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2020-2021学年 广东省深圳市七年级下学期期中数学试卷（word版 含答案）
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这是一份2020-2021学年 广东省深圳市七年级下学期期中数学试卷（word版 含答案），共18页。试卷主要包含了观察下列各式及其展开式等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年广东省深圳市七年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）图中的∠1，∠2可以是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+2a2＝3a3 B．a8÷a2＝a4 C．a3•a2＝a6 D．（a3）2＝a6
3．（3分）多项式a2+b2与a2﹣b2的差是（ ）
A．0 B．2b2 C．﹣2b2 D．﹣2a2
4．（3分）如果三角形的两边长分别为2和6，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长可以是（ ）
A．6 B．13 C．14 D．15
5．（3分）如图，从旗杆AB的顶端A向地面拉一条绳子，绳子底端恰好在地面P处，则绳子AP的长度不可能是（ ）
A．3 B．3.3 C．4 D．5
6．（3分）如图，下列判断正确的是（ ）
A．若∠1＝∠2，则AB∥CD
B．若∠1＝∠2，则AD∥BC
C．若∠A＝∠3，则AD∥BC
D．若∠A+∠ABC＝180°，则AB∥CD
7．（3分）一个蓄水池有水50m3，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是（ ）
放水时间（分）
1
2
3
4
…
水池中水量（m3）
48
46
44
42
…
A．水池里的水量是自变量，放水时间是因变量
B．每分钟放水2m3
C．放水10分钟后，水池里还有水30m3
D．放水25分钟，水池里的水全部放完
8．（3分）一水池放水，先用一台抽水机工作一段时间后停止，然后再调来一台同型号抽水机，剩下的水量为s．下面能反映s与t之间的关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，点F，G在BC边上，GH折叠，使点B和点C都落在点P处，则∠FPG的度数为（ ）
A．54° B．55° C．56° D．57°
10．（3分）观察下列各式及其展开式
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
……
请你猜想（2x﹣1）8的展开式中含x2项的系数是（ ）
A．224 B．180 C．112 D．48
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）赵师傅在做完门框后，为防止变形，如图中所示的那样在门上钉上两条斜拉的木条（即图中的AB，CD） ．
12．（3分）若4x2﹣（k﹣1）x+16是完全平方式，则k＝ ．
13．（3分）初2021级某班班树现在高60厘米，以后每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为h厘米 ．
14．（3分）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O ．
15．（3分）甲、乙两人骑车从学校出发，先上坡到距学校6千米的A地，再下坡到距学校16千米的B地（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示，返回时，甲和乙上、下坡的速度仍保持不变 千米．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（5分）先化简，再求值：（﹣a+b）（﹣a﹣b）+（8ab3﹣8a2b2）÷4ab，其中a＝2020，b＝2019．
17．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，求∠CHD的度数．
18．（8分）如图，已知DC∥FP，∠1＝∠2，∠AGF＝80°，FH平分∠EFG．
（1）说明：DC∥AB；
（2）求∠PFH的度数．
19．（8分）阅读下面的材料并填空：
①（1﹣）（1+）＝1﹣，反过来＝（1﹣）（1+）＝
②（1﹣）（1+）＝1﹣，反过来＝（1﹣）（1+）＝ ×
③（1﹣）（1+）＝1﹣，反过来＝ ＝
利用上面的材料中的方法和结论计算下题：
（1﹣）（1﹣）（1﹣）……（1﹣）（1﹣）（1﹣）
20．（8分）某移动通讯公司开设两种业务（1）“全球通”：先缴50元月租费，然后每通话1分钟；（2）“神州行”：不缴纳月租费，每通话1分钟（通话均指市话）．若设一个月内通话x分钟，两种业务的费用分别为y1和y2元（通话时不足1分钟的按1分钟计算，如3分20秒按4分钟收费）．
（1）写出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）一个月内通话多少分钟，两种费用相同？
（3）某人估计一个月内通话300分钟，应选择哪种合算？
21．（10分）在学习“乘法公式”时，育红中学七（1）班数学兴趣小组在活动课上进行了这样的操作：作两条互相垂直的线段AB和CD．把大正方形分成四部分（如图所示）．
观察发现
（1）请用两种不同的方法表示图形的面积，得到一个等量关系： ．
类比操作
（2）请你作一个图形验证：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2．
延伸运用
（3）若AB+CD＝14，图中阴影部分的面积和为13，求xy的值．
22．（10分）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，求∠A的度数．
2020-2021学年广东省深圳市七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）图中的∠1，∠2可以是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形分析判断后进行解答．
【解答】解：A、∠1和∠2不是对顶角；
B、∠4和∠2不是对顶角；
C、∠1和∠8是对顶角；
D、∠1和∠2不是对顶角．
故选：C．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+2a2＝3a3 B．a8÷a2＝a4 C．a3•a2＝a6 D．（a3）2＝a6
【分析】A、经过分析发现，a与2a2不是同类项，不能合并，本选项错误；
B、利用同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，即可计算出结果；
C、根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，即可计算出结果；
D、根据积的乘方法则，底数不变，指数相乘，即可计算出结果．
【解答】解：A、因为a与2a2不是同类项，所以不能合并；
B、a2÷a2＝a6，故本选项错误；
C、a5•a2＝a5，故本选项错误；
D、（a5）2＝a6，故本选项正确．
故选：D．
3．（3分）多项式a2+b2与a2﹣b2的差是（ ）
A．0 B．2b2 C．﹣2b2 D．﹣2a2
【分析】根据题意可以列出算式（a2+b2）﹣（a2﹣b2），然后计算即可．
【解答】解：（a2+b2）﹣（a3﹣b2）
＝a2+b3﹣a2+b2
＝8b2，
故选：B．
4．（3分）如果三角形的两边长分别为2和6，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长可以是（ ）
A．6 B．13 C．14 D．15
【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长，从而求得三角形的周长．
【解答】解：设第三边为acm，根据三角形的三边关系知．
由于第三边的长为偶数，
则a可以为6，
∴三角形的周长是6+3+2＝14．
故选：C．
5．（3分）如图，从旗杆AB的顶端A向地面拉一条绳子，绳子底端恰好在地面P处，则绳子AP的长度不可能是（ ）
A．3 B．3.3 C．4 D．5
【分析】直接利用直角三角形的性质斜边大于直角边进而得出答案．
【解答】解：∵旗杆的高度为AB＝3.2米，
∴AP＞AB，
∴绳子AP的长度不可能是：7米．
故选：A．
6．（3分）如图，下列判断正确的是（ ）
A．若∠1＝∠2，则AB∥CD
B．若∠1＝∠2，则AD∥BC
C．若∠A＝∠3，则AD∥BC
D．若∠A+∠ABC＝180°，则AB∥CD
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵∠1＝∠2，故本选项正确；
B、∵∠2＝∠2，故本选项错误；
C、∠A＝∠3，故本选项错误；
D、∵∠A+∠ABC＝180°，故本选项错误．
故选：A．
7．（3分）一个蓄水池有水50m3，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是（ ）
放水时间（分）
1
2
3
4
…
水池中水量（m3）
48
46
44
42
…
A．水池里的水量是自变量，放水时间是因变量
B．每分钟放水2m3
C．放水10分钟后，水池里还有水30m3
D．放水25分钟，水池里的水全部放完
【分析】根据题意可得蓄水量y＝50﹣2t，从而进行各选项的判断即可．
【解答】解：设蓄水量为y，时间为t，
则可得y＝50﹣2t，
A、放水时间是自变量，故本选项符合题意；
B、蓄水池每分钟放水2m6，故本选项不合题意；
C、放水10分钟后3，故本选项不合题意；
D、蓄水池一共可以放水25分钟；
故选：A．
8．（3分）一水池放水，先用一台抽水机工作一段时间后停止，然后再调来一台同型号抽水机，剩下的水量为s．下面能反映s与t之间的关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据抽水时间的增加，剩下的水量逐渐减少；停止时剩下的水量不变，两台抽水机同时工作抽水速度增大，剩下的水量迅速减少，可得答案．
【解答】解：由题意，随着抽水时间的增加；停止时剩下的水量不变，剩下的水量迅速减少．
故选：D．
9．（3分）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，点F，G在BC边上，GH折叠，使点B和点C都落在点P处，则∠FPG的度数为（ ）
A．54° B．55° C．56° D．57°
【分析】根据四边形ABCD是长方形，可得AD∥BC，得∠FEH＝∠BFE，∠EHG＝∠CGH，所以可得∠BFE+∠CGH＝∠FEH+∠EHG＝118°，由折叠可得EF，GH分别是∠BFP和∠CGP的角平分线，可得∠BFP+∠CGP＝2（∠BFE+∠CGH）＝236°，进而可得∠FPG的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠FEH＝∠BFE，∠EHG＝∠CGH，
∴∠BFE+∠CGH＝∠FEH+∠EHG＝118°，
由折叠可知：
EF，GH分别是∠BFP和∠CGP的角平分线，
∴∠PFE＝∠BFE，∠PGH＝∠CGH，
∴∠PFE+∠PGH＝∠BFE+∠CGH＝118°，
∴∠BFP+∠CGP＝2（∠BFE+∠CGH）＝236°，
∴∠PFG+∠PGF＝360°﹣（∠BFP+∠CGP）＝360°﹣236°＝124°，
∴∠FPG＝180°﹣（∠PFG+∠PGF）＝180°﹣124°＝56°．
故选：C．
10．（3分）观察下列各式及其展开式
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
……
请你猜想（2x﹣1）8的展开式中含x2项的系数是（ ）
A．224 B．180 C．112 D．48
【分析】观察数字规律，发现各组数据的首尾均为1，中间数字分别为上一组数据相邻两个数字之和，分别写出左边式子的指数分别为6，7，8的等式右边各项的系数，结合括号内含x项的系数为2，可得答案．
【解答】解：由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为 6，7，2 的等式
1，6，15，15，6，1；
1，3，21，35，7，1；
8，8，28，70，28，8，7；
故含x2项的系数为：28×（﹣1）6×28＝112．
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）赵师傅在做完门框后，为防止变形，如图中所示的那样在门上钉上两条斜拉的木条（即图中的AB，CD） 三角形的稳定性 ．
【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．
【解答】解：赵师傅这样做是运用了三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
12．（3分）若4x2﹣（k﹣1）x+16是完全平方式，则k＝ 17或﹣15 ．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【解答】解：∵4x2﹣（k﹣6）x+16＝（2x）2﹣（k﹣8）x+42，
∴﹣（k﹣5）x＝±2×2x×4，
解得k＝17或k＝﹣15．
故答案为：17或﹣15．
13．（3分）初2021级某班班树现在高60厘米，以后每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为h厘米 h＝60+2x ．
【分析】根据树高＝现在的高度+x个月长的高度即可得出关系式．
【解答】解：依题意有：h＝60+2x，
故答案为：h＝60+2x．
14．（3分）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O 180° ．
【分析】因为本题中∠AOC始终在变化，因此可以采用“设而不求”的解题技巧进行求解．
【解答】解：设∠AOD＝a，∠AOC＝90°+a，
所以∠AOC+∠BOD＝90°+a+90°﹣a＝180°．
故答案为：180°．
15．（3分）甲、乙两人骑车从学校出发，先上坡到距学校6千米的A地，再下坡到距学校16千米的B地（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示，返回时，甲和乙上、下坡的速度仍保持不变 5 千米．
【分析】首先求出甲、乙两人的上下坡的速度，上坡时，甲与乙之间的距离是越来越大的，甲在乙前面，到了下坡乙追上甲，设x小时乙追上甲．列出方程即可解决问题．
【解答】解：乙上坡的速度是：6÷＝10千米/小时﹣）＝20千米/小时．
甲的速度是：16÷＝12千米/小时，
上坡时，甲与乙之间的距离是越来越大的，到了下坡乙追上甲．
则有：12x＝10+20（x﹣1），
x＝（小时），
此时离A地距离＝12×﹣10＝5（千米）．
故答案为5．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（5分）先化简，再求值：（﹣a+b）（﹣a﹣b）+（8ab3﹣8a2b2）÷4ab，其中a＝2020，b＝2019．
【分析】原式利用平方差公式，以及多项式除以单项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝（﹣a）2﹣b2+2b2﹣2ab
＝a4﹣b2+2b3﹣2ab
＝a2+b5﹣2ab
＝（a﹣b）2，
当a＝2020，b＝2019时7＝1．
17．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，求∠CHD的度数．
【分析】利用三角形的三条高交于一点解决问题即可．
【解答】解：延长CH交AB于F，
在△ABC中，三边的高交于一点，
∵∠BAC＝75°，且CF⊥AB，
∵∠ACB＝60°，∴∠BCF＝45°
在△CDH中，三内角之和为180°，
∴∠CHD＝45°，
18．（8分）如图，已知DC∥FP，∠1＝∠2，∠AGF＝80°，FH平分∠EFG．
（1）说明：DC∥AB；
（2）求∠PFH的度数．
【分析】（1）由DC∥FP知∠3＝∠2＝∠1，可得DC∥AB；
（2）由（1）利用平行线的判定得到AB∥PF∥CD，根据平行线的性质得到∠AGF＝∠GFP，∠DEF＝∠EFP，然后利用已知条件即可求出∠PFH的度数．
【解答】解：（1）∵DC∥FP，
∴∠3＝∠2，
又∵∠3＝∠2，
∴∠3＝∠8，
∴DC∥AB；
（2）∵DC∥FP，DC∥AB，
∴∠DEF＝∠EFP＝30°，AB∥FP，
又∵∠AGF＝80°，
∴∠AGF＝∠GFP＝80°，
∴∠GFE＝∠GFP+∠EFP＝80°+30°＝110°，
又∵FH平分∠EFG，
∴∠GFH＝∠GFE＝55°，
∴∠PFH＝∠GFP﹣∠GFH＝80°﹣55°＝25°．
19．（8分）阅读下面的材料并填空：
①（1﹣）（1+）＝1﹣，反过来＝（1﹣）（1+）＝
②（1﹣）（1+）＝1﹣，反过来＝（1﹣）（1+）＝ ×
③（1﹣）（1+）＝1﹣，反过来＝ （1﹣）（1+） ＝
利用上面的材料中的方法和结论计算下题：
（1﹣）（1﹣）（1﹣）……（1﹣）（1﹣）（1﹣）
【分析】直接利用平方差公式计算进而结合已知规律得出答案．
【解答】解：①（1﹣）（1+，反过来＝（1﹣）＝，
②（1﹣）（1+，反过来＝（1﹣）＝×，
③（1﹣）（1+，反过来＝（1﹣）＝
利用上面的材料中的方法和结论计算下题：
（1﹣）（1﹣）……（7﹣）（1﹣）
＝××××…××
＝．
故答案为：，，（1﹣）．
20．（8分）某移动通讯公司开设两种业务（1）“全球通”：先缴50元月租费，然后每通话1分钟；（2）“神州行”：不缴纳月租费，每通话1分钟（通话均指市话）．若设一个月内通话x分钟，两种业务的费用分别为y1和y2元（通话时不足1分钟的按1分钟计算，如3分20秒按4分钟收费）．
（1）写出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）一个月内通话多少分钟，两种费用相同？
（3）某人估计一个月内通话300分钟，应选择哪种合算？
【分析】（1）因为移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.4元；“神舟行”不缴月租费，每通话1min付费0.6元．若一个月内通话xmin，两种方式的费用分别为y1元和y2元，则y1＝50+0.4x，y2＝0.6x；
（2）令y1＝y2，解方程即可；
（3）分别求出两种业务通话300分钟的费用，再做比较即可．
【解答】解：（1）根据题意可得，y1＝0.7x+50；y2＝0.2x；
（2）若两种费用相同，则y1＝y2，即50+2.4x＝0.8x，
解得x＝250．
答：一个月内通话250分钟，两种费用相同．
（3）x＝300时，y1＝170（元）；y2＝180（元）．
答：一个月内通话300分钟，应选择“全球通”比较合算
21．（10分）在学习“乘法公式”时，育红中学七（1）班数学兴趣小组在活动课上进行了这样的操作：作两条互相垂直的线段AB和CD．把大正方形分成四部分（如图所示）．
观察发现
（1）请用两种不同的方法表示图形的面积，得到一个等量关系： （x+y）2＝x2+2xy+y2 ．
类比操作
（2）请你作一个图形验证：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2．
延伸运用
（3）若AB+CD＝14，图中阴影部分的面积和为13，求xy的值．
【分析】（1）依据正方形的面积计算公式即可得到结论；
（2）画出长为2x+y，宽为x+y的长方形，即可验证：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2；
（3）根据AB+CD＝14得x+y，由阴影部分的面积和为13得x2+y2，再利用（1）中的关系进行解答．
【解答】解：（1）由图知，大正方形的边长为x+y2，
∵大正方形的面积为各部分面积和：x2+7xy+y2，
∴（x+y）2＝x3+2xy+y2，
故答案为（x+y）5＝x2+2xy+y4；
（2）如图所示，
（3）∵AB+CD＝14，
∴x+y＝7，
∵阴影部分的面积和为13，
∴x2+y5＝13，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴74＝13+2xy，
∴xy＝18．
22．（10分）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，求∠A的度数．
【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠1+∠2，进而求出∠BPC即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣∠A，求出∠E＝∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°；③∠Q＝2∠E；④∠E＝2∠Q；分别列出方程，求解即可．
【解答】（1）解：∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）
＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
＝（180°+∠A）
＝90°+∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝5∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝∠ABC+
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍
①∠EBQ＝8∠E＝90°，则∠E＝45°；
②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
③∠Q＝4∠E，则90°﹣，解得∠A＝60°；
④∠E＝7∠Q，则∠A＝6（90°﹣，解得∠A＝120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
2020-2021学年广东省深圳市七年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）图中的∠1，∠2可以是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+2a2＝3a3 B．a8÷a2＝a4 C．a3•a2＝a6 D．（a3）2＝a6
3．（3分）多项式a2+b2与a2﹣b2的差是（ ）
A．0 B．2b2 C．﹣2b2 D．﹣2a2
4．（3分）如果三角形的两边长分别为2和6，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长可以是（ ）
A．6 B．13 C．14 D．15
5．（3分）如图，从旗杆AB的顶端A向地面拉一条绳子，绳子底端恰好在地面P处，则绳子AP的长度不可能是（ ）
A．3 B．3.3 C．4 D．5
6．（3分）如图，下列判断正确的是（ ）
A．若∠1＝∠2，则AB∥CD
B．若∠1＝∠2，则AD∥BC
C．若∠A＝∠3，则AD∥BC
D．若∠A+∠ABC＝180°，则AB∥CD
7．（3分）一个蓄水池有水50m3，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是（ ）
放水时间（分）
1
2
3
4
…
水池中水量（m3）
48
46
44
42
…
A．水池里的水量是自变量，放水时间是因变量
B．每分钟放水2m3
C．放水10分钟后，水池里还有水30m3
D．放水25分钟，水池里的水全部放完
8．（3分）一水池放水，先用一台抽水机工作一段时间后停止，然后再调来一台同型号抽水机，剩下的水量为s．下面能反映s与t之间的关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，点F，G在BC边上，GH折叠，使点B和点C都落在点P处，则∠FPG的度数为（ ）
A．54° B．55° C．56° D．57°
10．（3分）观察下列各式及其展开式
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
……
请你猜想（2x﹣1）8的展开式中含x2项的系数是（ ）
A．224 B．180 C．112 D．48
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）赵师傅在做完门框后，为防止变形，如图中所示的那样在门上钉上两条斜拉的木条（即图中的AB，CD） ．
12．（3分）若4x2﹣（k﹣1）x+16是完全平方式，则k＝ ．
13．（3分）初2021级某班班树现在高60厘米，以后每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为h厘米 ．
14．（3分）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O ．
15．（3分）甲、乙两人骑车从学校出发，先上坡到距学校6千米的A地，再下坡到距学校16千米的B地（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示，返回时，甲和乙上、下坡的速度仍保持不变 千米．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（5分）先化简，再求值：（﹣a+b）（﹣a﹣b）+（8ab3﹣8a2b2）÷4ab，其中a＝2020，b＝2019．
17．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，求∠CHD的度数．
18．（8分）如图，已知DC∥FP，∠1＝∠2，∠AGF＝80°，FH平分∠EFG．
（1）说明：DC∥AB；
（2）求∠PFH的度数．
19．（8分）阅读下面的材料并填空：
①（1﹣）（1+）＝1﹣，反过来＝（1﹣）（1+）＝
②（1﹣）（1+）＝1﹣，反过来＝（1﹣）（1+）＝ ×
③（1﹣）（1+）＝1﹣，反过来＝ ＝
利用上面的材料中的方法和结论计算下题：
（1﹣）（1﹣）（1﹣）……（1﹣）（1﹣）（1﹣）
20．（8分）某移动通讯公司开设两种业务（1）“全球通”：先缴50元月租费，然后每通话1分钟；（2）“神州行”：不缴纳月租费，每通话1分钟（通话均指市话）．若设一个月内通话x分钟，两种业务的费用分别为y1和y2元（通话时不足1分钟的按1分钟计算，如3分20秒按4分钟收费）．
（1）写出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）一个月内通话多少分钟，两种费用相同？
（3）某人估计一个月内通话300分钟，应选择哪种合算？
21．（10分）在学习“乘法公式”时，育红中学七（1）班数学兴趣小组在活动课上进行了这样的操作：作两条互相垂直的线段AB和CD．把大正方形分成四部分（如图所示）．
观察发现
（1）请用两种不同的方法表示图形的面积，得到一个等量关系： ．
类比操作
（2）请你作一个图形验证：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2．
延伸运用
（3）若AB+CD＝14，图中阴影部分的面积和为13，求xy的值．
22．（10分）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，求∠A的度数．
2020-2021学年广东省深圳市七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）图中的∠1，∠2可以是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形分析判断后进行解答．
【解答】解：A、∠1和∠2不是对顶角；
B、∠4和∠2不是对顶角；
C、∠1和∠8是对顶角；
D、∠1和∠2不是对顶角．
故选：C．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+2a2＝3a3 B．a8÷a2＝a4 C．a3•a2＝a6 D．（a3）2＝a6
【分析】A、经过分析发现，a与2a2不是同类项，不能合并，本选项错误；
B、利用同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，即可计算出结果；
C、根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，即可计算出结果；
D、根据积的乘方法则，底数不变，指数相乘，即可计算出结果．
【解答】解：A、因为a与2a2不是同类项，所以不能合并；
B、a2÷a2＝a6，故本选项错误；
C、a5•a2＝a5，故本选项错误；
D、（a5）2＝a6，故本选项正确．
故选：D．
3．（3分）多项式a2+b2与a2﹣b2的差是（ ）
A．0 B．2b2 C．﹣2b2 D．﹣2a2
【分析】根据题意可以列出算式（a2+b2）﹣（a2﹣b2），然后计算即可．
【解答】解：（a2+b2）﹣（a3﹣b2）
＝a2+b3﹣a2+b2
＝8b2，
故选：B．
4．（3分）如果三角形的两边长分别为2和6，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长可以是（ ）
A．6 B．13 C．14 D．15
【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长，从而求得三角形的周长．
【解答】解：设第三边为acm，根据三角形的三边关系知．
由于第三边的长为偶数，
则a可以为6，
∴三角形的周长是6+3+2＝14．
故选：C．
5．（3分）如图，从旗杆AB的顶端A向地面拉一条绳子，绳子底端恰好在地面P处，则绳子AP的长度不可能是（ ）
A．3 B．3.3 C．4 D．5
【分析】直接利用直角三角形的性质斜边大于直角边进而得出答案．
【解答】解：∵旗杆的高度为AB＝3.2米，
∴AP＞AB，
∴绳子AP的长度不可能是：7米．
故选：A．
6．（3分）如图，下列判断正确的是（ ）
A．若∠1＝∠2，则AB∥CD
B．若∠1＝∠2，则AD∥BC
C．若∠A＝∠3，则AD∥BC
D．若∠A+∠ABC＝180°，则AB∥CD
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵∠1＝∠2，故本选项正确；
B、∵∠2＝∠2，故本选项错误；
C、∠A＝∠3，故本选项错误；
D、∵∠A+∠ABC＝180°，故本选项错误．
故选：A．
7．（3分）一个蓄水池有水50m3，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是（ ）
放水时间（分）
1
2
3
4
…
水池中水量（m3）
48
46
44
42
…
A．水池里的水量是自变量，放水时间是因变量
B．每分钟放水2m3
C．放水10分钟后，水池里还有水30m3
D．放水25分钟，水池里的水全部放完
【分析】根据题意可得蓄水量y＝50﹣2t，从而进行各选项的判断即可．
【解答】解：设蓄水量为y，时间为t，
则可得y＝50﹣2t，
A、放水时间是自变量，故本选项符合题意；
B、蓄水池每分钟放水2m6，故本选项不合题意；
C、放水10分钟后3，故本选项不合题意；
D、蓄水池一共可以放水25分钟；
故选：A．
8．（3分）一水池放水，先用一台抽水机工作一段时间后停止，然后再调来一台同型号抽水机，剩下的水量为s．下面能反映s与t之间的关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据抽水时间的增加，剩下的水量逐渐减少；停止时剩下的水量不变，两台抽水机同时工作抽水速度增大，剩下的水量迅速减少，可得答案．
【解答】解：由题意，随着抽水时间的增加；停止时剩下的水量不变，剩下的水量迅速减少．
故选：D．
9．（3分）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，点F，G在BC边上，GH折叠，使点B和点C都落在点P处，则∠FPG的度数为（ ）
A．54° B．55° C．56° D．57°
【分析】根据四边形ABCD是长方形，可得AD∥BC，得∠FEH＝∠BFE，∠EHG＝∠CGH，所以可得∠BFE+∠CGH＝∠FEH+∠EHG＝118°，由折叠可得EF，GH分别是∠BFP和∠CGP的角平分线，可得∠BFP+∠CGP＝2（∠BFE+∠CGH）＝236°，进而可得∠FPG的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠FEH＝∠BFE，∠EHG＝∠CGH，
∴∠BFE+∠CGH＝∠FEH+∠EHG＝118°，
由折叠可知：
EF，GH分别是∠BFP和∠CGP的角平分线，
∴∠PFE＝∠BFE，∠PGH＝∠CGH，
∴∠PFE+∠PGH＝∠BFE+∠CGH＝118°，
∴∠BFP+∠CGP＝2（∠BFE+∠CGH）＝236°，
∴∠PFG+∠PGF＝360°﹣（∠BFP+∠CGP）＝360°﹣236°＝124°，
∴∠FPG＝180°﹣（∠PFG+∠PGF）＝180°﹣124°＝56°．
故选：C．
10．（3分）观察下列各式及其展开式
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
……
请你猜想（2x﹣1）8的展开式中含x2项的系数是（ ）
A．224 B．180 C．112 D．48
【分析】观察数字规律，发现各组数据的首尾均为1，中间数字分别为上一组数据相邻两个数字之和，分别写出左边式子的指数分别为6，7，8的等式右边各项的系数，结合括号内含x项的系数为2，可得答案．
【解答】解：由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为 6，7，2 的等式
1，6，15，15，6，1；
1，3，21，35，7，1；
8，8，28，70，28，8，7；
故含x2项的系数为：28×（﹣1）6×28＝112．
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）赵师傅在做完门框后，为防止变形，如图中所示的那样在门上钉上两条斜拉的木条（即图中的AB，CD） 三角形的稳定性 ．
【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．
【解答】解：赵师傅这样做是运用了三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
12．（3分）若4x2﹣（k﹣1）x+16是完全平方式，则k＝ 17或﹣15 ．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【解答】解：∵4x2﹣（k﹣6）x+16＝（2x）2﹣（k﹣8）x+42，
∴﹣（k﹣5）x＝±2×2x×4，
解得k＝17或k＝﹣15．
故答案为：17或﹣15．
13．（3分）初2021级某班班树现在高60厘米，以后每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为h厘米 h＝60+2x ．
【分析】根据树高＝现在的高度+x个月长的高度即可得出关系式．
【解答】解：依题意有：h＝60+2x，
故答案为：h＝60+2x．
14．（3分）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O 180° ．
【分析】因为本题中∠AOC始终在变化，因此可以采用“设而不求”的解题技巧进行求解．
【解答】解：设∠AOD＝a，∠AOC＝90°+a，
所以∠AOC+∠BOD＝90°+a+90°﹣a＝180°．
故答案为：180°．
15．（3分）甲、乙两人骑车从学校出发，先上坡到距学校6千米的A地，再下坡到距学校16千米的B地（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示，返回时，甲和乙上、下坡的速度仍保持不变 5 千米．
【分析】首先求出甲、乙两人的上下坡的速度，上坡时，甲与乙之间的距离是越来越大的，甲在乙前面，到了下坡乙追上甲，设x小时乙追上甲．列出方程即可解决问题．
【解答】解：乙上坡的速度是：6÷＝10千米/小时﹣）＝20千米/小时．
甲的速度是：16÷＝12千米/小时，
上坡时，甲与乙之间的距离是越来越大的，到了下坡乙追上甲．
则有：12x＝10+20（x﹣1），
x＝（小时），
此时离A地距离＝12×﹣10＝5（千米）．
故答案为5．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（5分）先化简，再求值：（﹣a+b）（﹣a﹣b）+（8ab3﹣8a2b2）÷4ab，其中a＝2020，b＝2019．
【分析】原式利用平方差公式，以及多项式除以单项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝（﹣a）2﹣b2+2b2﹣2ab
＝a4﹣b2+2b3﹣2ab
＝a2+b5﹣2ab
＝（a﹣b）2，
当a＝2020，b＝2019时7＝1．
17．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，求∠CHD的度数．
【分析】利用三角形的三条高交于一点解决问题即可．
【解答】解：延长CH交AB于F，
在△ABC中，三边的高交于一点，
∵∠BAC＝75°，且CF⊥AB，
∵∠ACB＝60°，∴∠BCF＝45°
在△CDH中，三内角之和为180°，
∴∠CHD＝45°，
18．（8分）如图，已知DC∥FP，∠1＝∠2，∠AGF＝80°，FH平分∠EFG．
（1）说明：DC∥AB；
（2）求∠PFH的度数．
【分析】（1）由DC∥FP知∠3＝∠2＝∠1，可得DC∥AB；
（2）由（1）利用平行线的判定得到AB∥PF∥CD，根据平行线的性质得到∠AGF＝∠GFP，∠DEF＝∠EFP，然后利用已知条件即可求出∠PFH的度数．
【解答】解：（1）∵DC∥FP，
∴∠3＝∠2，
又∵∠3＝∠2，
∴∠3＝∠8，
∴DC∥AB；
（2）∵DC∥FP，DC∥AB，
∴∠DEF＝∠EFP＝30°，AB∥FP，
又∵∠AGF＝80°，
∴∠AGF＝∠GFP＝80°，
∴∠GFE＝∠GFP+∠EFP＝80°+30°＝110°，
又∵FH平分∠EFG，
∴∠GFH＝∠GFE＝55°，
∴∠PFH＝∠GFP﹣∠GFH＝80°﹣55°＝25°．
19．（8分）阅读下面的材料并填空：
①（1﹣）（1+）＝1﹣，反过来＝（1﹣）（1+）＝
②（1﹣）（1+）＝1﹣，反过来＝（1﹣）（1+）＝ ×
③（1﹣）（1+）＝1﹣，反过来＝ （1﹣）（1+） ＝
利用上面的材料中的方法和结论计算下题：
（1﹣）（1﹣）（1﹣）……（1﹣）（1﹣）（1﹣）
【分析】直接利用平方差公式计算进而结合已知规律得出答案．
【解答】解：①（1﹣）（1+，反过来＝（1﹣）＝，
②（1﹣）（1+，反过来＝（1﹣）＝×，
③（1﹣）（1+，反过来＝（1﹣）＝
利用上面的材料中的方法和结论计算下题：
（1﹣）（1﹣）……（7﹣）（1﹣）
＝××××…××
＝．
故答案为：，，（1﹣）．
20．（8分）某移动通讯公司开设两种业务（1）“全球通”：先缴50元月租费，然后每通话1分钟；（2）“神州行”：不缴纳月租费，每通话1分钟（通话均指市话）．若设一个月内通话x分钟，两种业务的费用分别为y1和y2元（通话时不足1分钟的按1分钟计算，如3分20秒按4分钟收费）．
（1）写出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）一个月内通话多少分钟，两种费用相同？
（3）某人估计一个月内通话300分钟，应选择哪种合算？
【分析】（1）因为移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.4元；“神舟行”不缴月租费，每通话1min付费0.6元．若一个月内通话xmin，两种方式的费用分别为y1元和y2元，则y1＝50+0.4x，y2＝0.6x；
（2）令y1＝y2，解方程即可；
（3）分别求出两种业务通话300分钟的费用，再做比较即可．
【解答】解：（1）根据题意可得，y1＝0.7x+50；y2＝0.2x；
（2）若两种费用相同，则y1＝y2，即50+2.4x＝0.8x，
解得x＝250．
答：一个月内通话250分钟，两种费用相同．
（3）x＝300时，y1＝170（元）；y2＝180（元）．
答：一个月内通话300分钟，应选择“全球通”比较合算
21．（10分）在学习“乘法公式”时，育红中学七（1）班数学兴趣小组在活动课上进行了这样的操作：作两条互相垂直的线段AB和CD．把大正方形分成四部分（如图所示）．
观察发现
（1）请用两种不同的方法表示图形的面积，得到一个等量关系： （x+y）2＝x2+2xy+y2 ．
类比操作
（2）请你作一个图形验证：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2．
延伸运用
（3）若AB+CD＝14，图中阴影部分的面积和为13，求xy的值．
【分析】（1）依据正方形的面积计算公式即可得到结论；
（2）画出长为2x+y，宽为x+y的长方形，即可验证：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2；
（3）根据AB+CD＝14得x+y，由阴影部分的面积和为13得x2+y2，再利用（1）中的关系进行解答．
【解答】解：（1）由图知，大正方形的边长为x+y2，
∵大正方形的面积为各部分面积和：x2+7xy+y2，
∴（x+y）2＝x3+2xy+y2，
故答案为（x+y）5＝x2+2xy+y4；
（2）如图所示，
（3）∵AB+CD＝14，
∴x+y＝7，
∵阴影部分的面积和为13，
∴x2+y5＝13，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴74＝13+2xy，
∴xy＝18．
22．（10分）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，求∠A的度数．
【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠1+∠2，进而求出∠BPC即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣∠A，求出∠E＝∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°；③∠Q＝2∠E；④∠E＝2∠Q；分别列出方程，求解即可．
【解答】（1）解：∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）
＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
＝（180°+∠A）
＝90°+∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝5∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝∠ABC+
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍
①∠EBQ＝8∠E＝90°，则∠E＝45°；
②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
③∠Q＝4∠E，则90°﹣，解得∠A＝60°；
④∠E＝7∠Q，则∠A＝6（90°﹣，解得∠A＝120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
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