2021年高考数学三轮冲刺训练基本初等函数及其性质含解析

这是一份2021年高考数学三轮冲刺训练基本初等函数及其性质含解析，共31页。试卷主要包含了.关于函数性质的考查，关于函数图象的考查，合理的运用数形结合法，设，则的大小关系为，已知，则，已知，，，则的大小关系为，若a>b，则，若，则等内容，欢迎下载使用。

基本初等函数及其性质
1、.关于函数性质的考查：以考查能力为主，往往以常见函数（二次函数、指数函数、对数函数）为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；
2、关于函数图象的考查：
（1）函数图象的辨识与变换；
（2）函数图象的应用问题，运用函数图象理解和研究函数的性质，数形结合思想分析与解决问题的能力；


1、函数的性质
(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：

(2)在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
(3)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值.
（3）函数周期性的判定：
：可得为周期函数，其周期
的周期
分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：
所以有：，即周期
注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期
的周期
分析：
（为常数）的周期
分析：，两式相减可得：
（为常数）的周期
双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体情况如下：（假设）
① 若的图像关于轴对称，则是周期函数，周期
分析：关于轴对称
关于轴对称
的周期为
② 若的图像关于中心对称，则是周期函数，周期
③ 若的图像关于轴对称，且关于中心对称，则是周期函数，周期
二、利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换

(2)对称变换
y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；
y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象.
(3)伸缩变换
y＝f(x)y＝f(ax).
y＝f(x)y＝Af(x).
(4)翻折变换
y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象.
[常用结论与微点提醒]
三、记住几个重要结论
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.
(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
2.图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.
3.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上减下加”进行.

1、 特殊化的方法，特别是对于判断大小的题型，一方面可以运用函数的性质；另一方面可以特殊化，对变量进行赋值，进而确定大小；
2、 运用排除法：特别适合与识图辩图的题型，可以通过研究函数的性质、图像的变化趋势以及特殊位置对于函数的值的正负进行排除或者验证。
3、合理的运用数形结合法、属性结合是解决与函数图像有关的主要方法，在本节中体现的比较多，要注意正确做出函数的图像。

1、设函数，则f(x)
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
【答案】D
【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D．
2、设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则
A．（log3）＞（）＞（）
B．（log3）＞（）＞（）
C．（）＞（）＞（log3）
D．（）＞（）＞（log3）
【答案】C
【解析】是定义域为的偶函数，．
，
又在(0，+∞)上单调递减，
∴，
即.
故选C．
3、若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或.
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D．
4、已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则
A．a C．b 【答案】A
【解析】由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
故选：A.
5、设，则的大小关系为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，
，
，
所以.
故选：D．
6、已知，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
即
则．
故选B．
7、已知，，，则的大小关系为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，
，
，即，
所以.
故选A.
8、若a>b，则
A．ln(a−b)>0 B．3a<3b
C．a3−b3>0 D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】取，满足，但，则A错，排除A；
由，知B错，排除B；
取，满足，但，则D错，排除D；
因为幂函数是增函数，，所以，即a3−b3>0，C正确.
故选C．
9、若，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，则为增函数，因为
，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.
故选：B．
10、若2x−2y<3−x−3−y，则
A．ln(y−x+1)>0 B．ln(y−x+1)<0
C．ln|x−y|>0 D．ln|x−y|<0
【答案】A
【解析】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A．
11、函数的图象大致为

A B

C D
【答案】A
【解析】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当时，，选项B错误.
故选：A．
12、函数f(x)=在的图像大致为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．
又，可知应为D选项中的图象．
故选D．
13、函数在的图像大致为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．
又排除选项D；
，排除选项A，
故选B．
14、在同一直角坐标系中，函数，(a>0，且a≠1)的图象可能是

【答案】D
【解析】当时，函数的图象过定点且单调递减，则函数的图象过定点且单调递增，函数的图象过定点且单调递减，D选项符合；
当时，函数的图象过定点且单调递增，则函数的图象过定点且单调递减，函数的图象过定点且单调递增，各选项均不符合.
综上，选D.
15、已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点.
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以.
综上，的取值范围为.
故选：D．


16、已知函数，则不等式的解集是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图象如图：

两函数图象的交点坐标为，
不等式的解为或.
所以不等式的解集为：.
故选：D．
17、已知，函数．若函数恰有3个零点，则
A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0
C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0
【答案】C
【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x，
则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点；
当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣bx3（a+1）x2+ax﹣ax﹣bx3（a+1）x2﹣b，
，
当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，
y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增，
则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；
当a+1＞0，即a>﹣1时，
令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，
则函数最多有2个零点.
根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，
如图：

∴0且，
解得b＜0，1﹣a＞0，b（a+1）3，则a>–1，b<0.
故选C．
18、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者
A．10名 B．18名
C．24名 D．32名
【答案】B
【解析】由题意，第二天新增订单数为，设需要志愿者x名，
，,故需要志愿者名.
故选：B
19、Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ln19≈3）
A．60 B．63
C．66 D．69
【答案】C
【解析】，所以，则，
所以，，解得.
故选：C．
20、基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
【答案】B
【解析】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B．
21、已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，，则的值是 ▲ ．
【答案】
【解析】，因为为奇函数，所以
故答案为：
22、已知是奇函数，且当时，.若，则__________．
【答案】
【解析】由题意知是奇函数，且当时，，
又因为，，
所以，
两边取以为底数的对数，得，
所以，即．
【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，对数的计算．
23、设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
【答案】
【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.
若函数为奇函数，则即，
即对任意的恒成立，
则，得.
若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，
即在R上恒成立，
又，则，
即实数的取值范围是.
24、已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是___________.
【答案】
【解析】存在，使得，
即有，
化为，
可得，
即，
由，可得.
则实数的最大值是.

一、 单选题
1、已知是定义在上的奇函数，，若，则（ ）
A．2 B． C．2或 D．2或1
【答案】C
【解析】是奇函数，，
，而，
所以，解得或，
故选：C
2、已知是R上的奇函数，且对，有，当时，，则（ ）
A．40 B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
故.
∵，故.
故选：C．
3、已知是上的偶函数，当时，，若实数，满足，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，当时，则又是上的偶函数，，函数图象如下所示：

当时，则且所以由得且所以且则的取值范围是
故选：
4、已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，，
则，，的大小关系：．
故选：B.
5、三个数，，的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，，，故.
故选A.
6、已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，

，
因为，
所以.
故选：D
7、设.则a.b.c的大小关系是（ ）．
A．a＞c＞b B．b＞c＞a
C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【答案】A
【解析】，
，
；
．
故选：．
8、已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为；；，所以；令，则，已知函数在定义域上单调递增，函数在定义域上单调递减，由复合函数同增异减，即可得函数在定义域上单调递减，所以.
故选：D.
9、人们通常以分贝（符号是）为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度为的声音对应的等级为，则有﹒生活在深海的抹香鲸是一种拥有高分贝声音的动物，其声音约为，而人类说话时，声音约为则抹香鲸声音强度与人类说话时声音强度之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当声音约为时，则，解得，
当声音约为时，则，解得，
所以抹香鲸声音强度与人类说话时声音强度之比为.
故选：C
10、函数的部分图象大致为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，排除B和C，
又当时，，所以，排除D，
故选：A.
11、函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为是奇函数排除，且当时，.
故答案为A.
12、函数的部分图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由已知，∴是其图象的对称轴，这可排除B、D，又，排除C，只能选A.
故选A.
13．已知函数的部分图象如下所示，则可能为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，函数的定义域为，函数的图象关于轴对称，则函数为偶函数，
则选项C中，函数的定义域为不符合题意，排除C；
对于B中，函数，
则函数为奇函数，不符合题意，排除B；
对于A中，函数恒成立，不存在负值，不符合题意，排除A；
对于D中，函数，则函数为偶函数，且函数值可正、可负，符合题意.
故选：D.
14、已知函数的图像如图所示，则此函数可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于，，有，解可得，即的定义域为，
又由，为奇函数，
在区间上，，，，
在区间上，，，，符合题意，
对于，，有，解可得，即的定义域为，
在区间上，，，，与图象不符，不符合题意，
对于，，有，解可得，即的定义域为，与图象不符，不符合题意，
对于，，有，解可得，即的定义域为，与图象不符，不符合题意，
故选：A
二、 多选题
15、若实数，，满足，其中，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】由条件可知，，，，且，，
所以，，即，故A正确；
，，即，故B正确；
，，因为，所以，即，故C正确；
，，即，故D不正确.
故选：ABC
16、已知函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】因为，所以在上单调递增，
由可得，所以，所以选项B正确；
又因为函数，函数在上单调递增，所以，所以选项D正确；
由于二次函数不是单调函数，所以当时，不一定成立，所以选项A错误；
由于函数，不是单调函数，所以当时，不一定成立.所以选项C错误.
故选：BD
17、对于定义在R上的函数，下列命题中正确的有（ ）
A．若为奇函数，则
B．若，当时，恒有成立，则为减函数
C．若函数为偶函数，为奇函数.则为周期函数且最小正周期为4
D．若函数为奇函数且在上有最大值1，则在上有最小值
【答案】BD
【解析】对于A，为定义在R上奇函数，则，错误；
对于B，，当时，恒有成立，则有
时，，或者时，，则为减函数，正确；
对于C，为奇函数，所以，，由函数为偶函数，
，则为周期函数且最小正周期为8，错误；
对于D，函数为奇函数且在上有最大值1，根据奇函数的图象关于原点对称，则在上有最小值，正确.
故选：BD.
18、已知函数，将的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于对称
B．在上单调递减
C．≥的解为
D．方程在上有2个解
【答案】AC
【解析】将的图象上所有点向右平移个单位长度，
可得，
横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，
可得，
由为偶函数，且最小正周期为，
则，且，
解得，，
所以，
对于A，当时，，即，
故的图象关于对称，故A正确；
对于B，由，则，
正弦函数的单调递减区间为，
由不是的子集，故B不正确；
对于C，≥，即，即，
即，
解得，故C正确；
对于D，，即，
作出函数图象与的图象，如下：

由图象可知，两函数的图象在上交点个数为个，故D不正确.
故选：AC
19、已知定义在上的奇函数满足，且时，甲，乙，丙，丁四位同学有下列结论：
甲：；
乙：函数在上是增函数；
丙：函数关于直线对称；
丁：若，则关于的方程在上所有根之和为其中正确的是（ ）．
A．甲，乙，丁 B．乙，丙 C．甲，乙，丙 D．甲，丁
【答案】D
【解析】取x＝1，得f（1﹣4）＝﹣f（1）1，所以f（3）＝﹣f（﹣3）＝1，故甲的结论正确；定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）＝﹣f（x），则f（x﹣4）＝f（﹣x），∴f（x﹣2）＝f（﹣x﹣2），∴函数f（x）关于直线x＝﹣2对称，故丙不正确；
奇函数f（x），x∈[0，2]时，f（x）＝log2（x+1），∴x∈[﹣2，2]时，函数为单调增函数，∵函数f（x）关于直线x＝﹣2对称，∴函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是减函数，故乙不正确；
若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m＝0在[﹣8，8]上有4个根，其中两根的和为﹣6×2＝﹣12，另两根的和为2×2＝4，所以所有根之和为﹣8．故丁正确
故选：D．
20、已知函数，以下结论正确的是（ ）
A．
B． 在区间上是增函数
C．若方程恰有3个实根，则
D．若函数在上有6个零点，则的取值范围是
【答案】BCD
【解析】函数的图象如图所示：
对A，，，所以，故A错误；
对B，由图象可知 在区间上是增函数，故B正确；
对C，由图象可知，直线与函数图象恰有3个交点，故C正确；
对D，由图象可得，当函数在上有6个零点，则
，所以当时，；当时，，所以的取值范围是，故D正确.
故选：BCD.


三、 填空题

21、年月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示碳原有的质量），则经过年后，碳的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到年之间．（参考数据：）
【答案】
【解析】当时， 经过年后，碳的质量变为原来的
令，则
良渚古城存在的时期距今约在年到年之间
故答案为；
22、已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数， 则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】
是定义在上的偶函数，且在上是减函数，，
，
则不等式等价为不等式，
即，
即不等式的解集为，
故答案为：.
23、已知定义在上的函数满足，且图像关于对称，当时，，则________.
【答案】-2
【解析】因为图像关于对称，则，
，
故是以8为周期的周期函数，


故答案为：.
24、已知奇函数满足条件，且当时，，则______．
【答案】
【解析】，，且函数是奇函数，所以化简
，
，，
.
故答案为：-2
25、已知函数对任意的都有，若的图象关于直线对称，且，则______．
【答案】3
【解析】因为的图象关于直线对称，
所以 的图象关于轴对称，所以为偶函数，
令则，所以，
又，则
,所以周期为6，
所以,
故答案为：3
26、写出一个图象关于直线对称的奇函数________．
【答案】
【解析】当时，
，又，所以是奇函数；
的对称轴方程为，，
当时，，所以的图象关于直线对称，符合题意.
故答案为：.