2019年江苏省苏州市昆山市中考一模数学试卷

这是一份2019年江苏省苏州市昆山市中考一模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −12 的倒数是
A. 12B. 2C. −12D. −2

2. 计算 −−22 的结果是
A. 2B. −2C. −4D. 4

3. 下列计算正确的是
A. 2a+3b=5abB. −2a2b3=−6a6b3
C. 8+2=32D. a+b2=a2+b2

4. 化简 x2x−1+11−x 的结果是
A. x+1B. 1x+1C. x−1D. xx−1

5. 若 2x−3y2=3，则 1−x+32y2 的值是
A. −2B. −12C. 32D. 4

6. 如图，D 是 △ABC 的边 AB 的延长线上一点，DE∥BC，若 ∠A=32∘，∠D=56∘．则 ∠C 的度数是
A. 16∘B. 20∘C. 24∘D. 28∘

7. 如图，在 △ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，分别交 BC，AC 于点 D，E，连接 AD，若 △ABD 的周长 C△ABD=16 cm，AB=5 cm，则线段 BC 的长度等于
A. 8 cmB. 9 cmC. 10 cmD. 11 cm

8. 对于二次函数 y=−14x2+x−4，下列说法正确的是
A. 当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大
B. 当 x=2 时，y 有最大值 −3
C. 图象的顶点坐标为 −2,−7
D. 图象与 x 轴有两个交点

9. 如图所示，直线 y=kx+b 经过点 −2,0，则关于 x 的不等式 kx+b<0 的解集为
A. x>−1B. x<−2C. x<1D. x<2

10. 如图，将边长为 10 的等边三角形 OAB 位于平面直角坐标系第一象限中，OA 落在 x 轴正半轴上，C 是 AB 边上的动点（不与端点 A，B 重合），作 CD⊥OB 于点 D，若点 C，D 都在双曲线 y=kxk>0,x>0 上，则 k 的值为
A. 93B. 18C. 253D. 9

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 因式分解：2x2−8= ．

12. 函数 y=2−3xx 中，自变量 x 的取值范围是 ．

13. 若 1
14. 已知关于 x 的一元二次方程 ax2+x+a2−2a=0 的一个根是 x=0，则系数 a= ．

15. 已知，点 Pa,b 为直线 y=x−3 与双曲线 y=−2x 的交点，则 1b−1a 的值等于 ．

16. 如图，已知 △ABC 中，AB=AC，∠CAB 的角平分线与外角 ∠CBD 的角平分线交于点 M，且 ∠AMB=35∘，则 ∠CAB= ．

17. 如图，已知抛物线 y=ax2+bx+4 与 x 轴、 y 轴正半轴分别交于点 A，B，D，且点 B 的坐标为 4,0，点 C 在抛物线上，且与点 D 的纵坐标相等，点 E 在 x 轴上，且 BE=AB，连接 CE，取 CE 的中点 F，则 BF 的长为 ．

18. 如图，平面直角坐标系中，已知直线 y=kxk≠0 经过点 P2,1，点 A 在 y 轴的正半轴上，连接 PA，将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 90∘ 至线段 PB，过点 B 作直线 MN⊥x 轴，垂足为 N，交直线 y=kxk≠0 于点 M（点 M 在点 B 的上方），且 BN=3BM，连接 AB，直线 AB 与直线 y=kxk≠0 交于点 Q，则点 Q 的坐标为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算．
（1）3−10−−2+8；
（2）322+1−22−12tan30∘．

20. 解不等式组，并写出该不等式组的所有整数解．
5x+2≥3x−1,1−x−26>12x.

21. 先化简再求值：a2+aa2+2a+1÷aa−1−3a−1a2−1，其中 a=3+1．

22. 解方程：2x+1x−1−x−1x+1=1．

23. 某学校为了了解九年级学生“一分钟跳绳”体育测试项目情况，随机抽取了九年级部分学生组成测试小组进行调查测试，并对这部分学生“一分钟跳绳”测试的成绩按 A，B，C，D 四个等级进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）本次随机调查抽样的样本容量为 ；
（2）D 等级所对扇形的圆心角为 ∘，并将条形统计图补充完整；
（3）如果该学校九年级共有 400 名学生，那么根据以上样本统计全校九年级“一分钟跳绳”测试成绩为 A 等级的学生有 人；
（4）现有测试成绩为 A 等级，且表现比较突出的两男两女共 4 名学生，计划从这 4 名学生中随机抽取 2 名同学作平时训练经验交流，请用列表法或画树状图的方法，求所选两位同学恰好是 1 男 1 女的概率．

24. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+2m−1x+m2=0 有两个实数根 x1 和 x2．
（1）求实数 m 的取值范围；
（2）当 x12−x22=0 时，求 m 的值．

25. 已知锐角 △ABC ， ∠ABC=45∘ ， AD⊥BC 于 D ， BE⊥AC 于 E ，交 AD 于 F ．
（1）求证： △BDF≌△ADC ；
（2）若 BD=4 ， DC=3 ，求线段 BE 的长度．

26. 甲、乙两地相距 300 千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段 OA 表示货车离甲地距离 y（千米）与时间 x（小时）之间的函数关系；折线 OBCDA 表示轿车离甲地距离 y（千米）与时间 x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：
（1）当轿车刚到乙地时，此时货车距离乙地 千米；
（2）当轿车与货车相遇时，求此时 x 的值；
（3）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距 20 千米时，求 x 的值．

27. 如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴交于点 A−2,0，交 y 轴于点 C，与反比例函数 y=kxx>0 在第一象限内的图象交于点 B2,n，连接 BO，且 S△AOB=4．
（1）求该反比例函数 y=kxx>0 的解析式和直线 AB 的解析式；
（2）若将直线 AB 向下平移 73 个单位，与 y 轴的交点为 D，交反比例函数图象于点 E，连接 BE，CE，求 △BCE 的面积 S△BCE．

28. 如图，抛物线 y=ax2−3ax+ca≠0 与 x 轴交于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，其中 A−1,0，C0,3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 P 是线段 BC 上方抛物线上一动点（不与 B，C 重合），过点 P 作 PD⊥x 轴，垂足为 D，交 BC 于点 E，作 PF⊥ 直线 BC 于点 F，设点 P 的横坐标为 x，△PEF 的周长记为 l，求 l 关于 x 的函数关系式，并求出 l 的最大值及此时点 P 的坐标；
（3）点 H 是直线 AC 上一点，该抛物线的对称轴上一动点 G，连接 OG，GH，则两线段 OG，GH 的长度之和的最小值等于 ，此时点 G 的坐标为 （直接写出答案）．
答案
第一部分
1. D【解析】∵−12×−2=1，
∴−12 的倒数是 −2，故选：D．
2. B【解析】原式=−∣−2∣=−2.
3. C【解析】A、 2a+3b 无法计算，故此选项错误；
B、 −2a2b3=−8a6b3，故此选项错误；
C、 8+2=22+2=32，正确；
D、 a+b2=a2+b2+2ab，故此选项错误；
故选：C．
4. A【解析】原式=x2x−1−1x−1=x2−1x−1=x+1x−1x−1=x+1.
5. B
【解析】∵2x−3y2=3，
∴x−32y2=32，则
原式=1−x−32y2=1−32=−12.
故选：B．
6. C【解析】∵DE∥BC，∠D=56∘，
∴∠DBC=56∘，
∵∠A=32∘，
∴∠C=56∘−32∘=24∘．
7. D【解析】∵AC 的垂直平分线分别交 BC，AC 于点 D，E，
∴AD=DC，
∴△ABD 的周长为 AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC，
∵C△ABD=16 cm，AB=5 cm，
∴BC=11 cm．
8. B【解析】∵ 二次函数 y=−14x2+x−4 可化为 y=−14x−22−3，
又 ∵a=−14<0，
∴ 当 x=2 时，二次函数 y=−14x2+x−4 的最大值为 −3．
9. B【解析】由图象可得：当 x<−2 时，kx+b<0，
∴ 关于 x 的不等式 kx+b<0 的解集是 x<−2．
10. A
【解析】过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E，过 C 作 CF⊥x 轴于点 F，如图所示．
可得：∠ODE=30∠BCD=30∘，
设 OE=a，则 OD=2a，DE=3a，
∴BD=OB−OD=10−2a，BC=2BD=20−4a，AC=AB−BC=4a−10，
∴AF=12AC=2a−5，CF=3AF=32a−5，OF=OA−AF=15−2a，
∴ 点 Da,3a，点 C15−2a,32a−5．
∵ 点 C，D 都在双曲线 y=kxk>0,x>0 上，
∴a⋅3a=15−2a×32a−5，
解得：a=3 或 a=5，
当 a=5 时，DO=OB，AC=AB，点 C，D 与点 B 重合，不符合题意，
∴a=5 舍去.，
∴ 点 D3,33，
∴k=3×33=93．
第二部分
11. 2x+2x−2
【解析】2x2−8=2x+2x−2．
12. x≤23 且 x≠0
【解析】由题意得，2−3x≥0 且 x≠0，
解得，x≤23 且 x≠0．
故答案为：x≤23 且 x≠0．
13. 1
【解析】∵1 ∴a−2<0，1−a<0，
∴a−2+1−a=−a+2−1+a=1．
14. 2
【解析】把 x=0 代入一元二次方程 ax2+x+a2−2a=0 得 a2−2a=0，
解得 a1=0，a2=2，而 a≠0，
∴a 的值为 2．
15. −32
【解析】∵ 点 Pa,b 为直线 y=x−3 与双曲线 y=−2x 的交点，
∴b=a−3，b=−2a，
∴a−b=3，ab=−2．
∴1b−1a=a−bab=3−2=−32．
故答案是：−32．
16. 40∘
【解析】∵△ABC 中，AB=AC，AM 是 ∠CAB 的角平分线，
∴AM⊥BC，
∴∠MOB=90∘，
∵∠AMB=35∘，
∴∠CBM=55∘，
∵BM 是 ∠CBD 的角平分线，
∴∠CBD=110∘，
∴∠CBA=70∘，
∵AB=AC，
∴∠CAB=180∘−70∘−70∘=40∘．
17. 22
【解析】∵ 点 C 在抛物线上，且与点 D 的纵坐标相等，D0,4，B4,0，
∴BD=42+42=42，
∵A，B 关于对称轴对称，C，D 关于对称轴对称，
∴AC=BD=42，
连 AC，BE=AB，CE 的中点是 F，
∴BF=12AC=22．
18. 7,72
【解析】∵ 直线 y=kxk≠0 经过点 P2,1，
∴k=12，
∴ 直线 OM 的解析式为：y=12x，
过 P 作 EF∥x 轴交 y 轴于 E 交 MN 于 F，
∵MN⊥x 轴，
∴MN∥AO，
∴ 四边形 OEFN 是矩形，
∵P2,1，
∴OE=FN=1，PE=2，
∴∠OEF=∠EFN=90∘，
∴∠AEF=∠BFE=90∘，
∵∠APB=90∘，
∴∠EAP+∠APE=∠APE+∠BPF=90∘，
∴∠EAP=∠BPF，
在 △AEP 与 △PFB 中，
∠AEP=∠PFB,∠EAP=∠FPB,AP=BP,
∴△AEP≌△PFBAAS，
∴AE=PF，PE=BF=2，
∴BN=3，
∵BN=3BM，
∴BM=1，
∴MN=4，
∴ 点 M 的纵坐标为 4，
∴M8,4，
∴PF=AE=6，
∴A0,7，B8,3，
设直线 AB 的解析式为：y=kx+b，
∴8k+b=3,b=7,
∴k=−12,b=7,
∴ 直线 AB 的解析式为：y=−12x+7，
由 y=12x,y=−12x+7 得 x=7,y=72,
∴ 点 Q 的坐标为 7,72．
第三部分
19. （1） 原式=1−2+22=1+2.
（2） 原式=324+1−22+2−23×33=324+3−22−2=1−524.
20. 解不等式 5x+2≥3x−1，得：
x≥−52.
解不等式 1−x−26>12x，得：
x<2.∴
不等式组的解集为
−52≤x<2.
则不等式组的整数解为 −2，−1，0，1．
21. 原式=aa+1a+12÷a2+aa+1a−1−3a−1a+1a−1=aa+1÷a−12a+1a−1=aa+1⋅a+1a−1=aa−1.
当 a=3+1 时，
原式=3+13=3+33.
22.
2x+12−x−12=x2−1.6x=−2.x=−13.
经检验，x=−13 是原方程的根，
∴ 原方程的解为：x=−13．
23. （1） 80
【解析】本次随机调查抽样的样本容量为 20÷25%=80．
（2） 18
B 等级的人数为 80×40%=32，补全图形如下：
【解析】D 等级所对扇形的圆心角为 360∘×480=18∘．
（3） 120
【解析】根据以上样本估计全校九年级“一分钟跳绳”测试成绩为 A 等级的学生有 400×2480=120（人）．
（4） 画树状图得：
∵ 共有 12 种等可能的结果，选出的 2 人恰好是 1 男 1 女的有 8 种情况，
∴ 选出的 2 人恰好是 1 男 1 女的概率为 812=23．
24. （1） 由题意有 Δ=2m−12−4m2≥0，
解得 m≤14，
∴ 实数 m 的取值范围是 m≤14．
（2） 由两根关系，得根 x1+x2=−2m−1，x1⋅x2=m2，
由 x12−x22=0 得 x1+x2x1−x2=0，
若 x1+x2=0，即 −2m−1=0，解得 m=12，
∵12>14，
∴m=12 不合题意，舍去
若 x1−x2=0，即 x1=x2，
∴Δ=0，
由（1）知 m=14，
故当 x12−x22=0 时，m=14．
25. （1） ∵AD⊥BC ， ∠ABC=45∘ ，
∴∠ABC=∠BAD=45∘ ．
∴AD=BD ．
∵DA⊥BC ， BE⊥AC ，
∴∠C+∠DAC=90∘ ， ∠C+∠CBE=90∘ ．
∴∠CBE=∠DAC 且 AD=BD ， ∠ADC=∠ADB=90∘ ．
∴△BDF≌△ADCASA ．
（2） ∵△BDF≌△ADC ，
∴AD=BD=4 ， CD=DF=3 ， BF=AC ．
∴BF=BD2+DF2=5 ．
∴AC=5 ．
∵S△ABC=12×BC×AD=12×AC×BE ，
∴7×4=5×BE ．
∴BE=285 ．
26. （1） 30
【解析】根据图象信息：货车的速度 v货=3005=60，
∵ 轿车到达乙地的时间为货车出发后 4.5 小时，
∴ 轿车到达乙地时，货车行驶的路程为：4.5×60=270（千米），
此时，货车距乙地的路程为：300−270=30（千米）．
∴ 轿车到达乙地后，货车距乙地 30 千米．
（2） 设 CD 段函数解析式为 y=kx+b（k≠0）（2.5≤x≤4.5）．
∵C2.5,80，D4.5,300 在其图象上，
2.5k+b=80,4.5k+b=300, 解得 k=110,b=−195,
∴CD 段函数解析式：y=110x−195（2.5≤x≤4.5）；
易得 OA:y=60x，
y=110x−195,y=60x, 解得 x=3.9,y=234,
∴ 当 x=3.9 时，轿车与货车相遇；
（3） 当 x=2.5 时，y货=150，两车相距 =150−80=70>20，
由题意 60x−110x−195=20 或 110x−195−60x=20，
解得 x=3.5或4.3 小时．
答：在两车行驶过程中，当轿车与货车相距 20 千米时，x 的值为 3.5 或 4.3 小时．
27. （1） ∵S△AOB=12AO⋅yB=4，A−2,0，
∴n=4，即 B2,4，
∴k=2n=8，
即反比例函数的解析式为 y=8x；
设直线 AB:y=mx+n，则 −2m+n=0,2m+n=4,
∴m=1,n=2,
∴ 直线 AB:y=x+2．
（2） 连接 BD，CD，
由题可知 BC∥DE，CD=73，
∴S△BCE=S△BCD，
又 ∵B2,4，
∴S△BCD=12CD⋅xB=73，
∴S△BCE=73．
28. （1） 将 A，C 代入解析式，可得 c=3，a=−34．
∴ 抛物线的解析式为 y=−34x2+94x+3．
（2） 设 Px,−34x2+94x+3，
直线 BC 的解析式为 y=−34x+3，点 Ex,−34x+3．
∴PE=−34x2+94x+3+34x−3=−34x2+3x，
∵△OBC∽△PEF，
∴PEBC=lC△OBC，
∴l=−95x2+365x，
当 x=2 时，l 的最大值为 365，点 P 坐标为 2,92．
（3） 6510；32,12
【解析】如图，作点 O 关于对称轴的对称点 Q3,0，作 QH⊥AC 交对称轴于 G．
∵△AOC∽△ABH，
∴ACAQ=OCQH．
∴104=3QH．
∴QH=6510．
∵△GMQ∽△ACO，
∴MQOC=GMAO．
∴323=GM1．
∴GM=12．
∴G32,12．