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江苏省宿迁市2020-2021学年高二上学期期末调研测试数学试题 （解析版）
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这是一份江苏省宿迁市2020-2021学年高二上学期期末调研测试数学试题 （解析版），共20页。试卷主要包含了单选题.，多选题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省宿迁市高二（上）期末数学试卷
一、单选题（共8小题）.
1．命题“∃x≤0，x2＞2”的否定是（ ）
A．∀x≤0，x2≤2 B．∀x＞0，x2＞2 C．∀x＞0，x2≤2 D．∃x≤0，x2≤2
2．已知实数a，b，c，其中a＞b，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B．ac2＞bc2 C．a2＞b2 D．a3＞b3
3．在空间直角坐标系O﹣xzy中，已知点A（3，﹣1，0），向量，则线段AB的中点坐标为（ ）
A．（1，﹣6，3） B．（﹣1，6，﹣3） C．（5，4，﹣3） D．（2，5，﹣3）
4．2021年是中国共产党建党100周年．某校为了纪念党的生日，计划举办大型文艺汇演，某班选择合唱《没有共产党就没有新中国》这首歌．仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，P为E上的一点．若△F1PF2是以P为直角顶点且有一个内角为30°的三角形，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
6．已知数列{an}为等比数列，若a2•a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则a1•a2•a3•⋅⋅⋅⋅⋅⋅•an的最大值为（ ）
A．5 B．512 C．1024 D．2048
7．已知函数y＝ax2+2bx﹣c（a＞0）的图象与x轴交于A（2，0）、B（6，0）两点，则不等式cx2+2bx﹣a＜0的解集为（ ）
A．（﹣6，﹣2） B．
C． D．
8．已知过点A（a，0）的直线与抛物线y2＝2px（p＞0）交于M、N两点，若有且仅有一个实数a，使得＝﹣16成立，则a的值为（ ）
A．﹣4 B．2 C．4 D．8
二、多选题（共4小题）.
9．在平面直角坐标系中，下列方程表示的曲线是椭圆的有（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知a＞b＞0，且a+b＝1，则以下结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
11．在数学领域内，“数列”无疑是一个非常重要的话题．然而，中学生所学到的数列内容非常有限，除了等差、等比数列之外，其它数列涉及很少．下面向大家介绍一种有趣的数列，叫语言数列．例如第一项a1＝123，对于一个对数列一窍不通的人，你怎样介绍它呢？你可以这样说，从左向右看，这里含有一个1，一个2和一个3，你再把它用数字表示出来，就得到了第二项a2＝111213．再从左向右看a2，它里面又是含有四个1，一个2和一个3，再把它用数字表示出来，就得到了第三项a3＝411213，同样可得第四项a4＝14311213．按此规则重复下去，可以得到一个无穷数列{an}，你会惊奇地发现，无论a1＝1、a1＝2、a1＝3，还是a1＝123，都有这样的结论：∃n0∈N*，∀n≥n0（n∈N*），都有an+2＝an．则的可能值为（ ）
A．23322114 B．32142321 C．32232114 D．24312213
12．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，CC1＝1，点D为BC中点，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．三棱锥D﹣AB1C1的体积为
C．AB1⊥BC且AB1∥平面A1C1D
D．△ABC内到直线AC．BB1的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知中心在坐标原点的椭圆E的右焦点与抛物线C：y2＝4x的焦点重合，椭圆E与抛物线C的准线交于A、B两点．若AB＝3，则椭圆E的短轴长为 ．
14．已知函数，g（x）＝log2x．若对∀x1∈[﹣1，3]，，使f（x1）≥g（x2）成立，则实数m的取值范围为 ．
15．自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状一般是平行六面体，具体形状大小由它的三组棱长a、b、c及棱间交角α、β、γ（合称为“晶胞参数”）来表征．如图是某种晶体的晶胞，其中a＝2，b＝c＝1，α＝60°，β＝90°，γ＝120°，则该晶胞的对角线AC1的长为 ．
16．数列{an}满足，且an﹣an+1＝（2n+3）anan+1，则数列{an}的前10项和为 ．
四、解答题：本题共6小题，第17题满分70分，第18～22题每题满分70分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知集合A＝{x|log5（ax+1）＜1}（a＞0），B＝{x|2x2﹣3x﹣2＜0}．
（1）求集合A，B；
（2）已知p：x∈A，q：x∈B，若p是q的_____条件，求实数a的取值范围．
请在①必要不充分、②充分不必要、③充要，这三个条件中选择一个填在横线上．（若多选，按第一个给分），补全第（2）题，并根据所选条件解答该题．
18．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝an2+an﹣2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
19．设函数f（x）＝x2﹣（m+1）x+m（m∈R）．
（1）求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若当x∈[0，4]时，不等式f（x）+4＞0恒成立，求m的取值范围．
20．外形是双曲面的冷却塔具有众多优点，如自然通风和散热效果好，结构强度和抗变形能力强等，其设计原理涉及到物理学、建筑学等学科知识．如图1是中国华电集团的某个火力发电厂的一座冷却塔，它的外形可以看成是由一条双曲线的一部分绕着它的虚轴所在直线旋转而成，其轴截面如图2所示．已知下口圆面的直径为80米，上口圆面的直径为40米，高为90米，下口到最小直径圆面的距离为80米．
（1）求最小直径圆面的面积；
（2）双曲面也是直纹曲面，即可以看成是由一条直线绕另一条直线旋转而成，该直线叫做双曲面的直母线．过双曲面上的任意一点有且只有两条相交的直母线（如图3），对于任意一条直母线l，均存在一个轴截面和它平行，此轴截面截双曲面所得的双曲线有两条渐近线，且直母线l与其中一条平行．广州电视塔（昵称“小蛮腰”，如图4）就是根据这一理论设计的，极大地方便了建造、节约了成本（主钢梁在直母线上，钢筋不需要弯曲）．若图1中的冷却塔也采用直母线主钢梁，求主钢梁的长度（精确到0.01米，参考数据：）．
21．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝3，AC＝4，BC＝5，PB与CD所成角为45°，点E在PD上且满足（0＜λ＜1）．
（1）当λ＝时，求直线PC与平面EAC所成角的正弦值；
（2）若平面EAC与平面PAC所成的二面角为，求λ的值．
22．已知椭圆的离心率是，两条准线间的距离为4．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若T（t，0）是椭圆E的长轴上（不包含端点）的动点，过T作互相垂直的两条直线分别交椭圆E于A、C和B、D，求四边形ABCD的面积的最大值．
参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“∃x≤0，x2＞2”的否定是（ ）
A．∀x≤0，x2≤2 B．∀x＞0，x2＞2 C．∀x＞0，x2≤2 D．∃x≤0，x2≤2
解：根据含有一个量词的命题的否定，
则命题“∃x≤0，x2＞2”的否定是∀x≤0，x2≤2．
故选：A．
2．已知实数a，b，c，其中a＞b，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B．ac2＞bc2 C．a2＞b2 D．a3＞b3
解：当a＝3，b＝﹣1，满足＞b，但不成立，故A错误，
当c＝0时，ac2＞bc2不成立，故B错误，
当a＝1，b＝﹣1，满足＞b，但a2＞b2不成，故C错误，
∵f（x）＝x3是增函数，
∴当a＞b时，由a3＞b3成立，故D正确，
故选：D．
3．在空间直角坐标系O﹣xzy中，已知点A（3，﹣1，0），向量，则线段AB的中点坐标为（ ）
A．（1，﹣6，3） B．（﹣1，6，﹣3） C．（5，4，﹣3） D．（2，5，﹣3）
解：空间直角坐标系O﹣xzy中，点A（3，﹣1，0），所以＝（3，﹣1，0），
又向量，且﹣＝，
所以＝+＝（7，9，﹣6），即点B（7，9，﹣6）；
所以线段AB的中点坐标为（，，），即（5，4，﹣3）．
故选：C．
4．2021年是中国共产党建党100周年．某校为了纪念党的生日，计划举办大型文艺汇演，某班选择合唱《没有共产党就没有新中国》这首歌．仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：“没有共产党就没有新中国”，故它的逆否命题为“有新中国就有有共产党”，
故“有共产党”是“有新中国”的必要条件．
故选：B．
5．已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，P为E上的一点．若△F1PF2是以P为直角顶点且有一个内角为30°的三角形，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
解：不妨设点P是双曲线的右支上的一点，则由双曲线的定义可得：
|PF1|﹣|PF2|＝2a，
又△F1PF2是以P为直角顶点且有一个内角为30°的三角形，则∠PF1F2＝30°，
因为|F1F2|＝2c，所以|PF，|PF2|＝|F1F2|sin30°＝c，
所以﹣c＝2a，则离心率为e＝，
故选：B．
6．已知数列{an}为等比数列，若a2•a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则a1•a2•a3•⋅⋅⋅⋅⋅⋅•an的最大值为（ ）
A．5 B．512 C．1024 D．2048
解：设等比数列{an}的公比为q，因为a2•a3＝2a1，所以，所以a4＝2，
因为a4与2a7的等差中项为，则有a4+2a7＝2×，即a4+2a4•q3＝2×，解得，
所以，
故，
则a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝＜1，
所以数列的前4项或前5项的积最大，且最大值为16×8×4×2＝1024．
故选：C．
7．已知函数y＝ax2+2bx﹣c（a＞0）的图象与x轴交于A（2，0）、B（6，0）两点，则不等式cx2+2bx﹣a＜0的解集为（ ）
A．（﹣6，﹣2） B．
C． D．
解：函数y＝ax2+2bx﹣c（a＞0）的图象与x轴交于A（2，0）、B（6，0）两点，
所以2和6是方程ax2+2bx﹣c＝0的两个实数根，
由根与系数的关系知，，
b＝﹣4a，c＝﹣12a，
所以不等式cx2+2bx﹣a＜0为﹣12ax2﹣8ax﹣a＜0；
又a＞0，所以不等式化为12x2+8x+1＞0，
解得x＜﹣或x＞﹣，
所求不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（﹣，+∞）．
故选：D．
8．已知过点A（a，0）的直线与抛物线y2＝2px（p＞0）交于M、N两点，若有且仅有一个实数a，使得＝﹣16成立，则a的值为（ ）
A．﹣4 B．2 C．4 D．8
解：设直线MN的方程为：x＝ty+a，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立方程，消去x整理可得：y2﹣2pty﹣2pa＝0，
所以y1+y2＝2pt，y1y2＝﹣2pa，
则x，
因为，
即a2﹣2pa+16＝0，因为方程有且只有一个根，所以△＝4p2﹣64＝0，
解得p＝4，则a＝4，
故选：C．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．在平面直角坐标系中，下列方程表示的曲线是椭圆的有（ ）
A．
B．
C．
D．
解：选项A：等式表示的是点P（x，y）到点A（0，2），B（0，﹣2）的距离和为4＝|AB|，
根据椭圆的定义可知点P的轨迹不是椭圆，A错误，
选项B：等式表示的是点P（x，y）到点A（﹣1，0），B（1，0）的距离的和为4＞2，
根据椭圆的定义可得点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，故B正确，
选项C：等式化简为：，故C正确，
选项D：等式化简为：3x2+12x﹣y2+16＝0，显然不是椭圆的方程，故D错误，
故选：BC．
10．已知a＞b＞0，且a+b＝1，则以下结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
解：对于A：1＝a+b≥2，故ab≤，
当且仅当a＝b时“＝”成立，显然a≠b，故ab＜，故A正确；
对于B：+＝（+）（a+b）＝1+++1≥2+2＝4，
当且仅当a＝b时“＝”成立，而a≠b，故+＞4，故B正确；
对于C：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab≥1﹣2×＝，
当且仅当a＝b时“＝”成立，而a≠b，故C错误；
对于D：＝a+b+2≤1+1＝2，故+≤，
当且仅当a＝b时“＝”成立，故+＜，故D错误；
故选：AB．
11．在数学领域内，“数列”无疑是一个非常重要的话题．然而，中学生所学到的数列内容非常有限，除了等差、等比数列之外，其它数列涉及很少．下面向大家介绍一种有趣的数列，叫语言数列．例如第一项a1＝123，对于一个对数列一窍不通的人，你怎样介绍它呢？你可以这样说，从左向右看，这里含有一个1，一个2和一个3，你再把它用数字表示出来，就得到了第二项a2＝111213．再从左向右看a2，它里面又是含有四个1，一个2和一个3，再把它用数字表示出来，就得到了第三项a3＝411213，同样可得第四项a4＝14311213．按此规则重复下去，可以得到一个无穷数列{an}，你会惊奇地发现，无论a1＝1、a1＝2、a1＝3，还是a1＝123，都有这样的结论：∃n0∈N*，∀n≥n0（n∈N*），都有an+2＝an．则的可能值为（ ）
A．23322114 B．32142321 C．32232114 D．24312213
解：对于选项A，若＝23322114，从左向右看，有3个2，2个3，2个1，1个4，
则，从左向右看，有2个3，3 个2，2 个1，1 个4，
则a＝23322114＝，符合题意，
故选项A正确；
对于选项B，若＝32142321，从左向右看，有2个3，3个2，2 个1，1个4，
则，从左向右看，有3个2，2个3，2 个1，1 个4，
则≠，不符合题意，
故选项B错误；
对于选项C，若＝32232114，从左向右看，有2个3，3个2，2个1，1个4，
则，从左向右看，有3个2，2个3，2 个1，1 个4，
则＝，符合题意，
故选项C正确；
对于选项D，若＝24312213，从左向右看，有3个2，1个4，2个3，2个1，
则，从左向右看，有2个3，3个2，2个1，1个4，
则≠，不符合题意，
故选项D错误；
故选：AC．
12．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，CC1＝1，点D为BC中点，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．三棱锥D﹣AB1C1的体积为
C．AB1⊥BC且AB1∥平面A1C1D
D．△ABC内到直线AC．BB1的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分
解：对于A，因为，所以，所以A对；
对于B，三棱锥D﹣AB1C1的体积与三棱锥A﹣DB1C1的体积相等，
体积为＝，所以B对；
对于C，△AB1B为等腰三解形，AB1为腰，不能与底边B1C1垂直，BC∥B1C1，
所以AB1⊥BC不成立，所以C错；
对于D，BB1⊥平面ABC，所以在△ABC内到直线BB1的距等于到点B的距离，由抛物线定义知，在△ABC内到直线AC．
点B的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分，所以D对．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知中心在坐标原点的椭圆E的右焦点与抛物线C：y2＝4x的焦点重合，椭圆E与抛物线C的准线交于A、B两点．若AB＝3，则椭圆E的短轴长为 2 ．
解：由抛物线的方程可得抛物线的焦点坐标为F（1，0），准线方程为：x＝﹣1，
则c＝1，且抛物线的准线与x轴的交点为椭圆的左焦点（﹣1，0），
所以|AB|为椭圆的通径，即|AB|＝，
又a2＝b2+c2＝b2+1，联立解得b＝，
所以椭圆的短轴长为2b＝2，
故答案为：2．
14．已知函数，g（x）＝log2x．若对∀x1∈[﹣1，3]，，使f（x1）≥g（x2）成立，则实数m的取值范围为 （﹣∞，] ．
解：对任意的x1∈[﹣1，3]，存在x2∈[，2]，不等式f（x1）≥g（x2）成立，
即当x1∈[﹣1，2]，x2∈[，2]时，f（x1）min≥g（x2）min，
函数在[﹣1，3]递减，故f（x）min＝f（3）＝﹣m，
g（x）＝log2x在[，2]递增，故g（x）min＝g（）＝﹣1，
故﹣m≥﹣1，解得：m≤，
故答案为：（﹣∞，]．
15．自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状一般是平行六面体，具体形状大小由它的三组棱长a、b、c及棱间交角α、β、γ（合称为“晶胞参数”）来表征．如图是某种晶体的晶胞，其中a＝2，b＝c＝1，α＝60°，β＝90°，γ＝120°，则该晶胞的对角线AC1的长为 ．
解：如图所示，可得，
因为a＝2，b＝c＝1，α＝60°，β＝90°，γ＝120°，
所以，
α＝∠A1AB＝60°，β＝∠A1AD＝90°，∠BAD＝180°﹣γ＝60°，
所以
＝
＝4+1+1+2×2×1×cos60°+2×2×1×cos60°+2×1×1×cos90°
＝10，
所以，
则该晶胞的对角线AC1的长为．
故答案为：．
16．数列{an}满足，且an﹣an+1＝（2n+3）anan+1，则数列{an}的前10项和为 ．
解：数列{an}满足，且an﹣an+1＝（2n+3）anan+1，
所以，
当n≥2时，，
…，
，
故，
所以，
故＝．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，第17题满分70分，第18～22题每题满分70分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知集合A＝{x|log5（ax+1）＜1}（a＞0），B＝{x|2x2﹣3x﹣2＜0}．
（1）求集合A，B；
（2）已知p：x∈A，q：x∈B，若p是q的_____条件，求实数a的取值范围．
请在①必要不充分、②充分不必要、③充要，这三个条件中选择一个填在横线上．（若多选，按第一个给分），补全第（2）题，并根据所选条件解答该题．
解：（1）集合A＝{x|log5（ax+1）＜1}（a＞0），
令log5（ax+1）＜log55，所以0＜ax+1＜5，
解得，故可得集合，
因为2x2﹣3x﹣2＜0，即（x﹣2）（2x+1）＜0，
解得，所以集合B＝；
（2）若选①：因为p是q的必要不充分条件，则B⫋A，
故（等号不能同时取到），解得0＜a＜2；
若选②：因为p是q的充分不必要条件，则A⫋B，
故（等号不能同时取到），解得a＞2；
若选③：因为p是q的充要条件，则A＝B，
故，解得a＝2．
18．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝an2+an﹣2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
解：（1）各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝an2+an﹣2①，
当n＝1时，整理得，解得a1＝2（负值舍去）．
当n≥2时，②，
①﹣②得：an﹣an﹣1＝1（常数），
所以数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；
所以an＝2+n﹣1＝n+1．
（2）由（1）得：若bn＝＝，
设，
所以Sn＝c1+c2+…+cn＝①，
②，
①﹣②得：，
整理得：，
所以．
19．设函数f（x）＝x2﹣（m+1）x+m（m∈R）．
（1）求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若当x∈[0，4]时，不等式f（x）+4＞0恒成立，求m的取值范围．
解：（1）△＝（m+1）2﹣4m＝（m﹣1）2≥0，
①当m＝1时，△＝0，方程f（x）＝x2﹣2x+1＝0的解为x＝1，
∵f（x）的图象开口向上，
∴f（x）＜0的解为∅．
②当m≠1时，△＞0，方程f（x）＝0的解为x1＝m，x2＝1．
∴当m＜1时，f（x）＜0的解为m＜x＜1，
当m＞1时，f（x）＜0的解为1＜x＜m．
综上，当m＜1时，f（x）＜0的解为m＜x＜1；
当m＝1时，f（x）＜0的解为∅；
当m＞1时，f（x）＜0的解为1＜x＜m．
（2）若当x∈[0，4]时，不等式f（x）+4＞0恒成立，
当x∈[0，4]时，x2﹣（m+1）x+m+4＞0恒成立，
令g（x）＝x2﹣（m+1）x+m+4，x∈[0，4]，对称轴是x＝，
①当≤0即m≤﹣1时，只需g（0）＝m+4＞0，解得：m＞﹣4，故﹣4＜m≤﹣1，
②当≥4即m≥7时，只需g（4）＝16﹣4m﹣4+m+4＞0，解得：m＜，
③当0＜＜4即﹣1＜m＜7时，g（x）min＝＞0，
解得：﹣3＜m＜5，故﹣1＜m＜5，
综上：m的取值范围是（﹣4，5）．
20．外形是双曲面的冷却塔具有众多优点，如自然通风和散热效果好，结构强度和抗变形能力强等，其设计原理涉及到物理学、建筑学等学科知识．如图1是中国华电集团的某个火力发电厂的一座冷却塔，它的外形可以看成是由一条双曲线的一部分绕着它的虚轴所在直线旋转而成，其轴截面如图2所示．已知下口圆面的直径为80米，上口圆面的直径为40米，高为90米，下口到最小直径圆面的距离为80米．
（1）求最小直径圆面的面积；
（2）双曲面也是直纹曲面，即可以看成是由一条直线绕另一条直线旋转而成，该直线叫做双曲面的直母线．过双曲面上的任意一点有且只有两条相交的直母线（如图3），对于任意一条直母线l，均存在一个轴截面和它平行，此轴截面截双曲面所得的双曲线有两条渐近线，且直母线l与其中一条平行．广州电视塔（昵称“小蛮腰”，如图4）就是根据这一理论设计的，极大地方便了建造、节约了成本（主钢梁在直母线上，钢筋不需要弯曲）．若图1中的冷却塔也采用直母线主钢梁，求主钢梁的长度（精确到0.01米，参考数据：）．
解：（1）由图2建系可设截面双曲线的方程为，
它过点（20，10）及（40，﹣80），
∴，解得，
∴最小直径圆面的面积为；
（2）由（1）可知，渐近线的斜率k＝，
由题意知，母线平行于渐近线且高为90，
则沿x轴方向的长为，
∴主钢梁的长度为≈150×0.655＝98.25m．
21．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝3，AC＝4，BC＝5，PB与CD所成角为45°，点E在PD上且满足（0＜λ＜1）．
（1）当λ＝时，求直线PC与平面EAC所成角的正弦值；
（2）若平面EAC与平面PAC所成的二面角为，求λ的值．
解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠ABP为异面直线PB与CD所成角，即∠ABP＝45°，
∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，
又PA＝3，∴AB＝PA＝3，
∵AC＝4，BC＝5，∴AB2+AC2＝BC2，即AB⊥AC，
以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P（0，0，3），A（0，0，0），C（0，4，0），D（﹣3，4，0），
∴＝（0，4，﹣3），＝（﹣3，4，﹣3），＝（0，4，0），
∵＝，∴E（﹣2，，1），
∴＝（﹣2，，1），
设平面EAC的法向量为＝（x，y，z），则，即，
令x＝1，则y＝0，z＝2，∴＝（1，0，2），
设直线PC与平面EAC所成角为θ，
则sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，
故直线PC与平面EAC所成角的正弦值为．
（2）由（1）知P（0，0，3），D（﹣3，4，0），＝（﹣3，4，﹣3），
∵＝λ，∴E（﹣3λ，4λ，3﹣3λ），＝（﹣3λ，4λ，3﹣3λ），
由，即，得＝（1，0，），
∵AB⊥AC，AB⊥PA，AC∩PA＝A，AC、PA⊂平面PAC，
∴AB⊥平面PAC，
∴平面PAC的一个法向量为＝（1，0，0），
∵平面EAC与平面PAC所成的二面角为，
∴|cos＜，＞|＝||＝||＝cos＝，
化简得，2λ2﹣6λ+3＝0，解得λ＝或，
∵0＜λ＜1，∴λ＝．
22．已知椭圆的离心率是，两条准线间的距离为4．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若T（t，0）是椭圆E的长轴上（不包含端点）的动点，过T作互相垂直的两条直线分别交椭圆E于A、C和B、D，求四边形ABCD的面积的最大值．
解：（1）由题意知，解得a＝，b＝1，
所以椭圆的方程为+y2＝1．
（2）当AC斜率不存在或斜率为0时，此时AC，BD一个长度为2，一个长度为2，
此时S四边形ABCD＝＝2≤2，
当AC的斜率存在且不为0时，设AC直线方程为y＝k（x﹣t），
不妨设k＞0，
联立，得（1+2k2）x2﹣4k2tx+2k2t2﹣2＝0，
所以△＝16k4t2﹣8k2t2+8﹣16k4t2+16k2＝8﹣8k2t2+16k2，
所以|AC|＝＝2，
同理可得|BD|＝2，
所以S四边形ABCD＝4
≤4••＝4（k2+1）•＝，
令m＝k2+1，（m＞1），
所以以S四边形ABCD＝＝＜2，
综上，四边形ABCD面积的最大值为2．
2020-2021学年江苏省宿迁市高二（上）期末数学试卷
一、单选题（共8小题）.
1．命题“∃x≤0，x2＞2”的否定是（ ）
A．∀x≤0，x2≤2 B．∀x＞0，x2＞2 C．∀x＞0，x2≤2 D．∃x≤0，x2≤2
2．已知实数a，b，c，其中a＞b，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B．ac2＞bc2 C．a2＞b2 D．a3＞b3
3．在空间直角坐标系O﹣xzy中，已知点A（3，﹣1，0），向量，则线段AB的中点坐标为（ ）
A．（1，﹣6，3） B．（﹣1，6，﹣3） C．（5，4，﹣3） D．（2，5，﹣3）
4．2021年是中国共产党建党100周年．某校为了纪念党的生日，计划举办大型文艺汇演，某班选择合唱《没有共产党就没有新中国》这首歌．仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，P为E上的一点．若△F1PF2是以P为直角顶点且有一个内角为30°的三角形，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
6．已知数列{an}为等比数列，若a2•a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则a1•a2•a3•⋅⋅⋅⋅⋅⋅•an的最大值为（ ）
A．5 B．512 C．1024 D．2048
7．已知函数y＝ax2+2bx﹣c（a＞0）的图象与x轴交于A（2，0）、B（6，0）两点，则不等式cx2+2bx﹣a＜0的解集为（ ）
A．（﹣6，﹣2） B．
C． D．
8．已知过点A（a，0）的直线与抛物线y2＝2px（p＞0）交于M、N两点，若有且仅有一个实数a，使得＝﹣16成立，则a的值为（ ）
A．﹣4 B．2 C．4 D．8
二、多选题（共4小题）.
9．在平面直角坐标系中，下列方程表示的曲线是椭圆的有（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知a＞b＞0，且a+b＝1，则以下结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
11．在数学领域内，“数列”无疑是一个非常重要的话题．然而，中学生所学到的数列内容非常有限，除了等差、等比数列之外，其它数列涉及很少．下面向大家介绍一种有趣的数列，叫语言数列．例如第一项a1＝123，对于一个对数列一窍不通的人，你怎样介绍它呢？你可以这样说，从左向右看，这里含有一个1，一个2和一个3，你再把它用数字表示出来，就得到了第二项a2＝111213．再从左向右看a2，它里面又是含有四个1，一个2和一个3，再把它用数字表示出来，就得到了第三项a3＝411213，同样可得第四项a4＝14311213．按此规则重复下去，可以得到一个无穷数列{an}，你会惊奇地发现，无论a1＝1、a1＝2、a1＝3，还是a1＝123，都有这样的结论：∃n0∈N*，∀n≥n0（n∈N*），都有an+2＝an．则的可能值为（ ）
A．23322114 B．32142321 C．32232114 D．24312213
12．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，CC1＝1，点D为BC中点，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．三棱锥D﹣AB1C1的体积为
C．AB1⊥BC且AB1∥平面A1C1D
D．△ABC内到直线AC．BB1的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知中心在坐标原点的椭圆E的右焦点与抛物线C：y2＝4x的焦点重合，椭圆E与抛物线C的准线交于A、B两点．若AB＝3，则椭圆E的短轴长为 ．
14．已知函数，g（x）＝log2x．若对∀x1∈[﹣1，3]，，使f（x1）≥g（x2）成立，则实数m的取值范围为 ．
15．自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状一般是平行六面体，具体形状大小由它的三组棱长a、b、c及棱间交角α、β、γ（合称为“晶胞参数”）来表征．如图是某种晶体的晶胞，其中a＝2，b＝c＝1，α＝60°，β＝90°，γ＝120°，则该晶胞的对角线AC1的长为 ．
16．数列{an}满足，且an﹣an+1＝（2n+3）anan+1，则数列{an}的前10项和为 ．
四、解答题：本题共6小题，第17题满分70分，第18～22题每题满分70分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知集合A＝{x|log5（ax+1）＜1}（a＞0），B＝{x|2x2﹣3x﹣2＜0}．
（1）求集合A，B；
（2）已知p：x∈A，q：x∈B，若p是q的_____条件，求实数a的取值范围．
请在①必要不充分、②充分不必要、③充要，这三个条件中选择一个填在横线上．（若多选，按第一个给分），补全第（2）题，并根据所选条件解答该题．
18．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝an2+an﹣2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
19．设函数f（x）＝x2﹣（m+1）x+m（m∈R）．
（1）求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若当x∈[0，4]时，不等式f（x）+4＞0恒成立，求m的取值范围．
20．外形是双曲面的冷却塔具有众多优点，如自然通风和散热效果好，结构强度和抗变形能力强等，其设计原理涉及到物理学、建筑学等学科知识．如图1是中国华电集团的某个火力发电厂的一座冷却塔，它的外形可以看成是由一条双曲线的一部分绕着它的虚轴所在直线旋转而成，其轴截面如图2所示．已知下口圆面的直径为80米，上口圆面的直径为40米，高为90米，下口到最小直径圆面的距离为80米．
（1）求最小直径圆面的面积；
（2）双曲面也是直纹曲面，即可以看成是由一条直线绕另一条直线旋转而成，该直线叫做双曲面的直母线．过双曲面上的任意一点有且只有两条相交的直母线（如图3），对于任意一条直母线l，均存在一个轴截面和它平行，此轴截面截双曲面所得的双曲线有两条渐近线，且直母线l与其中一条平行．广州电视塔（昵称“小蛮腰”，如图4）就是根据这一理论设计的，极大地方便了建造、节约了成本（主钢梁在直母线上，钢筋不需要弯曲）．若图1中的冷却塔也采用直母线主钢梁，求主钢梁的长度（精确到0.01米，参考数据：）．
21．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝3，AC＝4，BC＝5，PB与CD所成角为45°，点E在PD上且满足（0＜λ＜1）．
（1）当λ＝时，求直线PC与平面EAC所成角的正弦值；
（2）若平面EAC与平面PAC所成的二面角为，求λ的值．
22．已知椭圆的离心率是，两条准线间的距离为4．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若T（t，0）是椭圆E的长轴上（不包含端点）的动点，过T作互相垂直的两条直线分别交椭圆E于A、C和B、D，求四边形ABCD的面积的最大值．
参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“∃x≤0，x2＞2”的否定是（ ）
A．∀x≤0，x2≤2 B．∀x＞0，x2＞2 C．∀x＞0，x2≤2 D．∃x≤0，x2≤2
解：根据含有一个量词的命题的否定，
则命题“∃x≤0，x2＞2”的否定是∀x≤0，x2≤2．
故选：A．
2．已知实数a，b，c，其中a＞b，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B．ac2＞bc2 C．a2＞b2 D．a3＞b3
解：当a＝3，b＝﹣1，满足＞b，但不成立，故A错误，
当c＝0时，ac2＞bc2不成立，故B错误，
当a＝1，b＝﹣1，满足＞b，但a2＞b2不成，故C错误，
∵f（x）＝x3是增函数，
∴当a＞b时，由a3＞b3成立，故D正确，
故选：D．
3．在空间直角坐标系O﹣xzy中，已知点A（3，﹣1，0），向量，则线段AB的中点坐标为（ ）
A．（1，﹣6，3） B．（﹣1，6，﹣3） C．（5，4，﹣3） D．（2，5，﹣3）
解：空间直角坐标系O﹣xzy中，点A（3，﹣1，0），所以＝（3，﹣1，0），
又向量，且﹣＝，
所以＝+＝（7，9，﹣6），即点B（7，9，﹣6）；
所以线段AB的中点坐标为（，，），即（5，4，﹣3）．
故选：C．
4．2021年是中国共产党建党100周年．某校为了纪念党的生日，计划举办大型文艺汇演，某班选择合唱《没有共产党就没有新中国》这首歌．仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：“没有共产党就没有新中国”，故它的逆否命题为“有新中国就有有共产党”，
故“有共产党”是“有新中国”的必要条件．
故选：B．
5．已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，P为E上的一点．若△F1PF2是以P为直角顶点且有一个内角为30°的三角形，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
解：不妨设点P是双曲线的右支上的一点，则由双曲线的定义可得：
|PF1|﹣|PF2|＝2a，
又△F1PF2是以P为直角顶点且有一个内角为30°的三角形，则∠PF1F2＝30°，
因为|F1F2|＝2c，所以|PF，|PF2|＝|F1F2|sin30°＝c，
所以﹣c＝2a，则离心率为e＝，
故选：B．
6．已知数列{an}为等比数列，若a2•a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则a1•a2•a3•⋅⋅⋅⋅⋅⋅•an的最大值为（ ）
A．5 B．512 C．1024 D．2048
解：设等比数列{an}的公比为q，因为a2•a3＝2a1，所以，所以a4＝2，
因为a4与2a7的等差中项为，则有a4+2a7＝2×，即a4+2a4•q3＝2×，解得，
所以，
故，
则a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝＜1，
所以数列的前4项或前5项的积最大，且最大值为16×8×4×2＝1024．
故选：C．
7．已知函数y＝ax2+2bx﹣c（a＞0）的图象与x轴交于A（2，0）、B（6，0）两点，则不等式cx2+2bx﹣a＜0的解集为（ ）
A．（﹣6，﹣2） B．
C． D．
解：函数y＝ax2+2bx﹣c（a＞0）的图象与x轴交于A（2，0）、B（6，0）两点，
所以2和6是方程ax2+2bx﹣c＝0的两个实数根，
由根与系数的关系知，，
b＝﹣4a，c＝﹣12a，
所以不等式cx2+2bx﹣a＜0为﹣12ax2﹣8ax﹣a＜0；
又a＞0，所以不等式化为12x2+8x+1＞0，
解得x＜﹣或x＞﹣，
所求不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（﹣，+∞）．
故选：D．
8．已知过点A（a，0）的直线与抛物线y2＝2px（p＞0）交于M、N两点，若有且仅有一个实数a，使得＝﹣16成立，则a的值为（ ）
A．﹣4 B．2 C．4 D．8
解：设直线MN的方程为：x＝ty+a，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立方程，消去x整理可得：y2﹣2pty﹣2pa＝0，
所以y1+y2＝2pt，y1y2＝﹣2pa，
则x，
因为，
即a2﹣2pa+16＝0，因为方程有且只有一个根，所以△＝4p2﹣64＝0，
解得p＝4，则a＝4，
故选：C．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．在平面直角坐标系中，下列方程表示的曲线是椭圆的有（ ）
A．
B．
C．
D．
解：选项A：等式表示的是点P（x，y）到点A（0，2），B（0，﹣2）的距离和为4＝|AB|，
根据椭圆的定义可知点P的轨迹不是椭圆，A错误，
选项B：等式表示的是点P（x，y）到点A（﹣1，0），B（1，0）的距离的和为4＞2，
根据椭圆的定义可得点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，故B正确，
选项C：等式化简为：，故C正确，
选项D：等式化简为：3x2+12x﹣y2+16＝0，显然不是椭圆的方程，故D错误，
故选：BC．
10．已知a＞b＞0，且a+b＝1，则以下结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
解：对于A：1＝a+b≥2，故ab≤，
当且仅当a＝b时“＝”成立，显然a≠b，故ab＜，故A正确；
对于B：+＝（+）（a+b）＝1+++1≥2+2＝4，
当且仅当a＝b时“＝”成立，而a≠b，故+＞4，故B正确；
对于C：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab≥1﹣2×＝，
当且仅当a＝b时“＝”成立，而a≠b，故C错误；
对于D：＝a+b+2≤1+1＝2，故+≤，
当且仅当a＝b时“＝”成立，故+＜，故D错误；
故选：AB．
11．在数学领域内，“数列”无疑是一个非常重要的话题．然而，中学生所学到的数列内容非常有限，除了等差、等比数列之外，其它数列涉及很少．下面向大家介绍一种有趣的数列，叫语言数列．例如第一项a1＝123，对于一个对数列一窍不通的人，你怎样介绍它呢？你可以这样说，从左向右看，这里含有一个1，一个2和一个3，你再把它用数字表示出来，就得到了第二项a2＝111213．再从左向右看a2，它里面又是含有四个1，一个2和一个3，再把它用数字表示出来，就得到了第三项a3＝411213，同样可得第四项a4＝14311213．按此规则重复下去，可以得到一个无穷数列{an}，你会惊奇地发现，无论a1＝1、a1＝2、a1＝3，还是a1＝123，都有这样的结论：∃n0∈N*，∀n≥n0（n∈N*），都有an+2＝an．则的可能值为（ ）
A．23322114 B．32142321 C．32232114 D．24312213
解：对于选项A，若＝23322114，从左向右看，有3个2，2个3，2个1，1个4，
则，从左向右看，有2个3，3 个2，2 个1，1 个4，
则a＝23322114＝，符合题意，
故选项A正确；
对于选项B，若＝32142321，从左向右看，有2个3，3个2，2 个1，1个4，
则，从左向右看，有3个2，2个3，2 个1，1 个4，
则≠，不符合题意，
故选项B错误；
对于选项C，若＝32232114，从左向右看，有2个3，3个2，2个1，1个4，
则，从左向右看，有3个2，2个3，2 个1，1 个4，
则＝，符合题意，
故选项C正确；
对于选项D，若＝24312213，从左向右看，有3个2，1个4，2个3，2个1，
则，从左向右看，有2个3，3个2，2个1，1个4，
则≠，不符合题意，
故选项D错误；
故选：AC．
12．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，CC1＝1，点D为BC中点，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．三棱锥D﹣AB1C1的体积为
C．AB1⊥BC且AB1∥平面A1C1D
D．△ABC内到直线AC．BB1的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分
解：对于A，因为，所以，所以A对；
对于B，三棱锥D﹣AB1C1的体积与三棱锥A﹣DB1C1的体积相等，
体积为＝，所以B对；
对于C，△AB1B为等腰三解形，AB1为腰，不能与底边B1C1垂直，BC∥B1C1，
所以AB1⊥BC不成立，所以C错；
对于D，BB1⊥平面ABC，所以在△ABC内到直线BB1的距等于到点B的距离，由抛物线定义知，在△ABC内到直线AC．
点B的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分，所以D对．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知中心在坐标原点的椭圆E的右焦点与抛物线C：y2＝4x的焦点重合，椭圆E与抛物线C的准线交于A、B两点．若AB＝3，则椭圆E的短轴长为 2 ．
解：由抛物线的方程可得抛物线的焦点坐标为F（1，0），准线方程为：x＝﹣1，
则c＝1，且抛物线的准线与x轴的交点为椭圆的左焦点（﹣1，0），
所以|AB|为椭圆的通径，即|AB|＝，
又a2＝b2+c2＝b2+1，联立解得b＝，
所以椭圆的短轴长为2b＝2，
故答案为：2．
14．已知函数，g（x）＝log2x．若对∀x1∈[﹣1，3]，，使f（x1）≥g（x2）成立，则实数m的取值范围为 （﹣∞，] ．
解：对任意的x1∈[﹣1，3]，存在x2∈[，2]，不等式f（x1）≥g（x2）成立，
即当x1∈[﹣1，2]，x2∈[，2]时，f（x1）min≥g（x2）min，
函数在[﹣1，3]递减，故f（x）min＝f（3）＝﹣m，
g（x）＝log2x在[，2]递增，故g（x）min＝g（）＝﹣1，
故﹣m≥﹣1，解得：m≤，
故答案为：（﹣∞，]．
15．自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状一般是平行六面体，具体形状大小由它的三组棱长a、b、c及棱间交角α、β、γ（合称为“晶胞参数”）来表征．如图是某种晶体的晶胞，其中a＝2，b＝c＝1，α＝60°，β＝90°，γ＝120°，则该晶胞的对角线AC1的长为 ．
解：如图所示，可得，
因为a＝2，b＝c＝1，α＝60°，β＝90°，γ＝120°，
所以，
α＝∠A1AB＝60°，β＝∠A1AD＝90°，∠BAD＝180°﹣γ＝60°，
所以
＝
＝4+1+1+2×2×1×cos60°+2×2×1×cos60°+2×1×1×cos90°
＝10，
所以，
则该晶胞的对角线AC1的长为．
故答案为：．
16．数列{an}满足，且an﹣an+1＝（2n+3）anan+1，则数列{an}的前10项和为 ．
解：数列{an}满足，且an﹣an+1＝（2n+3）anan+1，
所以，
当n≥2时，，
…，
，
故，
所以，
故＝．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，第17题满分70分，第18～22题每题满分70分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知集合A＝{x|log5（ax+1）＜1}（a＞0），B＝{x|2x2﹣3x﹣2＜0}．
（1）求集合A，B；
（2）已知p：x∈A，q：x∈B，若p是q的_____条件，求实数a的取值范围．
请在①必要不充分、②充分不必要、③充要，这三个条件中选择一个填在横线上．（若多选，按第一个给分），补全第（2）题，并根据所选条件解答该题．
解：（1）集合A＝{x|log5（ax+1）＜1}（a＞0），
令log5（ax+1）＜log55，所以0＜ax+1＜5，
解得，故可得集合，
因为2x2﹣3x﹣2＜0，即（x﹣2）（2x+1）＜0，
解得，所以集合B＝；
（2）若选①：因为p是q的必要不充分条件，则B⫋A，
故（等号不能同时取到），解得0＜a＜2；
若选②：因为p是q的充分不必要条件，则A⫋B，
故（等号不能同时取到），解得a＞2；
若选③：因为p是q的充要条件，则A＝B，
故，解得a＝2．
18．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝an2+an﹣2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
解：（1）各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝an2+an﹣2①，
当n＝1时，整理得，解得a1＝2（负值舍去）．
当n≥2时，②，
①﹣②得：an﹣an﹣1＝1（常数），
所以数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；
所以an＝2+n﹣1＝n+1．
（2）由（1）得：若bn＝＝，
设，
所以Sn＝c1+c2+…+cn＝①，
②，
①﹣②得：，
整理得：，
所以．
19．设函数f（x）＝x2﹣（m+1）x+m（m∈R）．
（1）求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若当x∈[0，4]时，不等式f（x）+4＞0恒成立，求m的取值范围．
解：（1）△＝（m+1）2﹣4m＝（m﹣1）2≥0，
①当m＝1时，△＝0，方程f（x）＝x2﹣2x+1＝0的解为x＝1，
∵f（x）的图象开口向上，
∴f（x）＜0的解为∅．
②当m≠1时，△＞0，方程f（x）＝0的解为x1＝m，x2＝1．
∴当m＜1时，f（x）＜0的解为m＜x＜1，
当m＞1时，f（x）＜0的解为1＜x＜m．
综上，当m＜1时，f（x）＜0的解为m＜x＜1；
当m＝1时，f（x）＜0的解为∅；
当m＞1时，f（x）＜0的解为1＜x＜m．
（2）若当x∈[0，4]时，不等式f（x）+4＞0恒成立，
当x∈[0，4]时，x2﹣（m+1）x+m+4＞0恒成立，
令g（x）＝x2﹣（m+1）x+m+4，x∈[0，4]，对称轴是x＝，
①当≤0即m≤﹣1时，只需g（0）＝m+4＞0，解得：m＞﹣4，故﹣4＜m≤﹣1，
②当≥4即m≥7时，只需g（4）＝16﹣4m﹣4+m+4＞0，解得：m＜，
③当0＜＜4即﹣1＜m＜7时，g（x）min＝＞0，
解得：﹣3＜m＜5，故﹣1＜m＜5，
综上：m的取值范围是（﹣4，5）．
20．外形是双曲面的冷却塔具有众多优点，如自然通风和散热效果好，结构强度和抗变形能力强等，其设计原理涉及到物理学、建筑学等学科知识．如图1是中国华电集团的某个火力发电厂的一座冷却塔，它的外形可以看成是由一条双曲线的一部分绕着它的虚轴所在直线旋转而成，其轴截面如图2所示．已知下口圆面的直径为80米，上口圆面的直径为40米，高为90米，下口到最小直径圆面的距离为80米．
（1）求最小直径圆面的面积；
（2）双曲面也是直纹曲面，即可以看成是由一条直线绕另一条直线旋转而成，该直线叫做双曲面的直母线．过双曲面上的任意一点有且只有两条相交的直母线（如图3），对于任意一条直母线l，均存在一个轴截面和它平行，此轴截面截双曲面所得的双曲线有两条渐近线，且直母线l与其中一条平行．广州电视塔（昵称“小蛮腰”，如图4）就是根据这一理论设计的，极大地方便了建造、节约了成本（主钢梁在直母线上，钢筋不需要弯曲）．若图1中的冷却塔也采用直母线主钢梁，求主钢梁的长度（精确到0.01米，参考数据：）．
解：（1）由图2建系可设截面双曲线的方程为，
它过点（20，10）及（40，﹣80），
∴，解得，
∴最小直径圆面的面积为；
（2）由（1）可知，渐近线的斜率k＝，
由题意知，母线平行于渐近线且高为90，
则沿x轴方向的长为，
∴主钢梁的长度为≈150×0.655＝98.25m．
21．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝3，AC＝4，BC＝5，PB与CD所成角为45°，点E在PD上且满足（0＜λ＜1）．
（1）当λ＝时，求直线PC与平面EAC所成角的正弦值；
（2）若平面EAC与平面PAC所成的二面角为，求λ的值．
解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠ABP为异面直线PB与CD所成角，即∠ABP＝45°，
∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，
又PA＝3，∴AB＝PA＝3，
∵AC＝4，BC＝5，∴AB2+AC2＝BC2，即AB⊥AC，
以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P（0，0，3），A（0，0，0），C（0，4，0），D（﹣3，4，0），
∴＝（0，4，﹣3），＝（﹣3，4，﹣3），＝（0，4，0），
∵＝，∴E（﹣2，，1），
∴＝（﹣2，，1），
设平面EAC的法向量为＝（x，y，z），则，即，
令x＝1，则y＝0，z＝2，∴＝（1，0，2），
设直线PC与平面EAC所成角为θ，
则sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，
故直线PC与平面EAC所成角的正弦值为．
（2）由（1）知P（0，0，3），D（﹣3，4，0），＝（﹣3，4，﹣3），
∵＝λ，∴E（﹣3λ，4λ，3﹣3λ），＝（﹣3λ，4λ，3﹣3λ），
由，即，得＝（1，0，），
∵AB⊥AC，AB⊥PA，AC∩PA＝A，AC、PA⊂平面PAC，
∴AB⊥平面PAC，
∴平面PAC的一个法向量为＝（1，0，0），
∵平面EAC与平面PAC所成的二面角为，
∴|cos＜，＞|＝||＝||＝cos＝，
化简得，2λ2﹣6λ+3＝0，解得λ＝或，
∵0＜λ＜1，∴λ＝．
22．已知椭圆的离心率是，两条准线间的距离为4．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若T（t，0）是椭圆E的长轴上（不包含端点）的动点，过T作互相垂直的两条直线分别交椭圆E于A、C和B、D，求四边形ABCD的面积的最大值．
解：（1）由题意知，解得a＝，b＝1，
所以椭圆的方程为+y2＝1．
（2）当AC斜率不存在或斜率为0时，此时AC，BD一个长度为2，一个长度为2，
此时S四边形ABCD＝＝2≤2，
当AC的斜率存在且不为0时，设AC直线方程为y＝k（x﹣t），
不妨设k＞0，
联立，得（1+2k2）x2﹣4k2tx+2k2t2﹣2＝0，
所以△＝16k4t2﹣8k2t2+8﹣16k4t2+16k2＝8﹣8k2t2+16k2，
所以|AC|＝＝2，
同理可得|BD|＝2，
所以S四边形ABCD＝4
≤4••＝4（k2+1）•＝，
令m＝k2+1，（m＞1），
所以以S四边形ABCD＝＝＜2，
综上，四边形ABCD面积的最大值为2．
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