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2021年浙江省宁波市海曙区中考数学模拟试卷（解析版）
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这是一份2021年浙江省宁波市海曙区中考数学模拟试卷（解析版），共28页。
2021年浙江省宁波市海曙区中考数学模拟试卷
一．选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．（4分）在下列实数中，属于无理数的是（ ）
A． B． C．3.14 D．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a4•a2＝a8 B．a4+a2＝a6 C．（a4）2＝a8 D．（2a）2＝2a2
3．（4分）如图，直线a∥b∥c，等腰直角△ABC的三个顶点分别在直线a，b，c上（A为直角顶点），若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
4．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（4分）如图是由若干个完全相同的正方体搭成的几何体，取走选项序号对应的正方体，其中三视图不会发生变化的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．（4分）某校在疫情期间，要求学生每日早上测量体温，九年级1班一位同学连续一周的体温情况如下表：
日期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
体温（℃）
36.2
36.2
36.5
36.3
36.2
36.4
36.3
则该名同学这一周体温数据的众数和中位数分别是（ ）
A．36.3℃，36.2℃ B．36.2℃，36.3℃
C．36.2℃，36.2℃ D．36.2℃，36.4℃
7．（4分）将某个图形的各个顶点的横坐标都减去2，纵坐标保持不变，可将该图形（ ）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位
8．（4分）《九章算术》第一章“方田”中讲述了扇形面积的计算方法：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大致意思为：现有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田面积为（ ）
A．平方步 B．平方步 C．120平方步 D．240平方步
9．（4分）点Q是y轴上一点，以Q为圆心作一个圆，已知圆上的A（m，n），B（m+4，n），C（l，p），D（l+8，p）四点均在抛物线y＝图象上，则该圆的半径为（ ）
A． B．5 C． D．6
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，点F为边AD上一点，过F作EF∥AB交边BC于点E，P为边AB上一点，PH⊥DE交线段DE于H，交线段EF于Q，连接DQ．当AF＝AB时，要求阴影部分的面积，只需知道下列某条线段的长，该线段是（ ）
A．EF B．DE C．PH D．PE
二．填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）要使二次根式有意义，则x的取值范围为 ．
12．（5分）箱子里装有仅颜色不同的4个白球和2个红球，任取一个球结果是红球的概率是 ．
13．（5分）已知方程组，则y的值为 ．
14．（5分）如图，各网格中四个数之间都有相同的规律，则第9个网格中右下角的数为 ．
15．（5分）已知关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+3与反比例函数y＝，甲说：“二次函数图象一定过第一象限的一个定点．”乙说：“二次函数的顶点及这个定点都在反比例函数图象上．”根据甲、乙两人的描述，可确定a的值为 ．
16．（5分）如图，点A，B分别是反比例函数y＝（a＞0，x＞0）和y＝（b＜0，x＜0）图象上的点，且AB∥x轴，点C在x轴的正半轴上，连接AC交反比例函数y＝（a＞0，x＞0）的图象于点D，已知S△BOD＝20，S△COD＝8，AD＝2CD，则a﹣b的值为 ．
三．解答题（本大题共8小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）已知x2﹣5x﹣＝0，求代数式2x2﹣10x﹣的值；
（2）化简：﹣．
18．（8分）如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC＝4m．
（1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高AC；
（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？
19．（8分）如图，在8×4的正方形网格中，按△ABC的形状要求，分别找出格点C，且使BC＝5，并且直接写出对应三角形的面积．
20．（10分）由于新冠疫情影响，2021年宁波市体育中心取消了游泳选测项目，除了必测项目中长跑外，将所有选测项目分为3类，其中A（技巧类）：篮球运球，足球运球、跳绳；B（力量类）：引体向上/仰卧起坐、实心球；C（速度灵敏类）：50米、立定跳远．学生在报名时，从A、B、C三大类体育项目中，选择自己最擅长的两类项目，每个类别只能选择一个项目参加测试．为了解每个学生两个项目的选择情况，随机抽取了部分九年级学生进行调查，将获得的数据整理绘制成统计图（部分信息未给出）：
由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求抽取的九年级学生总数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“50米”选项所对应的圆心角α的度数；
（3）如果某区九年级的学生共有20000人，根据以上数据，试估计这20000人中选择C类项目的人数．
21．（10分）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝20，∠C＝90°，点O为AB边上一点，⊙O切边AC于点D，设CD＝x，⊙O的半径为y．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当y＝5时，求⊙O在BC边上截得的线段EF的长．
22．（10分）A市计划对本市215万人接种新冠疫苗，在前期完成5万人接种后，又花了100天时间接种了剩下的210万人．在这100天中，该市的接种时间和接种人数的关系如图所示，已知这100天中该市前a天每天接种人数是a天后每天接种人数的2倍．
（1）求a的值；
（2）这100天中，B市的接种人数y（万人）与接种天数x（天）的关系为y＝x2+x，
①请通过计算判断，第a天接种完成后，B市的接种人数是否超过A市？
②第几天接种完成后，A，B两市接种人数恰好相同？
23．（12分）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，M是AB的中点，过B作BD∥AC，交CM的延长线于点D．求证：AC＝BD；
【尝试应用】（2）在（1）的情况下，在线段CM上取点E（如图2），已知BE＝AC＝，CE＝2，EM＝4，求tanD；
【拓展提高】（3）如图3，菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且CP＝2AP，点E为线段DP上一点，BE＝BC．若PE＝2，PD＝3，求菱形ABCD的边长．
24．（14分）定义：如果有一个四边形有一个外角等于它的内对角的2倍，那么称这个四边形为外倍角四边形．
（1）若外倍角四边形ABCD中，∠A＝100°，∠D＝140°，请直接写出∠B的度数；
（2）如图1，在△ABC中，边AB，BC上分别取点D，E，使得DE＝DB，△ADE的外接圆⊙O交边AC于点F，连接EF．求证：四边形ABEF是外倍角四边形；
（3）在（2）的条件下，如图2，若AD是⊙O的直径，∠ACB＝90°，CF＝BD，＝．
①求cos∠CFE；
②若DE＝1，求AF•BE的值．
2021年浙江省宁波市海曙区中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．（4分）在下列实数中，属于无理数的是（ ）
A． B． C．3.14 D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、，是无理数，故本选项符合题意；
故选：D．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a4•a2＝a8 B．a4+a2＝a6 C．（a4）2＝a8 D．（2a）2＝2a2
【分析】根据幂的乘方与积的乘方分别计算判断即可．
【解答】解：A、a4•a2＝a6，故错误；
B、a4+a2不是同类项，不能合并，故错误；
C、（a4）2＝a8，正确；
D、（2a）2＝4a2，故错误．
故选：C．
3．（4分）如图，直线a∥b∥c，等腰直角△ABC的三个顶点分别在直线a，b，c上（A为直角顶点），若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】由等腰直角三角形的性质得出∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，由平行线的性质得出∠3＝∠1＝20°，根据角的和差即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，
∵a∥b，∠1＝20°，
∴∠3＝∠1＝20°，
∴∠2＝∠ABC﹣∠3＝45°﹣20°＝25°，
故选：C．
4．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
【解答】解：，
由①得x＞﹣2，
由②得x≤1，
不等式组的解集为﹣2＜x≤1．
故选：B．
5．（4分）如图是由若干个完全相同的正方体搭成的几何体，取走选项序号对应的正方体，其中三视图不会发生变化的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】根据三视图的定义，可得答案．
【解答】解：A、取走①，主视图会发生变化，故本选项不合题意；
B、取走②，俯视图会发生变化，故本选项不合题意；
C、取走③，主视图和俯视图都会发生变化，故本选项不合题意；
D、取走④，三视图不会发生变化，故本选项符合题意；
故选：D．
6．（4分）某校在疫情期间，要求学生每日早上测量体温，九年级1班一位同学连续一周的体温情况如下表：
日期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
体温（℃）
36.2
36.2
36.5
36.3
36.2
36.4
36.3
则该名同学这一周体温数据的众数和中位数分别是（ ）
A．36.3℃，36.2℃ B．36.2℃，36.3℃
C．36.2℃，36.2℃ D．36.2℃，36.4℃
【分析】根据众数和中位数的定义求解可得．
【解答】解：因为36.2℃出现了3次，出现的次数最多，则这一周体温数据的众数是36.2℃；
将这组数据重新排列为36.2℃、36.2℃、36.2℃、36.3℃、36.3℃、36.4℃、36.5℃，
则中位数为36.3℃，
故选：B．
7．（4分）将某个图形的各个顶点的横坐标都减去2，纵坐标保持不变，可将该图形（ ）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位
【分析】纵坐标不变则函数图象不会上下移动，横坐标减2，则说明函数图象向左移动2个单位．
【解答】解：由于图象各顶点的横坐标都减去2，
故图象只向左移动2个单位，
故选：A．
8．（4分）《九章算术》第一章“方田”中讲述了扇形面积的计算方法：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大致意思为：现有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田面积为（ ）
A．平方步 B．平方步 C．120平方步 D．240平方步
【分析】先求出扇形所在圆的半径，再根据扇形的面积公式求出答案即可．
【解答】解：∵扇形所在圆的直径是16步，
∴扇形所在圆的半径是8步，
∵弧长是30步，
∴扇形的面积是＝120（平方步），
即这块田面积为120平方步，
故选：C．
9．（4分）点Q是y轴上一点，以Q为圆心作一个圆，已知圆上的A（m，n），B（m+4，n），C（l，p），D（l+8，p）四点均在抛物线y＝图象上，则该圆的半径为（ ）
A． B．5 C． D．6
【分析】根据题意求得A（﹣2，2），B（2，2），C（﹣4，8），D（4，8），即可求得AB∥CD，AB与CD之间的距离是6，设圆心Q到弦AB的距离为d，然后根据勾股定理得到关于d的方程，解得d的值，进而即可求得圆的半径．
【解答】解：∵A（m，n），B（m+4，n），C（l，p），D（l+8，p）四点均在抛物线y＝图象上，
∴m+m+4＝0，l+l+8＝0，
∴m＝﹣2，l＝4，
∴A（﹣2，2），B（2，2），C（﹣4，8），D（4，8），
∴AB∥CD，AB与CD之间的距离是6，
设圆心Q到弦AB的距离为d，
①当AB、CD在圆心Q的两侧时，则圆心Q到弦CD的距离为6﹣d，
∴22+d2＝42+（6﹣d）2，
解得d＝4，
∴该圆的半径为：＝＝2；
①当AB、CD在圆心Q的同侧时，则圆心Q到弦CD的距离为d﹣6，
∴22+d2＝42+（d﹣6）2，
解得d＝4，（不合题意），
故选：A．
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，点F为边AD上一点，过F作EF∥AB交边BC于点E，P为边AB上一点，PH⊥DE交线段DE于H，交线段EF于Q，连接DQ．当AF＝AB时，要求阴影部分的面积，只需知道下列某条线段的长，该线段是（ ）
A．EF B．DE C．PH D．PE
【分析】过点P作PM⊥EF于点M，由“ASA”可证△PMQ≌△DCE，可得PQ＝DE，由面积关系可求解．
【解答】解：过点P作PM⊥EF于点M，如图：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥DC，AD∥BC，∠C＝90°，
∵EF∥AB，
∴EF∥DC，
∴∠EDC＝∠DEF，
∵PH⊥DE，PM⊥EF，
∴∠PMQ＝∠EHQ＝90°，
又∵∠PQM＝∠EQH，
∴∠QPM＝∠DEF＝∠EDC，
在△PMQ和△DCE中，
，
∴△PMQ≌△DCE（ASA），
∴PQ＝DE，
∴阴影部分的面积＝S△PDE﹣S△QED＝×DE×PH﹣DE×QH＝DE2，
∴故选：B．
二．填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）要使二次根式有意义，则x的取值范围为 x≥8 ．
【分析】直接利用二次根式的定义得出答案．
【解答】解：要使二次根式有意义，
则x﹣8≥0，
解得：x≥8．
故答案为：x≥8．
12．（5分）箱子里装有仅颜色不同的4个白球和2个红球，任取一个球结果是红球的概率是 ．
【分析】根据概率公式求解．
【解答】解：∵从箱子里任意摸出1个球有6种等可能结果，其中是红球的有2种结果，
∴是红球的概率是＝，
故答案为：．
13．（5分）已知方程组，则y的值为 ﹣1 ．
【分析】应用加减消元法，求出y的值是多少即可．
【解答】解：，
①﹣②，可得2y＝﹣2，
解得y＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．（5分）如图，各网格中四个数之间都有相同的规律，则第9个网格中右下角的数为 119 ．
【分析】从图中观察出各个格子中的数据的规律，找出第九个格子的各个数字即可．
【解答】解：由图中的数字可知，
左上角的数字是一些连续的正整数，从1开始，
左下角的数字是对应的左上角的数据加2，右上角的数字是对应的左下角的数字加1，
右下角的数字是左下角的数字与右上角的数字乘积再加左上角数字的和，故第9个正方形中的左上角的数字是9，
左下角的数字是11，右上角的数字是10，右下角的数字是：10×11+9＝119；
故答案为：119．
15．（5分）已知关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+3与反比例函数y＝，甲说：“二次函数图象一定过第一象限的一个定点．”乙说：“二次函数的顶点及这个定点都在反比例函数图象上．”根据甲、乙两人的描述，可确定a的值为 ﹣3 ．
【分析】根据二次函数过定点，则与a的取值无关，得出定点和顶点再进行解答．
【解答】解：∵二次函数图象一定过第一象限的一个定点，
∴x2﹣2x＝0，
∴x1＝0，x2＝2，
∴过第一象限的定点为（2，3），
且顶点为（1，3﹣a），
∵二次函数的顶点及这个定点都在反比例函数图象上，
∴3﹣a＝6，
∴a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
16．（5分）如图，点A，B分别是反比例函数y＝（a＞0，x＞0）和y＝（b＜0，x＜0）图象上的点，且AB∥x轴，点C在x轴的正半轴上，连接AC交反比例函数y＝（a＞0，x＞0）的图象于点D，已知S△BOD＝20，S△COD＝8，AD＝2CD，则a﹣b的值为 24 ．
【分析】延长BD交x轴交于点M，连接OA，根据相似三角形的性质和同高三角形的面积比的关系得出S△ABD＝8，S△AOD＝16，再根据k的几何意义以及面积的和差得出结论．
【解答】解：延长BD交x轴交于点M，连接OA，
∵AB∥x轴，
∴△ABD∽△CMD，
∴，
∵AD＝2CD，
∴BD＝2MD，S△ABD＝4S△DCM．
∴S△BOD：S△ODM＝2：1，
∵S△BOD＝20，
∴S△ODM＝10，
∵S△COD＝8，
∴S△DCM＝2，
∴S△ABD＝8，
∵AD＝2CD，S△COD＝8，
∴S△AOD＝16，
∴S△AOB＝S△ABD+S△BOD﹣S△AOD
＝8+20﹣16
＝12，
∵点A，B分别是反比例函数y＝（a＞0，x＞0）和y＝（b＜0，x＜0）图象上的点，且AB∥x轴，
∴S△AOB＝＝12，
∴a﹣b＝24．
故答案为：24．
三．解答题（本大题共8小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）已知x2﹣5x﹣＝0，求代数式2x2﹣10x﹣的值；
（2）化简：﹣．
【分析】（1）直接结合已知得出x2﹣5x＝，再把原式变形得出答案；
（2）直接将分式分子与分母分解因式，进而化简得出答案．
【解答】解：（1）∵x2﹣5x﹣＝0，
∴x2﹣5x＝，
∴2x2﹣10x﹣
＝2（x2﹣5x）﹣
＝2×﹣
＝；
（2）原式＝﹣
＝
＝．
18．（8分）如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC＝4m．
（1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高AC；
（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？
【分析】（1）直接利用同一时刻太阳光下影长与物体高度成比例进而得出答案；
（2）直接利用锐角三角函数关系得出∠ABC的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得：
＝，
解得：AC＝2（m），
答：滑梯的高AC为2m；
（2）∵tan∠ABC＝＝＝＜tan30°＝，
∴∠ABC＜30°，
∴这架滑梯的倾斜角符合安全要求．
19．（8分）如图，在8×4的正方形网格中，按△ABC的形状要求，分别找出格点C，且使BC＝5，并且直接写出对应三角形的面积．
【分析】利用勾股定理按△ABC的形状要求，分别找出格点C，画出△ABC，根据正方形网格的特点计算出对应三角形的面积即可．
【解答】解：如图：
钝角三角形的面积：×5×4＝10；
直角三角形的面积：×5×5＝12.5；
钝角三角形的面积：×6×4＝12．
故答案为：10，12.5，12．
20．（10分）由于新冠疫情影响，2021年宁波市体育中心取消了游泳选测项目，除了必测项目中长跑外，将所有选测项目分为3类，其中A（技巧类）：篮球运球，足球运球、跳绳；B（力量类）：引体向上/仰卧起坐、实心球；C（速度灵敏类）：50米、立定跳远．学生在报名时，从A、B、C三大类体育项目中，选择自己最擅长的两类项目，每个类别只能选择一个项目参加测试．为了解每个学生两个项目的选择情况，随机抽取了部分九年级学生进行调查，将获得的数据整理绘制成统计图（部分信息未给出）：
由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求抽取的九年级学生总数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“50米”选项所对应的圆心角α的度数；
（3）如果某区九年级的学生共有20000人，根据以上数据，试估计这20000人中选择C类项目的人数．
【分析】（1）先求出总人数，再分别求出跳绳、立定跳远的人数，然后补全统计图即可；
（2）用360°乘以“50米”的人数所占的百分比即可；
（3）用总人数乘以选择C类项目的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）2÷2.5%＝80（人），
则抽取的九年级学生总人数有：80÷2＝40（人），
跳绳的人数有：80×＝30（人），
立定跳远的人数有：80﹣8﹣2﹣30﹣15﹣7﹣12＝6（人），补全统计图如下：
（2）扇形统计图中“50米”选项所对应的圆心角α的度数是360°×＝27°；
（3）20000×＝9000（人），
答：这20000人中选择C类项目的人数有9000人．
21．（10分）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝20，∠C＝90°，点O为AB边上一点，⊙O切边AC于点D，设CD＝x，⊙O的半径为y．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当y＝5时，求⊙O在BC边上截得的线段EF的长．
【分析】（1）连接OD，如图，根据切线的性质得到OD⊥AC，再证明△AOD∽△ABC，利用相似比得到＝，从而得到y与x的关系式；
（2）先利用函数关系式求出y＝5时对应的x的值得到CD＝3，作OH⊥BC于H，连接OE，如图，根据垂径定理得到EH＝FH，易得四边形ODCH为矩形，所以OH＝CD＝3，然后利用勾股定理计算出HE，从而得到EF的长．
【解答】解：（1）连接OD，如图，
∵⊙O切边AC于点D，
∴OD⊥AC，
∵∠C＝90°，
∴BC⊥AC，
∴OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴y＝﹣5x+20；
（2）当y＝5时，﹣5x+20＝5，解得x＝3，即CD＝3，
作OH⊥BC于H，连接OE，如图，则EH＝FH，
∵∠ODC＝∠C＝∠OHC＝90°，
∴四边形ODCH为矩形，
∴OH＝CD＝3，
在Rt△OEH中，HE＝＝＝4，
∴EF＝2HE＝8．
22．（10分）A市计划对本市215万人接种新冠疫苗，在前期完成5万人接种后，又花了100天时间接种了剩下的210万人．在这100天中，该市的接种时间和接种人数的关系如图所示，已知这100天中该市前a天每天接种人数是a天后每天接种人数的2倍．
（1）求a的值；
（2）这100天中，B市的接种人数y（万人）与接种天数x（天）的关系为y＝x2+x，
①请通过计算判断，第a天接种完成后，B市的接种人数是否超过A市？
②第几天接种完成后，A，B两市接种人数恰好相同？
【分析】（1）根据“这100天中该市前a天每天接种人数是a天后每天接种人数的2倍“列出关于a的分式方程，解方程并检验即可；
（2）①把（1）中所得的a的值代入y＝x2+x，求得y值，与125比较即可得出答案；②由题意前40天B市接种人数少于A市，由待定系数法求得当40≤x≤100时A市接种人数的函数关系式，结合y＝x2+x可得关于x的一元二次方程，解方程并根据x的取值范围作出取舍即可．
【解答】解：（1）＝2×，
解得a＝40，
经检验a是原方程的根，
∴a的值为40；
（2）①把a＝40代入y＝x2+x，
得y＝×402+×40＝86＜125，
答：第a天接种完成后，B市的接种人数没有超过A市；
②由题意前40天B市接种人数少于A市，
设A市接种人数与时间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（40，125），（100，215）代入，得：，
解得：，
∴y＝x+65（40≤x≤100），
∴当A，B两市接种人数恰好相同时，x+65＝x2+x，
解得：x1＝﹣25（舍去），x2＝52，
答：第52天接种完成后，A，B两市接种人数恰好相同．
23．（12分）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，M是AB的中点，过B作BD∥AC，交CM的延长线于点D．求证：AC＝BD；
【尝试应用】（2）在（1）的情况下，在线段CM上取点E（如图2），已知BE＝AC＝，CE＝2，EM＝4，求tanD；
【拓展提高】（3）如图3，菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且CP＝2AP，点E为线段DP上一点，BE＝BC．若PE＝2，PD＝3，求菱形ABCD的边长．
【分析】（1）证明△AMC≌△BMD（AAS），即可求解；
（2）过点B作BH⊥CD于点H，得到CM＝DM＝CE+EM＝6，BE＝AC＝BD＝，进而求解；
（3）证明∠CEF＝90°，设菱形ABCD的边长为x，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）∵M是AB的中点，则AM＝BM，
∵BD∥AC，
∴∠ABD＝∠A，
∵∠AMC＝∠BMD，
∴△AMC≌△BMD（AAS），
∴AC＝BD；
（2）过点B作BH⊥CD于点H，
由（1）得，CM＝DM＝CE+EM＝6，
∴BE＝AC＝BD＝，
则EH＝HD＝5，
在Rt△BDH中，BH＝＝＝3，
∴tanD＝；
（3）连接CE，延长DP交CB的延长线于点F，交AB于点G，
∵AG∥CD，
∴△CPD∽△APG，
∴，即AG＝CD＝AB，
即点G是AB的中点，
由（1）知，△AGD≌△BGF（AAS），
∴AD＝BF，PD＝2PG＝1+2＝3，GD＝GF，
∴BE＝BF＝BC，
∴∠CEF＝90°，
设菱形ABCD的边长为x，
在Rt△DEC中，CE2＝CD2﹣ED2＝x2﹣1，
∵PD＝2PG＝1+2＝3，则PG＝1.5，则DG＝PD+PG＝4.5，则DF＝2DG＝9，
∴EF＝PD﹣DE＝9﹣1＝8，
在Rt△CEF中，CE2＝CF2﹣EF2，即x2﹣1＝4x2﹣82，
解得x＝（负值已舍去），
故菱形ABCD的边长为：．
24．（14分）定义：如果有一个四边形有一个外角等于它的内对角的2倍，那么称这个四边形为外倍角四边形．
（1）若外倍角四边形ABCD中，∠A＝100°，∠D＝140°，请直接写出∠B的度数；
（2）如图1，在△ABC中，边AB，BC上分别取点D，E，使得DE＝DB，△ADE的外接圆⊙O交边AC于点F，连接EF．求证：四边形ABEF是外倍角四边形；
（3）在（2）的条件下，如图2，若AD是⊙O的直径，∠ACB＝90°，CF＝BD，＝．
①求cos∠CFE；
②若DE＝1，求AF•BE的值．
【分析】（1）画出符合题意的图形，利用外倍角四边形的定义和四边形内角和定理可得结论；
（2）利用圆内接四边形的性质可得∠CFE＝∠ADE；利用等腰三角形的性质可得∠DEB＝∠B，利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得∠ADE＝2∠B，利用等量代换，结论可得；
（3）①过点E作EH⊥AB于H，利用三角形的面积公式分别表示S△CEF和S△BDE；因为CF＝BD，设CF＝a，则BD＝4a，利用已知求得EF，再利用余弦的意义即可得出结论；
②连接AE，利用①中的结论，根据直角三角形的边角关系求出AD，AE的长，通过说明△BDE∽△EFA，可得，利用比例的基本性质，结论可得．
【解答】解：（1）依题意画出图形如下：
∵∠BAD＝100°，
∴∠EAD＝80°．
∵四边形ABCD为外倍角四边形，
∴∠C＝∠EAD＝40°．
∴∠B＝360°﹣∠BAD﹣∠ADC﹣∠C＝360°﹣100°﹣140°﹣40°＝80°；
∵∠ADC＝140°，
∴∠ADF＝180°﹣140°＝40°．
∵四边形ABCD为外倍角四边形，
∴∠B＝ADF＝20°．
综上，∠B＝80°或20°．
（2）∵DE＝DB，
∴∠DEB＝∠B．
∴∠EDA＝∠DEB+∠B＝2∠B．
∵∠CFE为圆内接四边形AFED的外角，
∴∠CFE＝∠ADE．
∴∠CFE＝2∠B．
∴四边形ABEF是外倍角四边形．
（3）①过点E作EH⊥AB于H，则EH＝DE•sin∠EDA．
∵，
∴．
∵∠CFE＝∠ADE，
∴sin∠CFE＝sin∠ADE．
∵DE＝BD，
∴．
∵CF＝BD，
∴设CF＝a，则BD＝4a．
∴．
∴EF＝4a．
∴cos∠CFE＝＝．
②连接AE，则∠AED＝90°．
∴∠EAD+∠ADE＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠CEF+∠CFE＝90°．
∵∠CFE＝∠ADE，
∴∠CFE＝∠ADE．
∵cos∠CFE＝cos∠ADE＝．
在Rt△AED中，
∵cos∠ADE＝，DE＝1，
∴AD＝4．
∴AE＝＝．
∵∠BED+∠CEA＝90°，
∠CAE+∠CEA＝90°，
∴∠CAE＝∠BED．
又∵∠BDE＝∠EFA，
∴△BDE∽△EFA．
∴．
∴AF•BE＝DE•AE＝．
2021年浙江省宁波市海曙区中考数学模拟试卷
一．选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．（4分）在下列实数中，属于无理数的是（ ）
A． B． C．3.14 D．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a4•a2＝a8 B．a4+a2＝a6 C．（a4）2＝a8 D．（2a）2＝2a2
3．（4分）如图，直线a∥b∥c，等腰直角△ABC的三个顶点分别在直线a，b，c上（A为直角顶点），若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
4．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（4分）如图是由若干个完全相同的正方体搭成的几何体，取走选项序号对应的正方体，其中三视图不会发生变化的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．（4分）某校在疫情期间，要求学生每日早上测量体温，九年级1班一位同学连续一周的体温情况如下表：
日期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
体温（℃）
36.2
36.2
36.5
36.3
36.2
36.4
36.3
则该名同学这一周体温数据的众数和中位数分别是（ ）
A．36.3℃，36.2℃ B．36.2℃，36.3℃
C．36.2℃，36.2℃ D．36.2℃，36.4℃
7．（4分）将某个图形的各个顶点的横坐标都减去2，纵坐标保持不变，可将该图形（ ）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位
8．（4分）《九章算术》第一章“方田”中讲述了扇形面积的计算方法：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大致意思为：现有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田面积为（ ）
A．平方步 B．平方步 C．120平方步 D．240平方步
9．（4分）点Q是y轴上一点，以Q为圆心作一个圆，已知圆上的A（m，n），B（m+4，n），C（l，p），D（l+8，p）四点均在抛物线y＝图象上，则该圆的半径为（ ）
A． B．5 C． D．6
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，点F为边AD上一点，过F作EF∥AB交边BC于点E，P为边AB上一点，PH⊥DE交线段DE于H，交线段EF于Q，连接DQ．当AF＝AB时，要求阴影部分的面积，只需知道下列某条线段的长，该线段是（ ）
A．EF B．DE C．PH D．PE
二．填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）要使二次根式有意义，则x的取值范围为 ．
12．（5分）箱子里装有仅颜色不同的4个白球和2个红球，任取一个球结果是红球的概率是 ．
13．（5分）已知方程组，则y的值为 ．
14．（5分）如图，各网格中四个数之间都有相同的规律，则第9个网格中右下角的数为 ．
15．（5分）已知关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+3与反比例函数y＝，甲说：“二次函数图象一定过第一象限的一个定点．”乙说：“二次函数的顶点及这个定点都在反比例函数图象上．”根据甲、乙两人的描述，可确定a的值为 ．
16．（5分）如图，点A，B分别是反比例函数y＝（a＞0，x＞0）和y＝（b＜0，x＜0）图象上的点，且AB∥x轴，点C在x轴的正半轴上，连接AC交反比例函数y＝（a＞0，x＞0）的图象于点D，已知S△BOD＝20，S△COD＝8，AD＝2CD，则a﹣b的值为 ．
三．解答题（本大题共8小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）已知x2﹣5x﹣＝0，求代数式2x2﹣10x﹣的值；
（2）化简：﹣．
18．（8分）如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC＝4m．
（1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高AC；
（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？
19．（8分）如图，在8×4的正方形网格中，按△ABC的形状要求，分别找出格点C，且使BC＝5，并且直接写出对应三角形的面积．
20．（10分）由于新冠疫情影响，2021年宁波市体育中心取消了游泳选测项目，除了必测项目中长跑外，将所有选测项目分为3类，其中A（技巧类）：篮球运球，足球运球、跳绳；B（力量类）：引体向上/仰卧起坐、实心球；C（速度灵敏类）：50米、立定跳远．学生在报名时，从A、B、C三大类体育项目中，选择自己最擅长的两类项目，每个类别只能选择一个项目参加测试．为了解每个学生两个项目的选择情况，随机抽取了部分九年级学生进行调查，将获得的数据整理绘制成统计图（部分信息未给出）：
由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求抽取的九年级学生总数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“50米”选项所对应的圆心角α的度数；
（3）如果某区九年级的学生共有20000人，根据以上数据，试估计这20000人中选择C类项目的人数．
21．（10分）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝20，∠C＝90°，点O为AB边上一点，⊙O切边AC于点D，设CD＝x，⊙O的半径为y．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当y＝5时，求⊙O在BC边上截得的线段EF的长．
22．（10分）A市计划对本市215万人接种新冠疫苗，在前期完成5万人接种后，又花了100天时间接种了剩下的210万人．在这100天中，该市的接种时间和接种人数的关系如图所示，已知这100天中该市前a天每天接种人数是a天后每天接种人数的2倍．
（1）求a的值；
（2）这100天中，B市的接种人数y（万人）与接种天数x（天）的关系为y＝x2+x，
①请通过计算判断，第a天接种完成后，B市的接种人数是否超过A市？
②第几天接种完成后，A，B两市接种人数恰好相同？
23．（12分）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，M是AB的中点，过B作BD∥AC，交CM的延长线于点D．求证：AC＝BD；
【尝试应用】（2）在（1）的情况下，在线段CM上取点E（如图2），已知BE＝AC＝，CE＝2，EM＝4，求tanD；
【拓展提高】（3）如图3，菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且CP＝2AP，点E为线段DP上一点，BE＝BC．若PE＝2，PD＝3，求菱形ABCD的边长．
24．（14分）定义：如果有一个四边形有一个外角等于它的内对角的2倍，那么称这个四边形为外倍角四边形．
（1）若外倍角四边形ABCD中，∠A＝100°，∠D＝140°，请直接写出∠B的度数；
（2）如图1，在△ABC中，边AB，BC上分别取点D，E，使得DE＝DB，△ADE的外接圆⊙O交边AC于点F，连接EF．求证：四边形ABEF是外倍角四边形；
（3）在（2）的条件下，如图2，若AD是⊙O的直径，∠ACB＝90°，CF＝BD，＝．
①求cos∠CFE；
②若DE＝1，求AF•BE的值．
2021年浙江省宁波市海曙区中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．（4分）在下列实数中，属于无理数的是（ ）
A． B． C．3.14 D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、，是无理数，故本选项符合题意；
故选：D．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a4•a2＝a8 B．a4+a2＝a6 C．（a4）2＝a8 D．（2a）2＝2a2
【分析】根据幂的乘方与积的乘方分别计算判断即可．
【解答】解：A、a4•a2＝a6，故错误；
B、a4+a2不是同类项，不能合并，故错误；
C、（a4）2＝a8，正确；
D、（2a）2＝4a2，故错误．
故选：C．
3．（4分）如图，直线a∥b∥c，等腰直角△ABC的三个顶点分别在直线a，b，c上（A为直角顶点），若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】由等腰直角三角形的性质得出∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，由平行线的性质得出∠3＝∠1＝20°，根据角的和差即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，
∵a∥b，∠1＝20°，
∴∠3＝∠1＝20°，
∴∠2＝∠ABC﹣∠3＝45°﹣20°＝25°，
故选：C．
4．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
【解答】解：，
由①得x＞﹣2，
由②得x≤1，
不等式组的解集为﹣2＜x≤1．
故选：B．
5．（4分）如图是由若干个完全相同的正方体搭成的几何体，取走选项序号对应的正方体，其中三视图不会发生变化的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】根据三视图的定义，可得答案．
【解答】解：A、取走①，主视图会发生变化，故本选项不合题意；
B、取走②，俯视图会发生变化，故本选项不合题意；
C、取走③，主视图和俯视图都会发生变化，故本选项不合题意；
D、取走④，三视图不会发生变化，故本选项符合题意；
故选：D．
6．（4分）某校在疫情期间，要求学生每日早上测量体温，九年级1班一位同学连续一周的体温情况如下表：
日期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
体温（℃）
36.2
36.2
36.5
36.3
36.2
36.4
36.3
则该名同学这一周体温数据的众数和中位数分别是（ ）
A．36.3℃，36.2℃ B．36.2℃，36.3℃
C．36.2℃，36.2℃ D．36.2℃，36.4℃
【分析】根据众数和中位数的定义求解可得．
【解答】解：因为36.2℃出现了3次，出现的次数最多，则这一周体温数据的众数是36.2℃；
将这组数据重新排列为36.2℃、36.2℃、36.2℃、36.3℃、36.3℃、36.4℃、36.5℃，
则中位数为36.3℃，
故选：B．
7．（4分）将某个图形的各个顶点的横坐标都减去2，纵坐标保持不变，可将该图形（ ）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位
【分析】纵坐标不变则函数图象不会上下移动，横坐标减2，则说明函数图象向左移动2个单位．
【解答】解：由于图象各顶点的横坐标都减去2，
故图象只向左移动2个单位，
故选：A．
8．（4分）《九章算术》第一章“方田”中讲述了扇形面积的计算方法：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大致意思为：现有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田面积为（ ）
A．平方步 B．平方步 C．120平方步 D．240平方步
【分析】先求出扇形所在圆的半径，再根据扇形的面积公式求出答案即可．
【解答】解：∵扇形所在圆的直径是16步，
∴扇形所在圆的半径是8步，
∵弧长是30步，
∴扇形的面积是＝120（平方步），
即这块田面积为120平方步，
故选：C．
9．（4分）点Q是y轴上一点，以Q为圆心作一个圆，已知圆上的A（m，n），B（m+4，n），C（l，p），D（l+8，p）四点均在抛物线y＝图象上，则该圆的半径为（ ）
A． B．5 C． D．6
【分析】根据题意求得A（﹣2，2），B（2，2），C（﹣4，8），D（4，8），即可求得AB∥CD，AB与CD之间的距离是6，设圆心Q到弦AB的距离为d，然后根据勾股定理得到关于d的方程，解得d的值，进而即可求得圆的半径．
【解答】解：∵A（m，n），B（m+4，n），C（l，p），D（l+8，p）四点均在抛物线y＝图象上，
∴m+m+4＝0，l+l+8＝0，
∴m＝﹣2，l＝4，
∴A（﹣2，2），B（2，2），C（﹣4，8），D（4，8），
∴AB∥CD，AB与CD之间的距离是6，
设圆心Q到弦AB的距离为d，
①当AB、CD在圆心Q的两侧时，则圆心Q到弦CD的距离为6﹣d，
∴22+d2＝42+（6﹣d）2，
解得d＝4，
∴该圆的半径为：＝＝2；
①当AB、CD在圆心Q的同侧时，则圆心Q到弦CD的距离为d﹣6，
∴22+d2＝42+（d﹣6）2，
解得d＝4，（不合题意），
故选：A．
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，点F为边AD上一点，过F作EF∥AB交边BC于点E，P为边AB上一点，PH⊥DE交线段DE于H，交线段EF于Q，连接DQ．当AF＝AB时，要求阴影部分的面积，只需知道下列某条线段的长，该线段是（ ）
A．EF B．DE C．PH D．PE
【分析】过点P作PM⊥EF于点M，由“ASA”可证△PMQ≌△DCE，可得PQ＝DE，由面积关系可求解．
【解答】解：过点P作PM⊥EF于点M，如图：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥DC，AD∥BC，∠C＝90°，
∵EF∥AB，
∴EF∥DC，
∴∠EDC＝∠DEF，
∵PH⊥DE，PM⊥EF，
∴∠PMQ＝∠EHQ＝90°，
又∵∠PQM＝∠EQH，
∴∠QPM＝∠DEF＝∠EDC，
在△PMQ和△DCE中，
，
∴△PMQ≌△DCE（ASA），
∴PQ＝DE，
∴阴影部分的面积＝S△PDE﹣S△QED＝×DE×PH﹣DE×QH＝DE2，
∴故选：B．
二．填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）要使二次根式有意义，则x的取值范围为 x≥8 ．
【分析】直接利用二次根式的定义得出答案．
【解答】解：要使二次根式有意义，
则x﹣8≥0，
解得：x≥8．
故答案为：x≥8．
12．（5分）箱子里装有仅颜色不同的4个白球和2个红球，任取一个球结果是红球的概率是 ．
【分析】根据概率公式求解．
【解答】解：∵从箱子里任意摸出1个球有6种等可能结果，其中是红球的有2种结果，
∴是红球的概率是＝，
故答案为：．
13．（5分）已知方程组，则y的值为 ﹣1 ．
【分析】应用加减消元法，求出y的值是多少即可．
【解答】解：，
①﹣②，可得2y＝﹣2，
解得y＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．（5分）如图，各网格中四个数之间都有相同的规律，则第9个网格中右下角的数为 119 ．
【分析】从图中观察出各个格子中的数据的规律，找出第九个格子的各个数字即可．
【解答】解：由图中的数字可知，
左上角的数字是一些连续的正整数，从1开始，
左下角的数字是对应的左上角的数据加2，右上角的数字是对应的左下角的数字加1，
右下角的数字是左下角的数字与右上角的数字乘积再加左上角数字的和，故第9个正方形中的左上角的数字是9，
左下角的数字是11，右上角的数字是10，右下角的数字是：10×11+9＝119；
故答案为：119．
15．（5分）已知关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+3与反比例函数y＝，甲说：“二次函数图象一定过第一象限的一个定点．”乙说：“二次函数的顶点及这个定点都在反比例函数图象上．”根据甲、乙两人的描述，可确定a的值为 ﹣3 ．
【分析】根据二次函数过定点，则与a的取值无关，得出定点和顶点再进行解答．
【解答】解：∵二次函数图象一定过第一象限的一个定点，
∴x2﹣2x＝0，
∴x1＝0，x2＝2，
∴过第一象限的定点为（2，3），
且顶点为（1，3﹣a），
∵二次函数的顶点及这个定点都在反比例函数图象上，
∴3﹣a＝6，
∴a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
16．（5分）如图，点A，B分别是反比例函数y＝（a＞0，x＞0）和y＝（b＜0，x＜0）图象上的点，且AB∥x轴，点C在x轴的正半轴上，连接AC交反比例函数y＝（a＞0，x＞0）的图象于点D，已知S△BOD＝20，S△COD＝8，AD＝2CD，则a﹣b的值为 24 ．
【分析】延长BD交x轴交于点M，连接OA，根据相似三角形的性质和同高三角形的面积比的关系得出S△ABD＝8，S△AOD＝16，再根据k的几何意义以及面积的和差得出结论．
【解答】解：延长BD交x轴交于点M，连接OA，
∵AB∥x轴，
∴△ABD∽△CMD，
∴，
∵AD＝2CD，
∴BD＝2MD，S△ABD＝4S△DCM．
∴S△BOD：S△ODM＝2：1，
∵S△BOD＝20，
∴S△ODM＝10，
∵S△COD＝8，
∴S△DCM＝2，
∴S△ABD＝8，
∵AD＝2CD，S△COD＝8，
∴S△AOD＝16，
∴S△AOB＝S△ABD+S△BOD﹣S△AOD
＝8+20﹣16
＝12，
∵点A，B分别是反比例函数y＝（a＞0，x＞0）和y＝（b＜0，x＜0）图象上的点，且AB∥x轴，
∴S△AOB＝＝12，
∴a﹣b＝24．
故答案为：24．
三．解答题（本大题共8小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）已知x2﹣5x﹣＝0，求代数式2x2﹣10x﹣的值；
（2）化简：﹣．
【分析】（1）直接结合已知得出x2﹣5x＝，再把原式变形得出答案；
（2）直接将分式分子与分母分解因式，进而化简得出答案．
【解答】解：（1）∵x2﹣5x﹣＝0，
∴x2﹣5x＝，
∴2x2﹣10x﹣
＝2（x2﹣5x）﹣
＝2×﹣
＝；
（2）原式＝﹣
＝
＝．
18．（8分）如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC＝4m．
（1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高AC；
（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？
【分析】（1）直接利用同一时刻太阳光下影长与物体高度成比例进而得出答案；
（2）直接利用锐角三角函数关系得出∠ABC的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得：
＝，
解得：AC＝2（m），
答：滑梯的高AC为2m；
（2）∵tan∠ABC＝＝＝＜tan30°＝，
∴∠ABC＜30°，
∴这架滑梯的倾斜角符合安全要求．
19．（8分）如图，在8×4的正方形网格中，按△ABC的形状要求，分别找出格点C，且使BC＝5，并且直接写出对应三角形的面积．
【分析】利用勾股定理按△ABC的形状要求，分别找出格点C，画出△ABC，根据正方形网格的特点计算出对应三角形的面积即可．
【解答】解：如图：
钝角三角形的面积：×5×4＝10；
直角三角形的面积：×5×5＝12.5；
钝角三角形的面积：×6×4＝12．
故答案为：10，12.5，12．
20．（10分）由于新冠疫情影响，2021年宁波市体育中心取消了游泳选测项目，除了必测项目中长跑外，将所有选测项目分为3类，其中A（技巧类）：篮球运球，足球运球、跳绳；B（力量类）：引体向上/仰卧起坐、实心球；C（速度灵敏类）：50米、立定跳远．学生在报名时，从A、B、C三大类体育项目中，选择自己最擅长的两类项目，每个类别只能选择一个项目参加测试．为了解每个学生两个项目的选择情况，随机抽取了部分九年级学生进行调查，将获得的数据整理绘制成统计图（部分信息未给出）：
由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求抽取的九年级学生总数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“50米”选项所对应的圆心角α的度数；
（3）如果某区九年级的学生共有20000人，根据以上数据，试估计这20000人中选择C类项目的人数．
【分析】（1）先求出总人数，再分别求出跳绳、立定跳远的人数，然后补全统计图即可；
（2）用360°乘以“50米”的人数所占的百分比即可；
（3）用总人数乘以选择C类项目的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）2÷2.5%＝80（人），
则抽取的九年级学生总人数有：80÷2＝40（人），
跳绳的人数有：80×＝30（人），
立定跳远的人数有：80﹣8﹣2﹣30﹣15﹣7﹣12＝6（人），补全统计图如下：
（2）扇形统计图中“50米”选项所对应的圆心角α的度数是360°×＝27°；
（3）20000×＝9000（人），
答：这20000人中选择C类项目的人数有9000人．
21．（10分）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝20，∠C＝90°，点O为AB边上一点，⊙O切边AC于点D，设CD＝x，⊙O的半径为y．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当y＝5时，求⊙O在BC边上截得的线段EF的长．
【分析】（1）连接OD，如图，根据切线的性质得到OD⊥AC，再证明△AOD∽△ABC，利用相似比得到＝，从而得到y与x的关系式；
（2）先利用函数关系式求出y＝5时对应的x的值得到CD＝3，作OH⊥BC于H，连接OE，如图，根据垂径定理得到EH＝FH，易得四边形ODCH为矩形，所以OH＝CD＝3，然后利用勾股定理计算出HE，从而得到EF的长．
【解答】解：（1）连接OD，如图，
∵⊙O切边AC于点D，
∴OD⊥AC，
∵∠C＝90°，
∴BC⊥AC，
∴OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴y＝﹣5x+20；
（2）当y＝5时，﹣5x+20＝5，解得x＝3，即CD＝3，
作OH⊥BC于H，连接OE，如图，则EH＝FH，
∵∠ODC＝∠C＝∠OHC＝90°，
∴四边形ODCH为矩形，
∴OH＝CD＝3，
在Rt△OEH中，HE＝＝＝4，
∴EF＝2HE＝8．
22．（10分）A市计划对本市215万人接种新冠疫苗，在前期完成5万人接种后，又花了100天时间接种了剩下的210万人．在这100天中，该市的接种时间和接种人数的关系如图所示，已知这100天中该市前a天每天接种人数是a天后每天接种人数的2倍．
（1）求a的值；
（2）这100天中，B市的接种人数y（万人）与接种天数x（天）的关系为y＝x2+x，
①请通过计算判断，第a天接种完成后，B市的接种人数是否超过A市？
②第几天接种完成后，A，B两市接种人数恰好相同？
【分析】（1）根据“这100天中该市前a天每天接种人数是a天后每天接种人数的2倍“列出关于a的分式方程，解方程并检验即可；
（2）①把（1）中所得的a的值代入y＝x2+x，求得y值，与125比较即可得出答案；②由题意前40天B市接种人数少于A市，由待定系数法求得当40≤x≤100时A市接种人数的函数关系式，结合y＝x2+x可得关于x的一元二次方程，解方程并根据x的取值范围作出取舍即可．
【解答】解：（1）＝2×，
解得a＝40，
经检验a是原方程的根，
∴a的值为40；
（2）①把a＝40代入y＝x2+x，
得y＝×402+×40＝86＜125，
答：第a天接种完成后，B市的接种人数没有超过A市；
②由题意前40天B市接种人数少于A市，
设A市接种人数与时间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（40，125），（100，215）代入，得：，
解得：，
∴y＝x+65（40≤x≤100），
∴当A，B两市接种人数恰好相同时，x+65＝x2+x，
解得：x1＝﹣25（舍去），x2＝52，
答：第52天接种完成后，A，B两市接种人数恰好相同．
23．（12分）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，M是AB的中点，过B作BD∥AC，交CM的延长线于点D．求证：AC＝BD；
【尝试应用】（2）在（1）的情况下，在线段CM上取点E（如图2），已知BE＝AC＝，CE＝2，EM＝4，求tanD；
【拓展提高】（3）如图3，菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且CP＝2AP，点E为线段DP上一点，BE＝BC．若PE＝2，PD＝3，求菱形ABCD的边长．
【分析】（1）证明△AMC≌△BMD（AAS），即可求解；
（2）过点B作BH⊥CD于点H，得到CM＝DM＝CE+EM＝6，BE＝AC＝BD＝，进而求解；
（3）证明∠CEF＝90°，设菱形ABCD的边长为x，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）∵M是AB的中点，则AM＝BM，
∵BD∥AC，
∴∠ABD＝∠A，
∵∠AMC＝∠BMD，
∴△AMC≌△BMD（AAS），
∴AC＝BD；
（2）过点B作BH⊥CD于点H，
由（1）得，CM＝DM＝CE+EM＝6，
∴BE＝AC＝BD＝，
则EH＝HD＝5，
在Rt△BDH中，BH＝＝＝3，
∴tanD＝；
（3）连接CE，延长DP交CB的延长线于点F，交AB于点G，
∵AG∥CD，
∴△CPD∽△APG，
∴，即AG＝CD＝AB，
即点G是AB的中点，
由（1）知，△AGD≌△BGF（AAS），
∴AD＝BF，PD＝2PG＝1+2＝3，GD＝GF，
∴BE＝BF＝BC，
∴∠CEF＝90°，
设菱形ABCD的边长为x，
在Rt△DEC中，CE2＝CD2﹣ED2＝x2﹣1，
∵PD＝2PG＝1+2＝3，则PG＝1.5，则DG＝PD+PG＝4.5，则DF＝2DG＝9，
∴EF＝PD﹣DE＝9﹣1＝8，
在Rt△CEF中，CE2＝CF2﹣EF2，即x2﹣1＝4x2﹣82，
解得x＝（负值已舍去），
故菱形ABCD的边长为：．
24．（14分）定义：如果有一个四边形有一个外角等于它的内对角的2倍，那么称这个四边形为外倍角四边形．
（1）若外倍角四边形ABCD中，∠A＝100°，∠D＝140°，请直接写出∠B的度数；
（2）如图1，在△ABC中，边AB，BC上分别取点D，E，使得DE＝DB，△ADE的外接圆⊙O交边AC于点F，连接EF．求证：四边形ABEF是外倍角四边形；
（3）在（2）的条件下，如图2，若AD是⊙O的直径，∠ACB＝90°，CF＝BD，＝．
①求cos∠CFE；
②若DE＝1，求AF•BE的值．
【分析】（1）画出符合题意的图形，利用外倍角四边形的定义和四边形内角和定理可得结论；
（2）利用圆内接四边形的性质可得∠CFE＝∠ADE；利用等腰三角形的性质可得∠DEB＝∠B，利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得∠ADE＝2∠B，利用等量代换，结论可得；
（3）①过点E作EH⊥AB于H，利用三角形的面积公式分别表示S△CEF和S△BDE；因为CF＝BD，设CF＝a，则BD＝4a，利用已知求得EF，再利用余弦的意义即可得出结论；
②连接AE，利用①中的结论，根据直角三角形的边角关系求出AD，AE的长，通过说明△BDE∽△EFA，可得，利用比例的基本性质，结论可得．
【解答】解：（1）依题意画出图形如下：
∵∠BAD＝100°，
∴∠EAD＝80°．
∵四边形ABCD为外倍角四边形，
∴∠C＝∠EAD＝40°．
∴∠B＝360°﹣∠BAD﹣∠ADC﹣∠C＝360°﹣100°﹣140°﹣40°＝80°；
∵∠ADC＝140°，
∴∠ADF＝180°﹣140°＝40°．
∵四边形ABCD为外倍角四边形，
∴∠B＝ADF＝20°．
综上，∠B＝80°或20°．
（2）∵DE＝DB，
∴∠DEB＝∠B．
∴∠EDA＝∠DEB+∠B＝2∠B．
∵∠CFE为圆内接四边形AFED的外角，
∴∠CFE＝∠ADE．
∴∠CFE＝2∠B．
∴四边形ABEF是外倍角四边形．
（3）①过点E作EH⊥AB于H，则EH＝DE•sin∠EDA．
∵，
∴．
∵∠CFE＝∠ADE，
∴sin∠CFE＝sin∠ADE．
∵DE＝BD，
∴．
∵CF＝BD，
∴设CF＝a，则BD＝4a．
∴．
∴EF＝4a．
∴cos∠CFE＝＝．
②连接AE，则∠AED＝90°．
∴∠EAD+∠ADE＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠CEF+∠CFE＝90°．
∵∠CFE＝∠ADE，
∴∠CFE＝∠ADE．
∵cos∠CFE＝cos∠ADE＝．
在Rt△AED中，
∵cos∠ADE＝，DE＝1，
∴AD＝4．
∴AE＝＝．
∵∠BED+∠CEA＝90°，
∠CAE+∠CEA＝90°，
∴∠CAE＝∠BED．
又∵∠BDE＝∠EFA，
∴△BDE∽△EFA．
∴．
∴AF•BE＝DE•AE＝．
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