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宁夏银川市贺兰县2020-2021学年七年级下学期期中数学试卷 解析版
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这是一份宁夏银川市贺兰县2020-2021学年七年级下学期期中数学试卷 解析版，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列计算结果正确的是（ ）
A．3a﹣（﹣a）＝2aB．a3×（﹣a）2＝a5
C．a5÷a＝a5D．（﹣a2）3＝a6
2．如果（ambn）3＝a9b12，那么m，n的值分别为（ ）
A．9，4B．3，4C．4，3D．9，6
3．如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B，则这个一次函数的解析式是（ ）
A．y＝2x+3B．y＝x﹣3C．y＝2x﹣3D．y＝﹣x+3
4．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．a8÷a4＝a2C．a3+a3＝2a6D．（a3）2＝a6
5．如图所示，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠1和∠2是同位角B．∠2和∠3是同旁内角
C．∠1和∠4是同位角D．∠2和∠4是内错角
6．如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s（阴影部分），则s与t的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝35°，则∠2的度数为（ ）
A．10°B．20°C．25°D．30°
8．电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．某视频文件的大小约为1GB，1GB等于（ ）
A．230BB．830BC．8×1010BD．2×1030B
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．当x 时，（x﹣4）0等于1．
10．将x2+6x+3配方成（x+m）2+n的形式，则m＝ ．
11．若an﹣3•a2n+1＝a10，则n＝ ．
12．已知y是关于x的函数，函数图象如图所示，则当y＞0时，自变量x的取值范围是 ．
13．若平面上4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角 对．
14．如果x+y＝1，x2+y2＝3，那么x3+y3＝ ．
15．计算：82014×（﹣0.125）2015＝ ．
16．已知正整数a，b，c（其中a≠1）满足abc＝ab+50，则a+b+c的最小值是 ，最大值是 ．
三、解答题（共10小题；共72分）
17．写出下列各问题中的关系式中的常量与变量：
（1）分针旋转一周内，旋转的角度n（度）与旋转所需要的时间t（分）之间的关系式n＝6t；
（2）一辆汽车以40千米/时的速度向前匀速直线行驶时，汽车行驶的路程S（千米）与行驶时间t（时）之间的关系式s＝40t．
18．如图，点A表示小明家，点B表示小明外婆家，若小明先去外婆家拿渔具，然后再去河边钓鱼，怎样走路最短，请画出行走路径，并说明理由．
19．若xn＝3，yn＝4，求（2xn）2•2yn的值．
20．请用学过的方法研究一类新函数y＝（k为常数，k≠0）的图象和性质．
（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数y＝的图象；
（2）对于函数y＝，当自变量x的值增大时，函数值y怎样变化？
21．如果，求m，a，b的值．
22．阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．
已知a+b＝6，ab＝2，请你根据上述解题思路求下列各式的值．
（1）a2+b2；
（2）（a﹣b）2；
（3）a2﹣ab+b2．
23．如图，AB⊥AD，CD⊥AD，∠1＝∠2，
求证：DF∥EA．
24．如图，已知正方形ABCD和ECGF的边长分别为a，b，a+b＝17，ab＝60，求阴影部分的面积．
25．如图，指出图中直线AC，BC被直线AB所截的同位角、内错角、同旁内角．
26．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．
请你利用上述方法解决下列问题：
（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式
（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2
【拓展应用】
提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？
几何建模：
用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：
（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．
（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．
请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）
归纳提炼：
两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）： 证明上述速算方法的正确性．
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列计算结果正确的是（ ）
A．3a﹣（﹣a）＝2aB．a3×（﹣a）2＝a5
C．a5÷a＝a5D．（﹣a2）3＝a6
解：A、由于3a+a＝4a≠2a，故A错误；
B、由于a3×（﹣a）2＝a3×a2＝a5，故B正确；
C、由于a5÷a＝a5﹣1＝a4≠a5，故C错误；
D、由于（﹣a2）3＝﹣a6，故D错误．
故选：B．
2．如果（ambn）3＝a9b12，那么m，n的值分别为（ ）
A．9，4B．3，4C．4，3D．9，6
解：∵（ambn）3＝a3mb3n＝a9b12，
∴3m＝9，3n＝12，
∴m＝3，n＝4．
故选：B．
3．如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B，则这个一次函数的解析式是（ ）
A．y＝2x+3B．y＝x﹣3C．y＝2x﹣3D．y＝﹣x+3
解：∵B点在正比例函数y＝2x的图象上，横坐标为1，
∴y＝2×1＝2，
∴B（1，2），
设一次函数解析式为：y＝kx+b，
∵一次函数的图象过点A（0，3），与正比例函数y＝2x的图象相交于点B（1，2），
∴可得出方程组 ，
解得 ，
则这个一次函数的解析式为y＝﹣x+3，
故选：D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．a8÷a4＝a2C．a3+a3＝2a6D．（a3）2＝a6
解：A、a2•a3＝a5≠a6，故A选项错误；
B、a8÷a4＝a4≠a2，故B选项错误；
C、a3+a3＝2a3≠2a6，故C选项错误；
D、（a3）2＝a3×2＝a6，故D选项正确．
故选：D．
5．如图所示，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠1和∠2是同位角B．∠2和∠3是同旁内角
C．∠1和∠4是同位角D．∠2和∠4是内错角
解：A、∠1和∠2是同旁内角，故本选项错误，符合题意；
B、∠2和∠3是同旁内角，故本选项正确，不符合题意；
C、∠1和∠4是同位角，故本选项正确，不符合题意；
D、∠3和∠4是邻补角，故本选项正确，不符合题意；
故选：A．
6．如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s（阴影部分），则s与t的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
解：∵直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s，
由勾股定理得，
＝，
∴s关于t的函数大致图象应为：三角形进入正方形以前s增大，
当0≤t≤时，s＝×1×1+2×2﹣＝﹣t2；
当＜t≤时，s＝t2﹣2t+；
当＜t≤2时，s＝×12＝；
当2＜t≤2+时，s＝t2﹣4t+；
当2+＜t≤2+时，s＝﹣（﹣t+2）2，
∴A符合要求，
故选：A．
7．如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝35°，则∠2的度数为（ ）
A．10°B．20°C．25°D．30°
解：如图，延长AB交CF于E，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵∠1＝35°，
∴∠AEC＝∠ABC﹣∠1＝25°，
∵GH∥EF，
∴∠2＝∠AEC＝25°，
故选：C．
8．电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．某视频文件的大小约为1GB，1GB等于（ ）
A．230BB．830BC．8×1010BD．2×1030B
解：由题意得：1GB＝210×210×210B＝210+10+10B＝230B，
故选：A．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．当x ≠4 时，（x﹣4）0等于1．
解：∵（x﹣4）0＝1，
∴x﹣4≠0，
∴x≠4．
故答案为：≠4．
10．将x2+6x+3配方成（x+m）2+n的形式，则m＝ 3 ．
解：x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6＝（x+m）2+n，
则m＝3，
故答案为：3
11．若an﹣3•a2n+1＝a10，则n＝ 4 ．
解：∵an﹣3•a2n+1＝a10，
∴n﹣3+（2n+1）＝10，
∴n＝4，
故答案为：4．
12．已知y是关于x的函数，函数图象如图所示，则当y＞0时，自变量x的取值范围是 x＜﹣1或1＜x＜2 ．
解：如图所示：当y＞0时，x＜﹣1或1＜x＜2．
故答案为：x＜﹣1或1＜x＜2．
13．若平面上4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角 24 对．
解：∵平面上4条直线两两相交且无三线共点，
∴共有3×4＝12条线段．
又∵每条线段两侧各有一对同旁内角，
∴共有同旁内角 12×2＝24对．
故答案为：24．
14．如果x+y＝1，x2+y2＝3，那么x3+y3＝ 4 ．
解：∵x+y＝1，
∴（x+y）2＝1，即x2+2xy+y2＝1，
3+2xy＝1，解得xy＝﹣1，
∴x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）＝1×（3+1）＝4．
故答案为：4．
15．计算：82014×（﹣0.125）2015＝ ﹣0.125 ．
解：原式＝82014×（﹣0.125）2014×（﹣0.125）
＝（﹣8×0.125）2014×（﹣0.125）
＝﹣0.125，
故答案为：﹣0.125．
16．已知正整数a，b，c（其中a≠1）满足abc＝ab+50，则a+b+c的最小值是 10 ，最大值是 53 ．
解：因为abc＝ab+50，
所以abc﹣ab＝50，
即ab（c﹣1）＝50，
因为a、b、c都是正整数，
所以当a＝50时，b＝1，c＝2，a+b+c＝53，
当a＝25时，b＝1，c＝3，a+b+c＝28，
当a＝10时，b＝1，c＝6，a+b+c＝17，
当a＝5时，b＝2，c＝3，a+b+c＝10，
当a＝5时，b＝1，c＝11，a+b+c＝17，
所以则a+b+c的最小值是 10，最大值是53．
故答案为：10，53．
三、解答题（共10小题；共72分）
17．写出下列各问题中的关系式中的常量与变量：
（1）分针旋转一周内，旋转的角度n（度）与旋转所需要的时间t（分）之间的关系式n＝6t；
（2）一辆汽车以40千米/时的速度向前匀速直线行驶时，汽车行驶的路程S（千米）与行驶时间t（时）之间的关系式s＝40t．
解：（1）常量：6；变量：n，t．
（2）常量：40；变量：s，t．
18．如图，点A表示小明家，点B表示小明外婆家，若小明先去外婆家拿渔具，然后再去河边钓鱼，怎样走路最短，请画出行走路径，并说明理由．
【解答】解；如图所示：
连接AB，是两点之间线段最短；
作BC垂直于河岸，是垂线段最短．
19．若xn＝3，yn＝4，求（2xn）2•2yn的值．
解：∵xn＝3，yn＝4，
∴（2xn）2•2yn
＝（2×3）2×2×4
＝36×2×4
＝288．
20．请用学过的方法研究一类新函数y＝（k为常数，k≠0）的图象和性质．
（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数y＝的图象；
（2）对于函数y＝，当自变量x的值增大时，函数值y怎样变化？
解：（1）函数y＝的图象，如图所示，
（2）①k＞0时，当x＜0，y随x增大而增大，x＞0时，y随x增大而减小．
②k＜0时，当x＜0，y随x增大而减小，x＞0时，y随x增大而增大．
21．如果，求m，a，b的值．
解：∵，
∴．
则 ，
解得
22．阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．
已知a+b＝6，ab＝2，请你根据上述解题思路求下列各式的值．
（1）a2+b2；
（2）（a﹣b）2；
（3）a2﹣ab+b2．
解：（1）∵a+b＝6，ab＝2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2×2＝32．
（2）∵a+b＝6，ab＝2，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝62﹣4×2＝28．
（3）∵a+b＝6，ab＝2，
∴a2﹣ab+b2＝（a2+b2）＝ab＝（a+b）2﹣2ab﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝62﹣3×2＝30．
23．如图，AB⊥AD，CD⊥AD，∠1＝∠2，
求证：DF∥EA．
【解答】证明：∵AB⊥AD，CD⊥AD，
∴∠CDA＝∠BAD＝90°．
∴∠1+∠ADF＝∠2+∠DAE．
∵∠1＝∠2，
∴∠ADF＝∠DAE．
∴DF∥EA．
24．如图，已知正方形ABCD和ECGF的边长分别为a，b，a+b＝17，ab＝60，求阴影部分的面积．
解：阴影阴影部分的面积为：
S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△ABD﹣S△BFG
＝
＝
＝
＝
＝．
∵a+b＝17，ab＝60，
∴．
∴阴影部分的面积为 54.5．
25．如图，指出图中直线AC，BC被直线AB所截的同位角、内错角、同旁内角．
解：∵直线AC、BC被直线AB所截，
∴∠1 与∠2，∠4 与∠DBC 是同位角；
∠1 与∠3，∠4 与∠5 是内错角；
∠3 与∠4 是同旁内角，∠1 与∠5 是同旁内角．
26．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．
请你利用上述方法解决下列问题：
（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式
（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2
【拓展应用】
提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？
几何建模：
用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：
（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．
（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．
请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）
归纳提炼：
两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）： 十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果 证明上述速算方法的正确性．
解：（1）图（1）所表示的代数恒等式：（x+y）•2x＝2x2+2xy，
图（2）所表示的代数恒等式：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2
图（3）所表示的代数恒等式：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2．
（2）几何图形如图所示：
拓展应用：
（1）①几何模型：
②用文字表述57×53的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果；
即57×53＝（50+10）×50+3×7＝6×5×100+3×7＝3021；
十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；
故答案为十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；
1．下列计算结果正确的是（ ）
A．3a﹣（﹣a）＝2aB．a3×（﹣a）2＝a5
C．a5÷a＝a5D．（﹣a2）3＝a6
2．如果（ambn）3＝a9b12，那么m，n的值分别为（ ）
A．9，4B．3，4C．4，3D．9，6
3．如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B，则这个一次函数的解析式是（ ）
A．y＝2x+3B．y＝x﹣3C．y＝2x﹣3D．y＝﹣x+3
4．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．a8÷a4＝a2C．a3+a3＝2a6D．（a3）2＝a6
5．如图所示，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠1和∠2是同位角B．∠2和∠3是同旁内角
C．∠1和∠4是同位角D．∠2和∠4是内错角
6．如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s（阴影部分），则s与t的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝35°，则∠2的度数为（ ）
A．10°B．20°C．25°D．30°
8．电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．某视频文件的大小约为1GB，1GB等于（ ）
A．230BB．830BC．8×1010BD．2×1030B
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．当x 时，（x﹣4）0等于1．
10．将x2+6x+3配方成（x+m）2+n的形式，则m＝ ．
11．若an﹣3•a2n+1＝a10，则n＝ ．
12．已知y是关于x的函数，函数图象如图所示，则当y＞0时，自变量x的取值范围是 ．
13．若平面上4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角 对．
14．如果x+y＝1，x2+y2＝3，那么x3+y3＝ ．
15．计算：82014×（﹣0.125）2015＝ ．
16．已知正整数a，b，c（其中a≠1）满足abc＝ab+50，则a+b+c的最小值是 ，最大值是 ．
三、解答题（共10小题；共72分）
17．写出下列各问题中的关系式中的常量与变量：
（1）分针旋转一周内，旋转的角度n（度）与旋转所需要的时间t（分）之间的关系式n＝6t；
（2）一辆汽车以40千米/时的速度向前匀速直线行驶时，汽车行驶的路程S（千米）与行驶时间t（时）之间的关系式s＝40t．
18．如图，点A表示小明家，点B表示小明外婆家，若小明先去外婆家拿渔具，然后再去河边钓鱼，怎样走路最短，请画出行走路径，并说明理由．
19．若xn＝3，yn＝4，求（2xn）2•2yn的值．
20．请用学过的方法研究一类新函数y＝（k为常数，k≠0）的图象和性质．
（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数y＝的图象；
（2）对于函数y＝，当自变量x的值增大时，函数值y怎样变化？
21．如果，求m，a，b的值．
22．阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．
已知a+b＝6，ab＝2，请你根据上述解题思路求下列各式的值．
（1）a2+b2；
（2）（a﹣b）2；
（3）a2﹣ab+b2．
23．如图，AB⊥AD，CD⊥AD，∠1＝∠2，
求证：DF∥EA．
24．如图，已知正方形ABCD和ECGF的边长分别为a，b，a+b＝17，ab＝60，求阴影部分的面积．
25．如图，指出图中直线AC，BC被直线AB所截的同位角、内错角、同旁内角．
26．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．
请你利用上述方法解决下列问题：
（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式
（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2
【拓展应用】
提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？
几何建模：
用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：
（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．
（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．
请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）
归纳提炼：
两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）： 证明上述速算方法的正确性．
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列计算结果正确的是（ ）
A．3a﹣（﹣a）＝2aB．a3×（﹣a）2＝a5
C．a5÷a＝a5D．（﹣a2）3＝a6
解：A、由于3a+a＝4a≠2a，故A错误；
B、由于a3×（﹣a）2＝a3×a2＝a5，故B正确；
C、由于a5÷a＝a5﹣1＝a4≠a5，故C错误；
D、由于（﹣a2）3＝﹣a6，故D错误．
故选：B．
2．如果（ambn）3＝a9b12，那么m，n的值分别为（ ）
A．9，4B．3，4C．4，3D．9，6
解：∵（ambn）3＝a3mb3n＝a9b12，
∴3m＝9，3n＝12，
∴m＝3，n＝4．
故选：B．
3．如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B，则这个一次函数的解析式是（ ）
A．y＝2x+3B．y＝x﹣3C．y＝2x﹣3D．y＝﹣x+3
解：∵B点在正比例函数y＝2x的图象上，横坐标为1，
∴y＝2×1＝2，
∴B（1，2），
设一次函数解析式为：y＝kx+b，
∵一次函数的图象过点A（0，3），与正比例函数y＝2x的图象相交于点B（1，2），
∴可得出方程组 ，
解得 ，
则这个一次函数的解析式为y＝﹣x+3，
故选：D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．a8÷a4＝a2C．a3+a3＝2a6D．（a3）2＝a6
解：A、a2•a3＝a5≠a6，故A选项错误；
B、a8÷a4＝a4≠a2，故B选项错误；
C、a3+a3＝2a3≠2a6，故C选项错误；
D、（a3）2＝a3×2＝a6，故D选项正确．
故选：D．
5．如图所示，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠1和∠2是同位角B．∠2和∠3是同旁内角
C．∠1和∠4是同位角D．∠2和∠4是内错角
解：A、∠1和∠2是同旁内角，故本选项错误，符合题意；
B、∠2和∠3是同旁内角，故本选项正确，不符合题意；
C、∠1和∠4是同位角，故本选项正确，不符合题意；
D、∠3和∠4是邻补角，故本选项正确，不符合题意；
故选：A．
6．如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s（阴影部分），则s与t的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
解：∵直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s，
由勾股定理得，
＝，
∴s关于t的函数大致图象应为：三角形进入正方形以前s增大，
当0≤t≤时，s＝×1×1+2×2﹣＝﹣t2；
当＜t≤时，s＝t2﹣2t+；
当＜t≤2时，s＝×12＝；
当2＜t≤2+时，s＝t2﹣4t+；
当2+＜t≤2+时，s＝﹣（﹣t+2）2，
∴A符合要求，
故选：A．
7．如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝35°，则∠2的度数为（ ）
A．10°B．20°C．25°D．30°
解：如图，延长AB交CF于E，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵∠1＝35°，
∴∠AEC＝∠ABC﹣∠1＝25°，
∵GH∥EF，
∴∠2＝∠AEC＝25°，
故选：C．
8．电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．某视频文件的大小约为1GB，1GB等于（ ）
A．230BB．830BC．8×1010BD．2×1030B
解：由题意得：1GB＝210×210×210B＝210+10+10B＝230B，
故选：A．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．当x ≠4 时，（x﹣4）0等于1．
解：∵（x﹣4）0＝1，
∴x﹣4≠0，
∴x≠4．
故答案为：≠4．
10．将x2+6x+3配方成（x+m）2+n的形式，则m＝ 3 ．
解：x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6＝（x+m）2+n，
则m＝3，
故答案为：3
11．若an﹣3•a2n+1＝a10，则n＝ 4 ．
解：∵an﹣3•a2n+1＝a10，
∴n﹣3+（2n+1）＝10，
∴n＝4，
故答案为：4．
12．已知y是关于x的函数，函数图象如图所示，则当y＞0时，自变量x的取值范围是 x＜﹣1或1＜x＜2 ．
解：如图所示：当y＞0时，x＜﹣1或1＜x＜2．
故答案为：x＜﹣1或1＜x＜2．
13．若平面上4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角 24 对．
解：∵平面上4条直线两两相交且无三线共点，
∴共有3×4＝12条线段．
又∵每条线段两侧各有一对同旁内角，
∴共有同旁内角 12×2＝24对．
故答案为：24．
14．如果x+y＝1，x2+y2＝3，那么x3+y3＝ 4 ．
解：∵x+y＝1，
∴（x+y）2＝1，即x2+2xy+y2＝1，
3+2xy＝1，解得xy＝﹣1，
∴x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）＝1×（3+1）＝4．
故答案为：4．
15．计算：82014×（﹣0.125）2015＝ ﹣0.125 ．
解：原式＝82014×（﹣0.125）2014×（﹣0.125）
＝（﹣8×0.125）2014×（﹣0.125）
＝﹣0.125，
故答案为：﹣0.125．
16．已知正整数a，b，c（其中a≠1）满足abc＝ab+50，则a+b+c的最小值是 10 ，最大值是 53 ．
解：因为abc＝ab+50，
所以abc﹣ab＝50，
即ab（c﹣1）＝50，
因为a、b、c都是正整数，
所以当a＝50时，b＝1，c＝2，a+b+c＝53，
当a＝25时，b＝1，c＝3，a+b+c＝28，
当a＝10时，b＝1，c＝6，a+b+c＝17，
当a＝5时，b＝2，c＝3，a+b+c＝10，
当a＝5时，b＝1，c＝11，a+b+c＝17，
所以则a+b+c的最小值是 10，最大值是53．
故答案为：10，53．
三、解答题（共10小题；共72分）
17．写出下列各问题中的关系式中的常量与变量：
（1）分针旋转一周内，旋转的角度n（度）与旋转所需要的时间t（分）之间的关系式n＝6t；
（2）一辆汽车以40千米/时的速度向前匀速直线行驶时，汽车行驶的路程S（千米）与行驶时间t（时）之间的关系式s＝40t．
解：（1）常量：6；变量：n，t．
（2）常量：40；变量：s，t．
18．如图，点A表示小明家，点B表示小明外婆家，若小明先去外婆家拿渔具，然后再去河边钓鱼，怎样走路最短，请画出行走路径，并说明理由．
【解答】解；如图所示：
连接AB，是两点之间线段最短；
作BC垂直于河岸，是垂线段最短．
19．若xn＝3，yn＝4，求（2xn）2•2yn的值．
解：∵xn＝3，yn＝4，
∴（2xn）2•2yn
＝（2×3）2×2×4
＝36×2×4
＝288．
20．请用学过的方法研究一类新函数y＝（k为常数，k≠0）的图象和性质．
（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数y＝的图象；
（2）对于函数y＝，当自变量x的值增大时，函数值y怎样变化？
解：（1）函数y＝的图象，如图所示，
（2）①k＞0时，当x＜0，y随x增大而增大，x＞0时，y随x增大而减小．
②k＜0时，当x＜0，y随x增大而减小，x＞0时，y随x增大而增大．
21．如果，求m，a，b的值．
解：∵，
∴．
则 ，
解得
22．阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．
已知a+b＝6，ab＝2，请你根据上述解题思路求下列各式的值．
（1）a2+b2；
（2）（a﹣b）2；
（3）a2﹣ab+b2．
解：（1）∵a+b＝6，ab＝2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2×2＝32．
（2）∵a+b＝6，ab＝2，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝62﹣4×2＝28．
（3）∵a+b＝6，ab＝2，
∴a2﹣ab+b2＝（a2+b2）＝ab＝（a+b）2﹣2ab﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝62﹣3×2＝30．
23．如图，AB⊥AD，CD⊥AD，∠1＝∠2，
求证：DF∥EA．
【解答】证明：∵AB⊥AD，CD⊥AD，
∴∠CDA＝∠BAD＝90°．
∴∠1+∠ADF＝∠2+∠DAE．
∵∠1＝∠2，
∴∠ADF＝∠DAE．
∴DF∥EA．
24．如图，已知正方形ABCD和ECGF的边长分别为a，b，a+b＝17，ab＝60，求阴影部分的面积．
解：阴影阴影部分的面积为：
S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△ABD﹣S△BFG
＝
＝
＝
＝
＝．
∵a+b＝17，ab＝60，
∴．
∴阴影部分的面积为 54.5．
25．如图，指出图中直线AC，BC被直线AB所截的同位角、内错角、同旁内角．
解：∵直线AC、BC被直线AB所截，
∴∠1 与∠2，∠4 与∠DBC 是同位角；
∠1 与∠3，∠4 与∠5 是内错角；
∠3 与∠4 是同旁内角，∠1 与∠5 是同旁内角．
26．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．
请你利用上述方法解决下列问题：
（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式
（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2
【拓展应用】
提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？
几何建模：
用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：
（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．
（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．
请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）
归纳提炼：
两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）： 十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果 证明上述速算方法的正确性．
解：（1）图（1）所表示的代数恒等式：（x+y）•2x＝2x2+2xy，
图（2）所表示的代数恒等式：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2
图（3）所表示的代数恒等式：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2．
（2）几何图形如图所示：
拓展应用：
（1）①几何模型：
②用文字表述57×53的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果；
即57×53＝（50+10）×50+3×7＝6×5×100+3×7＝3021；
十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；
故答案为十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；
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