北京市东城区2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试题（word版 含答案）

北京市2020-2021学年度第二学期期中考试

八年级数学

试卷满分：100分 考试时间：100分钟

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题（每小题3分，共30分）

1．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（　　　）

A．a=1，b=1，c= B．a=2，b=3，c=4

C．a=1，b=，c=2 D．a=3，b=4，c=

2．下列方程中，一元二次方程是（    ）

A． B． C． D．

3．如图，一轮船以12海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以

5海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船相距（   ）

A．13 海里 B．16 海里 

C．20 海里 D．26 海里

4．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（   ）

A．AB＝CD         B．OA＝OC，OB＝OD

C．AC=BD          D．，AD＝BC

5．利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点，使，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，以长为半径作弧，弧与数轴的交点为，那么点表示的无理数是（    ）

A． B． 

C． D．

6．如图，在平行四边形中，平分，则平行四边形的周长是（  ）

A． B． 

C． D．

7．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ABD=60°，那么∠BAE的度数是（　　）

A．40° B．55° 

C．75° D．80°

8．关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ）

A． B． C．且 D．且

9．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2018年销量为125.6万辆，销量逐年增加，到2020年销量为130万辆．设年平均增长率为x，可列方程为（   ）

A． B．

C． D．

10．等腰三角形的一边长是4，方程的两个根是三角形的两边长，则m为（    ）

A． B． C． D．7或8

第II卷（非选择题）

二、填空题（每小题3分，共24分）

11．如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件____，使平行四边形ABCD是矩形．

12．方程的解为________．

13．如图，在菱形ABCD中，，点E是AD的中点，连接OE，则OE=_____________．

              第1题图                               第3题图

14．若是方程的一个根，则的值为______

15．如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，则AB边上的高为___________．

16．如图，矩形ABCD中，点A坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），则BD的长是____；

                第15题图                           第16题图

17．如图，在中，直角边，斜边，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则________．

18．如图，正方形ABCD中，O是AC的中点，E是AD上一点，连接BE，交AC于点H，作于点F，于点G，连接OF，则下列结论中，① ；② OF平分；③ ；④ ；⑤ ，正确的有_______．（填序号）

              第17题图                           第18题图

三、解答题（每题4分，共24分）

19．计算题

（1）；             （2）

20．解方程：

（1）                         （2）

（3）（用配方法）        （4）（用公式法）

四、解答题（第21、22题每题5分，第23、24题每题6分，共22分）

21．下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．

已知：四边形是平行四边形．

求作：菱形（点在上，点在上）．    

作法：①以为圆心，长为半径作弧，交于点；

②以为圆心，长为半径作弧，交于点；

③连接．

所以四边形为所求的菱形．

根据小明设计的尺规作图过程，                                                     

（1）使用直尺和圆规，补全图形；                                                      

（保留作图痕迹）                                                                       

（2）完成下面的证明．                                              

证明：，，                                   

                      ．                                    

在平行四边形ABCD中，，                                     

即AF∥BE．                                                                       

四边形为平行四边形．（                              ）（填推理的依据）                    

，                                                      

四边形为菱形．（                                      ）（填推理的依据）                            

22．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE=AC．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）若AB=4，AD=3，求四边形BCED的周长．

23．如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长25m，另外三边木栏围着，木栏长40m．

（1）若养鸡场面积为200m2，求鸡场靠墙的一边长．

（2）养鸡场面积能达到250m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由

24．定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．

（1）如图1，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝2，BC＝4，则BD＝　   　；

（2）如图2，正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是准矩形；

（3）如图3，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝DC，求这个准矩形的面积．

附加题（每题10分，共20分）

25．阅读下列材料：已知实数m，n满足，

试求的值．

解：设，则原方程变为，整理得，即，∴．

∵，∴．

上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．

根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．

（1）已知实数x，y满足，求的值．

（2）若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数．

26．已知正方形，若一个等边三角形的三个顶点均在正方形的内部或边上，则称这个等边三角形为正方形的内等边三角形．

（1）若正方形的边长为10，点在边上．

①当点为边的中点时，求作：正方形的内等边（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

②若是正方形的内等边三角形，连接，则线段长的最小值是_____，线段长的取值范围是______；

（2）和都是正方形的内等边三角形，当边的长最大时，画出和，

点按逆时针方向排序，连接．找出图中与线段相等的所有线段（不添加字母），并给予证明．

2020-2021学年度第二学期期中考试

八年级数学

参考答案

一、    选择题(每题3分，共30分)

二、填空题（每题3分，共24分）

11．∠ABC＝90°

12．

13．3

14．2022

15．

16．5

17．

18．①②④⑤

三、解答题（第19题每题4分，共8分；第20题每题4分，共16分；）

19．（1）

＝ ……2分

＝；            ……4分

（2），

=，   ……1分

=，      ……2分

=，                ……3分

=3-1，

=2；                    ……4分

20．解：（1）

两边除以4得：     ……2分

两边开平方得：；   ……4分

解：（2），

，            ……2分

∴x1=0，x2=3；            ……4分

（3），

，              ……1分

，           ……2分

，              ……3分

，

∴，．……4分

（4），

∵，      ……1分

∴，               ……2分

∴，．……4分

四、解答题（第21、22题每题5分，第23、24题每题6分，共22分）

21．（1）解：如图所示，菱形ABEF即为所求．
           ……2分

（2）证明：∵AF=AB，BE=AB，
∴AF=BE，                         ……3分
在▱ABCD中，AD∥BC，
即AF∥BE．
∴四边形ABEF为平行四边形． （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，）（填推理的依据）                                           ……4分
∵AF=AB，
∴四边形ABEF为菱形．（邻边相等的平行四边形是菱形） ……5分
22． （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AE∥BC．

∵CE∥BD，

∴四边形BCED是平行四边形．                  ……1分

∴CE=BD．

∵CE=AC，

∴AC=BD．                                    ……2分

∴□ABCD是矩形．                             ……3分

（2）解：∵□ABCD是矩形，AB=4，AD=3，

∴∠DAB=90°，BC=AD=3，

∴．          ……4分

∵四边形BCED是平行四边形，

∴四边形BCED的周长为2（BC+BD）=2×(3+5)=16．……5分

23． 解：（1）设鸡场垂直于墙的一边长为xm，则鸡场平行于墙的一边长为（40−2x）m，

根据题意得：x（40−2x）＝200，         ……1分

解得：x1＝x2＝10，

∴40−2x＝20．                         ……2分

答：鸡场平行于墙的一边长为20m．      ……3分

（2）假设能，设鸡场垂直于墙的一边长为ym，则鸡场平行于墙的一边长为（40−2y）m，

根据题意得：y（40−2y）＝250，         ……4分

整理得：y2−20y＋125＝0．

∵△＝（−20）2−4×1×125＝−100＜0，     ……5分

∴该方程无解，

∴假设不成立，即养鸡场面积不能达到250m2．……6分

24． 解：（1）∵∠ABC=90°，AB=2，BC=4，

∴AC=，……1分

∵四边形ABCD是准矩形，

∴BD=AC=2．                    ……2分

（2）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°，

∴∠EBF+∠EBC=90°，

∵BE⊥CF，

∴∠EBC+∠BCF=90°，

∴∠EBF=∠BCF，

∴△ABE≌△BCF（ASA），            ……3分

∴BE=CF，

∴四边形BCEF是准矩形；           ……4分

（3）作DF⊥BC，垂足为F，

∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，

∴∠BCA＝30°，

∴AC=4，BC=2，

∵AC=BD，AC=DC，

∴BD=CD=4，

∴BF=CF=BC=，

∴DF=，……5分

∴S准矩形ABCD=S△DCF+S梯形ABFD

=

=

=．                  ……6分

附加题

25． 解：（1）设，则， ……1分

∴，即，∴，                 ……2分

∵，∴，                    ……3分

∴．                                       ……4分

（2）设最小数为x，则，  

即：，                    ……5分

设，则，                 ……6分

∴，，                               ……7分

∵，∴，                         ……8分

∴，（舍去），                       ……9分

∴这四个整数为2，3，4，5．                          ……10分

26．

解：（1）①如图所示，△AEF是内等边三角形；

          ……2分

②∵△AEF是等边三角形，

∴∠EAF＝60°，

∴点F在与AD成60°的直线AF上移动，

∴当BF⊥AF时，BF有最小值，

此时，∵∠FAB＝∠DAB−∠EAF＝30°，

∴BF＝AB＝5，

∴BF的最小值为5，                          ……3分

当DF⊥AF时，DF有最小值，

此时，∠ADF＝30°，

∴AF＝AD＝5，DF=，        ……4分

当点E与点D重合时，DF有最大值，最大值为10，

∴线段DF长的取值范围为5≤DF≤10，       ……5分

（2）和如图所示：

              ……7分

∵是等边三角形，

∴AM＝AN＝MN，∠MAN＝60°，

∵边AM的长最大，

∴点M在DC上，点N在BC上，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AB＝CD＝BC，∠B＝∠C＝∠ADC＝∠DAB＝90°，

∴Rt△ADM≌Rt△ABN（HL），                        ……8分

∴BN=DM，

∵和是等边三角形，

∴AD=AP，AM=AN，∠DAP=∠MAN=60°，

∴∠DAM=∠PAN，

∴△ADM≌△APN（SAS），                          ……9分

∴DM=PN，

∴NP=DM=BN，即：与线段相等的线段有BN，DM．……10分