2021年上海市静安区中考数学二模试题（word版 含答案）

这是一份2021年上海市静安区中考数学二模试题（word版 含答案），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年上海市静安区中考数学二模试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．下列计算正确的是（　　）
A．1﹣1＝﹣1 B．10＝0 C．（﹣1）﹣1＝1 D．（﹣1）0＝1
2．如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．一次函数的图像不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．对于等边三角形，下列说法正确的为（ ）
A．既是中心对称图形，又是轴对称图形 B．是轴对称图形，但不是中心对称图形
C．是中心对称图形，但不是轴对称图形 D．既不是中心对称图形，又不是轴对称图形
5．某厂对一个班组生产的零件进行调查，该组在8天中每天所出的次品数如下（单位：个）：3，3，0，2，2，3，0，3，那么该班组在8天中出的次品数的中位数与方差分别是（ ）
A．2.5与1.5 B．2与1.5 C．2.5与 D．2与
6．对于命题：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这个圆内含；②如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这个圆外离．下列判断正确的是（ ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题

二、填空题
7．化简：__________．
8．计算：________．
9．函数的定义域为________．
10．如果正比例函数的图像经过第二、四象限，那么函数值随的增大而________．
11．方程组的解为________．
12．从1，2，3这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有数中任意抽取一个数，这个数恰好能被3整除的概率是________．
13．为了了解学生用于阅读课外书籍的时间的情况，某校在300名九年级学生中随机对40名学生每周阅读课外书籍所用的时间进行统计．根据调查结果画出频率分布直方图，如图所示（每个小组可包括最小值，不包括最大值），由此可以估计该校九年级学生阅读课外书籍用的时间在6小时及以上的人数约为________．

14．如图，在中，点在边上，， ，，设， ，那么________ ．（用向量，的式子表示）．

15．如果⊙O1与⊙O2相交，⊙O1的半径是5，O1O2＝3，那么⊙O2的半径r的取值范围是_____．
16．如图，已知在梯形ABCD中，ADBC，AB＝CD，矩形DEFG的顶点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，如果DE＝5，tanC＝，那么AE的长为_____．

17．已知矩形纸片的边，（如图），将它折叠后，点落在边的中点处，那么折痕的长为________．

18．在一个三角形中，如果一个内角是另一内角的倍（为整数），那么我们称这个三角形为倍三角形．如果一个三角形既是2倍角三角形，又是3倍角三角形，那么这个三角形最小的内角度数为________．

三、解答题
19．先化简，再求值：．其中．
20．已知点在双曲线上．
（1）求此双曲线的表达式与点的坐标；
（2）如果点在此双曲线上，图像经过点、的一次函数的函数值随的增大而增大，求此一次函数的解析式．
21．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BC，垂足为E．DC⊥BC，DC＝BC＝2，∠ADB＝90°，BD与AE、AC分别相交于点F、G．
求：（1）AF的长；
（2）AG的长．

22．小丽的叔叔先用900元从甲批发部购进一种商品，后发现同样的商品乙批发部比甲批发部每件便宜3元，又用1200元钱从乙批发部购进了同样的商品，且比从甲批发部购进数量多了40件．问：乙批发部的这种商品每件几元？
23．已知：如图，在梯形中，，，是的中点，的延长线交边于点．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，求证四边形是菱形．
24．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，0）（如图），经过点A的抛物线y＝x2+bx+5与y轴相交于点B，顶点为点C．
（1）求此抛物线表达式与顶点C的坐标；
（2）求∠ABC的正弦值；
（3）将此抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D，且△DCA与△ABC相似，求平移后的新抛物线的表达式．

25．如图，已知半圆O的直径AB＝4，点P在线段OA上，半圆P与半圆O相切于点A，点C在半圆P上，CO⊥AB，AC的延长线与半圆O相交于点D，OD与BC相交于点E．
（1）求证：AD•AP＝OD•AC；
（2）设半圆P的半径为x，线段CD的长为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）当点E在半圆P上时，求半圆P的半径．



参考答案
1．D
【分析】
直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】
解：A、1﹣1＝1，故此选项错误；
B、10＝1，故此选项错误；
C、（﹣1）﹣1＝﹣1，故此选项错误；
D、（﹣1）0＝1，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查零指数幂的性质、负整数指数幂的性质，正确理解性质是关键
2．C
【分析】
由关于x的方程x2-6x+m=0有实数根知△=b2-4ac≥0，求出m的取值范围即可．
【详解】
解：∵关于x的方程有实数根，
∴△=（-6）2-4m≥0，解得：m≤9，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
3．B
【分析】
根据一次函数的图象与系数的关系解答即可．
【详解】
解：∵一次函数中，，，
∴此函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
4．B
【分析】
根据中心对称图形与轴对称图形的概念分析即可．
【详解】
等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：B．
【点睛】
本题考查判断轴对称图形与中心对称图形．掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解答本题的关键．
5．A
【分析】
直接利用中位数的定义和方差的计算公式计算即可．
【详解】
中位数．
．
．
综上可知，中位数为2.5、方差为1.5．
故选：A．
【点睛】
本题考查求中位数和方差．掌握求一组数据中中位数和方差的公式是解答本题的关键．
6．A
【分析】
根据圆与圆的位置关系判断即可．
【详解】
解：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含，是真命题；
②如果第一个圆上的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，故原命题是假命题；
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题的判断，掌握命题的定义及分类并能运用所学知识判断命题的真假是解题的关键．
7．
【分析】
先判断两个实数的大小关系，再根据绝对值的代数意义化简，进而得出答案．
【详解】
解：∵，
∴原式
，
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了绝对值的代数意义，正确判断实数的大小是解题关键．
8．
【分析】
先把除法算式改写成分式的形式，再根据分式的基本性质进行化简，即可得出结果．
【详解】
解：．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了分式的约分，掌握分式的基本性质是解题的关键．
9．
【分析】
函数的定义域，为自变量的取值范围，即分母不为0．
【详解】
函数的定义域为，即．
故答案：．
【点睛】
本题考查了自变量的取值范围、分式有意义的条件，准确把握分式有意义的条件是解答此题的关键．
10．减小
【分析】
根据正比例函数的性质即可填空．
【详解】
根据函数图象经过第二、四象限可知其比例系数．
∴函数值y随x的增大而减小．
故答案为：减小．
【点睛】
本题考查正比例函数的性质．掌握正比例函数，当时，其图象经过第二、四象限，且函数值y随x的增大而减小是解答本题的关键．
11．
【分析】
先求出，再利用加减消元法进行求解x,y即可．
【详解】
解：

由①得：③
将②代入③得：④
②+④得：，则
将代入④得，
所以
故答案为．
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
12．
【分析】
利用树状图法求解即可．
【详解】
根据题意，列树状图如下：

∴组成的两位共有：12，13，21，23，31，32，6个数，
其中能够被3整除的有：12，21，2个数，
∴恰好能被3整除的概率为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查列树状图或表格的方法求概率，准确根据题意列出树状图或表格是解题关键．
13．120
【分析】
根据直方图分析出课外阅读时间在6小时及以上的人数的频率，然后利用频率乘总人数即可求解．
【详解】
由图中可知，课外阅读时间在6小时及以上的人数的频率为0.25+0.15=0.4，
∴所有学生中，课外阅读时间在6小时及以上的人数300×0.4=120人，
故答案为：120．
【点睛】
本题考查频率分布直方图，理解频率分布直方图的意义是解题关键．
14．
【分析】
根据∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，可证，则有，可得AB＝3，BD＝1，可求得，然后根据 求解即可．
【详解】
解：∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，
∴，
∴，
∴
∴AB＝3，
∴BD＝1，
∴ ，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，平面向量等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
15．2＜r＜8
【分析】
根据数量关系与两圆位置关系的对应情况求得，两圆相交，则R﹣r＜d＜R+r．
【详解】
解：∵两圆相交，
∴圆心距的取值范围是|5﹣r|＜3＜5+r，
即2＜r＜8．
故答案为：2＜r＜8．
【点睛】
本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．外离，则P＞R +r；外切，则P＝R +r；相交，则R﹣r＜P＜R +r；内切，则P＝R﹣r；内含，则P＜R﹣r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
16．2
【分析】
证明AE＝CG，解直角三角形求出CG，可得结论．
【详解】
解：∵四边形DEFG是矩形，
∴EFCD，EF＝DG，∠FGD＝∠FGC＝90°，DE＝FG＝5，
∴∠EFB＝∠C，
∵ADBC，AB＝CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠EFB，
∴BE＝EF＝DG，
∴AE＝CG，
在RtFGC中，tanC＝＝，
∴CG＝2，
∴AE＝CG＝2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查等腰梯形的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17．
【分析】
通过作出折叠后的图形，作， 先证，得到 ，再求出，，，代入求解即可．
【详解】
解：作出折叠后的图形，作，垂足为点M，连接PD．

∵矩形纸片，将它折叠后，点落在边的中点处，与点P重合
∴,
∵四边形是矩形，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵四边形是矩形，，，点落在边的中点P处，
∴，，，
在中，，
∴则．
故答案：．
【点睛】
本题考查了勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及折叠的性质，能找到相似三角形得到边与边的关系是解答此题的关键．
18．或或或
【分析】
根据n倍三角形的定义结合三角形内角和定理，进行分类讨论计算即可．
【详解】
设最小的内角为．分类讨论：
①当2倍角为，3倍角为时，可得：，
解得．
②当2倍角为，3倍角为时，可得：，
解得．
③当3倍角为，2倍角为时，可得：，
解得．
④当即是2倍角又是三倍角时，即另一个内角为，可得：，
解得．
综上可知，最小的内角为或或或．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理．理解题干中n倍三角形的定义以及利用分类讨论的思想是解答本题的关键．
19．，
【分析】
分式的减法运算，先通分进行化简计算，然后代入求值．
【详解】
解：
=
=
=
=
=
当时，
原式=
=
=
=
=
【点睛】
本题考查分式的化简及二次根式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．
20．（1），；（2）．
【分析】
（1）把点A（2，m+3）代入求得m，即可求出结果；
（2）把点B（a，5-a）代入求得a得到B点的坐标，根据A点坐标和函数的增减性排除掉不符合题意的点，再由待定系数法求出一次函数解析式．
【详解】
解：（1）∵点A（2，m+3）在双曲线上，
∴，
解得：m=-6，
∴m+3=-3，
∴此双曲线的表达式为，
点A的坐标为（2，-3）；
（2）∵点B（a，5-a）在此双曲线上，
∴，
解得：a=-1或a=6，
经检验：都是原方程的根，且符合题意，
∴点B的坐标为（-1，6）或（6，-1），
∵一次函数的函数值随的增大而增大，由（1）知A（2，-3），
∴点B的坐标只能为（6，-1），
设一次函数的解析式为y=kx+b，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式以及一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
21．（1）2；（2）
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质可得点E是BC的中点，证明AE∥DC，可得EF是△BCD的中位线，再根据条件证明△ADF是等腰直角三角形，进而根据勾股定理可得结果；
（2）由（1）可得AF＝CD＝2，EF＝1，BE＝1，所以AE＝3，根据勾股定理可得AB＝，所以AC＝AB＝，再证明△AFG≌△CDG，可得AG＝CG，进而可得结论．
【详解】
解：（1）∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴点E是BC的中点，
∴BE＝BC＝×2＝1，
∵DC⊥BC，
∴AE∥DC，
∵DC⊥BC，DC＝BC＝2，
∴BD＝＝2，∠CBD＝45°，
∵点E是BC的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF＝DC＝1，DF＝BD＝，
∵∠CBD＝45°，
∴∠AFD＝∠EFB＝45°，
∵∠ADB＝90°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴AD＝DF＝，
∴AF＝＝2；
（2）由（1）可知：AF＝CD＝2，EF＝1，BE＝1，
∴AE＝AF+EF＝2+1＝3，
∴AB＝＝＝，
∴AC＝AB＝，
∵AE∥CD，
∴∠FAG＝∠DCG，
在△AFG和△CDG中，
，
∴△AFG≌△CDG（AAS），
∴AG＝CG，
∴AG＝AC＝．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．
22．12元
【分析】
设乙批发部的这种商品每件x元，则甲批发部这种商品每件(x+3)元，根据“比从甲批发部购进数量多了40件”建立分式方程求解并检验即可．
【详解】
设乙批发部的这种商品每件x元，则甲批发部这种商品每件(x+3)元，
根据题意得：
左右同乘得：
整理得：
则：
或，
∴，（不符合题意，舍去）
检验：当时，，
∴是原分式方程的解，
∴乙批发部的这种商品每件12元．
【点睛】
本题考查分式方程的实际应用，审清题意，找准等量关系建立方程，并注意最后要检验是解题关键．
23．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由平行四边形的性质可知，．再由是中点，即AE=CE．即可以利用“AAS”证明，得出，即证明四边形是平行四边形．
（2）由和是中点，即可推出．又因为，即证明，即可推出．即四边形是菱形．
【详解】
（1）∵，
∴，．
又∵是中点，
∴AE=CE，
∴在和中，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
∴四边形是菱形．
【点睛】
本题考查梯形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质．掌握特殊四边形的判定方法是解答本题的关键．
24．（1）y＝x2﹣6x+5，顶点C的坐标为（3，﹣4）；（2）；（3）y＝x2﹣6x+或y＝x2﹣6x+11．
【分析】
（1）将代入可得表达式，配方即得顶点坐标；
（2）设BC与x轴交于F，过F作FE⊥AB于E，求出EF、BF即可得出答案；
（3）设D坐标，用三边对应成比例列方程，求出D的坐标即可得出答案．
【详解】
解：（1）将代入得：
，解得，
∴抛物线表达式为：，
∵，
∴顶点C的坐标为；
（2）设BC与x轴交于F，过F作FE⊥AB于E，如图所示：

抛物线与y轴交于，
设BC解析式为，
将，代入得：
，解得，
∴BC解析式为，
令，得，
∴F，
∴，
∵，，
∴，，∠BAO＝45°，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D，设，
则平移后的新抛物线的表达式为，
且，
，，
，，
若△DCA与△ABC相似，只需三边对应成比例，但AC对应边不能是AC，
故分三种情况：
①若△ABC∽△DCA，如图所示：

，即，
解得：，
∴，
∴平移后的新抛物线的表达式为：，
②若△ABC∽△DAC，
则，即，无解，
③若△ABC∽△ACD，如图所示：

，即，
解得，
∴，
∴平移后的新抛物线的表达式；
综上所述，△DCA与△ABC相似，平移后的新抛物线的表达式为或．
【点睛】
本题考查二次函数、三角函数及相似三角形的综合知识，解题的关键是求出平移后抛物线的顶点坐标．
25．（1）见解析；（2）y＝，x范围是0＜x≤2；；（3）
【分析】
（1）连接CP，证明△ACP∽△ADO相似即可得到答案；
（2）用x的代数式表示AC，再利用平行线分线段成比例即可得到答案；
（3）半圆P与AB交于G，连接EG，过E作EH⊥AB于H，利用x的代数式表示EG和BG再列方程可得答案．
【详解】
解：（1）连接CP，如图：

∵AP＝CP，AO＝DO，
∴∠A＝∠ACP＝∠ADO，
∴△ACP∽△ADO，
∴，
∴AD•CP＝OD•AC，
∴AD•AP＝OD•AC；
（2）∵半圆O的直径AB＝4，
∴AO＝2，
∵半圆P的半径为x，
∴OP＝2﹣x，
∵CO⊥AB，
∴∠COP＝90°，
∴CO2＝CP2﹣OP2＝x2﹣（2﹣x）2＝4x﹣4，
Rt△AOC中，AC＝＝2，
∵∠A＝∠ACP＝∠ADO，
∴CP∥DO，
∴，
又线段CD的长为y，
∴，
变形得：，x范围是0＜x≤2；
（3）设半圆P与AB交于G，连接EG，过E作EH⊥AB于H，如图：

设半圆P的半径为x，由（2）知AC＝2，
∵CO⊥AB，
∴BC＝AC＝2，
∵CP∥DO，
∴，
而OB＝2，PB＝4﹣x，
∴，
∴BE＝，
∵点E在半圆P上，
∴∠EGB＝∠ACB，
且∠B＝∠B，
∴△CAB∽△GEB，
∴，
∴，
∴EG＝，
∵AC＝BC，
∴EG＝BG，
而BG＝AB﹣AG＝4﹣2x，
∴＝4﹣2x，
解得或（大于2，舍去），
∴半圆P的半径为．
【点睛】
本题考查圆、相似三角形及勾股定理等综合知识，难度较大，解题的关键是利用相似三角形性质表达相关线段的长度再列方程．