2021年高考数学一轮复习《圆锥曲线：椭圆》大题练习(含答案)

这是一份2021年高考数学一轮复习《圆锥曲线：椭圆》大题练习(含答案)，共6页。试卷主要包含了5 2021年高考数学一轮复习《圆锥曲线：椭圆》大题练习1.已知点A(0，－2)，椭圆E：＋=1(a＞b＞0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.               2.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b≥1)的离心率e=,且椭圆C过点P(2,1).(1)求椭圆C的方程;(2)直线的l的斜率为,直线l与椭圆C交于A,B两点.求△PAB面积的最大值.              3.已知椭圆C:+=1(a>0)的焦点在x轴上,且椭圆C的焦距为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点R(4,0)的直线l与椭圆C交于两点P,Q,过P作PN⊥x轴且与椭圆C交于另一点N,F为椭圆C的右焦点,求证:三点N,F,Q在同一条直线上.               4.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在y轴上，离心率为.过F1的直线l0交C于P，Q两点，且△PQF2的周长为8.(1)求椭圆C的方程；(2)圆＋(y－2)2=与x轴正半轴相交于两点M，N(点M在点N的左侧)，过点M任作一条直线与椭圆C相交于A，B两点，连接AN，BN，求证∠ANM=∠BNM.                  5.设A，B分别是x轴，y轴上的动点，点P在直线AB上，且=，||=2＋.(1)求点P的轨迹E的方程；(2)已知曲线E上的定点K(－2,0)及动点M，N满足·=0.试证：直线MN必过x轴上的定点.                   6.已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)上一点P与椭圆右焦点的连线垂直于x轴，直线l：y=kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(均不在坐标轴上).(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，若△AOB的面积为，试判断直线OA与OB的斜率之积是否为定值？       
0.参考答案1.解：(1)设F(c,0)，由条件知，=，得c=.又=，所以a=2，b2=a2－c2=1.故E的方程为＋y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y=kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2).将y=kx－2代入＋y2=1得(1＋4k2)x2－16kx＋12=0.当Δ=16(4k2－3)＞0，即k2＞时，x1,2=.从而|PQ|=|x1－x2|=.又点O到直线PQ的距离d=，所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=.设=t，则t＞0，S△OPQ==.因为t＋≥4，当且仅当t=2，即k=±时等号成立，且满足Δ＞0，所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y=x－2或y=－x－2. 2.解:(1)因为e2===,所以a2=4b2,则椭圆方程为+=1,即x2+4y2=4b2.因为椭圆过点P(2,1),所以代入上式得b2=2,a2=8,所以椭圆方程为+=1.(2)设l的方程为y=x+m,代入椭圆方程中整理得x2+2mx+2m2-4=0,所以x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,Δ=4m2-4(2m2-4)>0⇒m2<4.则|AB|=×=.点P到直线l的距离d==.因此S△PAB=d|AB|=·=≤=2.当且仅当m2=2∈[0,4),即m=±时取得最大值2.3. (1)解:因为椭圆C:+=1(a>0)的焦点在x轴上,所以a2>7-a2>0,即3.5<a2<7,因为椭圆C的焦距为2,且a2-b2=c2,所以a2-(7-a2)=1,解得a2=4,所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)证明:由题知直线l的斜率存在,设l的方程为y=k(x-4),点P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x1,-y1),则得3x2+4k2(x-4)2=12,即(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0,Δ>0,x1+x2=,x1x2=,由题可得直线QN的方程为y+y1=(x-x1),又因为y1=k(x1-4),y2=k(x2-4),所以直线QN的方程为y+k(x1-4)=(x-x1),令y=0,整理得x=+x1====1,即直线QN过点(1,0),又因为椭圆C的右焦点坐标为F(1,0),所以三点N,F,Q在同一条直线上.4.解：(1)设椭圆C的方程为＋=1(a＞b＞0)．因为离心率为，所以=，解得=，即a2=2b2.又△PQF2的周长为|PQ|＋|PF2|＋|QF2|=(|PF1|＋|PF2|)＋(|QF1|＋|QF2|)=2a＋2a=4a，所以4a=8，即a=2，b=2，所以椭圆C的方程为＋=1.(2)证明：把y=0代入＋(y－2)2=，解得x=1或x=4，即点M(1,0)，N(4,0)．①当AB⊥x轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM.②当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=k(x－1)．联立消去y，得(k2＋2)x2－2k2x＋k2－8=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=，x1x2=.因为y1=k(x1－1)，y2=k(x2－1)，所以kAN＋kBN=＋=＋=.因为(x1－1)(x2－4)＋(x2－1)(x1－4)=2x1x2－5(x1＋x2)＋8=－＋8==0，所以kAN＋kBN=0，所以∠ANM=∠BNM.综上所述，∠ANM=∠BNM. 5.解：(1)设P(x，y)，A(xA,0)，B(0，yB)，则=(x－xA，y)，=(－x，yB－y)，由=，得xA=x＋x，yB=y＋y，由||=2＋，即可求得点P的轨迹E的方程为＋=1.(2)证明：设直线KM：y=k(x＋2)(k≠0)与＋=1联立，消去y，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12=0.设M(x1，y1)，则－2＋x1=－，x1=－＋2=，y1=k(x1＋2)=，∴M，设直线KN：y=－(x＋2)(k≠0)，同理可得N，kMN==－(k2≠1)，则MN：y－=－(x－)，化简可得y=－，即直线MN过定点，另MN斜率不存在时，也过定点，∴直线MN必过定点. 6.解：(1)由题意知解得∴椭圆C的标准方程为＋=1.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12=0，由Δ=(8km)2－16(4k2＋3)(m2－3)＞0，得m2＜4k2＋3.∵x1＋x2=，x1x2=，∴S△OAB=|m||x1－x2|=|m|·=，化简得4k2＋3－2m2=0，满足Δ＞0，从而有4k2－m2=m2－3(*)，∴kOA·kOB=====－·，由(*)式，得=1，∴kOA·kOB=－，即直线OA与OB的斜率之积为定值－.