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2021年江苏省盐城市中考数学模拟试卷（Word版 含解析）
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这是一份2021年江苏省盐城市中考数学模拟试卷（Word版 含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题．，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．|﹣π|的相反数是（ ）
A．﹣πB．πC．﹣D．
2．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．2a﹣a＝2B．a3•a2＝a6C．a3÷a＝a2D．（2a2）3＝6a5
4．实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，正确的结论是（ ）
A．a＞cB．b+c＞0C．|a|＜|d|D．﹣b＜d
5．如图所示的几何体是由7个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（ ）
A．B．
C．D．
6．下列把2034000记成科学记数法正确的是（ ）
A．2.034×106B．20.34×105C．0.2034×106D．2.034×103
7．小涵在2020年某月的月历上圈出了三个数a，b，c，并求出了它们的和为30，则这三个数在月历中的排位位置不可能是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，点P是AB的中点，PO＝2，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．4B．8C．16D．24
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上）．
9．如图，已知AB∥CD，∠2＝135°，则∠1的度数是 ．
10．一组数据3，2，1，4，x的平均数为3，则x为 ．
11．因式分解：x2﹣6xy+9y2＝ ．
12．方程＝+3的解是 ．
13．在一个不透明的盒子里有形状、大小完全相同的黄球n个、红球3个，白球4个，从盒子里任意摸出一个球，摸到红球的概率是，则盒子里一共有 个球．
14．如图，△ABC中，∠A＝50°，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，且BD＝CD，连接BE，DE，则∠BED的大小为 ．
15．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，点E在BC上，AE⊥DE，DC＝1，BE＝3，BC＝5，则AB＝ ．
16．如图，菱形ABCD顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，函数y＝（k＞12，x＞0）的图象关于直线AC对称，且经过点B，D两点，若AB＝4，∠DAB＝30°，则k的值为 ．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．计算：﹣|﹣4|﹣（3﹣π）0+2019+
18．解不等式组：．
19．先化简：（﹣）÷，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，sinC＝，AC＝8，BD平分∠ABC交边AC于点D．
求（1）边AB的长；
（2）tan∠ABD的值．
21．如图，在△ABC中，∠A＞∠B．
（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B＝50°，求∠AEC的度数．
22．绿色出行是对环境影响最小的出行方式，“共享单车”已成为长春市的一道亮丽的风景线．某社会实践活动小组为了了解“共享单车”的使用情况，对本校师生在7月6日至7月10日使用单车的情况进行了问卷调查．以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分：请根据以上信息解答下列问题：
（1）7月7日使用“共享单车”的师生有 人；
（2）不同品牌的“共享单车”各具特色，社会实践活动小组针对有过使用“共享单车”经历的师生做了进一步调查，每个人都按要求选择了一种自己喜欢的“共享单车”，统计结果如图，其中喜欢mbike的师生有36人．求喜欢f的师生人数．
23．中国籍作家莫言获2012年诺贝尔文学奖后，国内掀起了一股莫言作品的热潮．小明的语文老师是莫言的忠实读者，家中现有：A．《透明的红萝卜》，B．《红高粱家族》，C．《生死疲劳》，D．《蛙》等四部作品．
（1）若老师随机拿来一本给小明阅读，拿到《蛙》的概率是多少？
（2）若小明想向老师同时借阅两本，请用树形图或列表法的一种，列举出老师随机抽取两本时所有可能的结果（用A、B、C、D表示相应的作品），并求出小明恰好借到《生死疲劳》和《蛙》的概率．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．
25．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点A（0，2）．过点A的直线l与x轴交于点C，与该函数的图象交于点B（异于点A）．满足△ACN是等腰直角三角形，记△AMN的面积为S1，△BMN的面积为S2，且S2＝S1．
（1）抛物线的开口方向 （填“上”或“下”）；
（2）求直线l相应的函数表达式；
（3）求该二次函数的表达式．
26．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD⊥BC于D，AD＝4cm，过点D作DE∥AC，交AB于点E，DF∥AB，交AC于点F．动点P从点A出发以1cm/s的速度向终点D运动，过点P作MN∥BC，交AB于点M，交AC于
点N．设点P运动时间为x （s），△AMN与四边形AEDF重叠部分面积为y（cm2）．
（1）AE＝ cm，AF＝ cm；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）若线段MN中点为O，当点O落在∠ACB平分线上时，直接写出x的值．
27．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标；
（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．|﹣π|的相反数是（ ）
A．﹣πB．πC．﹣D．
解：∵|﹣π|＝π，
∴|﹣π|的相反数是：﹣π．
故选：A．
2．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
3．下列运算正确的是（ ）
A．2a﹣a＝2B．a3•a2＝a6C．a3÷a＝a2D．（2a2）3＝6a5
解：A、2a﹣a＝a，故此选项错误；
B、a3•a2＝a5，故此选项错误；
C、a3÷a＝a2，故此选项正确；
D、（2a2）3＝8a6，故此选项错误；
故选：C．
4．实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，正确的结论是（ ）
A．a＞cB．b+c＞0C．|a|＜|d|D．﹣b＜d
解：根据数轴，﹣5＜a＜﹣4，﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1，d＝4，
∵﹣5＜a＜﹣4，0＜c＜1，
∴a＜c，故A错误；
∵﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1，
∴b+c＜0，故B错误；
∵﹣5＜a＜﹣4，d＝4，
∴|a|＞|d|，故C错误；
∵1＜﹣b＜2，d＝4，
∴﹣b＜d，故D正确．
故选：D．
5．如图所示的几何体是由7个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（ ）
A．B．
C．D．
解：该几何体的左视图为：．
故选：C．
6．下列把2034000记成科学记数法正确的是（ ）
A．2.034×106B．20.34×105C．0.2034×106D．2.034×103
解：数字2034000科学记数法可表示为2.034×106．
故选：A．
7．小涵在2020年某月的月历上圈出了三个数a，b，c，并求出了它们的和为30，则这三个数在月历中的排位位置不可能是（ ）
A．B．C．D．
解：A、设最小的数是x，则x+x+7+x+14＝30，解得x＝3，故本选项不符合题意；
B、设最小的数是x，则x+x+6+x+12＝30，解得x＝4，故本选项不符合题意；
C、设最小的数是x，则x+x+1+x+8＝30，解得x＝7，故本选项不符合题意；
D、设最小的数是x，则x+x+6+x+14＝30，解得x＝，故本选项符合题意．
故选：D．
8．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，点P是AB的中点，PO＝2，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．4B．8C．16D．24
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，
∵点P是AB的中点，
∴AB＝2OP，
∵PO＝2，
∴AB＝4，
∴菱形ABCD的周长是：4×4＝16，
故选：C．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上）．
9．如图，已知AB∥CD，∠2＝135°，则∠1的度数是 45° ．
解：
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3，
∵∠2＝135°，
∴∠3＝180°﹣135°＝45°，
∴∠1＝45°，
故答案为：45°．
10．一组数据3，2，1，4，x的平均数为3，则x为 5 ．
解：根据题意，得：＝3，
解得：x＝5，
故答案为：5．
11．因式分解：x2﹣6xy+9y2＝ （x﹣3y）2 ．
解：原式＝x2﹣2•x•3y+（3y）2
＝（x﹣3y）2，
故答案为：（x﹣3y）2
12．方程＝+3的解是 x＝1 ．
解：去分母得：6x（1﹣2x）＝1+2x+3（1+2x）（1﹣2x），
整理得：6x﹣12x2＝1+2x+3﹣12x2，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解．
故答案为：x＝1．
13．在一个不透明的盒子里有形状、大小完全相同的黄球n个、红球3个，白球4个，从盒子里任意摸出一个球，摸到红球的概率是，则盒子里一共有 9 个球．
解：根据题意得：
＝，
解得：n＝2，
则盒子里一共有2+3+4＝9个球．
故答案为：9．
14．如图，△ABC中，∠A＝50°，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，且BD＝CD，连接BE，DE，则∠BED的大小为 25° ．
解：连接AD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵BD＝DC，
∴AB＝AC，
∴∠BAD＝∠BAC＝25°，
∴∠BED＝∠BAD＝25°，
故答案为：25°．
15．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，点E在BC上，AE⊥DE，DC＝1，BE＝3，BC＝5，则AB＝ 6 ．
解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠BAE，
∴△ABE∽△ECD，
∴，
∴，
∴AB＝6，
故答案为：6．
16．如图，菱形ABCD顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，函数y＝（k＞12，x＞0）的图象关于直线AC对称，且经过点B，D两点，若AB＝4，∠DAB＝30°，则k的值为 24+8 ．
解：连接OC，AC，过A作AE⊥x轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，
∵函数y＝（k＞12，x＞0）的图象关于直线AC对称，
∴O，A，C三点在同直线上，且∠COE＝45°，
∴OE＝AE，
不妨设OE＝AE＝a，则A（a，a），
∵点A在在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴a2＝12，
∴a＝2，
∴AE＝OE＝2，
∵∠BAD＝30°，
∴∠OAF＝∠CAD＝∠BAD＝15°，
∵∠OAE＝∠AOE＝45°，
∴∠EAF＝30°，
∴AF＝＝4，EF＝AEtan30°＝2，
∵AB＝AD＝4，AE∥DG，
∴EF＝EG＝2，DG＝2AE＝4，
∴OG＝OE+EG＝2+2，
∴D（2+2，4），
∴k＝4（2+2）＝24+8，
故答案为：24+8．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．计算：﹣|﹣4|﹣（3﹣π）0+2019+
解：﹣|﹣4|﹣（3﹣π）0+2019+
＝3﹣4﹣1+2019﹣2
＝2015．
18．解不等式组：．
解：解不等式x﹣3（x﹣1）≥5，得：x≤﹣1，
解不等式﹣1≤，得：x≥﹣7，
则不等式组的解集为﹣7≤x≤﹣1．
19．先化简：（﹣）÷，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
解：原式＝•
＝
＝
＝，
当a＝﹣3，﹣1，0，1时，原式没有意义，舍去，
当a＝﹣2时，原式＝﹣．
20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，sinC＝，AC＝8，BD平分∠ABC交边AC于点D．
求（1）边AB的长；
（2）tan∠ABD的值．
解：（1）∵在Rt△ABC中，sinC＝
∴tanC＝
又∵AC＝8
∴AB＝6．
（2）过点D作DE⊥BC于点E．
∵BD平分∠ABC，DA⊥AB，DE⊥BC
∴DA＝DE，
设DA＝DE＝x，
在Rt△ABC中，∵AB＝6，AC＝8．
∴BC＝＝10，
∵S△ABC＝×6×x+×10×x＝×6×8
∴x＝3，
∴AD＝3，
在Rt△ABD中，可得tan∠ABD＝＝＝．
21．如图，在△ABC中，∠A＞∠B．
（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B＝50°，求∠AEC的度数．
解：（1）如图所示；
（2）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠B＝50°，
∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝100°．
22．绿色出行是对环境影响最小的出行方式，“共享单车”已成为长春市的一道亮丽的风景线．某社会实践活动小组为了了解“共享单车”的使用情况，对本校师生在7月6日至7月10日使用单车的情况进行了问卷调查．以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分：请根据以上信息解答下列问题：
（1）7月7日使用“共享单车”的师生有 30 人；
（2）不同品牌的“共享单车”各具特色，社会实践活动小组针对有过使用“共享单车”经历的师生做了进一步调查，每个人都按要求选择了一种自己喜欢的“共享单车”，统计结果如图，其中喜欢mbike的师生有36人．求喜欢f的师生人数．
解：（1）7月7日使用“共享单车”的教师人数为：20（1+50%）＝30人，
故答案为：30；
（2）（人）
答：喜欢f的师生人数约为32人．
23．中国籍作家莫言获2012年诺贝尔文学奖后，国内掀起了一股莫言作品的热潮．小明的语文老师是莫言的忠实读者，家中现有：A．《透明的红萝卜》，B．《红高粱家族》，C．《生死疲劳》，D．《蛙》等四部作品．
（1）若老师随机拿来一本给小明阅读，拿到《蛙》的概率是多少？
（2）若小明想向老师同时借阅两本，请用树形图或列表法的一种，列举出老师随机抽取两本时所有可能的结果（用A、B、C、D表示相应的作品），并求出小明恰好借到《生死疲劳》和《蛙》的概率．
解：（1）∵家中现有：A．《透明的红萝卜》，B．《红高粱家族》，C．《生死疲劳》，D．《蛙》等四部作品，
∴老师随机拿来一本给小明阅读，拿到《蛙》的概率是．
（2）根据题意画图如下：
共有12种等可能的情况数，其中小明恰好借到《生死疲劳》和《蛙》的有2种，
则小明恰好借到《生死疲劳》和《蛙》的概率是＝．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．
解：（1）∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，
∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，
∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠BDE+∠FDE＝90°，
即∠BDF＝90°，
∴DF⊥BD，
又∵BD是⊙O的直径，
∴DF是⊙O的切线．
（2）如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝2×4＝8，
∴＝4，
∵点D是AC的中点，
∴，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DEB＝90°，
∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°，
∴，
在Rt△BCD中，＝＝2，
在Rt△BED中，BE＝＝＝5，
∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，
∴∠FDE＝∠DBE，
∵∠DEF＝∠BED＝90°，
∴△FDE∽△DBE，
∴，即，
∴．
25．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点A（0，2）．过点A的直线l与x轴交于点C，与该函数的图象交于点B（异于点A）．满足△ACN是等腰直角三角形，记△AMN的面积为S1，△BMN的面积为S2，且S2＝S1．
（1）抛物线的开口方向 上 （填“上”或“下”）；
（2）求直线l相应的函数表达式；
（3）求该二次函数的表达式．
解：（1）如图，如二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点A（0，2）．
∴y＝ax2+bx+2，
令y＝0，则ax2+bx+2＝0，
∵0＜x1＜x2，
∴＞0，
∴a＞0，
∴抛物线开口向上，
故答案为：上；
（2）①若∠ACN＝90°，则C与O重合，直线l与抛物线交于A点，
因为直线l与该函数的图象交于点B（异于点A），所以不合题意，舍去；
②若∠ANC＝90°，则C在x轴的下方，与题意不符，舍去；
③若∠CAN＝90°，则∠ACN＝∠ANC＝45°，AO＝CO＝NO＝2，
∴C（﹣2，0），N（2，0），
设直线l为y＝kx+b，将A（0，2）C（﹣2，0）代入得，
解得，
∴直线l相应的函数表达式为y＝x+2；
（3）过B点作BH⊥x轴于H，
S1＝，S2＝，
∵S2＝S1，
∴BH＝OA，
∵OA＝2，
∴BH＝5，
即B点的纵坐标为5，代入y＝x+2中，得x＝3，
∴B（3，5），
将A、B、N三点的坐标代入y＝ax2+bx+c得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣5x+2．
26．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD⊥BC于D，AD＝4cm，过点D作DE∥AC，交AB于点E，DF∥AB，交AC于点F．动点P从点A出发以1cm/s的速度向终点D运动，过点P作MN∥BC，交AB于点M，交AC于
点N．设点P运动时间为x （s），△AMN与四边形AEDF重叠部分面积为y（cm2）．
（1）AE＝ 2 cm，AF＝ 2 cm；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）若线段MN中点为O，当点O落在∠ACB平分线上时，直接写出x的值．
解：（1）∵∠B＝30°，AD⊥BC于D，
∴∠BAD＝60°
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAD＝30°，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
∵AD＝4cm，
∴AE＝AD•cs60°＝2cm，
AF＝AD•cs30°＝2cm，
故答案为：2；2；
（2）过点E作EG⊥AD于点G，过点F作FH⊥AD于点H，如图1，
∴EG＝AE•cs60°＝cm，
AH＝AF•cs30°＝3cm，
当0≤x≤时，如图1，则AP＝xcm，
∵MN∥BC，
∴∠AMN＝∠B＝30°，
∴AM＝2AP＝2x，
∴AN＝AM•tan30°＝2x•＝（cm），
∴y＝＝，
即y＝（0＜x≤1）；
当1＜x≤3时，如图2，则
ME＝AM﹣AE＝2x﹣2（cm），
∴EH＝ME•tan∠EMH＝（cm），
∴，
∴y＝×＝x﹣（1＜x≤3）；
当3＜x≤4时，如图3，
∴AN＝（cm），
∵MN∥BC，
∴∠ANG＝∠C＝60°，
∵NF＝AN﹣AF＝（cm），
∴FG＝FN•tan60°＝2x﹣6（cm），
∴，
∴y＝S△AMN﹣S△EMH﹣S△FNG＝，
即y＝﹣（3＜x≤4）；
综上，y＝；
（3）过点O作OH⊥BC于点H，OG⊥AC于点G，OK⊥AB于点K，连接OA，OB，如图4，
∵OC平分∠ACB，
∴OH＝OG，
∵MN∥BC，
∴∠AMN＝∠ABC＝30°，∠ANM＝∠ACB＝60°，
∴OK＝OM•sin30°＝OM，
OG＝ON•sin60°＝ON，
∵OM＝ON，
∴OG＝，
∵AC＝AB•tan30°＝，BC＝2AC＝，
∵，
∴8×＝8OK+，
∴OK＝，
∴，
∴AP＝2，
∴x＝2．
27．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标；
（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（1，0），C（0，﹣3）
∴解得：
∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3
（2）①若点P在x轴下方，如图1，
延长AP到H，使AH＝AB，过点B作BI⊥x轴，连接BH，作BH中点G，连接并延长AG交BI于点F，过点H作HI⊥BI于点I
∵当x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1
∴B（﹣3，0）
∵A（1，0），C（0，﹣3）
∴OA＝1，OC＝3，AC＝，AB＝4
∴Rt△AOC中，sin∠ACO＝，cs∠ACO＝
∵AB＝AH，G为BH中点
∴AG⊥BH，BG＝GH
∴∠BAG＝∠HAG，即∠PAB＝2∠BAG
∵∠PAB＝2∠ACO
∴∠BAG＝∠ACO
∴Rt△ABG中，∠AGB＝90°，sin∠BAG＝
∴BG＝AB＝
∴BH＝2BG＝
∵∠HBI+∠ABG＝∠ABG+∠BAG＝90°
∴∠HBI＝∠BAG＝∠ACO
∴Rt△BHI中，∠BIH＝90°，sin∠HBI＝，cs∠HBI＝
∴HI＝BH＝，BI＝BH＝
∴xH＝﹣3+＝﹣，yH＝﹣，即H（﹣，﹣）
设直线AH解析式为y＝kx+a
∴解得：
∴直线AH：y＝x﹣
∵ 解得：（即点A），
∴P（﹣，﹣）；
②若点P在x轴上方，如图2，
在AP上截取AH'＝AH，则H'与H关于x轴对称
∴H'（﹣，）
设直线AH'解析式为y＝k'x+a'
∴ 解得：
∴直线AH'：y＝﹣x+
∵ 解得：（即点A），
∴P（﹣，）．
综上所述，点P的坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）．
解法二：在y轴上取一点T，是的AT＝CT，则∠ACT＝∠TAC，
∴∠ATO＝∠TAC+∠ACT＝2∠ACT，
设OT＝t，则AT＝CT＝3﹣t，
在Rt△AOT中，则有12+t2＝（3﹣t）2，
∴t＝，即OT＝，
①当P在y轴的正半轴上时，过点A作AK1⊥AT交y轴于K1，
由△OAT∽△OK1A得到＝，
∴OK1＝，
∴K1（0，），
∴直线AK1的解析式为y＝﹣x+，
由，解得或，即P1（﹣，）．
当K2在y轴的负半轴上时，根据对称性可知K2（0，﹣），
∴直线AK2的解析式为y＝x﹣，
由，解得或，即P2（﹣，﹣）．
（3）DM+DN为定值
∵抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴为：直线x＝﹣1
∴D（﹣1，0），xM＝xN＝﹣1
设Q（t，t2+2t﹣3）（﹣3＜t＜1）
设直线AQ解析式为y＝dx+e
∴ 解得：
∴直线AQ：y＝（t+3）x﹣t﹣3
当x＝﹣1时，yM＝﹣t﹣3﹣t﹣3＝﹣2t﹣6
∴DM＝0﹣（﹣2t﹣6）＝2t+6
设直线BQ解析式为y＝mx+n
∴ 解得：
∴直线BQ：y＝（t﹣1）x+3t﹣3
当x＝﹣1时，yN＝﹣t+1+3t﹣3＝2t﹣2
∴DN＝0﹣（2t﹣2）＝﹣2t+2
∴DM+DN＝2t+6+（﹣2t+2）＝8，为定值．
解法二：如图，过点Q作QH⊥OB于H．
∵QH∥DN，
∴△BDN∽△BHQ，
∴＝，
∵QH∥DM，
∴△ADM∽△AHQ，
∴＝，
∴+＝+＝+＝＝，
设Q（m，m2+2m﹣3），则H（m，0），
∴AH＝1﹣m，BH＝m+2，QH＝﹣m2﹣2m+3，
∴DM+DN＝•（﹣m2﹣2m+3）＝8，为定值．
1．|﹣π|的相反数是（ ）
A．﹣πB．πC．﹣D．
2．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．2a﹣a＝2B．a3•a2＝a6C．a3÷a＝a2D．（2a2）3＝6a5
4．实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，正确的结论是（ ）
A．a＞cB．b+c＞0C．|a|＜|d|D．﹣b＜d
5．如图所示的几何体是由7个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（ ）
A．B．
C．D．
6．下列把2034000记成科学记数法正确的是（ ）
A．2.034×106B．20.34×105C．0.2034×106D．2.034×103
7．小涵在2020年某月的月历上圈出了三个数a，b，c，并求出了它们的和为30，则这三个数在月历中的排位位置不可能是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，点P是AB的中点，PO＝2，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．4B．8C．16D．24
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上）．
9．如图，已知AB∥CD，∠2＝135°，则∠1的度数是 ．
10．一组数据3，2，1，4，x的平均数为3，则x为 ．
11．因式分解：x2﹣6xy+9y2＝ ．
12．方程＝+3的解是 ．
13．在一个不透明的盒子里有形状、大小完全相同的黄球n个、红球3个，白球4个，从盒子里任意摸出一个球，摸到红球的概率是，则盒子里一共有 个球．
14．如图，△ABC中，∠A＝50°，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，且BD＝CD，连接BE，DE，则∠BED的大小为 ．
15．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，点E在BC上，AE⊥DE，DC＝1，BE＝3，BC＝5，则AB＝ ．
16．如图，菱形ABCD顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，函数y＝（k＞12，x＞0）的图象关于直线AC对称，且经过点B，D两点，若AB＝4，∠DAB＝30°，则k的值为 ．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．计算：﹣|﹣4|﹣（3﹣π）0+2019+
18．解不等式组：．
19．先化简：（﹣）÷，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，sinC＝，AC＝8，BD平分∠ABC交边AC于点D．
求（1）边AB的长；
（2）tan∠ABD的值．
21．如图，在△ABC中，∠A＞∠B．
（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B＝50°，求∠AEC的度数．
22．绿色出行是对环境影响最小的出行方式，“共享单车”已成为长春市的一道亮丽的风景线．某社会实践活动小组为了了解“共享单车”的使用情况，对本校师生在7月6日至7月10日使用单车的情况进行了问卷调查．以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分：请根据以上信息解答下列问题：
（1）7月7日使用“共享单车”的师生有 人；
（2）不同品牌的“共享单车”各具特色，社会实践活动小组针对有过使用“共享单车”经历的师生做了进一步调查，每个人都按要求选择了一种自己喜欢的“共享单车”，统计结果如图，其中喜欢mbike的师生有36人．求喜欢f的师生人数．
23．中国籍作家莫言获2012年诺贝尔文学奖后，国内掀起了一股莫言作品的热潮．小明的语文老师是莫言的忠实读者，家中现有：A．《透明的红萝卜》，B．《红高粱家族》，C．《生死疲劳》，D．《蛙》等四部作品．
（1）若老师随机拿来一本给小明阅读，拿到《蛙》的概率是多少？
（2）若小明想向老师同时借阅两本，请用树形图或列表法的一种，列举出老师随机抽取两本时所有可能的结果（用A、B、C、D表示相应的作品），并求出小明恰好借到《生死疲劳》和《蛙》的概率．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．
25．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点A（0，2）．过点A的直线l与x轴交于点C，与该函数的图象交于点B（异于点A）．满足△ACN是等腰直角三角形，记△AMN的面积为S1，△BMN的面积为S2，且S2＝S1．
（1）抛物线的开口方向 （填“上”或“下”）；
（2）求直线l相应的函数表达式；
（3）求该二次函数的表达式．
26．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD⊥BC于D，AD＝4cm，过点D作DE∥AC，交AB于点E，DF∥AB，交AC于点F．动点P从点A出发以1cm/s的速度向终点D运动，过点P作MN∥BC，交AB于点M，交AC于
点N．设点P运动时间为x （s），△AMN与四边形AEDF重叠部分面积为y（cm2）．
（1）AE＝ cm，AF＝ cm；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）若线段MN中点为O，当点O落在∠ACB平分线上时，直接写出x的值．
27．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标；
（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．|﹣π|的相反数是（ ）
A．﹣πB．πC．﹣D．
解：∵|﹣π|＝π，
∴|﹣π|的相反数是：﹣π．
故选：A．
2．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
3．下列运算正确的是（ ）
A．2a﹣a＝2B．a3•a2＝a6C．a3÷a＝a2D．（2a2）3＝6a5
解：A、2a﹣a＝a，故此选项错误；
B、a3•a2＝a5，故此选项错误；
C、a3÷a＝a2，故此选项正确；
D、（2a2）3＝8a6，故此选项错误；
故选：C．
4．实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，正确的结论是（ ）
A．a＞cB．b+c＞0C．|a|＜|d|D．﹣b＜d
解：根据数轴，﹣5＜a＜﹣4，﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1，d＝4，
∵﹣5＜a＜﹣4，0＜c＜1，
∴a＜c，故A错误；
∵﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1，
∴b+c＜0，故B错误；
∵﹣5＜a＜﹣4，d＝4，
∴|a|＞|d|，故C错误；
∵1＜﹣b＜2，d＝4，
∴﹣b＜d，故D正确．
故选：D．
5．如图所示的几何体是由7个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（ ）
A．B．
C．D．
解：该几何体的左视图为：．
故选：C．
6．下列把2034000记成科学记数法正确的是（ ）
A．2.034×106B．20.34×105C．0.2034×106D．2.034×103
解：数字2034000科学记数法可表示为2.034×106．
故选：A．
7．小涵在2020年某月的月历上圈出了三个数a，b，c，并求出了它们的和为30，则这三个数在月历中的排位位置不可能是（ ）
A．B．C．D．
解：A、设最小的数是x，则x+x+7+x+14＝30，解得x＝3，故本选项不符合题意；
B、设最小的数是x，则x+x+6+x+12＝30，解得x＝4，故本选项不符合题意；
C、设最小的数是x，则x+x+1+x+8＝30，解得x＝7，故本选项不符合题意；
D、设最小的数是x，则x+x+6+x+14＝30，解得x＝，故本选项符合题意．
故选：D．
8．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，点P是AB的中点，PO＝2，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．4B．8C．16D．24
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，
∵点P是AB的中点，
∴AB＝2OP，
∵PO＝2，
∴AB＝4，
∴菱形ABCD的周长是：4×4＝16，
故选：C．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上）．
9．如图，已知AB∥CD，∠2＝135°，则∠1的度数是 45° ．
解：
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3，
∵∠2＝135°，
∴∠3＝180°﹣135°＝45°，
∴∠1＝45°，
故答案为：45°．
10．一组数据3，2，1，4，x的平均数为3，则x为 5 ．
解：根据题意，得：＝3，
解得：x＝5，
故答案为：5．
11．因式分解：x2﹣6xy+9y2＝ （x﹣3y）2 ．
解：原式＝x2﹣2•x•3y+（3y）2
＝（x﹣3y）2，
故答案为：（x﹣3y）2
12．方程＝+3的解是 x＝1 ．
解：去分母得：6x（1﹣2x）＝1+2x+3（1+2x）（1﹣2x），
整理得：6x﹣12x2＝1+2x+3﹣12x2，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解．
故答案为：x＝1．
13．在一个不透明的盒子里有形状、大小完全相同的黄球n个、红球3个，白球4个，从盒子里任意摸出一个球，摸到红球的概率是，则盒子里一共有 9 个球．
解：根据题意得：
＝，
解得：n＝2，
则盒子里一共有2+3+4＝9个球．
故答案为：9．
14．如图，△ABC中，∠A＝50°，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，且BD＝CD，连接BE，DE，则∠BED的大小为 25° ．
解：连接AD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵BD＝DC，
∴AB＝AC，
∴∠BAD＝∠BAC＝25°，
∴∠BED＝∠BAD＝25°，
故答案为：25°．
15．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，点E在BC上，AE⊥DE，DC＝1，BE＝3，BC＝5，则AB＝ 6 ．
解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠BAE，
∴△ABE∽△ECD，
∴，
∴，
∴AB＝6，
故答案为：6．
16．如图，菱形ABCD顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，函数y＝（k＞12，x＞0）的图象关于直线AC对称，且经过点B，D两点，若AB＝4，∠DAB＝30°，则k的值为 24+8 ．
解：连接OC，AC，过A作AE⊥x轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，
∵函数y＝（k＞12，x＞0）的图象关于直线AC对称，
∴O，A，C三点在同直线上，且∠COE＝45°，
∴OE＝AE，
不妨设OE＝AE＝a，则A（a，a），
∵点A在在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴a2＝12，
∴a＝2，
∴AE＝OE＝2，
∵∠BAD＝30°，
∴∠OAF＝∠CAD＝∠BAD＝15°，
∵∠OAE＝∠AOE＝45°，
∴∠EAF＝30°，
∴AF＝＝4，EF＝AEtan30°＝2，
∵AB＝AD＝4，AE∥DG，
∴EF＝EG＝2，DG＝2AE＝4，
∴OG＝OE+EG＝2+2，
∴D（2+2，4），
∴k＝4（2+2）＝24+8，
故答案为：24+8．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．计算：﹣|﹣4|﹣（3﹣π）0+2019+
解：﹣|﹣4|﹣（3﹣π）0+2019+
＝3﹣4﹣1+2019﹣2
＝2015．
18．解不等式组：．
解：解不等式x﹣3（x﹣1）≥5，得：x≤﹣1，
解不等式﹣1≤，得：x≥﹣7，
则不等式组的解集为﹣7≤x≤﹣1．
19．先化简：（﹣）÷，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
解：原式＝•
＝
＝
＝，
当a＝﹣3，﹣1，0，1时，原式没有意义，舍去，
当a＝﹣2时，原式＝﹣．
20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，sinC＝，AC＝8，BD平分∠ABC交边AC于点D．
求（1）边AB的长；
（2）tan∠ABD的值．
解：（1）∵在Rt△ABC中，sinC＝
∴tanC＝
又∵AC＝8
∴AB＝6．
（2）过点D作DE⊥BC于点E．
∵BD平分∠ABC，DA⊥AB，DE⊥BC
∴DA＝DE，
设DA＝DE＝x，
在Rt△ABC中，∵AB＝6，AC＝8．
∴BC＝＝10，
∵S△ABC＝×6×x+×10×x＝×6×8
∴x＝3，
∴AD＝3，
在Rt△ABD中，可得tan∠ABD＝＝＝．
21．如图，在△ABC中，∠A＞∠B．
（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B＝50°，求∠AEC的度数．
解：（1）如图所示；
（2）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠B＝50°，
∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝100°．
22．绿色出行是对环境影响最小的出行方式，“共享单车”已成为长春市的一道亮丽的风景线．某社会实践活动小组为了了解“共享单车”的使用情况，对本校师生在7月6日至7月10日使用单车的情况进行了问卷调查．以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分：请根据以上信息解答下列问题：
（1）7月7日使用“共享单车”的师生有 30 人；
（2）不同品牌的“共享单车”各具特色，社会实践活动小组针对有过使用“共享单车”经历的师生做了进一步调查，每个人都按要求选择了一种自己喜欢的“共享单车”，统计结果如图，其中喜欢mbike的师生有36人．求喜欢f的师生人数．
解：（1）7月7日使用“共享单车”的教师人数为：20（1+50%）＝30人，
故答案为：30；
（2）（人）
答：喜欢f的师生人数约为32人．
23．中国籍作家莫言获2012年诺贝尔文学奖后，国内掀起了一股莫言作品的热潮．小明的语文老师是莫言的忠实读者，家中现有：A．《透明的红萝卜》，B．《红高粱家族》，C．《生死疲劳》，D．《蛙》等四部作品．
（1）若老师随机拿来一本给小明阅读，拿到《蛙》的概率是多少？
（2）若小明想向老师同时借阅两本，请用树形图或列表法的一种，列举出老师随机抽取两本时所有可能的结果（用A、B、C、D表示相应的作品），并求出小明恰好借到《生死疲劳》和《蛙》的概率．
解：（1）∵家中现有：A．《透明的红萝卜》，B．《红高粱家族》，C．《生死疲劳》，D．《蛙》等四部作品，
∴老师随机拿来一本给小明阅读，拿到《蛙》的概率是．
（2）根据题意画图如下：
共有12种等可能的情况数，其中小明恰好借到《生死疲劳》和《蛙》的有2种，
则小明恰好借到《生死疲劳》和《蛙》的概率是＝．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．
解：（1）∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，
∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，
∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠BDE+∠FDE＝90°，
即∠BDF＝90°，
∴DF⊥BD，
又∵BD是⊙O的直径，
∴DF是⊙O的切线．
（2）如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝2×4＝8，
∴＝4，
∵点D是AC的中点，
∴，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DEB＝90°，
∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°，
∴，
在Rt△BCD中，＝＝2，
在Rt△BED中，BE＝＝＝5，
∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，
∴∠FDE＝∠DBE，
∵∠DEF＝∠BED＝90°，
∴△FDE∽△DBE，
∴，即，
∴．
25．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点A（0，2）．过点A的直线l与x轴交于点C，与该函数的图象交于点B（异于点A）．满足△ACN是等腰直角三角形，记△AMN的面积为S1，△BMN的面积为S2，且S2＝S1．
（1）抛物线的开口方向 上 （填“上”或“下”）；
（2）求直线l相应的函数表达式；
（3）求该二次函数的表达式．
解：（1）如图，如二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点A（0，2）．
∴y＝ax2+bx+2，
令y＝0，则ax2+bx+2＝0，
∵0＜x1＜x2，
∴＞0，
∴a＞0，
∴抛物线开口向上，
故答案为：上；
（2）①若∠ACN＝90°，则C与O重合，直线l与抛物线交于A点，
因为直线l与该函数的图象交于点B（异于点A），所以不合题意，舍去；
②若∠ANC＝90°，则C在x轴的下方，与题意不符，舍去；
③若∠CAN＝90°，则∠ACN＝∠ANC＝45°，AO＝CO＝NO＝2，
∴C（﹣2，0），N（2，0），
设直线l为y＝kx+b，将A（0，2）C（﹣2，0）代入得，
解得，
∴直线l相应的函数表达式为y＝x+2；
（3）过B点作BH⊥x轴于H，
S1＝，S2＝，
∵S2＝S1，
∴BH＝OA，
∵OA＝2，
∴BH＝5，
即B点的纵坐标为5，代入y＝x+2中，得x＝3，
∴B（3，5），
将A、B、N三点的坐标代入y＝ax2+bx+c得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣5x+2．
26．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD⊥BC于D，AD＝4cm，过点D作DE∥AC，交AB于点E，DF∥AB，交AC于点F．动点P从点A出发以1cm/s的速度向终点D运动，过点P作MN∥BC，交AB于点M，交AC于
点N．设点P运动时间为x （s），△AMN与四边形AEDF重叠部分面积为y（cm2）．
（1）AE＝ 2 cm，AF＝ 2 cm；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）若线段MN中点为O，当点O落在∠ACB平分线上时，直接写出x的值．
解：（1）∵∠B＝30°，AD⊥BC于D，
∴∠BAD＝60°
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAD＝30°，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
∵AD＝4cm，
∴AE＝AD•cs60°＝2cm，
AF＝AD•cs30°＝2cm，
故答案为：2；2；
（2）过点E作EG⊥AD于点G，过点F作FH⊥AD于点H，如图1，
∴EG＝AE•cs60°＝cm，
AH＝AF•cs30°＝3cm，
当0≤x≤时，如图1，则AP＝xcm，
∵MN∥BC，
∴∠AMN＝∠B＝30°，
∴AM＝2AP＝2x，
∴AN＝AM•tan30°＝2x•＝（cm），
∴y＝＝，
即y＝（0＜x≤1）；
当1＜x≤3时，如图2，则
ME＝AM﹣AE＝2x﹣2（cm），
∴EH＝ME•tan∠EMH＝（cm），
∴，
∴y＝×＝x﹣（1＜x≤3）；
当3＜x≤4时，如图3，
∴AN＝（cm），
∵MN∥BC，
∴∠ANG＝∠C＝60°，
∵NF＝AN﹣AF＝（cm），
∴FG＝FN•tan60°＝2x﹣6（cm），
∴，
∴y＝S△AMN﹣S△EMH﹣S△FNG＝，
即y＝﹣（3＜x≤4）；
综上，y＝；
（3）过点O作OH⊥BC于点H，OG⊥AC于点G，OK⊥AB于点K，连接OA，OB，如图4，
∵OC平分∠ACB，
∴OH＝OG，
∵MN∥BC，
∴∠AMN＝∠ABC＝30°，∠ANM＝∠ACB＝60°，
∴OK＝OM•sin30°＝OM，
OG＝ON•sin60°＝ON，
∵OM＝ON，
∴OG＝，
∵AC＝AB•tan30°＝，BC＝2AC＝，
∵，
∴8×＝8OK+，
∴OK＝，
∴，
∴AP＝2，
∴x＝2．
27．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标；
（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（1，0），C（0，﹣3）
∴解得：
∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3
（2）①若点P在x轴下方，如图1，
延长AP到H，使AH＝AB，过点B作BI⊥x轴，连接BH，作BH中点G，连接并延长AG交BI于点F，过点H作HI⊥BI于点I
∵当x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1
∴B（﹣3，0）
∵A（1，0），C（0，﹣3）
∴OA＝1，OC＝3，AC＝，AB＝4
∴Rt△AOC中，sin∠ACO＝，cs∠ACO＝
∵AB＝AH，G为BH中点
∴AG⊥BH，BG＝GH
∴∠BAG＝∠HAG，即∠PAB＝2∠BAG
∵∠PAB＝2∠ACO
∴∠BAG＝∠ACO
∴Rt△ABG中，∠AGB＝90°，sin∠BAG＝
∴BG＝AB＝
∴BH＝2BG＝
∵∠HBI+∠ABG＝∠ABG+∠BAG＝90°
∴∠HBI＝∠BAG＝∠ACO
∴Rt△BHI中，∠BIH＝90°，sin∠HBI＝，cs∠HBI＝
∴HI＝BH＝，BI＝BH＝
∴xH＝﹣3+＝﹣，yH＝﹣，即H（﹣，﹣）
设直线AH解析式为y＝kx+a
∴解得：
∴直线AH：y＝x﹣
∵ 解得：（即点A），
∴P（﹣，﹣）；
②若点P在x轴上方，如图2，
在AP上截取AH'＝AH，则H'与H关于x轴对称
∴H'（﹣，）
设直线AH'解析式为y＝k'x+a'
∴ 解得：
∴直线AH'：y＝﹣x+
∵ 解得：（即点A），
∴P（﹣，）．
综上所述，点P的坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）．
解法二：在y轴上取一点T，是的AT＝CT，则∠ACT＝∠TAC，
∴∠ATO＝∠TAC+∠ACT＝2∠ACT，
设OT＝t，则AT＝CT＝3﹣t，
在Rt△AOT中，则有12+t2＝（3﹣t）2，
∴t＝，即OT＝，
①当P在y轴的正半轴上时，过点A作AK1⊥AT交y轴于K1，
由△OAT∽△OK1A得到＝，
∴OK1＝，
∴K1（0，），
∴直线AK1的解析式为y＝﹣x+，
由，解得或，即P1（﹣，）．
当K2在y轴的负半轴上时，根据对称性可知K2（0，﹣），
∴直线AK2的解析式为y＝x﹣，
由，解得或，即P2（﹣，﹣）．
（3）DM+DN为定值
∵抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴为：直线x＝﹣1
∴D（﹣1，0），xM＝xN＝﹣1
设Q（t，t2+2t﹣3）（﹣3＜t＜1）
设直线AQ解析式为y＝dx+e
∴ 解得：
∴直线AQ：y＝（t+3）x﹣t﹣3
当x＝﹣1时，yM＝﹣t﹣3﹣t﹣3＝﹣2t﹣6
∴DM＝0﹣（﹣2t﹣6）＝2t+6
设直线BQ解析式为y＝mx+n
∴ 解得：
∴直线BQ：y＝（t﹣1）x+3t﹣3
当x＝﹣1时，yN＝﹣t+1+3t﹣3＝2t﹣2
∴DN＝0﹣（2t﹣2）＝﹣2t+2
∴DM+DN＝2t+6+（﹣2t+2）＝8，为定值．
解法二：如图，过点Q作QH⊥OB于H．
∵QH∥DN，
∴△BDN∽△BHQ，
∴＝，
∵QH∥DM，
∴△ADM∽△AHQ，
∴＝，
∴+＝+＝+＝＝，
设Q（m，m2+2m﹣3），则H（m，0），
∴AH＝1﹣m，BH＝m+2，QH＝﹣m2﹣2m+3，
∴DM+DN＝•（﹣m2﹣2m+3）＝8，为定值．
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