2021年辽宁省葫芦岛市龙港区中考数学一模试卷

这是一份2021年辽宁省葫芦岛市龙港区中考数学一模试卷，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2021年辽宁省葫芦岛市龙港区中考数学一模试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）如果2x＝3y，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（　　）

A．△ABC∽△A′B′C′
B．点C、点O、点C′三点在同一直线上
C．AB∥A′B′
D．AO：AA′＝1：2
4．（3分）如图是由若干个完全相同的小正方体组合而成的几何体，若将小正方体①移动到小正方体②的正上方，下列关于移动后几何体的三视图说法正确的是（　　）

A．左视图发生改变
B．俯视图发生改变
C．主视图发生改变
D．左视图、俯视图、主视图都发生改变
5．（3分）如图所示的4个三角形中，相似三角形有（　　）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
6．（3分）如图是某河坝横断面示意图，AC为迎水坡，AB为背水坡，过点A作水平面的垂线AD，BD＝2CD，设斜坡AC的坡度为iAC，坡角为∠ACD，斜坡AB的坡度为iAB，坡角为∠ABD，则下列结论正确的是（　　）

A．iAC＝2iAB B．∠ACD＝2∠ABD C．2iAC＝iAB D．2∠ACD＝∠ABD
7．（3分）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1＝L•cosα，阻力臂L2＝l•cosβ，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（　　）

A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定
8．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB，CD，EF，GH是正方形OPQR边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线OM与x轴正半轴的夹角为α，且sinα＞cosα，则点M所在的线段可以是（　　）

A．AB和CD B．AB和EF C．CD和GH D．EF和GH
9．（3分）如图，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（　　）

A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C． D．
10．（3分）正方形ABCD边长为3cm，动点P从B出发，以3cm/s的速度沿B→A→D→C向C运动；同时动点Q以1cm/s的速度沿着BC向C运动．如果一个点到达终点，则另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，△PDQ的面积为Scm2，则大致反映S与t变化关系的图象是（　　）

A．
B．
C．
D．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（3分）两个相似三角形对应角平分线的比为4：3，那么这两个三角形的面积的比是　 　．
12．（3分）在△ABC中，若∠A、∠B满足|cosA﹣|+（sinB﹣）2＝0，则∠C＝　 　．
13．（3分）如图是某个几何体的展开图，该几何体是　 　．

14．（3分）如图，在平面直角坐标系中有一点P（6，8），那么OP与x轴的正半轴的夹角α的余弦值为　 　．

15．（3分）某校初三年级在“停课不停学”期间，积极开展网上答疑活动，在某时间段共开放7个网络教室，其中4个是数学答疑教室，3个是语文答疑教室．为了解初三年级学生的答疑情况，学校教学管理人员随机进入一个网络教室，则该教室是数学答疑教室的概率为　 　．
16．（3分）下列图形中，是中心对称的图形有　 　．
①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形．
17．（3分）如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE＝DC，连接BE与AC于点F，则的值是　 　．

18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以O为位似中心的位似图形，且位似比为，点A1，A2，A3在x轴上，延长A3C2交射线OB1与点B3，以A3B3为边作正方形A3B3C3A4；延长A4C3，交射线OB1与点B4，以A4B4为边作正方形A4B4C4A5；…按照这样的规律继续作下去，若OA1＝1，则正方形A2021B2021C2021A2022的面积为　 　．

三、（共22分）
19．（10分）先化简，再求值：，其中x＝．
20．（12分）我市各学校积极响应上级“停课不停教、停课不停学”的要求，开展了空中在线教学．某校就“网络直播课”的满意度进行了随机在线问卷调查，调查结果分为四类：A．非常满意；B．很满意；C．一般；D．不满意．将收集到的信息进行了统计，绘制成如下不完整的统计表和统计图（如图所示）．请你根据统计图表所提供的信息解答下列问题．
频数分布统计表
类别
频数
频率
A
60
n
B
m
0.4
C
90
0.3
D
30
0.1
（1）接受问卷调查的学生共有　 　人；m＝　 　，n＝　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）若该学校共有学生3000人，请你根据上述调查结果，估计该校对“网络直播课”满意度为A类和B类的学生共有多少人；
（4）为改进教学，学校决定从选填结果是D类的学生中，选取甲、乙、丙、丁四人，随机抽取两名学生参与网络座谈会，求甲、乙两名同学同时被抽中的概率．

四、（共24分）
21．（12分）某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥AB是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方120米的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，求桥AB的长度．

22．（12分）点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象l1上一点，直线AB∥x轴，交反比例函数y＝（x＞0）的图象l2于点B，直线AC∥y轴，交l2于点C，直线CD∥x轴，交l1于点D．
（1）若点A（1，1），求线段AB和CD的长度；
（2）对于任意的点A（a，b），判断线段AB和CD的大小关系，并证明．

五、（共12分）
23．（12分）如图，在△ABC中，点O是AB边上一点，OB＝OC，∠B＝30°，过点A的⊙O切BC于点D，CO平分∠ACB．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BC＝12，求⊙O的半径长；
（3）求阴影部分的面积．

六、（共12分）
24．（12分）某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．
（1）当100≤x≤300时，y与x的函数关系式为　 　．
（2）某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？
（3）零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？

七、（共12分）
25．（12分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，P在CD边上，Q在BC的延长线上，CP＝CQ，射线AP交DQ于M，连接MC．
（1）如图①，当点P是CD中点时，线段MC，MD，MA的数量关系是　 　；
（2）如图②，当点P不是CD中点时，（1）的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）若AB＝8，AP＝7，直接写出DM的长．

八、（共14分）
26．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是线段BC上一点，射线AP交抛物线于点F．
①连接FC，FB，若S△FPC＝2S△FPB，求点F的坐标；
②抛物线的顶点为D，当DP+BP有最小值时，将△ADP沿x轴正方向平移t个单位长度（0≤t≤4）得到△A′D'P'，设△A′D'P'与△BOC重叠部分的面积记为S，请直接写出S与t的函数关系式．


2021年辽宁省葫芦岛市龙港区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）如果2x＝3y，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据比例的性质即可得到结论，
【解答】解：∵2x＝3y，
∴＝，
故选：C．
2．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中成立的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据锐角三角函数的定义判断即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
则sinA＝，A错误；
cosB＝，B正确；
tanB＝，C错误；
tanC不存在，D错误；
故选：B．
3．（3分）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（　　）

A．△ABC∽△A′B′C′
B．点C、点O、点C′三点在同一直线上
C．AB∥A′B′
D．AO：AA′＝1：2
【分析】根据位似图形的概念判断即可．
【解答】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，
∴△ABC与△A′B′C′是位似图形，
∴△ABC∽△A′B′C′，A选项说法正确，不符合题意；
点C、点O、点C′三点在同一直线上，B选项说法正确，不符合题意；
AB∥A′B′，C选项说法正确，不符合题意；
AO：AA′＝1：3，D选项说法错误，符合题意；
故选：D．
4．（3分）如图是由若干个完全相同的小正方体组合而成的几何体，若将小正方体①移动到小正方体②的正上方，下列关于移动后几何体的三视图说法正确的是（　　）

A．左视图发生改变
B．俯视图发生改变
C．主视图发生改变
D．左视图、俯视图、主视图都发生改变
【分析】根据三视图的定义求解即可．
【解答】解：主视图发生变化，上层的小正方体由原来位于左边变为右边；
俯视图和左视图都没有发生变化，
故选：C．
5．（3分）如图所示的4个三角形中，相似三角形有（　　）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【分析】先分别求出三角形的三条边，根据相似三角形的判定方法判断即可．
【解答】解：第一个三角形的三边的三边之比为：1：2：，
第二个三角形的三边的三边之比为：：：，
第三个三角形的三边的三边之比为：1：2：，
第一个四角形的三边的三边之比为：1：1：，
只有第一和第三个三角形的三边成比例，
所以只有第一和第三个三角形相似，
故选：A．
6．（3分）如图是某河坝横断面示意图，AC为迎水坡，AB为背水坡，过点A作水平面的垂线AD，BD＝2CD，设斜坡AC的坡度为iAC，坡角为∠ACD，斜坡AB的坡度为iAB，坡角为∠ABD，则下列结论正确的是（　　）

A．iAC＝2iAB B．∠ACD＝2∠ABD C．2iAC＝iAB D．2∠ACD＝∠ABD
【分析】根据坡度的概念分别表示出iAC、iAB，根据题意判断即可．
【解答】解：斜坡AC的坡度iAC＝，斜坡AB的坡度iAB＝，
∵BD＝2CD，
∴iAC＝2iAB，A正确，C错误；
∠ACD≠2∠ABD，B错误；
2∠ACD≠∠ABD，D错误；
故选：A．
7．（3分）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1＝L•cosα，阻力臂L2＝l•cosβ，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（　　）

A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定
【分析】根据杠杆原理及cosα的值随着α的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案．
【解答】解：∵动力×动力臂＝阻力×阻力臂，
∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，
∴动力随着动力臂的增大而减小，
∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时cosα的值越来越大，而β的度数越来越大，cosβ的值越来越小，
∴阻力臂越来越小，而阻力不变，
∴动力×动力臂越来越小，而动力臂越来越大，
∴此时的动力越来越小，
故选：A．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB，CD，EF，GH是正方形OPQR边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线OM与x轴正半轴的夹角为α，且sinα＞cosα，则点M所在的线段可以是（　　）

A．AB和CD B．AB和EF C．CD和GH D．EF和GH
【分析】如图，当点M在线段AB上时，连接OM．根据正弦函数，余弦函数的定义判断sinα，cosα的大小．当点M在EF上时，作MJ⊥OP于J．判断sinα，cosα的大小即可解决问题．
【解答】解：如图，当点M在线段AB上时，连接OM．

∵sinα＝，cosα＝，OP＞PM，
∴xinα＜cosα，
同法可证，点M在CD上时，sinα＜cosα，
如图，当点M在EF上时，作MJ⊥OP于J．

∵sinα＝，cosα＝，OJ＜MJ，
∴sinα＞cosα，
同法可证，点M在GH上时，sinα＞cosα，
故选：D．
9．（3分）如图，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（　　）

A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C． D．
【分析】根据∠1＝∠2可得∠DAE＝∠BAC，再结合相似三角形的判定方法进行分析即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
A、添加∠B＝∠D可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
B、添加∠C＝∠E可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
C、添加可利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
D、添加不能证明△ABC∽△ADE，故此选项符合题意；
故选：D．
10．（3分）正方形ABCD边长为3cm，动点P从B出发，以3cm/s的速度沿B→A→D→C向C运动；同时动点Q以1cm/s的速度沿着BC向C运动．如果一个点到达终点，则另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，△PDQ的面积为Scm2，则大致反映S与t变化关系的图象是（　　）

A．
B．
C．
D．
【分析】分点P在AB上运动、点P在AD上运动、点P在CD上运动三种情况，分别求出函数表达式，即可求解．
【解答】解：（1）当点P在AB上运动时，则PB＝3t，BQ＝t，
则AP＝3﹣3t，CQ＝3﹣t，
S＝S正方形ABCD﹣S△PBQ﹣S△ADP﹣S△CDQ＝3×3﹣[t•3t+（3﹣3t）×3+3（3﹣t）]＝﹣t2+6t，
该函数为开口向下的抛物线；
②当点P在AD上运动时，

则S＝×PD×AB＝×（3t﹣3）＝t﹣；
③当点P在CD上运动时，
同理可得S＝﹣（t﹣2）（t﹣3）为开口向下的抛物线；
故选：B．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（3分）两个相似三角形对应角平分线的比为4：3，那么这两个三角形的面积的比是　16：9　．
【分析】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比，即可求得它们的相似比，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得答案．
【解答】解：∵两个相似三角形对应角平分线的比为4：3，
∴它们的相似比为4：3，
∴它们的面积比为16：9．
故答案为：16：9．
12．（3分）在△ABC中，若∠A、∠B满足|cosA﹣|+（sinB﹣）2＝0，则∠C＝　75°　．
【分析】首先根据绝对值与偶次幂具有非负性可知cosA﹣＝0，sinB﹣＝0，然后根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和为180°算出∠C的度数即可．
【解答】解：∵|cosA﹣|+（sinB﹣）2＝0，
∴cosA﹣＝0，sinB﹣＝0，
∴cosA＝，sinB＝，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
则∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
故答案为：75°．
13．（3分）如图是某个几何体的展开图，该几何体是　三棱柱　．

【分析】由展开图可得，该几何体有三个面是长方形，两个面是三角形，据此可得该几何体为三棱柱．
【解答】解：由展开图可得，该几何体有三个面是长方形，两个面是三角形，
∴该几何体为三棱柱，
故答案为：三棱柱．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中有一点P（6，8），那么OP与x轴的正半轴的夹角α的余弦值为　　．

【分析】如图作PH⊥x轴于H．利用勾股定理求出OP，根据cosα＝计算即可．
【解答】解：如图作PH⊥x轴于H．

∵P（6，8），
∴OH＝6，PH＝8，
∴OP＝＝10，
∴cosα＝＝＝．
故答案为：．
15．（3分）某校初三年级在“停课不停学”期间，积极开展网上答疑活动，在某时间段共开放7个网络教室，其中4个是数学答疑教室，3个是语文答疑教室．为了解初三年级学生的答疑情况，学校教学管理人员随机进入一个网络教室，则该教室是数学答疑教室的概率为　　．
【分析】根据概率公式即可求出该教室是数学答疑教室的概率．
【解答】解：根据题意可知：
共开放7个网络教室，其中4个是数学答疑教室，3个是语文答疑教室，
管理人员随机进入一个网络教室，
则该教室是数学答疑教室的概率为．
故答案为：．
16．（3分）下列图形中，是中心对称的图形有　①②④⑥　．
①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形．
【分析】根据中心对称图形的概念解答．
【解答】解：根据中心对称图形的概念，是中心对称的图形有①正方形；②长方形；④线段；⑥平行四边形．
故答案是：①②④⑥．
17．（3分）如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE＝DC，连接BE与AC于点F，则的值是　　．

【分析】在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，根据DE＝DC，可得AB＝CD＝DE＝CE，再由AB∥CD，可得△ABF∽△CEF，对应边成比例即可求得结论．
【解答】解：在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∵DE＝DC，
∴AB＝CD＝DE＝CE，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△CEF，
∴＝＝．
故答案为：．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以O为位似中心的位似图形，且位似比为，点A1，A2，A3在x轴上，延长A3C2交射线OB1与点B3，以A3B3为边作正方形A3B3C3A4；延长A4C3，交射线OB1与点B4，以A4B4为边作正方形A4B4C4A5；…按照这样的规律继续作下去，若OA1＝1，则正方形A2021B2021C2021A2022的面积为　24040　．

【分析】根据位似图形的概念求出OA2，根据正方形的面积公式计算，总结规律，根据规律解答即可．
【解答】解：∵正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴＝，
∵A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，
∴A1B1∥A2B2，
∴OA1B1∽△OA2B2，
∴＝＝，
∵OA1＝1，
∴OA2＝2，
∴A1A2＝1，
∴正方形A1B1C1A2的面积＝1＝40，
∵OA1＝A1A2＝A1B1＝1，
∴∠B1OA1＝45°，
∴OA2＝A2B2＝2，
∴正方形A2B2C2A3的面积＝2×2＝41，
∵A3B3⊥x轴，
∴OA3＝A3B3＝4，
∴正方形A3B3C3A4的面积＝4×4＝16＝42，
……
则正方形A2021B2021C2021A2022的面积为42021﹣1＝42020＝24040，
故答案为：24040．
三、（共22分）
19．（10分）先化简，再求值：，其中x＝．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝×
＝，
当x＝﹣1时，原式＝＝．
20．（12分）我市各学校积极响应上级“停课不停教、停课不停学”的要求，开展了空中在线教学．某校就“网络直播课”的满意度进行了随机在线问卷调查，调查结果分为四类：A．非常满意；B．很满意；C．一般；D．不满意．将收集到的信息进行了统计，绘制成如下不完整的统计表和统计图（如图所示）．请你根据统计图表所提供的信息解答下列问题．
频数分布统计表
类别
频数
频率
A
60
n
B
m
0.4
C
90
0.3
D
30
0.1
（1）接受问卷调查的学生共有　300　人；m＝　120　，n＝　0.2　；
（2）补全条形统计图；
（3）若该学校共有学生3000人，请你根据上述调查结果，估计该校对“网络直播课”满意度为A类和B类的学生共有多少人；
（4）为改进教学，学校决定从选填结果是D类的学生中，选取甲、乙、丙、丁四人，随机抽取两名学生参与网络座谈会，求甲、乙两名同学同时被抽中的概率．

【分析】（1）用C类的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，用总人数乘以0.4得到m的值，由A类的人数即可求出n的值；
（2）由（1）可知m的值，进而补全条形统计图即可；
（3）求出满意度为A类和B类的共占的百分比即可估计该校对“网络直播课”满意度为A类和B类的学生数；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出甲、乙两名学生同时被选中的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）接受问卷调查的学生共有90÷0.3＝300（人），m＝300×0.4＝120（人），60÷300＝0.2，
故答案为：300，120，0.2；
（2）补全条形统计图如下：

（3）3000×（0.2+0.4）＝1800（人），
答：估计该校对“网络直播课”满意度为A类和B类的学生共有1800人；
（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中甲、乙两名学生同时被选中的结果数为2，
所以甲、乙两名学生同时被选中的概率＝＝．
四、（共24分）
21．（12分）某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥AB是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方120米的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，求桥AB的长度．

【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据在C处测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，可得∠CAD＝∠MCA＝60°，∠CBD＝∠NCB＝45°，利用特殊角懂得三角函数求解即可．
【解答】解：如图示：过点C作CD⊥AB，垂足为D，


由题意得，∠MCA＝∠A＝60°，∠NCB＝∠B＝45°，CD＝120（米），
在Rt△ACD中，AD＝＝＝40（米），
在Rt△BCD中，
∵∠CBD＝45°，
∴BD＝CD＝120（米），
∴AB＝AD+BD＝（40+120）（米）．
答：桥AB的长度为（40+120）米．
22．（12分）点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象l1上一点，直线AB∥x轴，交反比例函数y＝（x＞0）的图象l2于点B，直线AC∥y轴，交l2于点C，直线CD∥x轴，交l1于点D．
（1）若点A（1，1），求线段AB和CD的长度；
（2）对于任意的点A（a，b），判断线段AB和CD的大小关系，并证明．

【分析】（1）根据题意求得B（3，1），C（1，3），D（，3），即可求得AB和CD的长度；
（2）根据题意得到A（a，），B（3a，）．C（a，），D（，），进一步求得AB＝2a，CD＝．即可求得AB＞CD．
【解答】解：（1）∵AB∥x轴，A（1，1），B在反比例函数的图象上，
∴B（3，1）．
同理可求：C（1，3），D（，3）．
∴AB＝2，CD＝．

（2）AB＞CD．
证明：∵A（a，b），A在反比例函数的图象上，
∴A（a，）．
∵AB∥x轴，B在反比例函数的图象上，
∴B（3a，）．
同理可求：C（a，），D（，）．
∴AB＝2a，CD＝．
∵a＞0，
∴2a＞．
∴AB＞CD．

五、（共12分）
23．（12分）如图，在△ABC中，点O是AB边上一点，OB＝OC，∠B＝30°，过点A的⊙O切BC于点D，CO平分∠ACB．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BC＝12，求⊙O的半径长；
（3）求阴影部分的面积．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠OCB＝∠B＝30°．由角平分线的定义以及切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接OD，设OC交⊙O于点F．得出∠COD＝∠BOD＝60°，CD＝BC＝6，解直角三角形即可得到结论；
（3）由三角形的面积公式和扇形的面积公式可得出答案．
【解答】（1）证明：∵OB＝OC，∠B＝30°，
∴∠OCB＝∠B＝30°．
又∵CO平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠OCB＝60°．
∴∠BAC＝90°．
∴OA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接OD，设OC交⊙O于点F．

∵⊙O切BC于点D，
∴OD⊥BC．
又∵OB＝OC，∠B＝30°，BC＝12，
∴∠COD＝∠BOD＝60°，CD＝BC＝6，
∵tan∠COD＝，
∴OD＝＝＝2；
（3）解：∵OD＝2，∠DOF＝60°，
∴S阴影＝S△OCD﹣S扇形ODF＝×6×2﹣＝6﹣2π．
六、（共12分）
24．（12分）某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．
（1）当100≤x≤300时，y与x的函数关系式为　y＝﹣x+110　．
（2）某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？
（3）零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？

【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）当x＝200时，代入y＝﹣x+110，确定批发单价，根据总价＝批发单价×200，进而求出答案；
（3）首先根据服装厂获利w元，当100≤x≤300且x为10整数倍时，得出w与x的函数关系式，进而得出最值，再利用当300＜x≤400时求出最值，进而比较得出即可．
【解答】解：（1）当100≤x≤300时，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，根据题意得出：
，
解得：，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣x+110，
故答案为：y＝﹣x+110；

（2）当x＝200时，y＝﹣20+110＝90，
∴90×200＝18000（元），
答：某零售商一次性批发A品牌服装200件，需要支付18000元；

（3）分两种情况：
①当100≤x≤300时，w＝（﹣x+110﹣71）x＝﹣+39x＝﹣（x﹣195）2+3802.5，
∵批发件数x为10的正整数倍，
∴当x＝190或200时，w有最大值是：﹣（200﹣195）2+3802.5＝3800；
②当300＜x≤400时，w＝（80﹣71）x＝9x，
当x＝400时，w有最大值是：9×400＝3600，
∴一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件时，x为190或200时，w最大，最大值是3800元．
七、（共12分）
25．（12分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，P在CD边上，Q在BC的延长线上，CP＝CQ，射线AP交DQ于M，连接MC．
（1）如图①，当点P是CD中点时，线段MC，MD，MA的数量关系是　MC+MD＝MA　；
（2）如图②，当点P不是CD中点时，（1）的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）若AB＝8，AP＝7，直接写出DM的长．

【分析】（1）连接AC，PQ，根据菱形ABCD，∠B＝60°，可得△ACD是等边三角形，再由点P是CD中点，可得AP⊥CD，∠CAP＝∠DAP＝30°，进而可得△CPQ是等边三角形，可得出∠PDQ＝∠PQD＝30°，∠ADM＝∠ADC+∠CDQ＝90°，结论可证；
（2）在AM上截取AN＝MD，构造全等三角形：△ACN≌△DCM，再证明△MCN是等边三角形，即可证得结论；
（3）分两种情况：DP＜CP或DP＞CP，过点A作AH⊥CD于点H，构造直角三角形，运用解直角三角形或勾股定理求出DP，再证明△CPA∽△MPD，运用相似三角形性质列方程求解即可．
【解答】解：（1）MC+MD＝MA．理由如下：
连接AC，PQ，
∵菱形ABCD，∠B＝60°，
∴△ACD是等边三角形，AB∥CD，
∴∠DCQ＝∠B＝60°，
∵点P是CD中点，
∴AP⊥CD，∠CAP＝∠DAP＝∠CAD＝30°，
∴MC＝MD，
∵CP＝CQ，
∴△CPQ是等边三角形，
∴∠CPQ＝∠CQP＝60°，PQ＝CP，
∵PD＝CP，
∴PD＝PQ，
∴∠PDQ＝∠PQD，
∵∠PDQ+∠PQD＝∠CPQ＝60°，
∴∠PDQ＝∠PQD＝30°，
∴∠ADM＝∠ADC+∠CDQ＝90°，
∴MC＝MD＝MA，
∴MC+MD＝MA；
故答案为：MC+MD＝MA；
（2）成立．理由如下：
在AM上截取AN＝MD，
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴DA＝DC，∠ADC＝∠B＝60°，AB∥CD，
∴△ACD是等边三角形，∠DCQ＝∠B＝60°，
∴CA＝CD，∠ACD＝∠CAD＝60°，
∴∠ACD＝∠DCQ，
∵CP＝CQ，
∴△ACP≌△DCQ（SAS），
∴∠CAP＝∠CDQ，CA＝CD，
∴△ACN≌△DCM（SAS），
∴CN＝CM，∠ACN＝∠DCM，
∴∠ACN+∠DCN＝∠DCM+∠DCN＝∠MCN，
∴∠MCN＝∠ACD＝60°，
∴△MCN是等边三角形，
∴MC＝MN，
∴MC+MD＝MN+AN＝MA；
（3）如图③过点A作AH⊥CD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，AB＝8，
∴DA＝DC＝AB＝8，∠ADC＝∠B＝60°，AB∥CD，
∴△ACD是等边三角形，∠DCQ＝∠B＝60°，
∵AH⊥CD，
∴CH＝DH＝CD＝4，
∵＝sin∠ADC，
∴AH＝AD•sin∠ADC＝8•sin60°＝4，
∵AP＝7，
∴PH＝＝＝1，
∴DP＝DH﹣PH＝3，
∵∠CAP＝∠CDQ，∠CPA＝∠MPD，
∴△CPA∽△MPD，
∴＝，即＝，
∴DM＝；
如图④，过点A作AH⊥CD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，AB＝8，
∴DA＝DC＝AB＝8，∠ADC＝∠B＝60°，AB∥CD，
∴△ACD是等边三角形，∠DCQ＝∠B＝60°，
∵AH⊥CD，
∴CH＝DH＝CD＝4，
∵＝sin∠ADC，
∴AH＝AD•sin∠ADC＝8•sin60°＝4，
∵AP＝7，
∴PH＝＝＝1，
∴DP＝DH+PH＝5，
∵∠CAP＝∠CDQ，∠CPA＝∠MPD，
∴△CPA∽△MPD，
∴＝，即＝，
∴DM＝；
综上所述，DM的长为或．




八、（共14分）
26．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是线段BC上一点，射线AP交抛物线于点F．
①连接FC，FB，若S△FPC＝2S△FPB，求点F的坐标；
②抛物线的顶点为D，当DP+BP有最小值时，将△ADP沿x轴正方向平移t个单位长度（0≤t≤4）得到△A′D'P'，设△A′D'P'与△BOC重叠部分的面积记为S，请直接写出S与t的函数关系式．

【分析】（1）A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3可得解析式；
（2）①过P作PM⊥x轴于M，由S△FPC＝2S△FPB求出P坐标和AP解析式，联立AP和抛物线解析式即可得到F坐标；
②首先求得DP+BP最小时P为（1，2），再分两种情况画出图象，求出重叠部分顶点的坐标，从而得到S与t的函数关系式．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）①过P作PM⊥x轴于M，如图：

∵S△FPC＝2S△FPB，
∴PC＝2PB，即BC＝3PB，
∴，
由y＝﹣x2+2x+3可得C（0，3），CO＝3，
∴，PM＝1，
同理可得BM＝1，
∴OM＝OB﹣BM＝2，即M（2，0），
∴P（2，1），
设AP解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴AP解析式为：y＝x+，
解得，
∴F（，）；
②过P作PF⊥x轴于F，
∵B（3，0），C（0，3），
∴△BCO为等腰直角三角形，直线BC解析式是y＝﹣x+3，
∴△BFP为等腰直角三角形，
∴PF＝BP，
∴DP+BP最小即是DP+PF最小，故D、P、F共线，如图：

而抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4顶点为D（1，4），
∴DP+BP最小时P为（1，2），
将△ADP沿x轴正方向平移t个单位长度（0≤t≤4）得到△A′D'P'，分两种情况：
（一）当0≤t≤1时，A′D′与OC、BC分别交于E、M，A′P′与OC、BC分别交于G、N，如图：

A（﹣1，0），D（1，4）可得AD解析式为y＝2x+2，
∵△ADP沿x轴正方向平移t个单位长度，
∴A′（﹣1+t，0），A′D′∥AD，
∴A′D′解析式为y＝2x+2﹣2t，
∴令x＝0得y＝2﹣2t，即E（0，2﹣2t），
CE＝OC﹣OE＝1+2t，
由得，
∴M（（1+2t），），
∴S△CEM＝CE•xM＝（1+2t）2，
由A（﹣1，0），P（1，2）得AP解析式：y＝x+1，
而A′（﹣1+t，0），A′P′∥AP得A′P′解析式为y＝x+1﹣t，
∴A′P′与y轴交点G（0，1﹣t），与直线BC交点N（1+t，2﹣t），
∴OG＝1﹣t，S△A′OG＝A′O•OG＝（1﹣t）2，S△A′NB＝A′B•yN＝（4﹣t）（2﹣t），
∴S＝S△COB﹣S△CEM﹣（S△A′NB﹣S△A′OG）
＝×3×3﹣（1+2t）2﹣（4﹣t）（2﹣t）+（1﹣t）2
＝﹣t2+t+，
（二）当1＜t≤4时，A′D′交BC于H，A′P′交BC 于Q，如图：

∵AD解析式为y＝2x+2，A′D′∥AD，A′（t﹣1，0），
∴A′D′解析式为：y＝2x+2﹣2t，
解得H坐标为（t+，﹣t+），
∵AP解析式：y＝x+1，
而A′（t﹣1，0），A′P′∥AP得A′P′解析式为y＝x+1﹣t，
解得Q坐标为（t+1，﹣t+2），
∴S＝S△HA′B﹣S△QA′B
＝（4﹣t）（﹣t+）﹣（4﹣t）（﹣t+2）
＝t2﹣t+．
综上所述，S与t的函数关系式为：S＝．