江苏省南通市天星湖中学2020-2021学年高二下学期数学周练试卷（2021.4.5）

江苏省南通市天星湖中学高二周练2021.4.5

一、单项选择题：

1.设复（其中为虚数单位），则复数在复平面内对应的点

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.已知全集，集合，集合，则

A. B. C. D.

3.已知直线平面，则直线平面是直线的

A.充要条件  B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

4.已知，，则的值为

A. B. C. D.

5.如图，在梯形中，已知，，为的中点，，，则

A. B. 

C. D.

6.埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜，它的神奇远远超过了人类的想象.在埃及金字塔内有一组神秘的数字，因为，，，…，所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下发现：，，，…，若从这组神秘数字中任选个数字构成一个三位数，剩下的三个数字构成另一个三位数，若，则所有可能的有序实数组的个数为

A. B. C. D.

7.在平面直角坐标系中，已知圆：，若直线：上有且只有一个点满足：过点作圆的两条切线，，切点分别为，，且使得四边形为正方形，则正实数的值为

A. B. C. D.

8.已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，，都有，记，，，则，，的大小关系为

A. B. C. D.

二、多项选择题：

9.已知的二项展开式中二项式系数之和为，则下列结论正确的是

A.二项展开式中各项系数之和为

B.二项展开式中二项式系数最大的项为

C.二项展开式中无常数项

D.二项展开式中系数最大的项为

10.如图，已知函数的图象与轴交于点，，若，图象的一个最高点，则下列说法正确的是

A.

B.的最小正周期为

C.一个单调增区间为

D.图象的一个对称中心为

11.下列说法正确的是       

A. 设随机变量X等可能取1，2，3，，n，如果，则
B. 若随机变量的概率分布规律为2，3，，其中a是常数，则
C. 设离散型随机变量服从两点分布，若，则
D. 超几何分布的实质是古典概型问题

12.如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，将沿翻折到，连结，，在翻折到的过程中，下列说法正确的是

A.四棱锥的体积的最大值为

B.当面平面时，二面角的正切值为

C.存在某一翻折位置，使得

D.棱的中点为，则的长为定值

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知数列的前项和为，且满足，．的通项公式为     

14.袋中有4个红球3个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得1分，取到1个黑球得3分，设得分为随机变量X，则________．

15.如图，正方形OABC的边长为a，（a＞1），函数y=3x2与AB交于点Q，函数与BC交于点P，当|AQ|+|CP|最小时，a的值为______ .

 

16..经过原点的直线交椭圆于P，Q两点（点P在第一象限），若点P关于x轴的对称点称为M，且，直线QA与椭圆交于点B，且满足BP⊥PQ，则直线BP和BQ的斜率之积为______ ，椭圆的离心率为______ .

二、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

17.设{an}是公比为q的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）当q＞1时，令bn=1+log2an，求数列{an+bn}的前n项和Tn．

18.已知函数.

(1)求函数的最小正周期和单调递减区间;

(2)求函数在上的最大值和最小值.

19.一个袋中有3个白球，2个红球

现从中任取3个球，试求：取到的红球数X的概率分布列；

现从袋中往外取球，每次取一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现3次停止，设停止时取球次数为随机变量Y，求；

20.在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，侧面PAD为等边三角形，M、N分别为AD、PD的中点，PM⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥AB，PD=CD=2，AB=1.
（1）求证：PA∥平面MNC；
（2）求AN与平面MNC所成角的正弦值.

21.如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

22.已知函数．

（1）若m＝1，求证：f(x)≥0．

（2）讨论函数f(x)的极值；

（3）是否存在实数m，使得不等式在(1，+∞)上恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

江苏省南通市天星湖中学高二周练答案2021.4.5

一、单项选择题：

1-8：ACBDBACD,9-12:AB,BCD,ACD,ABD

三填空题（本大题共3小题，共15.0分）

13.14.，15.．16.- 

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

解：（1）S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，
可得a1+a1q+a1q2=7，6a2=a1+3+a3+4，即6a1q=a1+a1q2+7，
解得a1=1，q=2或a1=4，q=，
则an=2n-1或an=23-n；
（2）当q＞1时，bn=1+log2an=1+log22n-1=1+n-1=n，
an+bn=2n-1+n，
则前n项和Tn=（1+2+4+…+2n-1）+（1+2+3+…+n）
=+n（n+1）=2n-1+．

18.解：（1）
，
​，
令，
即单减区间为；
（2）由，
当时，的最小值为：2；
当时，的最大值为：5.

19.解：的可能取值为0，1，2，
，
，
，
所以X的分布列为：

根据题意，取一次取到白球的概率为，取到红球的概率为，
则直到红球出现3次停止为：前3次取得球为2红1白，第4次取得为红球，
所以；
答：．

20.解：（1）证明：∵M、N分别为AD、PD的中点，∴MN∥PA，
∵PA⊄平面MNC，MN⊂平面MNC，
∴PA∥平面MNC．
（2）∵在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，侧面PAD为等边三角形，
M、N分别为AD、PD的中点，PM⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥AB，PD=CD=2，AB=1．
∴以M为原点，MA为x轴，过M作AB的平行线为y轴，MP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），N（-，0，），M（0，0，0），C（-1，2，0），
=（-，0，），=（-），=（-1，2，0），
设平面MNC的法向量=（x，y，z），
则，取y=1，得=（2，1，），
设AN与平面MNC所成角为θ，
则sinθ===．
∴AN与平面MNC所成角的正弦值为．

21.【答案】解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．
∴4a=8，∴a=2
∵e=，∴c=1
∴b2=a2-c2=3
∴椭圆E的方程为．
（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0
∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）
∴m≠0，△=0，∴（8km）2-4×（4k2+3）×（4m2-12）=0
∴4k2-m2+3=0①
此时x0==，y0=，即P（，）
由得Q（4，4k+m）
取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x-2）2+（y-）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）
取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x-）2+（y-）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）
故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下
∵
∴
故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）

22.解：（1）m＝1，，
即，当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，
当x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，∴f(x)min＝f(1)＝0，故f(x)≥0．
（2）由题知，x＞0，，
①当m≤0时，，所以f(x)在(0，+∞)上单调递减，没有极值；
②当m＞0时，，得，当时，f′(x)＜0；
当时，f′(x)＞0，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增．
故f(x)在处取得极小值，无极大值．
（3）不妨令，不难证明ex-1-x≥0，
当且仅当x＝1时取等号，所以，当x∈(1，+∞)时，h(x)＞0，
由（2）知，当m≤0，x＞1时，f(x)在(1，+∞)上单调递减，f(x)＜f(1)＝0恒成立；
所以不等式在(1，+∞)上恒成立，只能m＞0．
当0＜m＜1时，，由（1）知f(x)在上单调递减，
所以，不满足题意．当m≥1时，设，
因为m≥1，x＞1，所以mx≥x，ex-1＞1，，，

，
即，所以F(x)在(1，+∞)上单调递增，
又F(1)＝0，所以x∈(1，+∞)时，F(x)＞0恒成立，即f(x)-h(x)＞0恒成立，
故存在m≥1，使得不等式在(1，+∞)上恒成立．此时m的最小值是1．