江西省萍乡市2021届高三下学期4月第二次模拟考试（二模）数学（理）（含答案）

这是一份江西省萍乡市2021届高三下学期4月第二次模拟考试（二模）数学（理）（含答案），共11页。试卷主要包含了 SKIPIF 1 < 0等内容，欢迎下载使用。
准考证号　　　　　　姓名　　　　　　绝密★启用前　　　　　　　　　　　　（在此卷上答题无效） 萍乡市2020－2021学年度高三二模考试试卷理 科 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 第Ⅰ卷 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是A.      B.        C.        D. （2）已知复数满足(为虚数单位)，则=A.      B.         C.           D.  （3）已知与满足，，，则与的夹角为A.      B.      C.           D. （4）已知函数为偶函数，且当时，若，，(其中为自然对数的底数，为圆周率)，则的大小关系为A.      B.  C.   D. （5）2021年3月12日是全国第43个植树节，为提高大家爱劳动的意识，某中学组织开展植树活动，并收集了高三年级1～11班植树量的数据(单位:棵)，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论不正确的是A. 各班植树的棵数不是逐班增加的B. 4班植树的棵数低于11个班的平均值C. 各班植树棵数的中位数为6班对应的植树棵数D. 1至5班植树的棵数相对于6至11班，波动更小，变化比较平稳（6）已知抛物线，以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于两点，若，则A. 4         B. 8         C. 10           D. 16（7）某几何体的三视图如图所示，该几何体的各个面的面积中，最大的为    A.          B.           C. 2              D. （8）某小型摩天轮共10个座舱，每个座舱有两个座位.现所有座舱全部为空座，有10人依次排好队准备乘搭，第一个人坐第1个舱，其他人在可选的情况下，随机选择是与前一个人共乘一个座舱，或是乘搭下一个座舱，则10人不同的座舱选择情况共有A. 89种       B. 90种        C. 637种          D. 638种 （9）2021年是中国共产党百年华诞，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识（图1），标识由党徽、数字“100”“1921”“2021”和56根光芒线组成，生动展现中国共产党团结带领中国人民不忘初心、牢记使命、艰苦奋斗的百年光辉历程.其中“100”的两个“0”设计为两个半径为的相交大圆，分别内含一个半径为1的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切（图2）.已知，在两大圆的区域内随机取一点，则该点取自两大圆公共部分的概率为                           图1                                 图2A.     B.       C.         D. （10）如图，在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为    A.                 B.              C. 2               D. （11）已知数列的前项和为，对任意，有，且恒成立，则实数的取值范围是A.       B.       C.        D. （12）若函数，则满足恒成立的实数a的取值范围为A.        B.        C.        D. 萍乡市2020－2021学年度高三二模考试试卷理 科 数 学第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22，23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分．（13）已知数列为等差数列，为其前项和，，则          .（14）已知圆，点在直线上运动，若圆上存在两点，使得，则点的坐标是          .（15）已知函数，若存在三个互不相同的实数，满足，则的取值范围是          .（16）已知双曲线的左、右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点，分别交轴于两点，若的周长为4，则的取值范围为          .  三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．  （17）（本小题满分12分）已知函数最大值为2，对称中心与对称轴间的最短距离为．（1）求函数的单调递增区间；（2）已知的内角所对的边分别为，，为的中点，且，求的值． （18）（本小题满分12分）在如图所示的空间几何体中，两等边三角形与互相垂直，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成夹角的余弦值． （19）（本小题满分12分）已知椭圆，为其左、右顶点，点坐标为，为椭圆的半焦距，且有，椭圆的离心率．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知为坐标原点，为椭圆上不重合两点，且的中点落在直线上，求面积的最大值．（20）（本小题满分12分）某贫困地区经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如右频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计这50位农民的平均年收入(单位：千元；同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；(2)为推进精准扶贫，某企业开设电商平台，让越来越多的农村偏远地区的农户通过经营网络商城脱贫致富．甲计划在店，乙计划在店同时参加一个订单“秒杀”抢购活动，其中每个订单由个商品构成，假定甲、乙两人在，两店订单“秒杀”成功的概率分别为，，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量、商品总数量分别为，．求的分布列及数学期望；若，，求当的数学期望取最大值时正整数的值． （21）（本小题满分12分）已知函数,函数满足. (1)讨论函数的单调性；(2)若有两个不同的零点,，证明：. 请考生在第22，23两题中任选一题做答.只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题号后方框涂黑.　　　　　　　（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，为曲线（为参数）上的动点，将点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半得点，记点轨迹为，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）是曲线上异于极点的两点，且，求的取值范围.（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知．（1）关于的不等式有解，求实数的取值范围；（2）设，且，求证：．萍乡市2020－2021学年度高三二模考试试卷理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题（12×5=60分）    CDCAC； BDABB； DA．二、填空题（4×5=20分）     13．21；  14．；  15．；  16.  .三、解答题（共75分）17. （1）由题知，，则………………………………………………2分故.   …………………………………………………………………………3分由，，解得，………………………5分所以的单调递增区间为，.       ……………………………6分（2）.∵.  ∴     ………………………………8分作线段的中点，因为，故．因为， 即.  …………………………………………………………10分由正弦定理知      …………………………………………………………12分 18. （1）取中点，连接，由题知，为的平分线，设点是点在平面上的射影，由题知，点在上连接，则平面.平面平面，平面平面，平面，平面………………………2分和平面所成的角为，即，，又四边形为平行四边形，……………………………………………………5分平面，平面，平面……………………………………6分（2）以方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系则………………………………8分设平面的一个法向量为则，取，得，取平面的法向量为………………………………………………………………10分设平面与平面所夹角为，则……………………………………………11分 平面与平面所夹角余弦值为………………………………………………12分 19. （1）依题意：，则……………………1分，即，又，解得………………3分所以椭圆方程为：；……………………………………………………………………4分（2）设，则，因为在椭圆上，有：………………………………6分设直线：，联立………………8分又，得所以，…………………10分原点O到直线MN的距离故当且仅当，即时等号成立，故面积的最大值为1.  ……………12分 20．（1） 故估计这50位农民的年平均收人为17.4千元．………………………………………………2分（2）由题知，可能取值为0，1，2．，，…………………4分所以的分布列为：X　　0　12P　 　 …………………………………………6分因为，所以令，设，则，且……………………………………………9分当时，，所以在区间上单调递增当时，，所以在区间上单调递减．…………………………11分所以当，即时，故当取最大值时，的值为3．……………………………………………………………12分 21. (1)由已知得函数的定义域为，则，…………………………………………………………1分当时,在上单调递增 …………………………………………2分当时,在上单调递减，在上单调递增…………………3分(2)∵，∴，其定义域为，…………………………………… 4分等价于，即 设()，  ………………………………………………5分令，则；令，则，∴当时单调递增；当时单调递减∵函数有两个不同的零点，即有两个不同的零点，∵，，∴，                      …………………………………………………………7分∴有两个不同的零点 ， …………………………8分令 ，则 …………………………………… 9分∴在时单调递增， 即时，又    …………………………………………………………11分，且 时单调递增 故而，得证.…………………………………………………………………………………12分 22. （1）曲线化为普通方程为： ，……………………1分设P点坐标为，Q点坐标为，则有，………………………………………………………3分消去有，即，此式即为的普通方程.∴曲线的极坐标方程为.  …………………………………………………………5分（2）设，（），…………………………………………6分∴ ……………………………………………8分因为，所以的取值范围是.……………………10分 23. （1）由 ………………………………………2分所以原不等式等价于 ，得，或……………………………………………4分  ……………………………………………………………………………5分（2）由（1）知 ，即…………………………………………………6分  ………………………8分  ……………………………………………………………10分