2021江西省萍乡市高三下学期数学理4月第二次模拟考试题答案

2021届江西省萍乡市高三下学期数学理4月第二次模拟考试题答案

一、选择题（12×5=60分）    CDCAC； BDABB； DA．

二、填空题（4×5=20分）     13．21；  14．；  15．；  16.  .

三、解答题（共75分）

17. （1）由题知，，则………………………………………………2分

故.   …………………………………………………………………………3分

由，，解得，………………………5分

所以的单调递增区间为，.       ……………………………6分

（2）.

∵.  ∴     ………………………………8分

作线段的中点，因为，故．

因为， 即.  …………………………………………………………10分

由正弦定理知      …………………………………………………………12分

18. （1）取中点，连接，由题知，为的平分线，

设点是点在平面上的射影，由题知，点在上

连接，则平面.

平面平面，平面平面，

平面，平面………………………2分

和平面所成的角为，即，，又

四边形为平行四边形，……………………………………………………5分

平面，平面，平面……………………………………6分

（2）以方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

则

………………………………8分

设平面的一个法向量为

则，取，得，取平面的法向量为………………………………………………………………10分

设平面与平面所夹角为，

则……………………………………………11分

平面与平面所夹角余弦值为………………………………………………12分

19. （1）依题意：，则……………………1分

，即，又，解得………………3分

所以椭圆方程为：；……………………………………………………………………4分

（2）设，则，因为在椭圆上，有：

………………………………6分

设直线：，联立

………………8分

又，得

所以，…………………10分

原点O到直线MN的距离

故

当且仅当，即时等号成立，故面积的最大值为1.  ……………12分

20．（1）

故估计这50位农民的年平均收人为17.4千元．………………………………………………2分

（2）由题知，可能取值为0，1，2．

，，…………………4分

所以的分布列为：

…………………………………………6分

因为，所以

令，设，则

，且……………………………………………9分

当时，，所以在区间上单调递增

当时，，所以在区间上单调递减．…………………………11分

所以当，即时，

故当取最大值时，的值为3．……………………………………………………………12分

21. (1)由已知得函数的定义域为，则

，…………………………………………………………1分

当时,在上单调递增 …………………………………………2分

当时,在上单调递减，在上单调递增…………………3分

(2)∵，

∴，其定义域为，…………………………………… 4分

等价于，即

设()，  ………………………………………………5分

令，则；令，则，

∴当时单调递增；当时单调递减

∵函数有两个不同的零点，即有两个不同的零点，

∵，，

∴，                      …………………………………………………………7分

∴有两个不同的零点 ， …………………………8分

令 ，则

…………………………………… 9分

∴在时单调递增， 即时，

又    …………………………………………………………11分

，且 时单调递增

故而，得证.…………………………………………………………………………………12分

22. （1）曲线化为普通方程为： ，……………………1分

设P点坐标为，Q点坐标为，

则有，………………………………………………………3分

消去有，即，此式即为的普通方程.

∴曲线的极坐标方程为.  …………………………………………………………5分

（2）设，（），…………………………………………6分

∴

……………………………………………8分

因为，所以的取值范围是.……………………10分

23. （1）由 ………………………………………2分

所以原不等式等价于 ，得，或……………………………………………4分

 ……………………………………………………………………………5分

（2）由（1）知 ，即…………………………………………………6分

 ………………………8分

  ……………………………………………………………10分

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