高考数学三轮冲刺卷：幂函数及其性质（含答案）

这是一份高考数学三轮冲刺卷：幂函数及其性质（含答案），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；）
1. 已知 是幂函数，则 的值为
A. B. C. 或 D.

2. 幂函数 及直线 ，， 将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数 的图象经过的“卦限”是
A. ④⑦B. ④⑧C. ③⑧D. ①⑤

3. 如果对任意 ，都有 ，则有理数 ， 间的关系是
A. ，B. ，C. D.

4. 幂函数的图象经过点 ，则它的单调递增区间是
A. B. C. D.

5. 如果 ，那么下列不等式一定成立的是
A. B. C. D.

6. 下列结论中，正确的是
A. 幂函数的图象都经过点 ，
B. 幂函数的图象可以出现在第四象限
C. 当幂指数 取 ，， 时，幂函数 是增函数
D. 当幂指数 时，幂函数 是减函数

7. 函数 满足 ，那么函数 的图象大致为
A. B.
C. D.

8. 设 ，则下列不等式成立的是
A. B. C. D.

9. 若幂函数 ，， 在第一象限的图象如图所示，则
A. B. C. D.

10. 下列函数中，在区间 上是严格增函数且其图象关于 轴对称的是
A. B. C. D.

11. 设 ．若 ，均有 成立，则 取值的个数是
A. 个B. 个C. 个D. 个

12. 下列函数中是偶函数，且在 上单调递减的是
A. B. C. D.

13. 已知幂函数 （，，，且 ， 互质）的图象如图所示，则
A. ， 均为奇数，且 B. 为奇数， 为偶数，且
C. 为偶数， 为奇数，且 D. 为偶数， 为奇数，且

14. 如果幂函数 的图象不过原点，则 的取值范围为
A. B. 或
C. D. 或

15. ，， 的大小关系是
A. B. C. D.

16. 已知幂函数 的图象关于原点对称，且在 上单调递减，则
A. B. 或 C. D.

17. 已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为
A. B. C. D.

18. 幂函数 的图象经过点 ，则 的值为
A. B. C. D.

19. 函数 的图象是
A. B.
C. D.

20. 函数 的定义域是
A. B.
C. D.

二、填空题（共5小题；）
21. 若幂函数 的图象过点 ，则 的解析式是 ．

22. 幂函数 与 的图象在第一象限都通过定点 ，若它们在第一象限的部分关于直线 对称，则 ， 应满足的条件是 ．

23. 已知幂函数 ，若 ，则 的取值范围是 ．

24. 已知函数 ，，若不等式 恒成立，则在 的条件下， 可以取值的个数是 ．

25. 已知方程 的解 ，则正整数 ．

三、解答题（共5小题；）
26. 已知函数 ， 为何值时，函数 是：
（1）正比例函数；
（2）反比例函数；
（3）幂函数．

27. 已知函数 ．
（1）若 为偶函数，且在 上单调递增，求 的解析式；
（2）若 在 上单调递减，求 的取值范围．

28. 已知幂函数 在 上单调递增．
（1）求实数 的值，并写出相应的函数 的解析式；
（2）对于（）中的函数 ，试判断是否存在正数 ，使函数 ，在区间 上的最大值为 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．

29. 如图，幂函数 的图象关于 轴对称，且与 轴， 轴均无交点，求此函数的解析式及不等式 的解集．

30. 将下列一组数从小到大排列起来，并说明理由．，，，，，，，．
答案
1. A【解析】由题意得 解得 ．
2. D【解析】幂函数 的图象形状是上凸形，在 内图象在 上方，而在 内图象在 下方，故可知 过①⑤“卦限”．
3. C
4. C
5. D
6. C【解析】由幂函数的图象与性质知C正确．
7. C
8. C
9. B
10. C
11. A
12. B【解析】由五个具体幂函数的性质可知，A，C中的函数为奇函数，D中的函数为非奇非偶函数，B中的函数是偶函数，且在 上单调递减，故选B．
13. D【解析】因为图象关于 轴对称，
所以函数为偶函数，
所以 为偶数， 为奇函数．
由图象在第一象限内缓慢递增，知 ．
故选D．
14. D【解析】依据幂函数为 形式，知 ．又其图象不过原点，则指数 ．由
得 解得
故 或 ．
15. D
【解析】因为 是增函数，
所以 ，
即 ．
16. B【解析】幂函数 在 上单调递减，
所以 ，
解得 ．
又 ，
所以 ．
当 时， 不是奇函数，
所以 ．
故选B．
17. C
18. B【解析】设幂函数 的图象过点 ，则 ，
因而 ，那么 ，．
19. B【解析】由于幂函数图象恒过点 ，排除A，D．
当 时，；
当 时，，排除C．
20. D
【解析】 解得 ，且 ．
21.
22. ，
23.
【解析】因为 ，易知 在定义域 上是减函数，又
所以 解得
所以 ．
所以 的取值范围是 ．
24.
【解析】因为 ，
所以 ．
当 时， 显然是不恒成立的；
当 时，；
当 时，；
当 时，．
综上， 可以取值为 或 ，共 个．
25.
【解析】函数 与函数 在 上有一个交点，当 时，，，所以正整数 ．
26. （1） 若函数 为正比例函数，
则
所以 ．
（2） 若函数 为反比例函数，
则
所以 ．
（3） 若函数 为幂函数，则 ，
所以 ．
27. （1） 因为 在 上单调递增，所以 ，解得 ，又因为 ，所以 ．
由 为偶函数知 ，所以 ．
（2） 因为 在 上单调递减，所以 ，解得 或 ，即 的取值范围为 ．
28. （1） 因为幂函数 在 上单调递增，
所以 ，．
所以 （舍去）或 ，所以 ，．
（2） 因为 ，因为 ，
所以 开口方向向下，对称轴 ．
①当 ， 时，得 ，
则 在 上单调递减，故当 时取得最大值，而 ，应舍去；
②当 ， 时，得 ，则 在 处取得最大值．
，解得 ，且 ．
所以 ．
29. 由题意，得 ，所以 ．
因为 ，
所以 ．
因为幂函数的图象关于 轴对称，
所以 为偶数，
因为 时，， 时，， 时，，
故当 时， 符合题意，即 ，
所以不等式 可化为 ，即 ，
解得 或 ，
所以该不等式的解集为 ．
30. 因为 ，
所以可先将其余的数分成三类；
负数：；
大于 小于 的数：，，；
大于 的数：，，．
然后在各类中比较大小：在 中，，
所以 （或用幂函数的单调性进行比较）；
因为 ，，
所以 ．
故在 中，有 ．
在 中，．
由此可得：
．