2021年高考数学三轮冲刺训练平面向量含解析

平面向量

1.平面向量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题；

2.同三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，考查数形结合思想、函数方程思想以及分析问题解决问题的能力．难度为中等或中等偏易.

1、向量共线定理

如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.

2、平面向量基本定理

（1）平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解.

向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键.

（2）平面向量共线的坐标表示

两向量平行的充要条件

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是a＝λb，这与x1y2－x2y1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同.

3、平面向量基本定理：若向量为两个不共线的向量，那么对于平面上任意的一个向量，均存在唯一一对实数，使得。其中成为平面向量的一组基底。（简而言之，不共线的两个向量可以表示所有向量）

4、向量数量积运算，其中为向量的夹角

5、向量夹角的确定：向量的夹角指的是将的起点重合所成的角，

其中：同向          ：反向           ： 

6、数量积运算法则：

（1）交换律：

（2）系数结合律：

（3）分配律：

7、平面向量数量积的重要性质

(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；

(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0；

(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；

当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝a2，|a|＝；

(4)cos θ＝；

(5)|a·b|≤|a||b|.

8、平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到

(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝||＝.

(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.

1、判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定.

失误与防范

要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况.

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.

2、运用向量解决数量积的问题常用的方法有：1、基底法；2、向量法；

1、已知向量a，b满足，，，则

A．   B．  

C．   D．

【答案】D

【解析】，，，.

，

因此，.

故选：D．

2、已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是

A．    B． 

C．      D．

【答案】A

【解析】如图，

的模为2，根据正六边形的特征，

可以得到在方向上的投影的取值范围是，

结合向量数量积的定义式，

可知等于模与在方向上的投影的乘积，

所以的取值范围是，

故选：A．

3、已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为

A．   B． 

C．   D．

【答案】B

【解析】因为b，所以=0，所以，所以=，所以a与b的夹角为，故选B．

4、已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=

A．−3   B．−2

C．2   D．3

【答案】C

【解析】由，，得，则，．故选C．

5、在中，为边上的中线，为的中点，则

A． B． 

C． D．

【答案】A

【解析】根据向量的运算法则，可得

，所以.

故选A.

6、设为单位向量，且，则______________.

【答案】

【解析】因为为单位向量，所以

所以，

解得：，

所以，

故答案为：.

7、已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.

【答案】

【解析】由题意可得：，

由向量垂直的充分必要条件可得：，

即：，解得：.

故答案为：．

8、如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．

【答案】(1). ；(2).

【解析】，，，

，

解得，

以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

,

∵，∴的坐标为,

∵又∵,则，设，则（其中），

，，

，

所以，当时，取得最小值.

故答案为：；.

9、已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．

【答案；

【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则点、、、，

，

则点，，，

因此，，.

故答案为：；.

10、已知平面单位向量，满足．设，，向量，的夹角为，则的最小值是_______．

【答案】

【解析】，，

，

.

故答案为：.

11、已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则___________.

【答案】

【解析】因为，，

所以，

，所以，

所以 ．

12、在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则___________．

【答案】

【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB=30°，则，.

因为∥，，所以，

因为，所以，

所以直线的斜率为，其方程为，

直线的斜率为，其方程为.

由得，，

所以.

所以.

13、如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是___________．

【答案】.

【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD．

，

，

得即故

14、已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是___________；最大值是___________．

【答案】0；.

【解析】以分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图.

则,

令0.

又因为可取遍，

所以当时，有最小值.

因为和的取值不相关，或，

所以当和分别取得最大值时，y有最大值，

所以当时，有最大值.

故答案为0；.

一、单选题

1、已知向量满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

∵，，且，

∴，

∴.

故选：D.

2、已知向量，若，则（    ）

A．1或4 B．1或 C．或4 D．或

【答案】B

【解析】

由题意，向量，可得，

因为，则，解得或.

故选：B.

3、已知向量满足， ， ，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

，①

，②

①②，可得，解得，

所以.

故选：C

4、已知向量满足， ， ，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

将， ，两边同时平方，求出，进而可求出结果.

【详解】

，①

，②

①②，可得，解得，

所以.

故选：C

5、如图，在等腰直角中，，分别为斜边的三等分点（靠近点），过作的垂线，垂足为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

设，则，

，，

所以，所以.

因为，

所以.

故选：D

6、如图，是单位圆的直径，点，是半圆弧上的两个三等分点，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【解析】

连接,则,

在中，由余弦定理得：.

所以.

故选：C

7、已知向量，，则面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】C

【解析】

，

,，其中，

故，

，

故当时，即时，取最大值为.

故选：C.

8、已知点P是边长为2的菱形内的一点(包含边界)，且，的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

如图，建立平面直角坐标系，则.

设，则，故，

即的取值范围是.

故选：A

9、如图，在梯形中，已知，，为的中点，，，则（    ）

A．1 B． C．3 D．

【答案】B

【解析】

因为，为的中点，，

所以，，则为等边三角形，

所以，

又，所以，则，

因为，，所以，即为直角三角形，

所以，

因此.

故选：B.

10、已知为等边三角形，，所在平面内的点满足，的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

，

所以，，

由平面向量模的三角不等式可得.

当且仅当与方向相反时，等号成立.

因此，的最小值为.

故选：C.

二、多选题

11、已知向量则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】

由题意可得.因为，所以，则A正确，B错误；

对于C，D，因为，所以，则C错误，D正确.

故选：AD.

12、已知向量，，，设，所成的角为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【解析】

向量，

由，可得

即，解得 ，所以A正确.

，所以

又，所以，所以D正确,C不正确.

,则，故B正确.

故选：ABD

13、已知是边长为2的等边三角形，，分别是、上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．在方向上的投影为

【答案】BCD

【解析】

由题E为AB中点，则，

以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：

所以，，

设，∥，

所以，解得：，

即O是CE中点，，所以选项B正确；

，所以选项C正确；

因为，，所以选项A错误；

，，

在方向上的投影为，所以选项D正确.

故选：BCD

14、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】ABC

【解析】

∵ AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，

由向量加法的三角形法则得

，A对；

∵，∴，

∴，

又F为AE的中点，∴，B对；

∴，C对；

∴，D错；

故选：ABC．

15、已知向量，，则下列命题正确的是（　　）

A．若，则

B．若 ，则

C．若取得最大值时，则

D．的最大值为

【答案】ACD

【解析】

A选项，若，则，即，故A正确．

B选项，若，则，则，故B不正确．

C选项，，其中.

当取得最大值时，，即，

，故C正确.

D选项，，

当时，取得最大值为，

所以的最大值为，故D正确.

故答案为：ACD

16、已知向量，则（    ）

A． B．

C．向量在向量上的投影是 D．向量的单位向量是

【答案】AB

【解析】

对于A: ，故A正确；

对于B: ，故B正确；

对于C: 向量在向量上的投影是，故C错误；

对于D: 向量的单位向量是和，故D错误．

故选：AB．

17、对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．过点的直线交于，若，，则

D．与共线

【答案】ACD

【解析】

如图，设AB中点为M,则,

,故A正确；

等价于等价于,即，

对于一般三角形而言，是外心，不一定与垂直，比如直角三角形中，

若为直角顶点，则为斜边的中点，与不垂直.故B错误；

设的中点为,

则，

∵E,F,G三点共线，，即,故C正确；

,

与垂直,又,∴与共线，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

18、已知向量满足，，则__________．

【答案】

【解析】

.

故答案为：.

19、若则向量与向量夹角的大小是_______.

【答案】

【解析】

由得

20、若非零向量、,满足,,则与的夹角为___________.

【答案】

【解析】

设与的夹角为，由题意,,，

可得，所以，

再由可得，，

故答案是.

21、在四边形中，.若，则__________.

【答案】

【解析】

因为，，

所以，

故答案为：-16

22、已知m，n均为正数，，，且，则的最小值为____________.

【答案】4

【解析】

由求得，代入利用基本不等式求最小值.

【详解】

因为，，且，

所以，即

因为m，n均为正数，

所以

当且仅当时取最小值.

故答案为：4

23、已知腰长为的等腰直角△中，为斜边的中点，点为该平面内一动点，若，则的最小值 ________．

【答案】

【解析】

如图建立平面直角坐标系，

∴

，

当sin时，得到最小值为，故选．