江西省萍乡市2021届高三下学期4月第二次模拟考试（二模）数学（理）（含答案）

准考证号　　　　　　姓名　　　　　　

绝密★启用前　　　　　　　　　　　　（在此卷上答题无效）

萍乡市2020－2021学年度高三二模考试试卷

理 科 数 学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致．

 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．

3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回．

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是

A.      B.        C.        D.

（2）已知复数满足(为虚数单位)，则=

A.      B.         C.           D.  

（3）已知与满足，，，则与的夹角为

A.      B.      C.           D.

（4）已知函数为偶函数，且当时，若，，(其中为自然对数的底数，为圆周率)，则的大小关系为

A.      B.  C.   D.

（5）2021年3月12日是全国第43个植树节，为提高大家爱劳动的意识，某中学组织开展植树活动，并收集了高三年级1～11班植树量的数据(单位:棵)，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论不正确的是

A. 各班植树的棵数不是逐班增加的

B. 4班植树的棵数低于11个班的平均值

C. 各班植树棵数的中位数为6班对应的植树棵数

D. 1至5班植树的棵数相对于6至11班，波动更小，变化比较平稳

（6）已知抛物线，以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于两点，若，则

A. 4         B. 8         C. 10           D. 16

（7）某几何体的三视图如图所示，该几何体的各个面的面积中，最大的为

    A.          B.           C. 2              D.

（8）某小型摩天轮共10个座舱，每个座舱有两个座位.现所有座舱全部为空座，有10人依次排好队准备乘搭，第一个人坐第1个舱，其他人在可选的情况下，随机选择是与前一个人共乘一个座舱，或是乘搭下一个座舱，则10人不同的座舱选择情况共有

A. 89种       B. 90种        C. 637种          D. 638种

（9）2021年是中国共产党百年华诞，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识（图1），标识由党徽、数字“100”“1921”“2021”和56根光芒线组成，生动展现中国共产党团结带领中国人民不忘初心、牢记使命、艰苦奋斗的百年光辉历程.其中“100”的两个“0”设计为两个半径为的相交大圆，分别内含一个半径为1的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切（图2）.已知，在两大圆的区域内随机取一点，则该点取自两大圆公共部分的概率为

             图1                                 图2

A.     B.       C.         D.

（10）如图，在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为   

A.                 B.              C. 2               D.

（11）已知数列的前项和为，对任意，有，且恒成立，则实数的取值范围是

A.       B.       C.        D.

（12）若函数，则满足恒成立的实数a的取值范围为

A.        B.        C.        D.

萍乡市2020－2021学年度高三二模考试试卷

理 科 数 学

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22，23题为选考题，考生根据要求做答.

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分．

（13）已知数列为等差数列，为其前项和，，则          .

（14）已知圆，点在直线上运动，若圆上存在两点，使得，则点的坐标是          .

（15）已知函数，若存在三个互不相同的实数，满足，则的取值范围是          .

（16）已知双曲线的左、右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点，分别交轴于两点，若的周长为4，则的取值范围为          .

 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 

（17）（本小题满分12分）

已知函数最大值为2，对称中心与对称轴间的最短距离为．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）已知的内角所对的边分别为，，为的中点，且，求的值．

（18）（本小题满分12分）

在如图所示的空间几何体中，两等边三角形与互相垂直，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成夹角的余弦值．

（19）（本小题满分12分）

已知椭圆，为其左、右顶点，点坐标为，为椭圆的半焦距，且有，椭圆的离心率．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知为坐标原点，为椭圆上不重合两点，且的中点落在直线上，求面积的最大值．

（20）（本小题满分12分）

某贫困地区经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如右频率分布直方图：

(1)根据频率分布直方图，估计这50位农民的平均年收入(单位：千元；同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；

(2)为推进精准扶贫，某企业开设电商平台，让越来越多的农村偏远地区的农户通过经营网络商城脱贫致富．甲计划在店，乙计划在店同时参加一个订单“秒杀”抢购活动，其中每个订单由个商品构成，假定甲、乙两人在，两店订单“秒杀”成功的概率分别为，，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量、商品总数量分别为，．

求的分布列及数学期望；

若，，求当的数学期望取最大值时正整数的值．

（21）（本小题满分12分）

已知函数,函数满足.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若有两个不同的零点,，证明：.

请考生在第22，23两题中任选一题做答.只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题号后方框涂黑.　　　　　　　

（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，为曲线（为参数）上的动点，将点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半得点，记点轨迹为，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）是曲线上异于极点的两点，且，求的取值范围.

（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知．

（1）关于的不等式有解，求实数的取值范围；

（2）设，且，求证：．

萍乡市2020－2021学年度高三二模考试试卷

理科数学试题参考答案及评分标准

一、选择题（12×5=60分）    CDCAC； BDABB； DA．

二、填空题（4×5=20分）     13．21；  14．；  15．；  16.  .

三、解答题（共75分）

17. （1）由题知，，则………………………………………………2分

故.   …………………………………………………………………………3分

由，，解得，………………………5分

所以的单调递增区间为，.       ……………………………6分

（2）.

∵.  ∴     ………………………………8分

作线段的中点，因为，故．

因为， 即.  …………………………………………………………10分

由正弦定理知      …………………………………………………………12分

18. （1）取中点，连接，由题知，为的平分线，

设点是点在平面上的射影，由题知，点在上

连接，则平面.

平面平面，平面平面，

平面，平面………………………2分

和平面所成的角为，即，，又

四边形为平行四边形，……………………………………………………5分

平面，平面，平面……………………………………6分

（2）以方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

则

………………………………8分

设平面的一个法向量为

则，取，得，取平面的法向量为………………………………………………………………10分

设平面与平面所夹角为，

则……………………………………………11分

平面与平面所夹角余弦值为………………………………………………12分

19. （1）依题意：，则……………………1分

，即，又，解得………………3分

所以椭圆方程为：；……………………………………………………………………4分

（2）设，则，因为在椭圆上，有：

………………………………6分

设直线：，联立

………………8分

又，得

所以，…………………10分

原点O到直线MN的距离

故

当且仅当，即时等号成立，故面积的最大值为1.  ……………12分

20．（1）

故估计这50位农民的年平均收人为17.4千元．………………………………………………2分

（2）由题知，可能取值为0，1，2．

，，…………………4分

所以的分布列为：

…………………………………………6分

因为，所以

令，设，则

，且……………………………………………9分

当时，，所以在区间上单调递增

当时，，所以在区间上单调递减．…………………………11分

所以当，即时，

故当取最大值时，的值为3．……………………………………………………………12分

21. (1)由已知得函数的定义域为，则

，…………………………………………………………1分

当时,在上单调递增 …………………………………………2分

当时,在上单调递减，在上单调递增…………………3分

(2)∵，

∴，其定义域为，…………………………………… 4分

等价于，即

设()，  ………………………………………………5分

令，则；令，则，

∴当时单调递增；当时单调递减

∵函数有两个不同的零点，即有两个不同的零点，

∵，，

∴，                      …………………………………………………………7分

∴有两个不同的零点 ， …………………………8分

令 ，则

…………………………………… 9分

∴在时单调递增， 即时，

又    …………………………………………………………11分

，且 时单调递增

故而，得证.…………………………………………………………………………………12分

22. （1）曲线化为普通方程为： ，……………………1分

设P点坐标为，Q点坐标为，

则有，………………………………………………………3分

消去有，即，此式即为的普通方程.

∴曲线的极坐标方程为.  …………………………………………………………5分

（2）设，（），…………………………………………6分

∴

……………………………………………8分

因为，所以的取值范围是.……………………10分

23. （1）由 ………………………………………2分

所以原不等式等价于 ，得，或……………………………………………4分

 ……………………………………………………………………………5分

（2）由（1）知 ，即…………………………………………………6分

 ………………………8分

  ……………………………………………………………10分