2021年高考数学三轮冲刺训练导数及其应用含解析

这是一份2021年高考数学三轮冲刺训练导数及其应用含解析，共39页。试卷主要包含了基本初等函数的导数公式，导数的运算法则，复合函数的导数， 解函数应用题的步骤，已知函数.等内容，欢迎下载使用。

导数及其应用
从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力.

1、基本初等函数的导数公式
(1)(xα)＝αxα－1 (α为常数)；
(2)(ax)′＝axln_a(a>0且a≠1)；
(3)(logax)′＝logae＝ (a>0，且a≠1)；
(4)(ex)′＝ex；
(5)(ln x)′＝；
(6)(sin x)′＝cos_x；
(7)(cos x)′＝－sin_x.
2、导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝ (g(x)≠0).
3、复合函数的导数
若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a.
（1）函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.
（2）函数的极值
判断f(x0)是极值的方法
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，
①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值.
求可导函数的极值的步骤
①求f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.
（3）函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f(x)在区间(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
（4）方法技巧
1、利用导数的符号来判断函数的单调性；
2、已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题；
3、f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.
(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点.所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点.
(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.
(1)求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.
(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况.
逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证．利用两个经典不等式解决问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程．
(1)对数形式：x≥1＋ln x(x>0)，当且仅当x＝1时，等号成立．
(2)指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立．进一步可得到一组不等式链：ex>x＋1>x>1＋ln x(x>0，且x≠1)．
2、一般地，若a>f(x)对x∈D恒成立，则只需a>f(x)max；若af(x0)成立，则只需a>f(x)min；若存在x0∈D，使a
1、分类讨论法：常见有两种情况，一种先利用综合法，结合导函数零点之间大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另一种，直接通过导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数．
提示：求解参数范围时，一般会涉及分离参数法，理科试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常需要设出导函数的零点，难度较大．
[判断、证明或讨论函数零点个数的方法]　利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0.①直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明f(a)·f(b)<0；②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)<0.
2 、数学模型及数学建模
数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述．
数学建模是把实际问题加以抽象概括，建立相应的模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法．
3、 常见的函数模型①一次函数；②二次函数；③指(对)数函数、幂函数．
三种增长型函数模型的性质
　　函数



性质　　
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图像的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax


4、 解函数应用题的步骤
第一步：阅读理解题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．
第二步：引用数学符号，建立数学模型．一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相关辅助变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题数学化，即所谓建立数学模型．
第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果．
第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答．



1、函数的图像在点处的切线方程为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，，，，
因此，所求切线的方程为，即.
故选：B．
2、若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为
A．y=2x+1 B．y=2x+
C．y=x+1 D．y=x+
【答案】D
【解析】设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D．
3、已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则
A． B．a=e，b=1
C． D．，
【答案】D
【解析】∵
∴切线的斜率，，
将代入，得.
故选D．
4、已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，恒成立；
当时，恒成立，
令，
则
，
当，即时取等号，
∴，则.
当时，，即恒成立，
令，则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
则时，取得最小值，
∴，
综上可知，的取值范围是.
故选C.
5、已知，函数．若函数恰有3个零点，则
A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0
C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0
【答案】C
【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x，
则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点；
当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣bx3（a+1）x2+ax﹣ax﹣bx3（a+1）x2﹣b，
，
当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增，
则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；
当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，
令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.
根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，
如图：

∴0且，
解得b＜0，1﹣a＞0，b（a+1）3，则a>–1，b<0.
故选C．
6、曲线在点处的切线方程为____________．
【答案】
【解析】
所以切线的斜率，
则曲线在点处的切线方程为，即
7、在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是 ▲ .
【答案】4
【解析】由，得，
设斜率为的直线与曲线切于，
由得（舍去），
∴曲线上，点到直线的距离最小，最小值为.
故答案为．
8、设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
【答案】
【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.
若函数为奇函数，则即，
即对任意的恒成立，
则，得.
若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，
即在R上恒成立，
又，则，
即实数的取值范围是.
9、已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
【解析】（1）当a=1时，f（x）=ex+x2–x，则=ex+2x–1．
故当x∈（–∞，0）时，<0；当x∈（0，+∞）时，>0．所以f（x）在（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
（2）等价于.
设函数，则


.
（i）若2a+1≤0，即，则当x∈（0，2）时，>0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g（0）=1，故当x∈（0，2）时，g（x）>1，不合题意.
（ii）若0<2a+1<2，即，则当x∈(0，2a+1)∪(2，+∞)时，g'(x)<0；当x∈(2a+1，2)时，g'(x)>0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7−4a)e−2≤1，即a≥.
所以当时，g(x)≤1.
（iii）若2a+1≥2，即，则g(x)≤.
由于，故由（ii）可得≤1.
故当时，g(x)≤1.
综上，a的取值范围是.
10、已知函数．
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明： ；
（3）设，证明：．
【解析】（1）

．
当时，；当时，．
所以在区间单调递增，在区间单调递减．
（2）因为，由（1）知，在区间的最大值为，
最小值为．而是周期为的周期函数，故．
（3）由于



，
所以．
11、设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．
（1）求B．
（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．
【解析】（1）．
依题意得，即.
故．
（2）由（1）知，.
令，解得或.
与的情况为：
x






+
0
–
0
+






因为，所以当时，只有大于1的零点.
因为，所以当时，f（x）只有小于–1的零点．
由题设可知，
当时，只有两个零点和1.
当时，只有两个零点–1和.
当时，有三个等点x1，x2，x3，且，，．
综上，若有一个绝对值不大于1的零点，则所有零点的绝对值都不大于1.
12、已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．
【解析】（Ⅰ）（i）当时，，故．可得，，所以曲线在点处的切线方程为，即．
（ii）依题意，．从而可得，整理可得．令，解得．
当变化时，的变化情况如下表：


1


-
0
+

↘
极小值
↗
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；的极小值为，无极大值．
（Ⅱ）证明：由，得．
对任意的，且，令，则



． ①
令．当时，，由此可得在单调递增，所以当时，，即．
因为，，
所以，
． ②
由（Ⅰ）（ii）可知，当时，，即，
故． ③
由①②③可得．所以，当时，对任意的，且，有．
13、已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
【解析】（Ⅰ）因为，所以，
设切点为，则，即，所以切点为，
由点斜式可得切线方程：，即.
（Ⅱ）显然，
因为在点处的切线方程为：，
令，得，令，得，
所以，
不妨设时，结果一样，
则，
所以
，
由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增，
所以时，取得极小值，
也是最小值为.
14、已知，函数，其中e=2.71828…是自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
（Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）因为，，所以在上存在零点．
因为，所以当时，，故函数在上单调递增，
所以函数以在上有唯一零点．
（Ⅱ）（ⅰ）令，，
由（Ⅰ）知函数在上单调递增，故当时，，
所以函数在单调递增，故．
由得，
因为在单调递增，故．
令，，
令，，所以


















故当时，，即，所以在单调递减，
因此当时，．
由得，
因为在单调递增，故．
综上，．
（ⅱ）令，，所以当时，，
故函数在区间上单调递增，因此．
由可得，
由得．
15、已知函数．
（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．
【解析】的定义域为，．
（1）当时，，，
曲线在点处的切线方程为，即．
直线在轴，轴上的截距分别为，．
因此所求三角形的面积为．
（2）当时，．
当时，，．
当时，；当时，．
所以当时，取得最小值，最小值为，从而．
当时，．
综上，的取值范围是．
16、已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）设，则，.
当时，单调递减，而，可得在有唯一零点，
设为.
则当时，；当时，.
所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点.
（2）的定义域为.
（i）当时，由（1）知，在单调递增，而，所以当时，，故在单调递减，又，从而是在的唯一零点.
（ii）当时，由（1）知，在单调递增，在单调递减，而，，所以存在，使得，且当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减.
又，，所以当时，.从而，在没有零点.
（iii）当时，，所以在单调递减.而，，所以在有唯一零点.
（iv）当时，，所以<0，从而在没有零点.
综上，有且仅有2个零点.

一、 单选题
1、已知函数 （其中为自然对数的底数），则图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，该函数的定义域为，且，
令，可得，此时，函数单调递减；
令，可得，此时，函数单调递增.
所以，函数的极小值为.
因此，函数的图象为C选项中的图象.
故选：C.
2、已知在区间上有极值点，实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
,由于函数在上有极值点，所以在上有零点.所以，解得.
故选：D.
3、已知，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是( )
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【解析】
的导数为，
由切线的方程可得切线的斜率为1，
可得切点的横坐标为，所以切点为，
代入，得，
、为正实数，
则．
当且仅当时，取得最小值．
故选：C
4、若幂函数的图象过点，则函数的递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
设，代入点，则，解得，
，
则，
令，解得，
函数的递增区间为.
故选：A.
5、设函数，若函数的图象在点(1，)处的切线方程为y＝x，则函数的增区间为
A．(0，1) B．(0，) C．(，) D．(，1)
【答案】C
【解析】的定义域为，
∵函数的图象在点(1，)处的切线方程为y=x，
∴解得：
∴
欲求的增区间
只需，解得：
即函数的增区间为(，)
故选：C
6、已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
函数有两个零点
由题意得方程有两个根.
设，则
设，则
所以在上单调递减，又
当，所以在上单调递增,
当，所以在上单调递减,
又，，当时，，则
所以存在，，即在上，
又当时，幂函数、对数函数的增加速度的快慢，可知时，
作出函数的大致图象如下.


所以方程有两个根，即的图象与有两个交点，
所以实数的取值范围是，
故选：B
7、已知函数，若且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如下图所示：

设点的横坐标为，过点作轴的垂线交函数于另一点，设点的横坐标为，并过点作直线的平行线，设点到直线的距离为，，
由图形可知，当直线与曲线相切时，取最大值，
当时，，令，得，切点坐标为，
此时，，，故选B.
二、 多选题
8、函数若函数只有一个零点，则可能取的值有（ ）
A．2 B． C．0 D．1
【答案】ABC
【解析】
∵只有一个零点，
∴函数与函数有一个交点，
作函数函数与函数的图象如下，

结合图象可知，当时；函数与函数有一个交点；
当时，，可得，令可得，所以函数在时，直线与相切，可得.
综合得：或.
故选：ABC.
9、设函数若函数有三个零点，则实数可取的值可能是（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】BCD
【解析】
函数有三个零点等价于与有三个不同的交点
当时，，则
所以在上单调递减，在上单调递增
且，，
从而可得图象如下图所示：

通过图象可知，若与有三个不同的交点，则
故选：BCD
10、（2020·鱼台县第一中学高三月考）对于函数，下列正确的是（ ）
A．是函数的一个极值点
B．的单调增区间是，
C．在区间上单调递减
D．直线与函数的图象有3个交点
【答案】ACD
【解析】
由题得，
令，可得，
则在，上单调递增，在上单调递减，
是函数的一个极值点，
故AC正确，B错误；
因为，，
又，
根据在上单调递减得
得，
所以直线与函数的图象有3个交点，故D正确.
故选：ACD.
11、已知函数（e为自然对数的底），若且有四个零点，则实数m的取值可以为（ ）
A．1 B．e C．2e D．3e
【答案】CD
【解析】
因为，可得，即为偶函数，
由题意可得时，有两个零点，
当时，，
即时，，
由，可得，
由相切，设切点为，

的导数为，可得切线的斜率为，
可得切线的方程为，
由切线经过点，可得，
解得：或（舍去），即有切线的斜率为，
故，
故选：CD.
12、已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
函数,,
∵是函数的极值点，∴，即，
,
,
,即A选项正确,B选项不正确;
,即C正确,D不正确.
故答案为:AC.
13、设定义在上的函数满足，且当时，.己知存在，且为函数(为自然对数的底数)的一个零点，则实数的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】
令函数，因为，
，
为奇函数，
当时，，
在上单调递减，
在上单调递减．
存在，
得，，即，
；，
为函数的一个零点；
当时，，
函数在时单调递减，
由选项知，取，
又，
要使在时有一个零点，
只需使，
解得，
的取值范围为，
故选：．
14、关于函数，下列判断正确的是（ ）
A．是的极大值点
B．函数有且只有1个零点
C．存在正实数，使得成立
D．对任意两个正实数，，且，若，则.
【答案】BD
【解析】
A.函数的 的定义域为（0，+∞），
函数的导数f′（x），∴（0，2）上，f′（x）＜0，函数单调递减，（2，+∞）上，f′（x）＞0，函数单调递增，
∴x＝2是f（x）的极小值点，即A错误；
B.y＝f（x）﹣xlnx﹣x，∴y′10，
函数在（0，+∞）上单调递减，且f（1）﹣1ln1﹣1=1>0，f（2）﹣2ln2﹣2= ln2﹣1<0，∴函数y＝f（x）﹣x有且只有1个零点，即B正确；
C.若f（x）＞kx，可得k，令g（x），则g′（x），
令h（x）＝﹣4+x﹣xlnx，则h′（x）＝﹣lnx，
∴在x∈（0，1）上，函数h（x）单调递增，x∈（1，+∞）上函数h（x）单调递减，
∴h（x）⩽h（1）＜0，∴g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上函数单调递减，函数无最小值，
∴不存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正确；
D.令t∈（0，2），则2﹣t∈（0，2），2+t＞2，
令g（t）＝f（2+t）﹣f（2﹣t）ln（2+t）ln（2﹣t）ln，
则g′（t）0，
∴g（t）在（0，2）上单调递减，
则g（t）＜g（0）＝0，
令x1＝2﹣t，
由f（x1）＝f（x2），得x2＞2+t，
则x1+x2＞2﹣t+2+t＝4，
当x2≥4时，x1+x2＞4显然成立，
∴对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）＝f（x2），则x1+x2＞4，故D正确
故正确的是BD，
故选：BD．
15、设函数，且、、，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．存在，使得
C．若，则
D．对任意，总有，使得
【答案】BC
【解析】
利用函数在上的单调性可判断A选项的正误；证明出，可判断B选项的正误；利用函数在上的单调性可判断C选项的正误；取，，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，构造函数，其中，则，
所以，函数在上为减函数，当时，，
因为，则，则，即，
所以，，A选项错误；
对于B选项，当时，，，
所以，函数在上单调递增，当时，，
因为，则，则，即，
所以，，结合A选项可知，，
若，则，所以，，B选项正确；
对于C选项，由B选项可知，函数在上单调递增，
，则，即，则，
所以，，即，C选项正确；
对于D选项，取，，由AB选项可知，，
则，
若存在，则，此时，，D选项错误.
故选：BC.
三、 填空题
16、设点是曲线上任一点，则点到直线的最小距离为__________．
【答案】
【解析】
由题,过点作曲线的切线,则,设点,则,
当切线与直线平行时点到该直线距离最小,则,即,
所以点为,则点到直线的最小距离为,
故答案为：
17、曲线在点处的切线的方程为__________．
【答案】
【解析】

18、直线与曲线相切，则__________.
【答案】
【解析】
函数的导函数，
设切点坐标，则，解得：.
故答案为：
19、若函数在区间内不单调，则k的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
因为，且，
当时，恒成立，所以在上单调递增，不符合；
当时，恒成立，所以在上单调递减，不符合；
当时，若，则，若，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意，
综上可知：.
故答案为：.
20、已知直线是曲线的一条切线，则_________．
【答案】．
【解析】
对，，由，得时， ，
所以，．
故答案为：．
21、已知是正整数，有零点，则的最小值为__________.
【答案】10
【解析】
由得，令，则，令，由，得，
当时，单调递减，当时，单调递增，
故在处取得最小值，由题意可知：，
，.故的最小值为10.
故答案为：10
22、已知函数的定义域为，且．若对任意，，则的解集为______．
【答案】
【解析】
设，则，
因为对任意，，所以，
所以对任意， 是单调递增函数，
因为，所以，
由，可得，
则的解集.
故答案为：.
23、设函数的图象在点处的切线为，若方程有两个不等实根，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
由可得，
在点处的切线斜率为，所以，
将点代入可得，
所以方程即有两个不等实根，
等价于与图象有两个不同的交点，
作的图象如图所示：

由图知：若与图象有两个不同的交点则吗，
故答案为：
24、函数（，）在区间上存在极大值，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】

设，，
令，解得，即在上单调递增；
令，解得，即在上单调递减；
且，又，
则当，即时，先增后减，即函数存在极大值
故答案为：
四、 解答题
25、已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若，且在上的最小值为0，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
解：（1）当时，，
∴，，
∴切线方程为，
即
（2）∵，
∴原条件等价于：在上，恒成立.
化为
令，
则
令，则
在上，，
∴在上，
故在上，；在上，
∴的最小值为，∴
26、已知函数，函数（）.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，.
（3）证明：当时，.
【解析】
（1）解：的定义域为，，
当，时，，则在上单调递增；
当，时，令，得，令，得，则在上单调递减，在上单调递增；
当，时，，则在上单调递减；
当，时，令，得，令，得，则在上单调递增，在上单调递减；
（2）证明：设函数，则.
因为，所以，，
则，从而在上单调递减，
所以，即.
（3）证明：当时，.
由（1）知，，所以，
即.
当时，，，
则，
即，
又，
所以，
即.
27、已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数处有极小值，求函数在区间上的最大值．
【解析】
（1）当时，，，
所以，又，所以曲线在点处切线方程为，即.
（2）因为，
因为函数处有极小值，所以，
所以
由，得或，
当或时，，
当时，，
所以在，上是增函数，在上是减函数，
因为，，
所以的最大值为.
28、已知函数.
（1）当时，求过点且与曲线相切的直线方程;
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）当时，点不在函数图象上，，
设切点为，
则切线方程为，
因为过点，所以，
解得，因此所求的直线方程为.
（2），
当时，，
所以在上单调递增，
其中，，符合题意，
当时，取，，不符合题意；
当时，，
所以在上单调递减，
，
所以在上单调递增，
所以，
要使，只需，，
解得；
综上所述，.
29、已知函数．
(1)当时，设函数的最小值为，证明：；
(2)若函数有两个极值点，证明：．
【解析】（1），令，解得，
当时，，当时，，
，，
令，则，
令，解得，
当时，，当时，，
，，
当时，；
（2），，
令，则，
令，解得，
当时，，当时，，
，
又函数有两个极值点，则，
，且，
当时，单调递增，当时，单调递减，
当时，，
又，，
，
令，则，
令，则，
在上单调递增，，
在上单调递增，，
，，即，
．
30、设函数，.
（1）若，，求函数的单调区间；
（2）若曲线在点处的切线与直线平行.
①求，的值；
②求实数的取值范围，使得对恒成立.
【解析】
（1）当，时，，
则.当时，；
当时，；
所以的单调增区间为，单调减区间为.
（2）①因为，
所以，依题设有，即.
解得.
②，.
对恒成立，即对恒成立.
令，则有.
当时，当时，，
所以在上单调递增.
所以，即当时，；
当时，当时，，所以在上单调递减，故当时，，即当时，不恒成立.
综上，.