2020-2021学年江苏省南通市高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省南通市高二（下）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省南通市高二（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合，，，则　　
A．， B．， C．，1， D．，
2．（5分）已知复数，则　　
A． B．1 C． D．
3．（5分）已知，，，则　　
A． B． C． D．
4．（5分）已知等比数列的前6项和为，公比为，则　　
A． B． C． D．24
5．（5分）英国数学家泰勒．，发现了如下公式：．根据该公式可知，与的值最接近的是　　
A． B． C． D．
6．（5分）设，为椭圆的两个焦点．点在上，且，，成等比数列，则的离心率的最大值为　　
A． B． C． D．1
7．（5分）为贯彻落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》4门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选2门进行学习，则甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率为　　
A． B． C． D．
8．（5分）若，，则“”是“”成立的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）如图是函数的部分图象，则　　

A．的最小正周期为
B．图象关于，对称
C．
D．的图象向右平移个单位，可以得到的图象
10．（5分）已知四棱锥的底面是矩形，平面，则　　
A．是与所成的角
B．是与平面所成的角
C．是二面角的平面角
D．作于，连结，则是二面角的平面角
11．（5分）过抛物线的焦点的直线与相交于，，，两点．若的最小值为6，则　　
A．抛物线的方程为
B．的中点到准线的距离的最小值为3
C．
D．当直线的倾斜角为时，为的一个四等分点
12．（5分）在中，设，，，则下列命题正确的是　　
A．若，则为钝角三角形
B．
C．若，则
D．若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）若的展开式中的系数为30，则　　．
14．（5分）某公司于2021年1月推出了一款产品，现对产品上市时间（单位：月）和市场占有率进行统计分析，得到如表数据：

1
2
3
4
5

0.002
0.005
0.010
0.015
0.018
由表中数据求得线性回归方程为，则当时，市场占有率约为 　　．
15．（5分）已知是奇函数，当时，．若，则　　．
16．（5分）一个正四棱台的侧面与底面所成的角为，且下底面边长是上底面边长的2倍．若该棱台的体积为，则其下底面边长为 　　，外接球的表面积为 　　．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）设等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求满足不等式的正整数的集合．
18．（12分）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答问题．
问题：在中，，，所对的边分别为，，，为的面积，是的中点．若，，且______，求及的长．
19．（12分）某中学高三年级组为了解学生主动预习与学习兴趣是否有关，随机抽取一个容量为的样本进行调查．调查结果表明，主动预习的学生占样本容量的，学习兴趣高的学生占样本容量的，主动预习且学习兴趣高的学生占样本容量的．
（1）完成下面列联表．若有的把握认为主动预习与学习兴趣有关，求样本容量的最小值；

学习兴趣高
学习兴趣一般
合计
主动预习



不太主动预习



合计



（2）该校为了提高学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从“学习兴趣一般”的学生中抽取10人，组成数学学习小组，现从该小组中随机抽取3人进行摸底测试，记3人中“不太主动预习”的人数为，求的分布列和数学期望．
附：，其中．

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱上的一点，且．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．

21．（12分）设双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线的左、右准线与其一条渐近线的交点分别为，，四边形的面积为4．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知为圆的切线，且与相交于，两点，求．
22．（12分）设函数，已知是函数的极值点．
（1）求；
（2）当，时，若，求实数的取值范围．

2020-2021学年江苏省南通市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合，，，则　　
A．， B．， C．，1， D．，
【解答】解：集合，
，，，2，，
，．
故选：．
2．（5分）已知复数，则　　
A． B．1 C． D．
【解答】解：，
．
故选：．
3．（5分）已知，，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，
，，，
，即．
，
故选：．
4．（5分）已知等比数列的前6项和为，公比为，则　　
A． B． C． D．24
【解答】解：根据题意，等比数列的前6项和为，公比为，
则有，解可得，
则；
故选：．
5．（5分）英国数学家泰勒．，发现了如下公式：．根据该公式可知，与的值最接近的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知，，
因为1弧度，
所以，
由诱导公式可得，，，
所以，
则与的值最接近的是．
故选：．
6．（5分）设，为椭圆的两个焦点．点在上，且，，成等比数列，则的离心率的最大值为　　
A． B． C． D．1
【解答】解：因为在椭圆上，由椭圆的定义得①；
由，，成等比数列，所以②；
由均值不等式及①②，得；
所以，当且仅当时，等号成立．
故选：．
7．（5分）为贯彻落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》4门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选2门进行学习，则甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：某学校推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》4门校本劳动选修课程，
要求每个学生从中任选2门进行学习，
甲、乙两名同学的选课包含的基本事件个数，
甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同包含的基本事件个数，
则甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率为．
故选：．
8．（5分）若，，则“”是“”成立的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：，，
要使即使，
令，，，
令，，
故在上为减函数，且，
故，故在上为减函数，
故“”是“”的充要条件，
即“”是“”成立的充要条件，
故选：．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）如图是函数的部分图象，则　　

A．的最小正周期为
B．图象关于，对称
C．
D．的图象向右平移个单位，可以得到的图象
【解答】解：由图象可知，，
所以的最小正周期为，
故选项正确；
因为，可得，
又为“五点法”中的第二个点，
则，解得，
所以，
因为，
则，不是的对称中心，
故选项错误；
，
故选项正确；
的图象向右平移个单位，
可得函数，
故选项错误．
故选：．
10．（5分）已知四棱锥的底面是矩形，平面，则　　
A．是与所成的角
B．是与平面所成的角
C．是二面角的平面角
D．作于，连结，则是二面角的平面角
【解答】解：作出图象如图所示，
因为是矩形，则，所以是与所成的角，
故选项正确；
因为平面，则在平面内的射影为，
所以是与平面所成的角，
故选项正确；
因为平面，平面，
则，又，，，平面，
所以平面，平面，
则，又，
故为二面角的平面角，
故选项错误；
作于，连结，因为没有条件可以判断是否垂直，
所以不能确定是二面角的平面角，
故选项错误．
故选：．

11．（5分）过抛物线的焦点的直线与相交于，，，两点．若的最小值为6，则　　
A．抛物线的方程为
B．的中点到准线的距离的最小值为3
C．
D．当直线的倾斜角为时，为的一个四等分点
【解答】解：当斜率不存在时，即过抛物线的焦点，且垂直轴，
，
，
当斜率存在时，设直线的方程为，
设，，，，
联立直线与抛物线方程，可得①，
由韦达定理，可得，
由抛物线的定义，可得，
综合以上两种情况可得，当斜率不存在时，即过抛物线的焦点，且垂直轴，取得最小值，
的最小值为6，
，即，
抛物线的方程为，故选项正确，
的中点到准线的距离最小值为，故选项正确，
当斜率不存在时，两交点坐标为，，
，故选项错误，
当直线的倾斜角为时，可得，
，解得，
将，代入①中，可得，解得两根为，
不妨设，，，
由抛物线得的定义可得，，，即，
，即为的一个四等分点，故选项正确．
故选：．
12．（5分）在中，设，，，则下列命题正确的是　　
A．若，则为钝角三角形
B．
C．若，则
D．若，则
【解答】解：对于，
，
又，所以，故不能判断 是钝角三角形，故错误；
对于，

，
，
，
，
显然成立，故正确；
对于，
，
由正弦定理可得，
所以，由大角对大边可得，即，故 正确．
对于，
，
设的中点为，的中点为，
，，
于是，
在中，由余弦定理可得
，
在 中，由余弦定理可得
，
所以，又，
所以，即．故正确．
故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）若的展开式中的系数为30，则　　．
【解答】解：因为的展开式的通项公式为，、
令，则，
所以，
因为的系数为30，
则，解得．
故答案为：．
14．（5分）某公司于2021年1月推出了一款产品，现对产品上市时间（单位：月）和市场占有率进行统计分析，得到如表数据：

1
2
3
4
5

0.002
0.005
0.010
0.015
0.018
由表中数据求得线性回归方程为，则当时，市场占有率约为 　0.0394　．
【解答】解：由题意，，
，
因为线性回归方程为，
则，
所以，
将代入，可得．
故答案为：0.0394．
15．（5分）已知是奇函数，当时，．若，则　　．
【解答】解：根据题意，是奇函数，若，则，
当时，，则，则，
故答案为：．
16．（5分）一个正四棱台的侧面与底面所成的角为，且下底面边长是上底面边长的2倍．若该棱台的体积为，则其下底面边长为 　2　，外接球的表面积为 　　．
【解答】解：设正四棱台下底面边长为，
依题意可得，正四棱台的高，
棱台的体积为，，
解得，则正四棱台的下底面边长为2；
正四棱台上底面对角线长为，下底面对角线长为，

设上底面中心为，下底面中心为，四棱台外接球半径为，
若外接球球心在线段上，由，
此方程无解；
若外接球球心在线段的延长线上，由，
解得：解得：，外接球的表面积为．
故答案为：2；．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）设等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求满足不等式的正整数的集合．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，
因为，，所以，解得，
所以数列的通项公式为；
（2）因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
即，
解得，
所以，
又为正整数，
所以，2，
故正整数的集合为，．
18．（12分）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答问题．
问题：在中，，，所对的边分别为，，，为的面积，是的中点．若，，且______，求及的长．
【解答】解：①，由正弦定理可得：，又因为，
所以，所以，
即，在三角形中，，则，
所以，所以可得，
所以或，
可得或（舍
由正弦定理可得，而，，
所以，
，
，
在中，，
由余弦定理可得；
②；所以可得，
所以可得，，
所以，后面解法同①；
③，由正弦定理可得：，
在三角形中，，
所以，，
所以，即，
所以，
所以或，
可得或（舍，
后面计算同①，
综上所述：，．
19．（12分）某中学高三年级组为了解学生主动预习与学习兴趣是否有关，随机抽取一个容量为的样本进行调查．调查结果表明，主动预习的学生占样本容量的，学习兴趣高的学生占样本容量的，主动预习且学习兴趣高的学生占样本容量的．
（1）完成下面列联表．若有的把握认为主动预习与学习兴趣有关，求样本容量的最小值；

学习兴趣高
学习兴趣一般
合计
主动预习



不太主动预习



合计



（2）该校为了提高学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从“学习兴趣一般”的学生中抽取10人，组成数学学习小组，现从该小组中随机抽取3人进行摸底测试，记3人中“不太主动预习”的人数为，求的分布列和数学期望．
附：，其中．

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【解答】解：（1）列联表如下：

学习兴趣高
学习兴趣一般
合计
主动预习



不太主动预习



合计



则，
因为有的把握认为主动预习与学习兴趣有关，
所以，解得，
结合题意，正整数是15的倍数，
所以的最小值为270；
（2）由（1）可知，“学习兴趣一般”的学生中，
“主动预习”与“不太主动预习”的学生人数之比为，
因此用分层抽样的方法，从“学习兴趣一般”的学生中抽取10人中，“不太主动预习”的人数为2，
所以，2，，
所以，

，
所以的分布列为：

0
1
2




则．
20．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱上的一点，且．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．

【解答】（1）证明：连结交于点，连结，
在底面中，因为，，
由，可得，
因为，即，
所以在中，，
故，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）解：取的中点，连结，
因为，，
所以为等边三角形，则，
因为，则，
因为平面，又，平面，
所以，，
以点为坐标原点，建立空间直角坐标如图所示，
因为，，，，平面，
则平面，
因为，，
所以，
平面的一个法向量为，
因为，，
故，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，
故，
所以，
故二面角的余弦值．

21．（12分）设双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线的左、右准线与其一条渐近线的交点分别为，，四边形的面积为4．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知为圆的切线，且与相交于，两点，求．
【解答】解：（1）设，由直线是双曲线的一条渐近线，可得①，
因为双曲线的准线方程为，
则，可得，所以，
由双曲线的对称性，可得，
结合四边形的面积为4，可得，解得，
结合①，可得，
所以双曲线的方程为；
（2）①当直线的斜率存在时，对于圆，
不妨考虑，
则由，可得，
所以，
所以；
②当直线的斜率存在时，设，
因为这些与相交于，两点，所以，
因为这些与圆相切，
所以，即，
设，，，，
联立方程组，可得，
结合，可得△，
则，
所以


，
结合，可得．
综上所述，．
22．（12分）设函数，已知是函数的极值点．
（1）求；
（2）当，时，若，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）因为，所以，
则，
因为是函数的极值点，
则，解得，
当时，，
令，解得，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以是函数的极值点，
故；
（2）由（1）可知，，且，
因为，所以在，上单调递增，
则当，时，，即，
①当时，，所以恒成立；
②当时，令，，，
则，，，
若，，，则，
所以在，上单调递增，
则当，时，，
结合，可得，
故当，时，恒成立，
若，则，
所以当，时，，则单调递增，
因为，，在，上图象不间断，
所以在，上存在唯一的零点，设为，
因为在上是增函数，
则当时，，即，
所以在上减增函数，
则当时，，即，
即时，，与题设矛盾．
综上所述，实数的取值范围为，．
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