2020-2021学年江苏省南通市启东市高二（上）期中数学试卷

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2020-2021学年江苏省南通市启东市高二（上）期中数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知命题，，则为　　
A．， B．，
C．， D．，
2．（5分）椭圆的长轴长为　　
A．2 B．4 C．8 D．16
3．（5分）已知关于的不等式的解集为，则实数，的值是　　
A．， B．， C．， D．，
4．（5分）已知1，，，，16这五个实数成等比数列，则的值为　　
A．4 B． C． D．不确定
5．（5分）已知正数、满足，则有　　
A．最小值1 B．最小值2 C．最大值1 D．最大值2
6．（5分）“，”是“”的　　条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
7．（5分）在等差数列中，已知前21项和，则的值为　　
A．7 B．9 C．21 D．42
8．（5分），使得成立，则实数的取值范围为　　
A．， B． C．， D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．（5分）下列命题的否定中，是全称命题且为假命题的有　　
A．中国所有的江河都流入太平洋
B．有的四边形既是矩形，又是菱形
C．存在，有
D．有的数比它的倒数小
10．（5分）已知，则　　
A． B． C． D．
11．（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是　　
A． B．
C． D．
12．（5分）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点，是它的焦点，长轴长为，焦距为，静放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程可以是　　
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
13．（5分）不等式的解集是　　．
14．（5分）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是　　．
15．（5分）已知，是正实数，且，则的最小值是　　．
16．（5分）一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将中间的一个小正方形挖掉（如图（1）；再将剩余的每个小正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个小正方形挖掉得图（2）；如此继续下去．设原正方形的边长为1，则第3个图中共挖掉　　个正方形，第个图中所有挖掉的正方形的面积和为　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的一个端点为．
（1）若为直角，焦距长为2，求椭圆的标准方程；
（2）若为钝角，求椭圆的离心率的取值范围．
18．（12分）已知命题：关于的方程有两个大于1的实数根．
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）命题，是否存在实数使得是的必要不充分条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
19．（12分）已知数列是递增的等比数列，前3项和为13，且，，成等差数列，
（1）求数列的通项公式；
（2）数列的首项，其前项和为，且____，若数列满足，的前项和为，求的最小值．
在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题．
①；②；③．
20．（12分）已知数列的前项和，求证：数列是等比数列的充要条件为．
21．（12分）为了丰富市民的文化生活，市政府决定在、两个新村之间建一个市民广场．若、两个新村间的直线距离是3百米，建设部门在确定市民广场位置时，要充分考虑市民广场的噪音对新村居民的影响，经论证发现每个新村的噪音能量与离噪音点的距离成反比，由于两个新村的绿化等原因的差异，新村，的反比例系数分别为和．将两个新村和市民广场看成三个点，且在同一条直线上．设与之间的距离为百米，两个新村的噪音能量之和为函数．当与之间的距离为2百米时，两个新村的噪音能量之和为．
（1）求函数的解析式，并写出定义域；
（2）若两个新村的噪音能量之和最小时，市民广场的选址最合理，求最合理方案中与之间的距离．
22．（12分）已知椭圆的短轴长为2，椭圆上的动点到左焦点的距离的最大值为．过点的直线与椭圆相交于，两点，线段的中点为，且不与原点重合．
（1）求椭圆的方程；
（2）若轴上的一点满足，求证：线段的中点在定直线上；
（3）求的取值范围．

2020-2021学年江苏省南通市启东市高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知命题，，则为　　
A．， B．，
C．， D．，
【分析】根据含有量词的命题的否定，即可得到结论．
【解答】解：命题为特称命题，则命题的否定为，．
故选：．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
2．（5分）椭圆的长轴长为　　
A．2 B．4 C．8 D．16
【分析】直接利用椭圆方程，求解，推出结果．
【解答】解：椭圆，可得，
所以椭圆的长轴长为8．
故选：．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．
3．（5分）已知关于的不等式的解集为，则实数，的值是　　
A．， B．， C．， D．，
【分析】由题意可知，3和4是方程的两根，再结合韦达定理即可得解．
【解答】解：由题意可知，3和4是方程的两根，且，
，，
解得，．
故选：．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，理解一元二次不等式与一元二次方程之间的联系是解题的关键，考查学生的运算求解能力，属于基础题．
4．（5分）已知1，，，，16这五个实数成等比数列，则的值为　　
A．4 B． C． D．不确定
【分析】根据等比数列的性质可得．
【解答】解：，，，，16成等比数列，
，，
，
故选：．
【点评】本题考查等比数列的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
5．（5分）已知正数、满足，则有　　
A．最小值1 B．最小值2 C．最大值1 D．最大值2
【分析】利用基本不等式和题设条件求得结果即可．
【解答】解：正数、满足，
，当且仅当时取“ “，
，
故选：．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．
6．（5分）“，”是“”的　　条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【分析】根据充分必要条件的定义以及对数的运算性质判断即可．
【解答】解：当，时，，
故，
当且仅当，即或时“”成立，是充分条件，
取，，显然满足，
故由，推不出，，
故不是必要条件，
故“，”是“”的充分不必要条件，
故选：．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查对数的运算性质，考查转化思想，是一道基础题．
7．（5分）在等差数列中，已知前21项和，则的值为　　
A．7 B．9 C．21 D．42
【分析】前21项和，可得，再利用等差数列的性质及其求和公式即可得出．
【解答】解：前21项和，
，
由等差数列的性质可得：，
则．
故选：．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．（5分），使得成立，则实数的取值范围为　　
A．， B． C．， D．
【分析】不等式化为，设，求出在，时的最小值，即可得出实数的取值范围．
【解答】解：时，不等式，
可化为，即；
设，则；
当，，，，
的最小值为，
所以实数的取值范围是．
故选：．
【点评】本题考查了使不等式成立的问题，也考查了转化思想，是中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．（5分）下列命题的否定中，是全称命题且为假命题的有　　
A．中国所有的江河都流入太平洋
B．有的四边形既是矩形，又是菱形
C．存在，有
D．有的数比它的倒数小
【分析】根据含有量词的命题，判断命题的否定是否是全称命题，然后判断真假即可．
【解答】解：中国所有的江河都流入太平洋，它的否定是特称命题，所以不正确；
有的四边形既是矩形，又是菱形，它的否定是：所有四边形，不是矩形或不是菱形，显然是假命题；所以正确；
存在，有，它的否定是：任意，有，是真命题，所以不正确；
有的数比它的倒数小，所以的数都大于等于它的倒数，是全称命题，所以是假命题．所以 正确；
故选：．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，命题的真假的判断，比较基础．
10．（5分）已知，则　　
A． B． C． D．
【分析】根据不等式的性质分别判断即可．
【解答】解：，
，故错误；
，故错误，
，，故正确，
，故正确，
故选：．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查转化思想，是一道基础题．
11．（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】直接利用数列的通项公式，数列的求和，相消法的应用判断、、、的结论．
【解答】解：样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和
对于：根据数据的规律，，故错误，
对于，故正确；
对于，
即，
所以，故正确；
对于，故正确；
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式，相消法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
12．（5分）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点，是它的焦点，长轴长为，焦距为，静放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程可以是　　
A． B． C． D．
【分析】根据椭圆的光学性质，利用受击打后沿直线运动（不与直线重合），可知经椭圆壁第一次反弹后过点，第二次反弹后过点，由椭圆的定义即可求得小球经过的路程．
【解答】解：由题意，根据椭圆的光学性质，可知一静放在点处的小球（半径忽略不计），受击打后沿直线运动，因为运动路线不与直线重合，经椭圆壁第一次反弹后过点，第二次反弹后过点，
由椭圆的定义可知，小球经过的路程是
故选：．
【点评】本题的考点是椭圆的应用，利用椭圆的光学性质，考查题意椭圆的定义，属于基础题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
13．（5分）不等式的解集是　　．
【分析】解不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：，
即，
解得：，
故不等式的解集是，
故答案为：．
【点评】本题考查了解分式不等式问题，考查转化思想，是一道基础题．
14．（5分）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是　　．
【分析】利用椭圆方程，结合焦点在轴，列出不等式求解即可．
【解答】解：方程表示焦点在轴上的椭圆，
可得，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．
15．（5分）已知，是正实数，且，则的最小值是　1　．
【分析】由题设和基本不等式，即可求得结果．
【解答】解：，是正实数，且，
，，当且仅当时取“ “，
，当且仅当时取“ “，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查基本不等式在处理最值问题中的应用，属于基础题．
16．（5分）一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将中间的一个小正方形挖掉（如图（1）；再将剩余的每个小正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个小正方形挖掉得图（2）；如此继续下去．设原正方形的边长为1，则第3个图中共挖掉　73　个正方形，第个图中所有挖掉的正方形的面积和为　　．

【分析】记第个图形中共挖掉个正方形，由题意可知，进而求出第3个图中共挖掉的正方形个数，记第个图形中共挖掉的正方形的面积为，
由题意可知满足递推式，由递推式即可求出．
【解答】解：记第个图形中共挖掉个正方形，则，
所以，，，
即第3个图中共挖掉73个正方形，
记第个图形中共挖掉的正方形的面积为，
则，
，
，
，
，
将以上个等式相加得：
．
故答案为：73，．
【点评】本题主要考查了归纳推理，考查了数列的递推式，是中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的一个端点为．
（1）若为直角，焦距长为2，求椭圆的标准方程；
（2）若为钝角，求椭圆的离心率的取值范围．
【分析】（1）根据题意，由椭圆的对称性可得，进而可得△为等腰直角三角形，据此分析求出、的值，代入椭圆的标准方程即可得答案，
（2）根据题意，分析可得，据此可得，即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，椭圆，如图，短轴的一个端点为，
则，
又由为直角，则△为等腰直角三角形，
若焦距长为2，即，则，，
则椭圆的标准方程为，
（2）若为钝角，即，
则有，
则有，
故椭圆的离心率的取值范围为，．

【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及椭圆的标准方程，属于综合题．
18．（12分）已知命题：关于的方程有两个大于1的实数根．
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）命题，是否存在实数使得是的必要不充分条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由解出两根，列出不等式组即可解出；
（2）根据充分条件，必要条件与集合包含关系等价法即可求出．
【解答】解：（1），
，解得或．依题意可得，
且，解得，故实数的取值范围为．
（2）假设存在实数使得是的必要不充分条件，所以．，
即或，解得，故实数的取值范围为，
【点评】本题主要考查含参的一元二次方程的解法，以及充分条件，必要条件与集合包含关系等价法的应用，属于中档题．
19．（12分）已知数列是递增的等比数列，前3项和为13，且，，成等差数列，
（1）求数列的通项公式；
（2）数列的首项，其前项和为，且____，若数列满足，的前项和为，求的最小值．
在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题．
①；②；③．
【分析】（1）由题意列式求解及公比，则等比数列的通项公式可求；
（2）选①，运用数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式可得，再由等比数列的求和公式，可得所求最小值；
选②，运用等差数列的通项公式可得，，再由数列的错位相减法求和，可得，再由数列的单调性可得所求最小值；
选③，运用等比数列的定义和通项公式、求和公式，结合为奇数和偶数，可得所求最小值．
【解答】解：由题意得，
可得，，
设递增的等比数列数列的公比为，
得，
解得或（舍，
则；
（2）选①，
当时，，又，
两式相减可得，
则，
可得为首项为1，公比为的等比数列，
则；
，
可得，
由为递增数列，可得时，取得最小值1；
选②，可得为首项为1，公差为2的等差数列，
则，
，
则，
，
两式相减可得
，
化简可得，
由为递增数列，可得时，取得最小值1；
选③，可得为首项为1，公比为的等比数列，
则；
，
可得，，，
当为奇数时，；当为偶数时，，
可得时，取得最小值．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
20．（12分）已知数列的前项和，求证：数列是等比数列的充要条件为．
【分析】分充分性与必要性分别证明，即可得到结论．
【解答】证明：（1）先证充分性：当时，有，
当时，有；又当时，也适合上式，
，为常数，
数列是等比数列；
（2）再证必要性：当数列是等比数列时，有，
，，，
，解得：，
综合（1）（2），原命题得证．
【点评】本题主要考查等比数列的定义、性质及充要条件，属于中档题．
21．（12分）为了丰富市民的文化生活，市政府决定在、两个新村之间建一个市民广场．若、两个新村间的直线距离是3百米，建设部门在确定市民广场位置时，要充分考虑市民广场的噪音对新村居民的影响，经论证发现每个新村的噪音能量与离噪音点的距离成反比，由于两个新村的绿化等原因的差异，新村，的反比例系数分别为和．将两个新村和市民广场看成三个点，且在同一条直线上．设与之间的距离为百米，两个新村的噪音能量之和为函数．当与之间的距离为2百米时，两个新村的噪音能量之和为．
（1）求函数的解析式，并写出定义域；
（2）若两个新村的噪音能量之和最小时，市民广场的选址最合理，求最合理方案中与之间的距离．
【分析】（1）由题意可得，再由（2）求得值，则函数解析式可求，并得到函数定义域；
（2）对（1）中求得的函数解析式利用导数求最值，即可得到最合理方案中与之间的距离．
【解答】解：（1）设新村的噪音能量为，新村，的噪音能量为，
则，
由题意，（2），即，解得．
，；
（2）．
令，
则，
当时，，单调递减，
当，时，，单调递增，
当百米时，有最小值．
故最合理方案中与之间的距离为百米．
【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用导数求最值，是中档题．
22．（12分）已知椭圆的短轴长为2，椭圆上的动点到左焦点的距离的最大值为．过点的直线与椭圆相交于，两点，线段的中点为，且不与原点重合．
（1）求椭圆的方程；
（2）若轴上的一点满足，求证：线段的中点在定直线上；
（3）求的取值范围．
【分析】（1）根据题意可得，解得，，，进而得椭圆的方程．
（2）设，，，，，，由点差法得，由为中点，得，由，为中点，得，直线方程，进而得，推出中点为，恒在定直线上得证．
（3）根据题意可得直线斜率存在，设直线方程为：，联立联立直线与椭圆的方程得关于的一元二次方程，由△，解得，及韦达定理得，，推出，设，，进而求出的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意可得，
解得，，，
所以椭圆的方程为．
（2）证明：设，，，，，，
则，
两式作差，得，
所以，
即，
因为为中点，
所以，，
所以，
因为，为中点，
所以，
所以，
所以直线方程为：，
当时，，
所以，
所以中点为，恒在定直线上得证．
（3）根据题意可得直线斜率存在，
设直线方程为：，
联立，得，
△，解得，
所以①，②，
所以，同号，
过点，分别作轴，轴于点，，则
，设，
则分别代入①②，得
③，④，
由③④可得，，
即，
所以，
，
，，
，
所以
令，
所以，
当时，解得，
当时，解得，3
作出与，图象，

所以的取值范围为，，，
所以的取值范围为，，，
【点评】本题考查直线与椭圆的相交问题，定点问题，取值范围，属于中档题．
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日期：2021/2/24 20:10:29；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394