别为（ ）
A．9环与8环 B．8环与9环 C．8环与8.5环 D．8.5环与9环
【分析】根据众数的定义找出出现次数最多的数；根据中位数的定义求出最中间两个数的平均数即可．
【解答】解：根据统计图可得：
8出现了3次，出现的次数最多，
则众数是8；
∵共有8个数，
∴中位数是第4和5个数的平均数，
∴中位数是（8+9）÷2＝8.5；
故选：C．
7．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
则下列关于该函数的判断中不正确的是（ ）
A．抛物线开口向下
B．抛物线对称轴为直线x＝1
C．当x＝﹣2时的函数值小于x＝5时的函数值
D．当﹣1＜x＜3时，y＞0
【分析】根据x＝1时的函数值最大判断出抛物线的开口方向；根据表格数据判断出函数图象关于直线x＝1，再根据函数的对称性可知当x＝﹣2时的函数值与x＝4时的函数值相同，并求出y＝0时的x的值，从而得解．
【解答】解：A、由图表数据可知x＝1时，y＝4最大，
所以，抛物线开口向下，正确，故本选项错误；
B、∵x＝0和x＝2时的函数值都是3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，正确，故本选项错误；
C、由图表数据可知，当x＝﹣2时的函数值与x＝4时的函数值相同，
∵x＞1时，y随x的增大而减小，
∴当x＝﹣2时的函数值应大于x＝5时的函数值，故本选项正确；
D、根据对称性，x＝﹣1和x＝3时的函数值y＝0，
所以当﹣1＜x＜3时，y＞0，正确，故本选项错误．
故选：C．
8．（4分）某种罐装凉茶一箱的价格为84元，某商场实行促销活动，买一箱送四罐，每罐的价格比原来便宜0.5元．设每箱凉茶有x罐，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据凉茶一箱的价格为84元，某商场实行促销活动，买一箱送四罐，每罐的价格比原来便宜0.5元，可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
＝0.5，
故选：B．
9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（10，0），B（8，0），点C，D是以OA为直径的半圆上两点，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（2，4） C．（1，2） D．（1，3）
【分析】设以OA为直径的半圆的圆心为M，过点C作CE⊥OA于E，过点M作MF⊥CD于F，连接MC，得出CF＝4，MC＝5，四边形CEMF为矩形，易求OE＝1，由勾股定理即可求得MF，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形OCDB是平行四边形，点B的坐标为（8，0），
∴CD∥OA，CD＝OB＝8，
设以OA为直径的半圆的圆心为M，过点C作CE⊥OA于E，过点M作MF⊥CD于F，连接MC，如图所示：
则CF＝CD＝4，MC＝OA＝5，四边形CEMF为矩形，
∴ME＝CF＝4，
∵A（10，0），
∴OA＝10，OM＝5，
∴OE＝OM﹣ME＝5﹣4＝1，
在Rt△CMF中，由勾股定理得：MF＝＝＝3，
∴点C的坐标为（1，3），
故选：D．
10．（4分）如图，△ABC中，∠B＝90°，点E在AC上，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，能求出矩形FEBG面积的条件是已知（ ）
A．△AEF面积与△CEG面积之和
B．△AEF面积与△CEG面积之差
C．△AEF面积与△CEG面积之商
D．△AEF面积与△CEG面积之积
【分析】根据矩形的判定定理得到四边形EFBG是矩形，根据平行线的性质得到∠AEF＝∠C，∠A＝∠CEG，根据相似三角形的性质得到AF•CG＝EF•EG，由三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵∠B＝90°，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，
∴∠B＝∠EFB＝∠EGB＝90°，
∴四边形EFBG是矩形，
∴EF∥BC，EG∥AB，
∴∠AEF＝∠C，∠A＝∠CEG，
∴△AEF∽△CEG，
∴，
∴AF•CG＝EF•EG，
∵S△AEF＝AF•EF，S△CEG＝EG•CG，
∴S△AEF•S△CEG＝AF•EF•EG•CG＝（EF•CG）2，
∴矩形FEBG面积＝4S△AEF•S△CEG，
∴求出矩形FEBG面积的条件是已知△AEF面积与△CEG面积之积，
故选：D．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）一个正多边形的每个内角的度数为144°，则这个多边形的边数是 10 ．
【分析】设这个正多边形的边数为n，根据n边形的内角和为（n﹣2）×180°得到（n﹣2）×180°＝144°×n，然后解方程即可．
【解答】解：设这个正多边形的边数为n，
∴（n﹣2）×180°＝144°×n，
∴n＝10．
故答案为：10．
12．（5分）点（a，a+2）在第二象限，则a的取值范围是 ﹣2＜a＜0 ．
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组求解即可．
【解答】解：∵点（a，a+2）在第二象限，
∴，
解得﹣2＜a＜0．
故答案为：﹣2＜a＜0．
13．（5分）若一个圆锥的底面半径为3，侧面展开图的圆心角为120°，则该圆锥体的侧面积为 18π ．
【分析】设侧面展开图所得扇形的半径为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2π•3＝，解得R＝9，然后根据扇形面积公式求解．
【解答】解：设侧面展开图所得扇形的半径为R，
根据题意得2π•3＝，解得R＝9，
所以该圆锥体的侧面积＝•2π•2•9＝18π．
故答案为18π．
14．（5分）如图，一张矩形纸片ABCD，E，F，G，H分别在四条边上，分别沿EF，FG，GH，HE将△BEF，△CFG，△DGH，△AHE折叠，结果点A和点B都落在FH上的点M，点C和点D都落在FH上的点N，得到一个四边形EFGH，已知AH＝12，HD＝5，那么FH的长是 17 ．
【分析】由折叠的性质可得∠AHE＝∠FHE，AH＝HM＝12，HD＝HN＝5，∠DHG＝∠GHN，∠A＝∠EMH＝∠C＝∠FNG＝90°，由“AAS”可证△EHM≌△GFN，可得HM＝FN＝12，即可求解．
【解答】解：由折叠可知：∠AHE＝∠FHE，AH＝HM＝12，HD＝HN＝5，∠DHG＝∠GHN，∠A＝∠EMH＝∠C＝∠FNG＝90°，
∵∠AHE+∠EHF+∠GHN+∠DHG＝180°，
∴∠EHG＝90°，
同理可得∠HEF＝∠EFG＝∠HGF＝90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∴EH＝FG，EH∥FG，
∴∠EHF＝∠GFH，
在△EHM和△GFN中，
，
∴△EHM≌△GFN（AAS），
∴HM＝FN＝12，
∴FH＝FN+NH＝17，
故答案为17．
15．（5分）已知关于x的二次函数y＝x2﹣ax+a﹣1的图象与坐标轴有且只有2个公共点，则a＝ 1或2 ．
【分析】当a＝1时，y＝x2﹣ax+a﹣1＝x2﹣x，该函数与坐标轴有2个交点，当a≠1时，图象与坐标轴有且只有2个公共点，则△＝（﹣a）2﹣4（a﹣1）＝0，即可求解．
【解答】解：当a＝1时，y＝x2﹣ax+a﹣1＝x2﹣x，
该函数与坐标轴有2个交点，
当a≠1时，图象与坐标轴有且只有2个公共点，
则△＝（﹣a）2﹣4（a﹣1）＝0，解得a＝2，
故答案为1或2．
16．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，sin∠A＝，将平行四边形ABCD放置在平面直角坐标系中，且AD⊥x轴，点D的横坐标为1，点C的纵坐标为2，恰有一条双曲线y＝（k＞0，x＞0）同时经过B，D两点，则点B的纵坐标是 ．
【分析】连接DB，作BH⊥AD于H，DE⊥BC于E，如图，先利用三角函数的定义得到sin∠A＝＝，设BD＝4t，则AD＝5t，AB＝3t，BH＝t，再利用平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC＝5t，CD＝AB＝3t，接着计算出CE＝t，然后表示出B（1+t，2﹣5t），k＝2﹣t，再利用反比例函数图象上点的坐标特征得到2﹣t＝（1+t）（2﹣5t），解方程求出t即可求得点B的纵坐标．
【解答】解：连接DB，作BH⊥AD于H，DE⊥BC于E，如图，
∵AB⊥BD，
∴∠ABD＝90°，
在Rt△ABD中，sin∠A＝＝，
设BD＝4t，则AD＝5t，
∴AB＝＝3t，
在Rt△ABH中，sin∠A＝＝，
∴BH＝•3t＝t，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝5t，CD＝AB＝3t，
而AD⊥x轴，
∴BC⊥x轴，
在Rt△CDE中，CE＝＝＝t，
∴D（1，k），点C的纵坐标为2，
∴B（1+t，2﹣5t），k＝2﹣t，
∵双曲线y＝（k＞0，x＞0）同时经过B，D两点，
∵1•k＝（1+t）（2﹣5t），即2﹣t＝（1+t）（2﹣5t），
整理得15t2﹣2t＝0，解得t1＝0（舍去），t2＝，
∴2﹣5t＝2﹣5×＝，
故答案为．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（8分）先化简，再求值：，其中x＝2021．
【分析】根据分式的减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
当x＝2021时，原式＝＝．
18．（8分）已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sinB＝．
求：（1）线段DC的长；
（2）tan∠ACB的值．
【分析】（1）根据sinB＝，求得AB＝15，由勾股定理得BD＝9，从而计算出CD；
（2）再利用三角函数，求出tan∠ACB的值即可．
【解答】解：（1）∵AD是BC上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵sinB＝，AD＝12，
∴AB＝15，
∴BD＝，
∵BC＝14，
∴DC＝BC﹣BD＝14﹣9＝5；
（2）由（1）知，CD＝5，AD＝12，
∴tan∠ACB＝＝．
19．（8分）现有三块两直角边长分别为1和2的直角三角形纸板，借助下面5×5的网格，用全部纸板分别拼出3个面积为3且周长不同的四边形，并写出相应四边形的周长．
【分析】根据题意设计出不同形状的四边形进而利用勾股定理求出周长即可．
【解答】解；如图所示：
20．（10分）2020年的全球新冠肺炎，使许多国家经济受到严重的打击，我国的疫情也很严重．某记者随机调查了部分市民，发现市民们对新冠肺炎成因所持的观点不一，经对调查结果整理，绘制了如下尚不完全的统计图表．
组别
观点
频数（人数）
A
食用野生动物
160
B
家禽感染人
m
C
牲畜感染人
n
D
有人制造病毒
240
E
其他
120
请根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）求出统计表中m，n的值，并求出扇形统计图中E组所占的百分比；
（2）若宁波市常住人口约有850万人，请你估计其中持D组“观点”的市民人数；
（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽取一人，则此人持C组“观点”的概率是多少？
【分析】（1）根据A组有160人，所占的百分比是20%，求得调查的总人数，然后根据百分比的意义求得m的值，再用调查的总人数减去A、B、D、E四个组的人数得到n的值，最后用E组的人数除以总人数得出扇形统计图中E组所占的百分比；
（2）利用850万乘以样本中持D组“观点”的市民所占的百分比即可；
（3）用样本中C组的人数除以调查的总人数即可．
【解答】解：（1）调查的总人数是：160÷20%＝800（人），
则m＝800×10%＝80，
n＝800﹣160﹣80﹣240﹣120＝200，
扇形统计图中E组所占百分比是：×100%＝15%；
（2）估计其中持D组“观点”的市民人数：850×＝255（万）；
（3）随机抽查一人，则此人持C组“观点”的概率是：＝．
21．（10分）已知反比例函数y1＝（m≠0）的图象经过点A（﹣7，1），B（﹣1，n）．
（1）填空：m＝ ﹣7 ，n＝ 7 ；
（2）若直线AB的解析式为y2＝kx+b，请根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围；
（3）若P（x，y）为线段AB上一点，⊙P的半径为2，且与坐标轴不相交，求x的取值范围．
【分析】（1）由点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出m值，由点B的横坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出n值；
（2）观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系，即可找出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围；
（3）根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式，由点P的坐标结合⊙P的半径为2且与坐标轴不相交，可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【解答】解：（1）∵反比例函数y1＝（m≠0）的图象经过点A（﹣7，1），
∴1＝，
∴m＝﹣7，
∴反比例函数的解析式为y1＝﹣．
∵反比例函数y1＝﹣的图象经过点B（﹣1，n），
∴n＝﹣＝7．
故答案为：﹣7；7．
（2）观察函数图象可知：当x＜﹣7或﹣1＜x＜0时，反比例函数图象在直线的上方，
∴反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围为x＜﹣7或﹣1＜x＜0．
（3）将A（﹣7，1），B（﹣1，7）代入y2＝kx+b得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y2＝x+8．
∵点P（x，y）为线段AB上一点，⊙P的半径为2，且与坐标轴不相交，
∴，即，
解得：﹣6＜x＜﹣2．
22．（10分）用21张长50cm，宽25cm的硬纸板．做长、宽．高分别是15cm，10cm，10cm的长方体盒子（①）．如图②．长方体盒子表面展开图中，4个侧面组成的矩形叫做盒身，用灰色部分表示，2个底面分别用斜线阴影部分表示，硬纸板有如图③的A，B，C三种剪裁方法（边角料不再利用）．
A方法：剪2个盒身：
B方法：剪1个盒身和5个底面；
C方法：剪2个盒身和1个底面（2个灰色部分拼成1个盒身）．
（1）如果只用A、B两种剪裁方法，最多可以做几个盒子？
（2）如果只用B、C两种裁剪方法．最多可以做几个盒子？（直接写出结果）．
【分析】（1）设裁剪时x张用A方法，则（21﹣x）张用B方法，根据盒身与盒底正好配套列出方程即可得解；
（2）根据B和C的裁剪方法和矩形的展开图可得答案．
【解答】解：（1）①设裁剪时x张用A方法，则（21﹣x）张用B方法，
则盒身共有2x+（21﹣x）＝x+21（个），
盒底共有5（21﹣x）个；
②盒身与盒底正好配套时，做的盒子最多，
所以5（21﹣x）＝2（x+21），
解得，x＝9，
答：最多可以做9个盒子．
（2）①由题意得，盒身有3个，盒底有6个，正好做3个盒子．
②由①可知，1张硬纸板用B的方法裁剪，1张硬纸板用的方法裁剪，得到的盒身与盒底正好配套，做3个盒子；
因此用10张硬纸板用B的方法裁剪，10张硬纸板用C的方法裁剪，正好配套，做30个盒子；
剩余1张，用B方法裁剪可做1个盒子，剩余3个盒底；而用C方法裁剪做不成盒子；
因此11张用B方法裁剪，10张硬纸板用的方法裁剪，共做出31个盒子．
23．（12分）我们把三角形三边上的高产生的三个垂足组成的三角形称为该三角形的垂足三角形．
（1）如图1，△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，△DEF是△ABC的垂足三角形，求DE的长．
（2）如图2，圆内接三角形△ABC中，AB＝AC＝x，BC＝6，△ABC的垂足三角形DEF的周长为y．
①求y与x的关系式；
②若△DEF的周长为时，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据直角三角形的性质可得答案；
（2）①如图，连接CE，同理（1）可得DE＝BD＝DF＝3，然后根据相似三角形的判定与性质得AE的长，再次根据相似三角形的判定与性质可得答案；②连接AD，BO，设⊙O的半径为r，根据勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴D是BC的中点，又∠BEC是直角，
∴DE＝BC＝3．
（2）①如图，连接CE，同理（1）可得DE＝BD＝DF＝3，
∴∠B＝∠BED＝∠ACB，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
∴BE＝，
∴AE＝x﹣，
同理可得：AF＝x﹣，
∴AE＝AF，
∵AB＝AC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴EF＝6﹣，
∴y＝12﹣；
②当y＝时，x＝5，
如图，连接AD，
∵AB＝AC，
∴△ABC的外心O在线段AD上，连接BO，
设⊙O的半径为r，则32+（4﹣r）2＝r2，
∴r＝，
即⊙O的半径为．
24．（14分）已知，点A（10，0）B（6，8），点P为线段OA上一动点（不与点A、点O重合），以PA为半径的⊙P与线段AB的另一个交点为C，作CD⊥OB于D（如图1）
（1）求证：CD是⊙P的切线；
（2）求当⊙P与OB相切时⊙P的半径；
（3）在（2）的情况下，设（2）中⊙P与OB的切点为E，连接PB交CD于点F（如图2）
①求CF的长；
②在线段DE上是否存在点G使∠GPF＝45°？若存在，求出EG的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）如图1，连接PC，过B作BN⊥x轴于点N．欲证CD是⊙P的切线，只需证明PC⊥CD即可；
（2）如图2，过B作BN⊥x轴于点N，设圆P的半径为r．根据切线的性质知PE⊥OE，所以在Rt△OPE和Rt△OBN中，利用∠BON的正弦函数的定义列出关于r的比例式＝，由此可以求得r的值；
（3）①如图3，由正方形PCDE的四条边相等知DE＝DC＝r，则BD＝OB﹣OE﹣DE．然后将其代入相似三角形（△BDF∽△PCF）的对应边成比例的比例式＝中，从而求得CF的值；
②假设在线段DE上是否存在点G使∠GPF＝45°．如图4所示，在线段DE上截取EQ＝EG．通过相似三角形：△GQP∽△BDP
，的对应边成比例求得BD＝，然后将相关线段的长度代入该比例式来求线段EG的长度．
【解答】解：（1）连接PC，过B作BN⊥x轴于点N．
∵PC＝PA（⊙P的半径），
∴∠1＝∠2（等边对等角）．
∵A（10，0），B（6，8），
∴OA＝10，BN＝8，ON＝6，
∴在Rt△OBN中，OB＝＝10（勾股定理），
∴OA＝OB，
∴∠OBA＝∠1（等边对等角），
∴∠OBA＝∠2（等量代换），
∴PC∥OB（同位角相等，两直线平行）．
∵CD⊥OB，
∴CD⊥PC，
∴CD为⊙P的切线；
（2）如图2，过B作BN⊥x轴于点N，设圆P的半径为r．
∵⊙P与OB相切于点E，则OB⊥PE，OA＝10，
∴在Rt△OPE中，sin∠EOP＝＝，
在Rt△OBN中，sin∠BON＝＝＝，
∴＝，
解得：r＝；
（3）①如图3，∵由（2）知r＝，
∴在Rt△OPE中，OE＝＝＝（勾股定理），
∵∠PCD＝∠CDE＝∠PED＝90°，
∴四边形PCDE是矩形．
又∵PE＝PC（⊙O的半径），
∴矩形PCDE是正方形，
∴DE＝DC＝r＝，
∴BD＝OB﹣OE﹣DE＝10﹣﹣＝．
∵∠BFD＝∠PFC，∠PEO＝∠PCF＝90°，
∴△BDF∽△PCF，
∴＝，即＝，
解得，CF＝，即CF的长度是；
②假设在线段DE上是否存在点G使∠GPF＝45°．
如图4所示，在线段EP上截取EQ＝EG．
∵OB⊥PE，
∴∠GQE＝45°，
∴∠GQP＝135°．
∵四边形PCDE是正方形，
∴PD＝PC＝，∠EPD＝∠PDC＝45°，
∴∠2+∠3＝45°．
∵∠FPG＝45°，
∴∠1+∠2＝45°
∴∠1＝∠3
∵∠BDP＝∠BDC+∠PDC＝90°+45°＝135°
∴∠GQP＝∠BDP
∴△GQP∽△BDP
∴＝
∵OE＝，DE＝，OB＝10，
∴BD＝OB﹣ED﹣OE＝．
设EG＝a，则GQ＝a，PQ＝PE﹣EQ＝﹣a，
∴＝，
解得，a＝，即EG的长度是．
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