2023年北京市门头沟区中考数学二模试卷（含解析）

2023年北京市门头沟区中考数学二模试卷

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图是某几何体的三视图，该几何体是(    )

A. 圆柱
B. 圆锥
C. 长方体
D. 三棱柱

2.  如果代数式有意义，那么实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  方程组的解为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如果数据，，，的平均数为，那么数据，，，的平均数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，为的直径，，分别与相切于点，，当时的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，在棋盘上摆放着枚棋子，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系如果白棋的坐标为，黑棋的坐标为，当放入第枚黑棋时，所有棋子恰好组成轴对称图形，黑棋的坐标不可能是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，圆柱的侧面积为记圆柱的底面半径为，底面周长为，高为当在一定范围内变化时和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是(    )

A. 一次函数关系，二次函数关系
B. 反比例函数关系，二次函数关系
C. 正比例函数关系，反比例函数关系
D. 正比例函数关系，一次函数关系

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.  分解因式：          ．

10.  如图所示的网格是正方形网格，点，，，是网格线的交点，那么 ______ 填“”“”或“”．

11.  若已知是一个无理数，且，请写出一个满足条件的值          ．

12.  投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏下表记录了一组游戏参与者的投查结果．

根据以上数据，估计这组游戏参与者投中的概率约为______ 结果精确到．

13.  在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，且，则的取值范围是______ ．

14.  如果，那么代数式的值是______ ．

15.  如图，在中，是边上的高线，的平分线交于，当，的面积为时，的长为______ ．

16.  “端午节”是中国的传统佳节，为了传承中华民族传统文化某学校组织“端午”知识测试测试的试题由道判断题组成，被测试人员只要画“”或画“”表示出对各题的正误判断即可，每小题判断正确得分，判断错误得分现有甲，乙，丙，丁四位同学对道试题的判断与得分的结果如表：

根据以上结果，可以推断丁的得分是______ 分
 

三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．

 

19.  本小题分
下面是小亮同学设计的“作三角形一边上的高线”的尺规作图过程．
已知：如图，．
求作：线段，使于．
作法：分别以，为圆心，大于的同样长为半径作弧，
两弧分别交于点，，作直线，交于点；
以为圆心，长为半径作脚，交于点；
连接．
线段为所求的线段．
根据小亮同学设计的尺规作图过程
使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹
完成下面的证明．
证明：连接，，，．
，，
垂直平分线段______ 填推理依据．
点是线段的中点．
是的直径．
______ ______ 填推理依据．
．

20.  本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：方程有两个不相等的实数根；
如果此方程的一个根为，求的值．

21.  本小题分
如图，在▱中，于，于，且．
求证：▱是菱形；
连接，交于点，当，时，求▱的面积．

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过点．
求的值及反比例函数的表达式；
过点作平行于轴的直线，若直线与一次函数和反比例函数的图象分别交于点，，当时，直接写出的取值范围．

23.  本小题分
门头沟区深挖区域绿水青山教育资源，以区域山水和历史人文资源为素材，开展跨学科实践活动某校为调研学生的学习成效举办“跨学科综合实践活动”成果作品比赛十名评委对每组同学的参赛作品进行现场打分对参加比赛的甲，乙，丙三组同学参赛作品得分单位：分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
甲乙两组同学参赛作品得分的折线图：

丙组同学参赛作品得分：

甲，乙，丙三组同学参赛作品得分的平均数、众数、中位数如表：

根据以上信息，回答下列问题：
表中 ______ ， ______ ；
在参加比赛的小组中，如果某组同学参赛作品得分的个数据的方差越小，则认为评委对该组同学参赛作品的评价越一致据此推断：在甲，乙两组同学中，评委对______ 组同学的参赛作品评价更一致填“甲”或“乙”
如果每组同学的最后得分为去掉十名评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该组同学的参赛作品越优秀据此推断：在甲，乙，丙三组同学中，参赛作品最优秀的是______ 组同学填“甲”“乙”或“丙”．

24.  本小题分
如图是某公园人工湖上的一座拱桥的示意图，其截面形状可以看作是抛物线的一部分经测量拱桥的跨度为米，拱桥顶面最高处到水面的距离为米．

在边长为的正方形网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描出点，，，并用平滑曲线连接；
结合中所画图象，求出该抛物线的表达式；
现有一游船截面为矩形宽度为米，顶棚到水面的高度为米当游船从拱桥正下方通过时，为保证安全，要求顶棚到拱桥顶面的距离应大于米，请判断该游船能否安全通过此拱桥．

25.  本小题分
如图，是直径，弦于，点在上，且，连接，．
求证：
延长到，使，作直线如果．
求证：直线为的切线．

26.  本小题分
在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线．

求抛物线的对称轴及其图象与轴的交点坐标；
如果抛物线与抛物线关于轴对称，直接写出抛物线的表达式；
横、纵坐标都是整数的点叫做整点记抛物线与抛物线围成的封闭区域不包括边界为．
当时，直接写出区域内的整点个数；
如果区域内恰有个整点，结合函数图象，求的取值范围．

27.  本小题分
如图，在中，，点在延长线上，且，将延方向平移，使点移动到点，点移动到点，点移动到点，得到，连接，过点作于．
依题意补全图形；
求证：；
连接，用等式表示线段，的数量关系，并证明．

28.  本小题分
在平衡直角坐标系中，线段，点，在线段上，且，为的中点，如果任取一点，将点绕点顺时针旋转得到点，则称点为点关于线段的“旋平点”．

如图，已知，，，知果为点关于线段的“旋平点”，画出示意图，写出的取值范围；
如图，的半径为，点，在上，点，如果在直线上存在点关于线段的“旋平点”，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：俯视图是三角形，因此这个几何体的上面、下面是三角形的，主视图是长方形，因此判断这个几何体是三棱柱．
故选：．
根据三视图看到的图形的形状和大小，确定几何体的底面，侧面，从而得出这个几何体的名称．
本题考查了由三视图判断几何体，画三视图注意“长对正，宽相等，高平齐”的原则，三视图实际上就是从三个方向的正投影所得到的图形．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据分式的分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不等于零是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据图形可以得到：
；
所以：、、都是错误的；
故选：．
利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．
本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以方程组的解是，
故选：．
得出，求出，再把代入求出即可．
本题考查了接二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：数据，，，的平均数为，
，
则，
则数据，，，的平均数为



．
故选：．
先由数据，，，的平均数为得出，再根据算术平均数的定义计算可得．
本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的定义．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接，
，分别与相切于点，，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
由切线的性质得到，由圆周角定理得到，由四边形内角和是，即可求出的度数．
本题考查切线的性质，圆周角定理，关键是掌握切线的性质定理，圆周角定理．
 

7.【答案】 

【解析】解：平面直角坐标系如图所示：

当放入第枚黑棋时，所有棋子恰好组成轴对称图形，黑棋的坐标不可能是，
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

8.【答案】 

【解析】解：由底面的周长公式：底面周长，
与的关系为：一次函数关系．
根据长方体的侧面积长宽，
可得：，
，
与的关系为：反比例函数关系．
故选：．
根据底面的周长公式“底面周长“可表示出与的关系式，根据圆柱的的侧面积公式长宽”可表示出与，根据各自的表达式形式判断函数类型即可．
此题考查了函数关系式的综合应用，涉及到一次函数，二次函数，反比例函数等知识，熟知函数的相关类型并能够根据实际问题列出函数关系式是解决本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
．
先提取公因式，再运用平方差公式分解．
本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解因式，分解因式要彻底．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，取格点，根据网格可知：，
，
，
故答案为：．

利用格点作平行线，由图所示进行比较即可．
本题考查了角的比较的应用，利用格点作平行线是解题关键．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：是一个无理数，且，
，
可以取，
故答案为：答案不唯一．
求出的范围，按要求在范围内写出一个符合条件的值即可．
本题考查无理数的估算，解题的关键是掌握无理数概念．
 

12.【答案】 

【解析】解：由频率分布表可知，随着投壶次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数附近，
这组游戏参与者投中的概率约为，
故答案为：．
根据频率估计概率的方法结合表格数据可得答案．
此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
 

13.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象经过点，，且，
随的增大而减小，
．
故答案为：．
由“，”，可得出随的增大而减小，结合一次函数的性质，即可得出的取值范围．
本题考查了一次函数的性质，牢记“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：


，
，
原式．
故答案为：．
利用分式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图所示．
平分，且，
．
，
即，
，
．
故答案为：．
过点作于点，则，由的长及的面积，可求出的长，进而可得出的长．
本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，牢记“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：试题由道判断题组成，每题正确得分，甲乙都得分，则甲乙至少有道题目结果相同，由表可得：第题和第题正确答案为“”；
所以丙：第题和第题判断错误，丙得了分则表示其余题都判断正确；
所以道题的正确答案为：，，，，，，
所以丁第判断错误，其余题都正确，得分．
故答案为：．
根据甲乙丙丁的得分，找出相同的答案，判断每个题的最终答案，最后根据答案去得出结果．
本题主要考查了学生对于数据的知识的掌握情况，同时也考查了学生的逻辑推理能力，难度不大．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】根据零指数幂、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质计算．
本题考查的是实数的运算，掌握零指数幂、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质是解题的关键．
 

18.【答案】解：去分母得：，
 移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：．
 

【解析】本题是关于的不等式，应先只把看成未知数，求得的解集，最后在数轴上画出解集．
本题主要考查了解一元一次不等式的知识，特别需要注意，在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向．
 

19.【答案】到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上    直径所对的圆周角等于 

【解析】解：如图：即为所求；

证明：连接，，，．
，，
垂直平分线段到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
点是线段的中点．
是的直径．
直径所对的圆周角等于．
．
故答案为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，，直径所对的圆周角等于．
根据题中步骤作图；
根据圆周角定理证明．
本题考查了作图的应用与设计，掌握圆周角定理是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，，，


，
方程有两个不相等的实数根；
由题意得，
整理，得，
解得，，
的值为或． 

【解析】通过计算根的判别式进行推理证明；
将代入该方程，通过求解关于的一元二次方程进行求解．
此题考查了一元二次方程的求解和根的判别式的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地求解．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，，
，
又，
≌，
，
▱是菱形；
解：如图，

由可知，▱是菱形，
，，，
在中，，
，
，
，
． 

【解析】证≌，得，再由菱形的判定即可得出结论；
由菱形的性质得，，，再由锐角三角函数定义求出，然后由勾股定理得，则，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数定义以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：将点代入，
得，
将点代入反比例函数，
得，
反比例函数表达式为；
一次函数与反比例函数图象如图所示：

联立与，
得或，
两函数交点坐标为或，
结合图象可知，当时，的取值范围是或． 

【解析】先求出的值，再利用待定系数法求反比例函数表达式即可；
线求出一次函数与反比例函数交点，再结合图象即可确定当时，的取值范围．
本题考查了反比例函数与一次函数的综合，解题的关键是掌握一次函数和反比例函数的图象和性质，
 

23.【答案】    乙  丙 

【解析】解：由题意可知，乙组同学参赛作品得分中出现的次数最多，故众数；
丙组同学参赛作品得分的中位数．
故答案为：；；
甲组同学参赛作品得分在至分波动，乙甲组同学参赛作品得分在至分波动，所以乙甲组同学参赛作品得分的波动较小，即乙组同学参赛作品得分的个数据的方差比甲小，所以在甲，乙两组同学中，评委对乙组同学的参赛作品评价更一致．
故答案为：乙；
如果每组同学的最后得分为去掉十名评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，则：
甲组的平均数为；
乙组的平均数为；
丙组的平均数为；
，
参赛作品最优秀的是丙组同学．
故答案为：丙．
根据众数和中位数的定义解答即可；
根据方差的意义解答即可；
根据题意分别求出甲，乙，丙三组同学参赛作品得分的平均数即可．
本题考查条形折线统计图、中位数、众数、平均数以及方差，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的关键．
 

24.【答案】解：以点为原点，所在的直线为轴，过点作垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，

根据题意得：，，
根据交点式，设抛物线的表达式为，
代入点得：，
解得，
抛物线的表达式为；
能安全通过，理由如下：
游船从拱桥正下方通过时，抛物线的对称轴为，游船也关于直线对称，
宽度为米，对称轴左右两边各米，
当时，，
，
该游船能安全通过此拱桥． 

【解析】过点作垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系即可；
待定系数法求抛物线的表达式即可；
游船从拱桥正下方通过时，抛物线的对称轴为游船也关于直线对称，宽度为米，对称轴左右两边各米，当时，求出的值，再进行比较即可
本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
 

25.【答案】证明：如图，连接，
是直径，弦，
，
，
，
，
；
如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
即，
是半径，
是的切线． 

【解析】根据垂径定理、圆周角定理可得，根据等腰三角形的性质可得，进而可得；
根据平行线的性质以及三角形内角和定理可得，进而得到，再利用等边三角形的性质可得，由切线的判定方法可得结论．
本题考查切线的判定，圆周角定理、平行线的性质以及三角形内角和定理，掌握切线的判定方法，圆周角定理是正确解答的前提．
 

26.【答案】解：二次函数，
对称轴为直线，
令，则，
图象与轴的交点坐标为；
抛物线：，
抛物线：，即；
当时，则抛物线：，
顶点为，
图象与轴的交点坐标为，
区域内的整点有，，共个；
当时，如图，
抛物线经过点时，区域内恰有个整点，
解得：，
结合可得：；
当时，如图，抛物线经过点和时，区域内恰有个整点．
经过点时，，
解得：，
经过点时，，
解得：，
，
故如果区域内恰有个整点，则或． 

【解析】利用对称轴公式以及轴上点的坐标特征求得即可；
根据关于轴对称的点的坐标特征即可得出抛物线：，即；
根据图象即可求得；
时，抛物线经过点时，区域内恰有个整点，结合即可得出；当时，如图，抛物线经过点和时，区域内恰有个整点，结合图象即可求得，从而求得如果区域内恰有个整点，则或
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
 

27.【答案】解：补全图形如下：

证明：将延方向平移，使点移动到点，点移动到点，点移动到点，得到，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
；
解：，证明如下：
连接，，如图：

将延方向平移，使点移动到点，点移动到点，点移动到点，得到，
≌，
，，
，即，
，
，
，，
，
由得：，
≌，
，，
即，
于，
，
，
． 

【解析】根据已知补全图形即可；
由将延方向平移得到，可得，，即可得是等腰直角三角形，故，从而是等腰直角三角形，；
连接，，由将延方向平移得到，故BC，，即得，证明，可得≌，从而，，有，即可得．
本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形判定与性质，平移变换，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握平移的性质和全等三角形的判定定理．
 

28.【答案】解：如图，当一端与重合时，中点与重合，
连接，将绕点顺时针旋转得到点，
由中心对称得点坐标，
当一端与重合时，中点在上，
连接，将绕点顺时针旋转得到点，
由中心对称得点坐标，
，

点在轴上，
当点也在轴上时，点的横坐标有最值，
如图，作弦心距，

，
半径，
，
，
，
当点在轴负半轴时，，
，
，
；
当点在轴正半轴时，
，
，
，
，
． 

【解析】由题知，当点在时最小值，当点在时，有最大值，按题中定义解题即可．
由点在轴上，当点也在轴上时，点的横坐标有最值，由长求出弦心距长，在求出长，分两种情况求出点坐标即可．
本题考查了圆的性质的综合应用，对新定义的理解及对称性质的应用是解题关键．