2021上饶高三下学期3月第二次高考模拟考试（二模）数学（理）试题含答案

上饶市2021届第二次高考模拟考试

数学（理科）答案

一、选择题

4. 提示：因为点在平面内绕点作圆周运动，并且始终保持，所以，

又因为，为定值，所以也是定值，所以点在某个定球面上运动，故A正确；

作出简图如下，所以，故B正确；

易知C正确；

当AB在平面内时，直线与平面所成角最小，等于，所以直线与平面 所成角的余弦值的最大值为1，故D不正确.

10. 提示：
11. 解：如图所示，根据题意可设，则，

,

二．填空题

13.     14.     2       15.             16.       

15.提示：

16.解：如图，在取点,使 ,连接

因为,所以,则平面,

则点的轨迹为平面与球的截面圆周，

设正方体的棱长为，则，解得，连接,

由,求得到平面的距离为，

所以截面圆的半径，

则点的轨迹长度为，       故答案为 .

三．解答题：

17.解： ,

, ……………………………1分

因为.所以，即，…………3分

因为，所以，即，

因为.所以. …………………………………………6分

（1）若选①，②，

   ………………………………8分

即，              ………………………………10分

所以的面积  .………………12分

（2）若选②，③

由,得                      

又                     ………………………………9分

所以的面积.………………12分

（3）若选①，③

由,得， ………………………8分

  即，      ………………………………10分

所以的面积. ………………12分

18. 解：（1）根据题意，学员1，2，4，6恰有两项不合格，

从中任意抽出人，所有可能的情况如下：

由表可知，全部6种可能的情况中，有4种情况补测项目种类不超过，

故所求概率为；……………………………………………………………4分

（2）由题意可知，学员甲在每轮测试(或补测)中通过的概率为：

①由题意，若学员甲没通过“科二”考试，

当且仅当其第1轮考试与次补测均未能完成项测试，相应概率为，

故学员甲能通过“科二”考试的概率为，……………………………………8分

②根据题意，当且仅当该学员通过第一轮考试，或未通过第一次考试但通过第轮补测时，，

其他情况时均有，…………………………10分

故的分布列为：

故………………………………………………12分

19. 解：（1）∵正△ABC的边长为3，且，

△ADE中，∠DAE＝60°，由余弦定理，得DE，

∵AE2+DE2＝4＝AD2，∴DE⊥AE．……………………………………………………3分

折叠后，仍有A1E⊥DE．

∵二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，∴平面A1DE⊥平面BCDE，

又∵平面A1DE∩平面BCDE＝DE，A1E⊂平面A1DE，A1E⊥DE，

∴A1E⊥平面BCED；…………………………………6分

（2）假设在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1EC所成的角为60°．

如图，建立空间直角坐标系.

作，设

则，，

故，又………………………………………………8分

，又平面A1EC的法向量

…………………………………10分

所以存在这样的点P，且.……………………………………………12分

20. （1） 因为动点P在曲线C上运动且保持的值不变，且点G在曲线C上，

的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，………………………………………………3分

且，

所以曲线C的方程为…………………………………………………5分

（2）设，，，

得， …………………………………………………………7分

由于点M在椭圆上，故

               整理得

同理可得……………………………………10分

是方程的两个根

…………………………………12分

.解：（1），定义域为.

.…………………………1分

由，解得，可得

解得.      …………………………2分

由，解得，可得

解得.                    …………………………3分

的单调递增区间为，单调递减区间为.                       …………………………4分

（2）由已知，，令，则.，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，即在上单调递增，在上单调递减.

…………………………6分

①当时，即时，， ，使得，当时，；当时，，在上单调递增，上单调递减. ， .又 ，由零点存在性定理可得，此时在上仅有一个零点.   ……………………8分                                            

②若时，，又在上单调递增，在上单调递减，而， ，，使得，，且当、时，；当时，.在和上单调递减，在上单调递增.

，.，.

又，由零点存在性定理可得，在和内各有一个零点，即此时在上有两个零点.                  ……………………11分

综上所述，当时，在上仅有一个零点；当时，在上有两个零点.                                     ……………………12分

22.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]

解：（1）曲线，…………………………3分

曲线………………………………5分

（没注明扣1分）

（2） 由 得.……………………………6分   

由得………………………………7分

         又，当时，……………………………10分

23.（1）若，不等式即，

则或或，

解得或或，

故原不等式的解集为；……………………………………………………5分

（2）由，得，

设，，

在平面直角坐标系中做出的大致图像，如图所示，

结合图像分析，可知当，即时，、的图像有三个不同的交点，故函数恰有三个零点时，实数的取值范围是.…………………10分